特训07 梯形 压轴题（八大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训07 梯形 压轴题（八大题型） 目录： 题型1：选填压轴题 题型2：已知特殊三角形求边长 题型3：已知特殊三角形求边长+列函数解析式 题型4：已知特殊三角形求面积 题型5：梯形的综合应用 题型6：动点问题 题型7：新定义题 题型8：梯形在平面直角坐标系的应用 题型1：选填压轴题 1．已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 2．如图，在等腰梯形中，，连接，，且，设，．下列两个说法：①；②，则下列说法正确的是（ ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 3．如图，在等腰梯形中，，对角线于点，，，垂足分别为、，，，则 ．    4．如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于 ． 题型2：已知特殊三角形求边长 5．如图，四边形中，，是边的中点．已知，． (1)连接，求证； (2)如图，当时，求的度数； (3)当为直角三角形时，求边的长． 6．如图，在直角梯形中，，，，．点E是射线上的任意一点，联接，． (1)求证：； (2)过点A作，垂足为点F．当四边形是正方形时，求线段的长； (3)联结，当是等腰三角形时，求线段的长． 7．如图，在梯形中，，平分，．    (1)求证：； (2)作，垂足为点E，． ①设，请用含m的代数式表示梯形的面积； ②点F为中点，联结并延长，交边于点G，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 题型3：已知特殊三角形求边长+列函数解析式 8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，设AD＝x，△AOB的面积为y． （1）求∠DBC的度数； （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）如图1，设点P、Q分别是边BC、AB的中点，分别联结OP，OQ，PQ．如果△OPQ是等腰三角形，求AD的长． 9．在梯形中，，，，，．    (1)若梯形是直角梯形，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； (3)当梯形是等腰梯形时，在直线上取一点P，使得是以为腰的等腰三角形，直按写出此时的底边长． 题型4：已知特殊三角形求面积 10．如图1，梯形中，，，，，．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)若点是直线上的一点，直线交直线于点． ①当点在线段的延长线上时（如图2），设，，求关于的函数解析式并写出定义域； ②如果是等腰三角形，求的面积． 11．如图，已知，，，点D在边上，，垂足为点E，以为边作正方形，点F在边上，且位于点E的左侧，连接．    (1)设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (2)当四边形是等腰梯形时，求的长； (3)连接，当是等腰三角形时，求正方形的面积． 题型5：梯形的综合应用 12．在梯形中，，∠B=90°，，，，点、分别在边、上，，点与在直线的两侧，，，射线、与边分别相交于点、，设，． (1)求边的长； (2)如图，当点P在梯形内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)如果的长为2，求梯形的面积． 13．已知梯形中，，，，，，是边上任意一点（不与、重合），联结和． (1)若平分，求． (2)若是中点，联结和， ①设，，求关于的函数解析式； ②若，求的长． 14．如图1，在梯形中，，，，，，点O是对角线的中点．点E为边上一动点，联结．    (1)求的长； (2)如果点E为边的中点，联结，求的面积； (3)如图2，延长交射线于点F，联结，如果平分，求四边形的周长． 15．已知，梯形中，，，，，，是边上的任意一点，连接，连接． (1)若平分，求的长； (2)过点作，交所在直线于点． 设，，求关于的函数关系式； 连接，当点是的中点时，求的长． 题型6：动点问题 16．如图（1），直角梯形中，，，且，，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图（2），于点H，动点P从点H出发，沿线段向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒．设点P运动的时间为t秒，的面积为S，求S与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (3)设与交于点M，当时，求的值． 17．如图，在等腰梯形中，，，，，点为边的中点，点为边上一动点（点不与点重合），联结和，点分别为的中点，设，． (1)求的长； (2)求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)联结，当时，求的值． 题型7：新定义题 18．定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 题型8：梯形在平面直角坐标系的应用 19．如图，已知点和点都在一次函数上，是的平分线，过点作，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为．    (1)求这条直线的解析式； (2)求证：为的中点； (3)若一次函数图像上有点，和点，，构成梯形，试求点的坐标． 20．如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点． (1)求直线AM的解析式． (2)试在直线AM上找一点P，使得，请求出点P的坐标． (3)若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上一动点，以线段为一边，在其一侧作等边．当点运动到原点处时，记的位置为．    (1)求点的坐标； (2)当点在轴上运动（不与重合）时，求证：； (3)是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，矩形中，边在轴上，点，，直线过点且交边于，另有一条直线与平行且分别交，于，．      （1）求，的长； （2）当为菱形时，求直线解析式； （3）当直线将矩形分成两个面积比例为的梯形时，直接写出此时直线的解析式． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训07 梯形 压轴题（八大题型） 目录： 题型1：选填压轴题 题型2：已知特殊三角形求边长 题型3：已知特殊三角形求边长+列函数解析式 题型4：已知特殊三角形求面积 题型5：梯形的综合应用 题型6：动点问题 题型7：新定义题 题型8：梯形在平面直角坐标系的应用 题型1：选填压轴题 1．已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 【答案】C 【分析】此题考查了梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键掌握以上知识点． 设，交于点O，根据题意得到，，，然后利用勾股定理求出，，，进而利用梯形的面积和周长公式求解即可． 【解析】如图所示，设，交于点O， ∵在梯形中，，， ∴，， ∵，， ∴，即 ∴ 同理可得， ∴ ∵ ∴梯形的面积； ∵，， ∴ ∴ ∴梯形的周长． 故选：C． 2．如图，在等腰梯形中，，连接，，且，设，．下列两个说法：①；②，则下列说法正确的是（ ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 【答案】A 【分析】本题考查梯形中求线段长，平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理等腰直角三角形的判定与性质等知识，孰练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键. 过作, 交延长线于，根据梯形为等腰梯形，可得，即可得到,根据等腰直角三角形性质即可求出长，然后根据从而得到答案. 【解析】过作, 交延长线于, 如图所示:、 ∵, ∴四边形是平行四边形, ∴, , ∵是等腰梯形， ∴, ∵, ∴, ∴, 即, ∵, ∴, 在中,, ∴, ，此时①正确； 由， ∴， ∴，故②错误； 故选A 3．如图，在等腰梯形中，，对角线于点，，，垂足分别为、，，，则 ．    【答案】6 【分析】过作交延长线于点，则，证四边形为平行四边形得证为等腰直角三角形，利用勾股定理得，再根据等腰三角形的三线合一得及直角三角形的性质得，从而求得，再四边形是平行四边形，即可得解． 【解析】解：过作交延长线于点，则，   ， 四边形为平行四边形， ，， ， ∴， ， 又四边形是等腰梯形， ， ， 为等腰直角三角形， ∴， ， ，即， ， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，等腰梯形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质以及等腰梯形的性质是解题的关键． 4．如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于 ． 【答案】7 【分析】由根据三角形的面积公式，由得，进而求得DE=2，从而求得底边EC的长，于是可求得CD的长，进而求得梯形ABCD的中位线． 【解析】解：过点B作BM⊥CE于点M，如下图， ∵，， ∴∠ADC=180°-∠A=180°-90°=90°， ∵， ∴， ∵， ∴DE=2， ∵BM⊥CE， ∴∠BMD=90°， ∴四边形ABMD是矩形， ∴DM=AB=4， ∴EM=2+4=6， ∵将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处， ∴BE=BC， ∵BM⊥CE， ∴EC=2EM=12， ∴CD=12-2=10， ∴梯形ABCD的中位线为：， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了梯形的中位线，平行线的性质，矩形的性质，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 题型2：已知特殊三角形求边长 5．如图，四边形中，，是边的中点．已知，． (1)连接，求证； (2)如图，当时，求的度数； (3)当为直角三角形时，求边的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）连接并延长交的延长线于，判断出≌，得出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，再判断出，即可求出答案； （3）分两种情况①当时，判断出≌，得出，进而判断出，即可得出答案；②当时，过点D作DF⊥BC于点F，，设，根据勾股定理即可列出关于x的方程，即可求出答案． 【解析】（1）证明：如图， 连接并延长交的延长线于， ， ， ， ，， 点是的中点， ， ≌， ， ， ， ； （2）解：，， ， 点是的中点，， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ； （3）（3）是直角三角形， ①当时，如图， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ； ②当时，如图，过点D作DF⊥BC于点F， 设， 由题意，四边形ABFD是矩形， ∴AB=DF，BF=AD=2， ∴FC=x-2， 在Rt△DFC中，； ， 在Rt△BDC中，， 在Rt△ABD中，， ∴， ， （舍去负值）， ③∠DBM=时，不符合题意； 综上所述的长为或． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 6．如图，在直角梯形中，，，，．点E是射线上的任意一点，联接，． (1)求证：； (2)过点A作，垂足为点F．当四边形是正方形时，求线段的长； (3)联结，当是等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)线段的长为 (3)线段的长为或或 【分析】（1）由，得，而，则，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”得； （2）由于点F得，因为，所以，可推导出，则，得，即可求得； （3）分三种情况，一是，作交于点G，可证明是等边三角形，则，再证明四边形是平行四边形，得，所以，于是有，则；二是，作于点F，可证明四边形是矩形，则，在上取一点G，联结，使，可求得，则，所以，，于是，则，而，所以，即可求得，则；三是，作于点F，先证明，得，则，于是，得，则． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图1， ∵于点F， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为． （3）解：如图2， ∵是等腰三角形，且，则， ∴，， 作交于点G， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，是等腰三角形，且，作于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在上取一点G，联结，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4，是等腰三角形，且，作于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，线段的长为或或． 【点睛】此题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 7．如图，在梯形中，，平分，．    (1)求证：； (2)作，垂足为点E，． ①设，请用含m的代数式表示梯形的面积； ②点F为中点，联结并延长，交边于点G，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长为4或6 ． 【分析】（1）在上截取，连接，首先证明出四边形是平行四边形，然后由平分进而证明出平行四边形是菱形，然后利用得到，即可得到； （2）①设，在中利用勾股定理得到，进而得到，，然后利用梯形面积公式求解即可； ②根据题意分和时两种情况讨论，分别利用矩形和直角三角形的性质求解即可． 【解析】（1）如图所示，在上截取，连接    ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形是菱形 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）①如图所示，    ∵平行四边形是菱形 ∴设 ∴ ∴在中， ∴，解得 ∴， ∴； ②能成为直角三角形，理由如下∶ 当时，    ∵F是的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∵F是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 又∵ ∴ 即，点A，G重合时，能成为直角三角形 综上所述，的长为4或6 ． 【点睛】此题考查了梯形的性质，矩形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 题型3：已知特殊三角形求边长+列函数解析式 8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，设AD＝x，△AOB的面积为y． （1）求∠DBC的度数； （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）如图1，设点P、Q分别是边BC、AB的中点，分别联结OP，OQ，PQ．如果△OPQ是等腰三角形，求AD的长． 【答案】（1）∠DBC＝45；（2）y＝x（x＞0且x≠10）；（3）满足条件的AD的值为10﹣10． 【分析】（1）过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点，只要证明△BDE是等腰直角三角形即可解决问题； （2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，由题意OA=x，OB=5，根据y=•OA•OB计算即可； （3）分三种情形讨论即可解决问题； 【解析】（1）过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点． ∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE， ∴四边形ACED为平行四边形，AC＝DE，AD＝CE， ∵AB＝CD， ∴梯形ABCD为等腰梯形， ∴AC＝BD， ∴BD＝DE， 又AC⊥BD， ∴∠BOC＝90° ∵AC∥DE ∴∠BDE＝90°， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴∠DBC＝45°． （2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形， ∵AD＝x，BC＝10， ∴OA＝x，OB＝5， ∴y＝且． （3）如图2中， ①当PQ＝PO＝BC＝5时， ∵AQ＝QB，BP＝PC＝5， ∴PQ∥AC，PQ＝AC， ∴AC＝10，∵OC＝5， ∴OA＝10﹣5， ∴AD＝OA＝10﹣10． ②当OQ＝OP＝5时，AB＝2OQ＝10，此时AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴∠ABC＝90°，同理可证：∠DCB＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，不符合题意，此种情形不存在． ③当OQ＝PQ时，AB＝2OQ，AC＝2PQ， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠BAC＝90°＝∠BOC，显然不可能， 综上所述，满足条件的AD的值为10﹣10． 【点睛】本题考查四边形综合题、梯形、等腰直角三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题. 9．在梯形中，，，，，．    (1)若梯形是直角梯形，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出其定义域； (3)当梯形是等腰梯形时，在直线上取一点P，使得是以为腰的等腰三角形，直按写出此时的底边长． 【答案】(1) (2) (3)6或或8． 【分析】（1）先说明与不可能垂直，只有，如图：过B作、过A作，然后运用等面积法可求得， 再说明四边形是矩形，最后根据矩形的性质得到即可解答； （2）如图：过点A作，过点D作，根据勾股定理可得，进而得到，再在中利用勾股定理即可得到关系式； （3）分点P在C、D之间、点D与点P重合、点P在射线上三种情况，分别画出图形，然后根据图形解答即可． 【解析】（1）解：∵． ∴不可能是直角三角形，即与不可能垂直， ∵梯形是直角梯形， ∴， 如图：过B作， ∵， ∴ ∴， 过A作， 则，即，解得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴．   ； （2）解：如图：过点A作，过点D作，    由（1）可知，， ∴， ∵, ∴, ∴，即 在中，， ∴，整理得：． （3）解： ①当点P在C、D之间时，是以为腰的等腰三角形，则，如图：    过点A作，过点B作， 由题意知， 又∵， ∴， ∴， ∴底边； ②如图：当点D与点P重合时，，是以为腰的等腰三角形，    此时底边； ③如图：当点P在射线上时，是以为腰的等腰三角形，则，连接，    ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 综上所述，底边的长为6或或8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、掌数握形结合和分类讨论思想是解题关键． 题型4：已知特殊三角形求面积 10．如图1，梯形中，，，，，．    (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)若点是直线上的一点，直线交直线于点． ①当点在线段的延长线上时（如图2），设，，求关于的函数解析式并写出定义域； ②如果是等腰三角形，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）如图所示，过点D作交于E，则，证明四边形是平行四边形，得到，进而推出，可证明是等边三角形，得到，即可证明，即四边形是等腰梯形； （2）①过点D作交延长线于F，求出，得到，则，由勾股定理即可得到；②求出，则当点M在点A下方时，只存在这一种情况，可得，如图3所示，过点B作于H，求出，得到，，则，即可得到；当点M在点A上方时，如图4所示，可证明是等边三角形，得到，进而可证明三点共线，则点N与点C重合，即可证明是等边三角形，过点M作于H，得到，则，可得． 【解析】（1）解：如图所示，过点D作交于E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形． （2）解：①如图所示，过点D作交延长线于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴当点M在点A下方时，只存在这一种情况， ∴， 如图3所示，过点B作于H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点M在点A上方时，如图4所示， ∵是等腰三角形，且 ， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）可得四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴点N与点C重合， ∴是等边三角形， 如图所示，过点M作于H， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了等腰梯形的判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 11．如图，已知，，，点D在边上，，垂足为点E，以为边作正方形，点F在边上，且位于点E的左侧，连接．    (1)设，，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (2)当四边形是等腰梯形时，求的长； (3)连接，当是等腰三角形时，求正方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)1或 【分析】（1）证明，，，可得，．，由勾股定理可得，从而可得答案； （2）证明，结合，，可得．，再建立方程求解即可； （3）当是等腰三角形时，则①当，如图，②当，如图，再分别画图，建立方程求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形，是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴， 在中， ∴． （2）∵四边形是等腰梯形， ∴， 又∵，， ∴． ∴， ∴，解得，． 即的长题． （3）当是等腰三角形时，则①当，如图，    ∵， ∴， ∴，解得． 即正方形的面积是1． ②当，如图，    ∵，则， 在中，， ∴，解得． 即正方形的面积是． 综上所述，当是等腰三角形时，正方形的面积是1或． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，列函数关系式，等腰三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 题型5：梯形的综合应用 12．在梯形中，，，，，，点、分别在边、上，，点与在直线的两侧，，，射线、与边分别相交于点、，设，． (1)求边的长； (2)如图，当点P在梯形内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)如果的长为2，求梯形的面积． 【答案】(1)6 (2)y关于x的函数解析式为．定义域为 (3)或32 【分析】（1）过作，与、分别相交于点、，从而判定四边形是矩形，在中求出的长，利用可得出的长． （2）首先确定，过点作，与、分别相交于、，根据，，可表示出、，继而可得出关于的函数解析式，也能得出定义域． （3）①当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，可求得梯形的面积，②当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，可求得梯形的面积． 【解析】（1）解：过作，与、分别相交于点、， 梯形中，， ， 又， 四边形是矩形， ， ， ， ． （2），， ， ， ， ，， ， ， 过点作，与、分别相交于、， ，， ，， ， ， 关于的函数解析式为．定义域为． （3）当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，， ， 当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，， ． 【点睛】本题考查梯形及有实际问题列一次函数关系式的知识，属于综合性较强的题目，难度较大，对于此类题目要学会由小及大，将所求的问题缩小，一步一步求解． 13．已知梯形中，，，，，，是边上任意一点（不与、重合），联结和． (1)若平分，求． (2)若是中点，联结和， ①设，，求关于的函数解析式； ②若，求的长． 【答案】(1)或 (2)①(0<x<4)；② 【分析】（1）如图，作于，则四边形是矩形，，，分两种情况求解即可； （2）①如图，过点作于，延长交于，四边形是矩形，，，再证明，可得出，最后在中，利用勾股定理构建函数关系式即可； ②根据点是中点，，可知垂直平分，由垂直平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理计算即可． 【解析】（1）解：如图，作于， ∴， ∵四边形是梯形，，，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 分两种情况： 第一种情况：当平分时， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 第二种情况：当平分时， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 综上所述，的长为或． （2）①如图，过点作于，延长交于， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点是中点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ∴， 在中，，，， ∵ 即：， 当N与C重合时，BE=4， ∴x取值范围为0<x<4, ∴关于的函数解析式为：(0<x<4)； ②∵是中点，， ∴垂直平分， ∴， 在中，，， ∴． ∴的长为． 【点睛】本题考查四边形综合题，考查了矩形判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的判定和性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形和全等三角形解决问题． 14．如图1，在梯形中，，，，，，点O是对角线的中点．点E为边上一动点，联结．    (1)求的长； (2)如果点E为边的中点，联结，求的面积； (3)如图2，延长交射线于点F，联结，如果平分，求四边形的周长． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）过A作，过D作，垂足分别为M、N，证明四边形是平行四边形，则，，再证，可得，在中，，则，即可得到的长； （2）过点O作，垂足为点Q，则，由三角形中位线定理可得，，由中点的定义可得，进一步得到，在中，，，根据三角形面积公式即可得到答案； （3）证明四边形是菱形，过点D作于点N，由（1）可知，，，由勾股定理得，设，则，在中，由勾股定理可得，即，解得，即可得到四边形的周长． 【解析】（1）解：过A作，过D作，垂足分别为M、N，    则， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，   ∴，， ∵，   ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵   ∴， ∴， ∴． （2）过点O作，垂足为点Q，则，    ∵O是的中点，E是的中点， ∴，，， ∴， ∴， 在中，，， ． （3）∵，     ∴， ∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，    过点D作于点N， 由（1）可知，， ∴， 由勾股定理得， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴四边形的周长． 【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理、含角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，添加适当的辅助线和数形结合是解题的关键． 15．已知，梯形中，，，，，，是边上的任意一点，连接，连接． (1)若平分，求的长； (2)过点作，交所在直线于点． 设，，求关于的函数关系式； 连接，当点是的中点时，求的长． 【答案】(1)满足条件的的值为或； (2)；． 【分析】（）作于，则四边形是矩形，则，，分两种情形求解即可解决问题； （）作于利用面积法构建函数关系式即可； 延长交于点，证，得，再由垂直平分，知，又，则，据此得，，根据 可得答案． 【解析】（1）解：如图中， 作于，则四边形是矩形， ∴，， 当平分时， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 当平分时，同法可证：，， ∴； 综上所述，满足条件的的值为或； （2）解：如图中，作于， 在中，， ∵， ∴， ∴； 如图，延长交于点， ∵， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，函数解析式，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确添加常用辅助线，构造直角三角形及掌握知识点的应用是解题的关键． 题型6：动点问题 16．如图（1），直角梯形中，，，且，，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图（2），于点H，动点P从点H出发，沿线段向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒．设点P运动的时间为t秒，的面积为S，求S与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (3)设与交于点M，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，则，在中有两的角，根据等边三角形的判定即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质易得，，则，，利用三角形的面积公式得到，代值即可得到； （3）由得到，则，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，即，解方程即可． 【解析】（1）在中，，， ， ，， ， ， 而， 为等边三角形； （2），过点P作，   ，， ，， ∴， ∴， ∴， 而， ； （3）， ， 而 ， ，即， ．    【点睛】本题考查了梯形的性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理以及含30度的直角三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 17．如图，在等腰梯形中，，，，，点为边的中点，点为边上一动点（点不与点重合），联结和，点分别为的中点，设，． (1)求的长； (2)求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)联结，当时，求的值． 【答案】(1)4 (2) (3)4 【分析】（1）过点作于点，得出，根据，得出； （2）①当点在点左侧（），，根据，得出（）；②当点在点右侧（）， ，得出（）； （3）延长交于点，由三角形中位线定理推知点为的中点，，得出是等边三角形，从而求出的值． 【解析】（1）解：过点作于点， 四边形是等腰梯形， ， ， ． ； （2）解：∵， ． ①当点在点左侧（）， ∵， ∴， ， ， 点分别为的中点， 是的中位线， ， ； ②当点在点右侧（）， ，， 同理可得：， ； 综上所述，； （3）解：延长交于点， ，， 四边形是平行四边形， ， 点分别为的中点， 是的中位线， ． 点为的中点， ∴． 在与中，， ， ， ， ， 为正三角形， ． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形中位线的判定与性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，有三角形的中位线和勾股定理，函数与图形相结合等，掌握有三角形的中位线和勾股定理是解题的关键． 题型7：新定义题 18．定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”，这个内角称为“加和角” (1)如图1，在梯形中，，点E为边上一点，四边形为菱形，点E为边中点，求证：梯形为“加和角梯形”， (2)在“加和角梯形”中，为“加和角”，． ①如图2，如果，垂足为点O，，求梯形的周长； ②如图3，如果，点E为边中点，过点E作交边于点F，，点G在边上使得是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；②或 【分析】（1）根据四边形为菱形，得出，结合点为边中点，得出，，即可得到，即可证明； （2）①根据是梯形，，得到，结合“加和角梯形”中，为“加和角”，即可求出，分别过点、作、，垂足分别为点G，H，则，证出四边形为矩形，得到，证明，得到，求出，，，证明，根据勾股定理求出，在中，根据直角三角形的性质得出，，从而求出，，即可求解； ②由为“加和角”，可得，过点作于点，可得四边形为矩形，得出，由点为中点，，可得，分为当时和当时，分别作图求解即可； 【解析】（1）∵四边形为菱形， ∴， ∵点为边中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴梯形为“加和角梯形”． （2）①∵梯形中，， ∴， ∵“加和角梯形”中，为“加和角”， ∴， ∴， ∴， 分别过点、作、，垂足分别为点G，H， ∴， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； ②，， ，， 由为“加和角”， 可得， ， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 由点为中点，， 则， ， I．当时， ∵ 则， 则， ∵， ∴中，， ∵， ， ∴； II．当时，过点G作于点Q，交延长线于点P，作于点R，设， 由I知， 则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ． 综上，或． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，梯形的性质，矩形的性质和判定，菱形的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，掌握以上知识点． 题型8：梯形在平面直角坐标系的应用 19．如图，已知点和点都在一次函数上，是的平分线，过点作，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为．    (1)求这条直线的解析式； (2)求证：为的中点； (3)若一次函数图像上有点，和点，，构成梯形，试求点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）直接用待定系数法求解即可； （2）延长交轴于点，根据等腰三角形的判定可得到，再根据平行线的性质得到，即可得出结论； （3）由（2）可知，，从而得到，，分两种情况当时和时两种情况进行求解即可． 【解析】（1）解：把点和点代入得： ， 解得：， 这条直线的解析式为； （2）如图，延长交轴于点，    是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点； （3）如图：    由（2）可知，， ， 为的中点，， ， ，， 当时， 在中，令得， ； 当时， 由，得直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入， 得，， 解得：， 直线的解析式为， 解，得， ， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形中位线，梯形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 20．如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)， 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求点A，B的坐标，结合等边三角形和含30°直角三角形的性质求得C点坐标； （2）结合三角形面积公式，利用方程思想计算求解； （3）根据等腰三角形的性质分情况讨论求解． 【解析】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴，， 过点C作轴，交轴于点D，    ∵，， ∴，， 在Rt中，， ∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 在Rt中，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）已证， ∴， ∴四边形为梯形， 设y轴上一点 当时，， 解得，， ∴或； （3）解：当，且时，四边形是等腰梯形，    由（1）已证， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 当，且时，四边形是等腰梯形，    过点作轴， 由（1）已证， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 综上，，． 【点睛】本题考查一次函数与几何图形综合应用，等边三角形的性质，等腰梯形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点． (1)求直线AM的解析式． (2)试在直线AM上找一点P，使得，请求出点P的坐标． (3)若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，，，， 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由点M为线段OB的中点可得出点M的坐标，根据点A，M的坐标，利用待定系数法即可求出直线AM的函数解析式； （2）利用平行线间的距离处处相等，过O作直线，为与AM交点，由点P1到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离，求出的表达式，与直线AM的表达式联立求出交点即，再利用平移求出另一个点的坐标； （3）分情况讨论，作出不同的辅助线，求出对应点H的坐标即可． 【解析】（1）解：∵交x轴于A， ∴，解得， ∴， ∵交y轴于B， ∴当x=0时， ∴， ∵M为OB中点， ∴， 设过，， 得到，解得， ∴直线AM的解析式是． （2）解：过O作直线，为与AM交点，如图1，                            ∴ 点P1到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离 ∴此时， 设直线， ∵， ∴ ∴， ∵直线AM的解析式是 ∴，解得， 此时 ∴， 由是直线AB:向下平移8个单位得到的， 把直线AB:向上平移8个单位得到 交直线AM于，此时， ∴由，得， ∴． 综上所述，点P的坐标为， （3）解：①过点B作BHAM，过点A作AH⊥BH于点H，如图2， 如图，则，                  设直线BH的表达式为： ∵ ∴ ∵直线BH经过点 ∴ ∴直线BH的表达式为， 设直线AH的表达式为， ∵， ∴，得到， 又∵直线AH过点 ∴，解得 ∴直线AH的表达式为， 由 解得 ∴此时点H的坐标为； ②过点A作，作BH⊥AH，垂足为点H，则，如图3， ∵，， ∴此时点H的坐标为， ③过点M作AB的平行线，分别过点A、B向AB的平行线作垂线，垂足分别为H1、H2，如图4，此时， 设直线MH1的表达式为 ∵ ∴ ∵直线MH1经过点 ∴ ∴直线MH1的表达式为， 设直线AH1的表达式为 ∵， 则，， ∵过点 ∴ 解得 ∴直线AH1的表达式为           由 解得 ∴， 当时， ∵为矩形， 把点经过向左平移4个单位，向上平移8个单位即可得到点H2 ∴点H的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像交点坐标、三角形的面积相等、直角梯形等相关知识，关键在于正确画出图形，进行正确的解答． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上一动点，以线段为一边，在其一侧作等边．当点运动到原点处时，记的位置为．    (1)求点的坐标； (2)当点在轴上运动（不与重合）时，求证：； (3)是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，或 【分析】（1）根据题意作辅助线过点作轴于点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求出点的坐标， （2）根据，可知，得出总成立，得出当点在轴上运动不与重合）时，为； （3）根据点在的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果． 【解析】（1）解：过点作轴于点，   ，为等边三角形， ，， ∴， ∴， ， 即； （2）证明：当点在轴上运动不与重合）时， ， ， 在和中， ， ；    （3）由（2）可知，点总在过点且与垂直的直线上，可见与不平行． ①当点在轴负半轴上时，点在点的下方， 此时，若，四边形即是梯形， 当时，，． 又，可求得， 由（2）可知，， ， 此时的坐标为． ②当点在轴正半轴上时，点在的上方，    此时，若，四边形即是梯形， 当时，，． 又，可求得， 由（2）可知，， ， 此时的坐标为． 综上，的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定及性质，难度适中． 23．如图，矩形中，边在轴上，点，，直线过点且交边于，另有一条直线与平行且分别交，于，．      （1）求，的长； （2）当为菱形时，求直线解析式； （3）当直线将矩形分成两个面积比例为的梯形时，直接写出此时直线的解析式． 【答案】（1）=4，=1；（2）直线解析式：；（3）直线解析式：或． 【分析】（1）利用，求出B、G的坐标，即可得到，的长； （2）依据勾股定理求出BG的长，依据菱形的性质求 F的坐标，并用待定系数法求直线的解析式； （3），用表示两个梯形的上下底，直线将矩形分成两个面积比例为的梯形，可两种情况列出关于的方程解出，用E的坐标求直线的解析式即可. 【解析】解：（1）∵直线过点B，B在轴上， ∴， ∵， ∴， ∴=4， ∵当时，，， ∴， ∴=1； （2）∵矩形， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴, 设直线解析式：， 将代入中，得到， ∴直线解析式：； （3）设（），则，， 设直线解析式：，将代入，求得， 则直线解析式：， ∵矩形， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∵直线将矩形分成两个面积比例为的梯形， ①若=，； ②若=2，； 综上所述：或. 则直线解析式：或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法，矩形的性质、菱形的性质、梯形的面积，解题的关键是运用几何图形的性质求点的坐标，及分类讨论思想的运用. 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