精品解析：山东省德州市乐陵市2025年九年级第一次练兵数学试题

2025年初中学业水平考试第一次模拟检测 数学试题 本试题分选择题40分；非选择题110分；全卷满分150分，考试时间为120钟． 一、选择题：本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 火星赤道夏季白天最高温度可达，晚上最低温度可达，则火星赤道最高气温和最低气温相差为（ ） A. B. C. D. 2. 体育锻炼可以促进中学生生长发育，提升免疫力，预防疾病．下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. ，则“？”是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 如图，把一个等边三角形的一边紧靠着数轴平移到等边三角形的位置．点B、表示的数分别为b、a，则点A平移的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都有电阻．如图所示，当两个电阻、并联时，总电阻R满足，若，，则的值为（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 6. 学校计划采购一批白色和彩色无尘粉笔，若购买白色无尘粉笔3盒、彩色无尘粉笔2盒，共需34元；若购买白色无尘粉笔2盒、彩色无尘粉笔3盒，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（ ） A 每盒白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔贵2元 B. 白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔多买了2盒 C. 每盒白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔便宜2元 D. 白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔少买了2盒 7. 如图，已知⊙B的半径为2，以圆外一点A为圆心，画半径为4的弧，与⊙B交于C，D两点，并将⊙B截成弧长相等的两部分，则以A为圆心的劣弧CD的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数中，当自变量从变成时，函数值从变成，则当自变量从变成时，函数值的变化情况是（ ） A 从变成 B. 从变成 C. 从变成 D. 从变成 9. 如图，四边形是平行四边形，点N在的延长线上，分别交，于点E，M，某位同学将刻度尺放在上，点E是零刻度，点M，点N在直尺上对应的数分别是2，6，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 10. 如图，将含的三角尺放在平面直角坐标系中，点在轴上，轴，点M为斜边AB的中点．若反比例函数（）的图象经过两点，反比例函数（）的图象经过点，则与满足的等量关系是（ ） A B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 比较大小_____． 12. 将一张对边平行的纸条按如图折叠，若，则的度数为_____． 13. “敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德，小刚、小强计划利用寒假从A，B，C三处养老服务中心中，各自随机选择一处参加志愿服务活动，则两人选择的是不同的养老服务中心的概率是__________． 14. 如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线剪下，已知 ，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是________． 15. 已知二次函数经过两个不同点，，则________． 16. 如图（1），在中，点为其中心，，，动点从点出发，沿运动到点，再从点沿直线运动到上的点设点运动的路程为，的面积为（当点，，共线时，），与的函数关系的图象如图（2）所示，则的长为______ 三、解答题：本大题共8小题，共86分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算： （2）解不等式组： 18. 综合与实践活动中，要用测角仪测量位于河两岸的轮渡船码头之间的距离．如图，在河岸上有两个轮渡码头M，N，其对岸上有一个轮渡码头P，已知，，，河岸互相平行．求河岸之间的距离（结果取整数）参考数据：，，． 19. 某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形图．根据题中已有信息，解答下列问题： 劳动时间t/h 频数 （1）________，________； （2）请将频数分布直方图补充完整； （3）求扇形图中扇形对应圆心角的度数； （4）若该校学生有人，试估计劳动时间在范围的学生人数． 20. 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长等于50，求的长； （2）如图2，在中，，垂直平分线分别交于点E，F．若，求的度数． 21. 丹东是一个充满魅力和历史底蕴的红色城市，吸引全国各地游客前来旅游．某旅行社推出“丹东畅游团”，为确保活动更好地展开，现对“畅游团”定价和报名人数进行调研． 素材1 9月份，报名参加“丹东畅游团”活动的人数有4000人，据分析有增长的趋势，预计11月份的报名人数将达到5760人． 素材2 经过研讨，旅行社初步制定方案为： ①每团60人； ②每人团费1000元． 素材3 在统计游客的反馈后，发现每人团费每下降10元，平均每个团报名的人数会增加1人，但每人团费不低于800元 问题解决 任务1 确定增长率 求从9月份到11月份“丹东畅游团”旅行活动报名人数的平均增长率． 任务2 拟定价格方案 若该旅行社要使平均每个团的总团费为61750元，求下降后每人的团费． 请根据以上素材，完成任务1，2． 22. 【课本再现】 推论 直径所对的圆周角是________． （1）补全课本再现中横线上的内容． 【知识应用】 （2）如图，内接于，D是的直径的延长线上一点，． ①求证：是的切线； ②过圆心O作的平行线交的延长线于点E，若的半径为2，且，求的长度． 23. 已知二次函数（为常数）， （1）当二次函数的图象经过点时，求二次函数的表达式； （2）当时，的最小值为1，求的值； （3）当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线过点，且，请求出的取值范围． 24. 如图1，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 过点P作于点C．根据题意，在图1中画出，并求出的度数． （2）【问题探究】 如图2，点M在线段上，连接，作，交射线于点N，探究与之间的数量关系，并给出证明． （3）【拓展延伸】 点M在的延长线上，连接，作，交射线于点N，射线与射线相交于点E．若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中学业水平考试第一次模拟检测 数学试题 本试题分选择题40分；非选择题110分；全卷满分150分，考试时间为120钟． 一、选择题：本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 火星赤道夏季白天最高温度可达，晚上最低温度可达，则火星赤道最高气温和最低气温相差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数减法运算，解题的关键是掌握有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 求最高气温和最低气温的差值，用最高气温减去最低气温，再根据有理数减法法则计算． 【详解】已知火星赤道夏季白天最高温度是，晚上最低温度是，则温差为． 根据有理数减法法则，． 故选：D． 2. 体育锻炼可以促进中学生生长发育，提升免疫力，预防疾病．下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. ，则“？”是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方运算，先计算等式的右边，得出，进而即可求解． 【详解】解：依题意， 故选：C． 4. 如图，把一个等边三角形的一边紧靠着数轴平移到等边三角形的位置．点B、表示的数分别为b、a，则点A平移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平移的性质，根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果． 【详解】解：∵等边三角形的一边紧靠着数轴平移到等边三角形的位置．点B、表示的数分别为b、a， ∴点A平移的距离为， 故选：B． 5. 电视机、摄像机等电器的电路中有许许多多的元件，它们都有电阻．如图所示，当两个电阻、并联时，总电阻R满足，若，，则的值为（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际运用，根据总电阻R满足，且，，建立分式方程进行求解，即可解题． 【详解】解：总电阻R满足，且，， ， 解得， 经检验是该方程的解， 故选：A． 6. 学校计划采购一批白色和彩色无尘粉笔，若购买白色无尘粉笔3盒、彩色无尘粉笔2盒，共需34元；若购买白色无尘粉笔2盒、彩色无尘粉笔3盒，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（ ） A. 每盒白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔贵2元 B. 白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔多买了2盒 C. 每盒白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔便宜2元 D. 白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔少买了2盒 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接进行求解． 【详解】解：由题意可知设每盒白色无尘粉笔为x元，每盒粉色无尘粉笔为y元，则有“”表示每盒白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔便宜2元； 故选C． 7. 如图，已知⊙B的半径为2，以圆外一点A为圆心，画半径为4的弧，与⊙B交于C，D两点，并将⊙B截成弧长相等的两部分，则以A为圆心的劣弧CD的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的性质、等边三角形判定及弧长公式，解题关键是合理添加辅助线并准确推导角度． 连接、、、、，由弧长相等推出，得 是的直径，算出， 根据 ，判定 是等边三角形，得出， 利用弧长公式求出答案． 【详解】连接、、、、． ∵以为圆心的弧将截成弧长相等的两部分， ∴所对的圆心角． ∴为直径， ∵⊙B的半径为2， ∴， ∵， ∴为等边三角形． ∴． ∴以A为圆心劣弧CD的长度． 故选：C． 8. 已知一次函数中，当自变量从变成时，函数值从变成，则当自变量从变成时，函数值的变化情况是（ ） A. 从变成 B. 从变成 C. 从变成 D. 从变成 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，先根据条件利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数的性质解答即可求解，正确求出一次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，时，；时，， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为， ∵， ∴函数值随的增大而减小， 当时，， ∴当自变量从变成时，函数值的变化情况是从变成， 故选：． 9. 如图，四边形是平行四边形，点N在的延长线上，分别交，于点E，M，某位同学将刻度尺放在上，点E是零刻度，点M，点N在直尺上对应的数分别是2，6，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边的性质和相似三角形的判定和性质，由相似三角形得出对应边成比例是解题的关键．由四边形是平行四边形，可知，，可得，．可得，即，可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ，． ． ． ， ． ． ． ． ，，， ，解得（负数舍去） 故选：C 10. 如图，将含的三角尺放在平面直角坐标系中，点在轴上，轴，点M为斜边AB的中点．若反比例函数（）的图象经过两点，反比例函数（）的图象经过点，则与满足的等量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图形与性质．设，则依题得，由反比例函数（）的图象经过两点得出等量关系，再用表示出即可． 【详解】解：设，则依题得 为的中点 反比例函数（）的图象经过两点 化简得 ， ． 故选：A． 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 比较大小_____． 【答案】##大于 【解析】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，要比较这两个二次根式的大小，只需要比较被开方数的大小即可； 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴, 故答案为：． 12. 将一张对边平行的纸条按如图折叠，若，则的度数为_____． 【答案】130 【解析】 【分析】根据折叠的性质，得，根据平角的定义，得，结合，得到，解答即可． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角的定义，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：根据折叠的性质，得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：130． 13. “敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德，小刚、小强计划利用寒假从A，B，C三处养老服务中心中，各自随机选择一处参加志愿服务活动，则两人选择的是不同的养老服务中心的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法．画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人选择的是不同的养老服务中心的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如图： 共有9种等可能的结果数，其中两人选择的是不同的养老服务中心的结果数为6， ∴两人选择的是不同的养老服务中心的概率， 故答案为：． 14. 如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中虚线剪下，已知 ，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，根据菱形的性质求出对角线的长度，再根据菱形的面积计算公式计算即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，所得四边形的对角线互相垂直且平分， ∴得到的新的四边形为菱形，其边长，为对角线的一半， ∵，， ∴， ∴菱形的对角线长分别为和， ∴它的面积为， 故答案为：． 15. 已知二次函数经过两个不同点，，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，先判定点关于抛物线的对称轴对称，再求解抛物线的对称轴为直线，从而可得答案. 【详解】解：二次函数经过两个不同点，， ∴点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； ∴ 故答案为：0． 16. 如图（1），在中，点为其中心，，，动点从点出发，沿运动到点，再从点沿直线运动到上的点设点运动的路程为，的面积为（当点，，共线时，），与的函数关系的图象如图（2）所示，则的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，过作于，结合题意可得三点共线，由函数图象可得：当时， 可得，当时，动点从点沿直线运动到上的点，此时的面积不变，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于，结合题意可得三点共线， 由函数图象可得：当时，动点从点出发，沿匀速运动到点， ∴， 当时，动点从点沿直线运动到上的点， 此时的面积不变， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，动点问题的函数图象，特殊角的三角函数值的应用，中位线的性质，平行线分线段成比例的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题：本大题共8小题，共86分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）7；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，零次幂、负整数指数幂，绝对值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握运算法则、及一元一次不等式组的解法是解题的关键； （1）分别计算有理数乘方、负整数指数幂，绝对值，最后再计算加减即可求得答案；； （2）利用一元一次不等式组的解法可进行求解． 【详解】解：（1） ； （2） 由①可得： 由②可得：； ∴原不等式组的解集为． 18. 综合与实践活动中，要用测角仪测量位于河两岸的轮渡船码头之间的距离．如图，在河岸上有两个轮渡码头M，N，其对岸上有一个轮渡码头P，已知，，，河岸互相平行．求河岸之间的距离（结果取整数）参考数据：，，． 【答案】河岸之间的距离 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，如图，过点P作于点H．设，根据构建方程求解． 详解】解：如图，过点P作于点H．设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：河岸之间的距离． 19. 某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形图．根据题中已有信息，解答下列问题： 劳动时间t/h 频数 （1）________，________； （2）请将频数分布直方图补充完整； （3）求扇形图中扇形对应的圆心角的度数； （4）若该校学生有人，试估计劳动时间在范围的学生人数． 【答案】（1）； （2）见解析 （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、扇形统计图、求扇形的圆心角、用样本估计总体，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答． （1）利用组的人数除以它所占的百分比得出的值，然后再用分别减去、、组的人数，即可得出的值； （2）根据题意，画图即可； （3）利用乘以组所占的百分比，计算即可得出答案； （4）利用乘以、组所占的百分比的和，计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，补全频数分布直方图如图： 【小问3详解】 解：扇形对应的圆心角的度数； 【小问4详解】 解：劳动时间在范围的学生有：（人）． 20. 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长等于50，求的长； （2）如图2，在中，，的垂直平分线分别交于点E，F．若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理． （1）根据线段垂直平分线性质知，，根据三角形的周长公式即可求解； （2）根据线段垂直平分线性质知，，由等边对等角求得，由三角形的外角性质求得，证得，由等角对等边求得，据此即可证得，利用三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长等于50， ∴，， ， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 21. 丹东是一个充满魅力和历史底蕴的红色城市，吸引全国各地游客前来旅游．某旅行社推出“丹东畅游团”，为确保活动更好地展开，现对“畅游团”定价和报名人数进行调研． 素材1 9月份，报名参加“丹东畅游团”活动的人数有4000人，据分析有增长的趋势，预计11月份的报名人数将达到5760人． 素材2 经过研讨，旅行社初步制定方案为： ①每团60人； ②每人团费1000元． 素材3 在统计游客的反馈后，发现每人团费每下降10元，平均每个团报名的人数会增加1人，但每人团费不低于800元 问题解决 任务1 确定增长率 求从9月份到11月份“丹东畅游团”旅行活动报名人数的平均增长率． 任务2 拟定价格方案 若该旅行社要使平均每个团的总团费为61750元，求下降后每人的团费． 请根据以上素材，完成任务1，2． 【答案】任务一：；任务二：950元 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程的应用——增长率问题和购买问题，解应用题的关键是熟练掌握终止量与起始量和增长次数的关系，总价与单价和数量的关系，列出方程． 任务一：设这两个月报名人数的月平均增长率为x，列方程，解方程即可求解； 任务二：设每人的团费下调a元，根据题意列方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设这两个月报名人数的月平均增长率为x， 由题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． ∴． 答：这两个月报名人数的月平均增长率为． 任务2：设每人的团费下调a元， 由题意，得． 解得，． 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，， 答：下调后每人的团费为950元． 22. 【课本再现】 推论 直径所对的圆周角是________． （1）补全课本再现中横线上的内容． 【知识应用】 （2）如图，内接于，D是的直径的延长线上一点，． ①求证：是的切线； ②过圆心O作的平行线交的延长线于点E，若的半径为2，且，求的长度． 【答案】（1）直角；（2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，正确理解圆周角定理是解决此题的关键． （1）由直径所对的圆周角是直角可得结论； （2）①由等腰三角形的性质与已知条件得出，，由圆周角定理可得，进而得到，即可得出结论； ②设，则，，由勾股定理求出，得，再由平行线分线段成比例定理可得结论． 【详解】解：（1）直径所对的圆周角是直角； 故答案为：直角； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； ②解：设，则，， ∵， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， 解得，（舍去），或， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得，． 23. 已知二次函数（为常数）， （1）当二次函数的图象经过点时，求二次函数的表达式； （2）当时，的最小值为1，求的值； （3）当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线过点，且，请求出的取值范围． 【答案】（1） （2）或． （3） 【解析】 【分析】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数的性质； （1）由二次函数的图象经过点，再建立方程求解即可； （2）分两种情况讨论：如图，当时，此时当时，时，取得最小值，而的最小值为1，当时，如图，当时，此时，函数取得最小值，再建立方程求解即可； （3）先求解平移后的函数解析式为，把代入可得：，可得，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：； ∴二次函数为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，当时，此时当时，时，取得最小值，而的最小值为1， ∴， 解得：， 当时，如图，当时， 此时，函数取得最小值， ∴， 解得：或（舍去） 综上：或． 【小问3详解】 解：当时，抛物线为 把向下平移个单位长度得到新抛物线为， 把代入可得： ， ∴， 当时，的最小值为， ∵， ∴当时，， 当时，， ∵， ∴． 24. 如图1，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 过点P作于点C．根据题意，在图1中画出，并求出的度数． （2）【问题探究】 如图2，点M在线段上，连接，作，交射线于点N，探究与之间的数量关系，并给出证明． （3）【拓展延伸】 点M在的延长线上，连接，作，交射线于点N，射线与射线相交于点E．若，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析， （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据尺规基本作图—作垂线，作出；再利用四边形内角和等于360度求出即可； （2）作于C，证明，得到，再证明，得到，从而得到，然后证明，从而得出结论． （3）证明，得到，从而可证得是等边三角形，得出，再证明，设，则，由（2）知：，，根据勾股定理，再根据，可得，即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：； 证明：如图，作于C， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点P在的平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点P在的平分线上，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点P在的平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由（2）知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查尺规基本作图—作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，证明和是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$