精品解析：2025年吉林省吉林市中考一模数学试题

吉林市2024—2025学年度初中毕业年级第一次阶段性教学质量检测 数 学 本试卷包括三道大题，共22道小题，共8页，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：A． 2. 一般地，在适宜的环境条件下，东北地区普通玉米品种在成熟时，其玉米棒长度在某个范围之间．设该长度为l，下列关于l的说法更合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查长度单位的认识，根据生活常识解答即可． 【详解】解：根据生活常识可知，玉米棒长度在到之间， 故选：B． 3. 下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形关于某点对称．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是 故选：D． 4. 如图是由10个大小相同的正方体积木组合而成的几何体，拿走其中的一个积木后，下列说法错误的是（ ） A. 拿走积木甲后，此几何体的主视图不变 B. 拿走积木乙后，此几何体的左视图不变 C. 拿走积木丙后，此几何体的俯视图不变 D. 拿走积木丁后，此几何体的俯视图面积小于左视图面积 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据从前面看得到的图象是主视图，可得答案． 【详解】解：A、拿走积木甲后，此几何体的主视图有变化，故此选项说法错误，符合题意； B、拿走积木乙后，此几何体的左视图不变，故此选项说法正确，不符合题意； C、拿走积木丙后，此几何体的俯视图不变，故此选项说法正确，不符合题意； D、拿走积木丁后，此几何体的俯视图面积小于左视图面积，正确，不符合题意． 故选：A． 5. 如图，以点B为圆心，适当长度为半径画弧，交于E，F两点，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．线段一定是 的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 中位线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂线的作法即三角形高线的定义．由题意得是线段的垂直平分线，即，由此即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：是线段的垂直平分线，即， ∴线段一定是 的高线， 故选：B． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，将变形为，化简计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项．根据同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变进行计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 某厂加工了一批零件，质检员从中随机抽取10个零件检测了它们的质量（单位：），得到的数据如下：9.97，9.98，9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，10.02．当一个零件质量的范围满足时，评定该零件为一等品．根据以上数据，这10个零件中一等品的个数是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了正负数的实际应用，根据题意，写出10个数据中的一等品，即可得出答案． 【详解】解：∵满足时，评定该零件为一等品， ∴抽取10个零件的一等品有9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，共计7个， 故答案为：7． 9. 如图，，，若，则______． 【答案】36 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补得出，进而解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：36． 10. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸到的小球都是红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，根据题意画出相应的树状图，然后即可求得两次摸球摸到一个红球一个绿球的概率． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有4种等可能性，其中两次摸球摸到的小球都是红球的可能性有1种， ∴两次摸球摸到一个红球一个绿球的概率是， 故答案为：． 11. 吉林市某中学开展师生角色互换活动，学生考老师是该活动的主题之一．美婷同学考老师的问题是：若，，，则的最小值是多少？ 张新老师运用数形结合的方法，画如下草图． 大伟老师运用代数推理法，代入闵可夫斯基不等式： （取等条件…） 董婷老师应用拉格朗日数乘法… 王浩老师应用柯西不等式… … 老师们通过不同方法解出正确答案，有的老师用的方法，学生现阶段可以理解．有的老师用的方法，学生需要步入更高学府，学习更多的数学知识后才能理解．通过这次主题活动，同学们感受到了数学的魅力，对今后学习数学充满了兴趣和渴望． 请问美婷同学考老师的问题的正确答案是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法．利用勾股定理得到，，则，利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，从而得到的最小值； 【详解】解：如图， 在中，，， ， 在中，，， ； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值为5． 故答案为：5． 三、解答题（12－14每小题6分，15－17每小题7分，18－19每小题8分，20－21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：方程两边同乘以，得 解得 检验：将代入知， 所以是原方程的根． 【点睛】本题考查解分式方程，注意分式方程的结果要检验． 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂．先代入特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值，然后根据实数的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 14. 如图，在四边形 中，连接，，，求证：． 【答案】 证明：∵，，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，即可得证． 【详解】略 15. 白鹅产业是舒兰市乡村振兴的优势特色产业和重点项目，近些年发展非常迅猛．敖光来吉林市旅游，看到“舒兰大鹅老香了”广告后，想购买一些鹅货．经询问商家得知：每只熏酱鹅150元，每只烤鹅180元．若敖光在该商家购买熏酱鹅和烤鹅共花费1500元，且购买烤鹅比熏酱鹅多1只，求敖光在该商家购买了几只熏酱鹅和几只烤鹅． 【答案】敖光在该商家购买了4只熏酱鹅，则购买了5只烤鹅． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．敖光在该商家购买了只熏酱鹅，则购买了只烤鹅，根据“购买熏酱鹅和烤鹅共花费1500元”列出一元一次方程，据此即可求解． 【详解】解：敖光在该商家购买了只熏酱鹅，则购买了只烤鹅， 根据题意得 ， 解得：， ， 答：敖光在该商家购买了4只熏酱鹅，则购买了5只烤鹅． 16. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不超过，请通过计算说明该用电器可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】用电器的可变电阻应大于或等于 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，将点代入函数解析式，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式，将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【详解】解：设电流I与电阻R之间的函数表达式为， ∵函数图象过点， ∴， 解得， ∴电流I与电阻R之间的函数表达式为， ∵限制电流不能超过， ∴， 解得， ∴用电器的可变电阻应大于或等于． 17. 科研投入是推动国家创新能力提升与经济长远发展的核心要素．我们抽取2024年亚洲国家科研投入强度（科研投入占GDP的比重）排名前20的数据，将收集的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．2024年亚洲国家科研投入强度排名前20的频数分布直方图如图： （数据分成5组：，，，，） b．科研投入强度在这组的具体数据为2.1，2.2，2.2，2.3，2.3，2.4，2.4． c．2024年亚洲国家科研投入强度排名前20的平均数、众数如下表： 统计量 平均数 众数 科研投入强度 2.5 2.6 根据上述信息，解答下列问题： （1）已知中国科研投入强度为，比2024年亚洲国家科研投入强度排名前20的平均数高______． （2）请计算在2024年亚洲国家科研投入强度排名前20中，科研投入强度在及以上的占比是多少？ （3）下列说法正确的是______（下列选项中，有多项符合题目要求，全部选对得满分，部分选对得部分分，选错或未选得0分）． A．2024年亚洲国家科研投入强度排名前20的多数集中在． B．2024年亚洲国家科研投入强度排名前20的中位数为． C．2024年亚洲至少有三个国家科研投入强度为． D．2024年亚洲某国家科研投入强度为． 【答案】（1） （2） （3）ABC 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图、中位数、众数、平均数． （1）利用减法运算求解即可； （2）科研投入强度在及以上的国家数为个，据此求解即可； （3）根据众数、中位数的定义以及频数分布直方图，回答即可． 【小问1详解】 解：∵中国科研投入强度为，亚洲国家科研投入强度排名前20的平均数为， ∴中国科研投入强度比2024年亚洲国家科研投入强度排名前20的平均数高， 故答案为：； 【小问2详解】 解：排名前20中，科研投入强度在及以上的占比是； 【小问3详解】 解：A、2024年亚洲国家科研投入强度排名前20的多数集中在，说法正确； B、2024年亚洲国家科研投入强度排名前20的中位数为，说法正确； C、2024年亚洲至少有三个国家科研投入强度为，说法正确； D、2024年亚洲科研投入强度没有一个国家达到，原说法错误． 故选：ABC． 18. 如图，坐落于吉林文庙前方的孔子行教像，从与 相距的点D处观测塑像顶部A的仰角，观测塑像底部B的仰角，求塑像的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，在中，利用正切函数求得 ，在中，利用正切函数求得，即可根据求得旗杆的高度． 【详解】解：由已知得，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 答：塑像的高度约为． 19. 如图， 是等腰直角三角形，，，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在 上的速度为每秒个单位长度．过点P作于点D，以为边向右侧作矩形，且．设点P的运动时间为t秒，矩形和 重叠部分图形的面积为S． （1）当点F在 上时， ______． （2）当矩形和 重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数解析式，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质； （1）由 是等腰直角三角形，得到，，，当点F在 上时，由题意得，，则，由矩形，得到，则，据此列方程求解即可； （2）当在上，到 之前时；当在上，到 之后时；当在 上时，三种情况分类讨论，分别画出图形，表示出对应线段的长度，求出当矩形和 重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式即可，注意证明等腰直角三角形． 【小问1详解】 解：∵ 是等腰直角三角形，，， ∴，， 当点F在 上时，由题意得，，则， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当在上，在 上之前，，如图， 此时矩形和 重叠部分的图形为矩形，； 当在上，在 上之后，，如图， 此时矩形和 重叠部分的图形为五边形，不合题意； 当在 上时，如图，设与 交点， 此时矩形和 重叠部分的图形为梯形， 此时由题意可得：，， ∵， ∴，解得， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形和 重叠部分的图形面积； 综上所述，． 20. 【问题背景】古法造纸术是中国古代四大发明之一，其核心工艺含有两个环节，一是蒸煮脱胶，二是自然干燥． 【实验操作】某文化遗产保护小组在研究古法造纸工艺时，记录关键环节数据，旨在通过数学建模揭示温度与时间、湿度与时间的内在联系． 环节一：蒸煮脱胶 将树皮等原料在溶液中蒸煮，记录蒸煮过程中温度与时间的部分数据如下： 时间 0 1 2 3 4 温度 20 30 40 50 60 环节二：自然干燥 纸张成型后需自然干燥，记录干燥过程中湿度与时间的部分数据如下： 时间 0 2 4 6 8 湿度 80 70 60 50 40 【分析数据】 如图1，根据表中T与t的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 如图2，根据表中H与t的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 观察上述各点的分布规律，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映温度T与时间t及湿度H与时间t的函数关系，并求出这两个函数的解析式（不要求写出t的取值范围）． 【问题解决】 古法造纸术的核心工艺要求： ①蒸煮脱胶温度需在以上（包含）至少持续． ②自然干燥环节必须在蒸煮脱胶环节完成后开始，蒸煮脱胶和自然干燥总时间为． ③自然干燥后的纸张湿度需低于． 根据核心工艺要求，求蒸煮脱胶环节的最短时间，并验证自然干燥环节是否满足湿度要求． 【答案】建立模型：都是， ， 问题解决：蒸煮脱胶环节的最短时间，自然干燥环节满足湿度要求 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用； 建立模型：观察上述各点的分布规律，两个图的点都近似在一条直线上，故都是，然后根据待定系数法求解即可； 问题解决：根据古法造纸术的三条核心工艺要求求解即可． 【详解】解：建立模型：观察上述各点的分布规律，能近似的反映温度T与时间t及湿度H与时间t的函数关系都是， 设，当时，；当时，； ∴，解得， ∴温度T与时间t函数关系； 设，当时，；当时，； ∴，解得， ∴温度T与时间t函数关系； 问题解决：当时，解得， ∵蒸煮脱胶温度需在以上（包含）至少持续， ∴蒸煮脱胶环节的最短时间； ∵自然干燥环节必须在蒸煮脱胶环节完成后开始，蒸煮脱胶和自然干燥总时间为， ∴自然干燥时间为， 当时，， ∴自然干燥环节满足湿度要求． 21. 图1、图2、图3均是7×7的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，经过格点A，B、C． （1）操作： 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法． 步骤一：在图1、图2、图3中画出圆心O．（直接点出即可） 步骤二：在图1中画的切线． 步骤三：图2中，点D为与网格线的交点，在上画点F，使F是的中点． （2）探究： ①求的长度（结果保留π）． ②图3中，点P，Q、M均在格点上，连接与交于点N，连接．直接写出的长． 【答案】（1） 圆心O，切线，使F是的中点，如图所示： （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查圆与网格作图，勾股定理与网格，求弧长； （1）步骤一：在图1、图2、图3中连接 ，则 中点即为圆心O． 步骤二：取圆心右边4格的格点，则，，此时，即为的切线． 步骤三：图2中，连接，根据 和 竖直方向距离2格得到与中间横线的交点即为线段中点，连接并延长与交点即为，根据垂径定理可得F是的中点． （2）①由图2可得，是等腰直角三角形，则， ，根据F是的中点得到，再求出半径，即可求出的长度； ②连接，则 、 、三点共线，设与交于点，连接，先证明为等腰直角三角形，再在中求出，最后在中求出． 【小问1详解】 解：圆心O，切线，使F是的中点，如图所示： 【小问2详解】 解：①由图2可得，是等腰直角三角形，则， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵半径， ∴的长度为； ②连接，则 、 、三点共线，设与交于点，连接， 由图可得，，，， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，抛物线（c是常数）经过点．点P在x轴上，其横坐标为m（）．点O为坐标原点，以为一组邻边作矩形，将矩形绕点P顺时针旋转得到矩形． （1）求此抛物线的解析式． （2）①当时，点的坐标为______；当时，点的坐标为______． ②当点落在抛物线上时，求m的值． （3）当线段与抛物线有公共点时，直接写出m的取值范围． （4）当抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为时，直接写出m的值． 【答案】（1）； （2）①；；②； （3）或； （4）m的值为或或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由旋转的性质知，得到，①当时，求得；当时，求得； ②将代入，解方程即可求解； （3）由在抛物线上求得；在抛物线上求得或，再分当和时，两种情况讨论，画出图形，数形结合即可求解； （4）先求得直线与抛物线的交点为，直线与抛物线的交点为，再分四种情况讨论，画出图形，数形结合，解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①由旋转的性质知，，∴，， 当时，； 当时，； 故答案为：；； ②由题意得在抛物线上， ∴，即， 解得； 【小问3详解】 解：由（2）得在抛物线上时，； 当在抛物线上时， 解得或， 当时，如图， 当线段与抛物线有公共点时，m的取值范围为； 当时，如图， 当线段与抛物线有公共点时，m的取值范围为； 综上，当线段与抛物线有公共点时，m的取值范围为或； 【小问4详解】 解：当时，， 当时，， ∴直线与抛物线的交点为，直线与抛物线的交点为， 如图，当线段与抛物线在第一象限有公共点时， 由题意得， 解得或（舍去）； 如图，当线段与抛物线在第一象限没有公共点时， 由题意得， 解得或（舍去）； 如图，当线段与抛物线在第三象限没有公共点时， 由题意得， 解得或（舍去）； 如图，当线段与抛物线在第三象限有公共点时， 由题意得， 解得或（舍去）； 综上，m的值为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合题、旋转的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市2024—2025学年度初中毕业年级第一次阶段性教学质量检测 数 学 本试卷包括三道大题，共22道小题，共8页，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 一般地，在适宜的环境条件下，东北地区普通玉米品种在成熟时，其玉米棒长度在某个范围之间．设该长度为l，下列关于l的说法更合理的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O中心对称的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由10个大小相同的正方体积木组合而成的几何体，拿走其中的一个积木后，下列说法错误的是（ ） A. 拿走积木甲后，此几何体的主视图不变 B. 拿走积木乙后，此几何体的左视图不变 C. 拿走积木丙后，此几何体的俯视图不变 D. 拿走积木丁后，此几何体的俯视图面积小于左视图面积 5. 如图，以点B为圆心，适当长度为半径画弧，交于E，F两点，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．线段一定是的（ ） A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 中位线 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：______． 8. 某厂加工了一批零件，质检员从中随机抽取10个零件检测了它们的质量（单位：），得到的数据如下：9.97，9.98，9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，10.02．当一个零件质量的范围满足时，评定该零件为一等品．根据以上数据，这10个零件中一等品的个数是______． 9. 如图，，，若，则______． 10. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸到的小球都是红球的概率是______． 11. 吉林市某中学开展师生角色互换活动，学生考老师是该活动的主题之一．美婷同学考老师的问题是：若，，，则的最小值是多少？ 张新老师运用数形结合的方法，画如下草图． 大伟老师运用代数推理法，代入闵可夫斯基不等式： （取等条件…） 董婷老师应用拉格朗日数乘法… 王浩老师应用柯西不等式… … 老师们通过不同方法解出正确答案，有的老师用的方法，学生现阶段可以理解．有的老师用的方法，学生需要步入更高学府，学习更多的数学知识后才能理解．通过这次主题活动，同学们感受到了数学的魅力，对今后学习数学充满了兴趣和渴望． 请问美婷同学考老师的问题的正确答案是______． 三、解答题（12－14每小题6分，15－17每小题7分，18－19每小题8分，20－21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 解方程：． 13. 计算：． 14. 如图，在四边形中，连接，，，求证：． 15. 白鹅产业是舒兰市乡村振兴的优势特色产业和重点项目，近些年发展非常迅猛．敖光来吉林市旅游，看到“舒兰大鹅老香了”广告后，想购买一些鹅货．经询问商家得知：每只熏酱鹅150元，每只烤鹅180元．若敖光在该商家购买熏酱鹅和烤鹅共花费1500元，且购买烤鹅比熏酱鹅多1只，求敖光在该商家购买了几只熏酱鹅和几只烤鹅． 16. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不超过，请通过计算说明该用电器可变电阻应控制在什么范围？ 17. 科研投入是推动国家创新能力提升与经济长远发展的核心要素．我们抽取2024年亚洲国家科研投入强度（科研投入占GDP的比重）排名前20的数据，将收集的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．2024年亚洲国家科研投入强度排名前20的频数分布直方图如图： （数据分成5组：，，，，） b．科研投入强度在这组的具体数据为2.1，2.2，2.2，2.3，2.3，2.4，2.4． c．2024年亚洲国家科研投入强度排名前20的平均数、众数如下表： 统计量 平均数 众数 科研投入强度 2.5 2.6 根据上述信息，解答下列问题： （1）已知中国科研投入强度为，比2024年亚洲国家科研投入强度排名前20的平均数高______． （2）请计算在2024年亚洲国家科研投入强度排名前20中，科研投入强度在及以上的占比是多少？ （3）下列说法正确的是______（下列选项中，有多项符合题目要求，全部选对得满分，部分选对得部分分，选错或未选得0分）． A．2024年亚洲国家科研投入强度排名前20的多数集中在． B．2024年亚洲国家科研投入强度排名前20的中位数为． C．2024年亚洲至少有三个国家科研投入强度为． D．2024年亚洲某国家科研投入强度为． 18. 如图，坐落于吉林文庙前方的孔子行教像，从与相距的点D处观测塑像顶部A的仰角，观测塑像底部B的仰角，求塑像的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，，） 19. 如图，是等腰直角三角形，，，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．过点P作于点D，以为边向右侧作矩形，且．设点P的运动时间为t秒，矩形和重叠部分图形的面积为S． （1）当点F在上时， ______． （2）当矩形和重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 20. 【问题背景】古法造纸术是中国古代四大发明之一，其核心工艺含有两个环节，一是蒸煮脱胶，二是自然干燥． 【实验操作】某文化遗产保护小组在研究古法造纸工艺时，记录关键环节数据，旨在通过数学建模揭示温度与时间、湿度与时间的内在联系． 环节一：蒸煮脱胶 将树皮等原料在溶液中蒸煮，记录蒸煮过程中温度与时间的部分数据如下： 时间 0 1 2 3 4 温度 20 30 40 50 60 环节二：自然干燥 纸张成型后需自然干燥，记录干燥过程中湿度与时间的部分数据如下： 时间 0 2 4 6 8 湿度 80 70 60 50 40 【分析数据】 如图1，根据表中T与t的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 如图2，根据表中H与t的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 观察上述各点的分布规律，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映温度T与时间t及湿度H与时间t的函数关系，并求出这两个函数的解析式（不要求写出t的取值范围）． 【问题解决】 古法造纸术的核心工艺要求： ①蒸煮脱胶温度需在以上（包含）至少持续． ②自然干燥环节必须在蒸煮脱胶环节完成后开始，蒸煮脱胶和自然干燥总时间为． ③自然干燥后的纸张湿度需低于． 根据核心工艺要求，求蒸煮脱胶环节的最短时间，并验证自然干燥环节是否满足湿度要求． 21. 图1、图2、图3均是7×7的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，经过格点A，B、C． （1）操作： 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法． 步骤一：在图1、图2、图3中画出圆心O．（直接点出即可） 步骤二：在图1中画的切线． 步骤三：图2中，点D为与网格线的交点，在上画点F，使F是的中点． （2）探究： ①求的长度（结果保留π）． ②图3中，点P，Q、M均在格点上，连接与交于点N，连接．直接写出的长． 22. 如图，抛物线（c是常数）经过点．点P在x轴上，其横坐标为m（）．点O为坐标原点，以为一组邻边作矩形，将矩形绕点P顺时针旋转得到矩形． （1）求此抛物线的解析式． （2）①当时，点的坐标为______；当时，点的坐标为______． ②当点落在抛物线上时，求m的值． （3）当线段与抛物线有公共点时，直接写出m的取值范围． （4）当抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $