第9章 复数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第二册）

第9章 复数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．（江苏省连云港市2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试题）在复平面内，复数的模为 . 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知复数，则的虚部为 . 3．（24-25高三上·天津北辰·期末）是虚数单位，复数 . 4．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）设复数 满足 ( 为虚数单位)，则 . 5．（2024·云南·一模）已知复数，则的虚部为 . 6．（24-25高三上·天津和平·期末）设是虚数单位，复数，则对应的点位于第 象限 7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为 . 8．（24-25高三上·湖南郴州·期末）若，则 . 9．（2024·上海徐汇·一模）已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 10．（24-25高三上·天津滨海新·期中）i是虚教单位，若复数是纯虚数，则 ． 11．（24-25高二上·广东广州·阶段练习），，并且，则的取值范围为 . 12．（24-25高三上·上海·期中）设为正整数.若存在复数，满足且，则的最小值为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且 只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．（北京市昌平区2024-2025学年高三上学期期末质量抽测数学试卷）若复数满足，则在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）已知，是虚数单位，，则（    ） A．2 B． C． D．1 15．（山东省潍坊市普通高中2025届高三上学期学科素养能力测评数学试题）设复数，满足，，则（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高三上·江苏·阶段练习）设，，其中为虚数单位，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）. （24-25高一下·全国·课前预习）已知是方程（b，c为实数）的一个根． (1)求b，c的值； (2)试判断是不是方程的根． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）. （24-25高二上·云南昭通·期中）已知复数. (1)求复数的模； (2)若，求，的值. 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题8分）. （24-25高三上·上海·期中）已知复数其中. (1)设，若是纯虚数，求实数的值； (2)设，分别记复数，在复平面上对应的点为、，求与的夹角大小. 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. （23-24高一下·北京大兴·期中）已知复数（为虚数单位）． (1)若是纯虚数，求； (2)若，求的值； (3)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. （2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 复数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．（江苏省连云港市2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试题）在复平面内，复数的模为 . 【答案】 【知识点】求复数的模 【分析】根据复数的模长公式即可求解. 【详解】的模为， 故答案为： 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知复数，则的虚部为 . 【答案】20 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方 【分析】先利用复数的乘方运算求出，再结合复数虚部的定义求解即可. 【详解】因为， 所以的虚部为20. 故答案为：20. 3．（24-25高三上·天津北辰·期末）是虚数单位，复数 . 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】根据复数的运算直接求解即可. 【详解】. 故答案为： 4．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）设复数 满足 ( 为虚数单位)，则 . 【答案】 【知识点】复数的除法运算 【分析】根据复数的除法法则即可得结果. 【详解】由复数的运算法则得 故答案为： 5．（2024·云南·一模）已知复数，则的虚部为 . 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先应用复数乘法得出，再应用共轭复数定义得出虚部. 【详解】由题意可得，所以，故的虚部为. 故答案为：. 6．（24-25高三上·天津和平·期末）设是虚数单位，复数，则对应的点位于第 象限 【答案】二 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数除法运算法则求的代数形式，结合复数的几何意义确定其对应的点所在象限. 【详解】， 所以对应的点的坐标为， 所以对应的点位于第二象限. 故答案为：二. 7．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为 . 【答案】0 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算 【分析】先将整理为的形式，再令实部为0，虚部不为0求解即可. 【详解】由题，, 因为是纯虚数，所以且，解得. 故答案为：0 8．（24-25高三上·湖南郴州·期末）若，则 . 【答案】16 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方 【分析】根据复数的乘法运算及复数相等求解. 【详解】因为， 所以，， 故答案为：16 9．（2024·上海徐汇·一模）已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设，由复数的减法与共轭复数的概念可得，结合复数的乘方运算性质、复数的乘法法则、复数的模长即可得求解的值. 【详解】设， 则， 所以， 因为， 所以， 则. 故答案为：. 10．（24-25高三上·天津滨海新·期中）i是虚教单位，若复数是纯虚数，则 ． 【答案】1 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】利用复数除法运算化简复数，根据复数是纯虚数求出的值，即可得到复数的模. 【详解】由题意得，. ∵是纯虚数，∴，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 11．（24-25高二上·广东广州·阶段练习），，并且，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、复数的相等 【分析】由复数相等的条件表示出，再结合二次函数和正弦函数的性质求出范围即可； 【详解】由题意可得，， 所以， 因为， 所以当时，最大值为3；当时，最小值为， 所以的取值范围为， 故答案为：. 12．（24-25高三上·上海·期中）设为正整数.若存在复数，满足且，则的最小值为 . 【答案】3 【知识点】由复数模求参数、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】设，，然后代入中化简可求出，再由结合为正整数可求得答案. 【详解】不妨设，， 因为，所以， 所以， 所以， 整理得，解得， 因为，所以，或 ①当时，则， 或时不满足上式，满足上式，即n最小值为3， ②当，则， 或时不满足上式，满足上式，即n最小值为3， 综上可知. 故答案为：3 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且 只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．（北京市昌平区2024-2025学年高三上学期期末质量抽测数学试卷）若复数满足，则在复平面内，复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算 【分析】先求复数，再根据复数几何意义得点坐标. 【详解】∵，∴. ∴在复平面内，复数对应的点的坐标是. 故选：A. 14．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）已知，是虚数单位，，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算、复数的分类可得答案. 【详解】， 因为， 所以，解得. 故选：A. 15．（山东省潍坊市普通高中2025届高三上学期学科素养能力测评数学试题）设复数，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的向量表示 【分析】利用复数的几何意义及向量运算可求解答案. 【详解】设复数，在复平面内对应的点为，则由题意, 因为，所以，即为正三角形，其高线长为； . 故选：C 16．（24-25高三上·江苏·阶段练习）设，，其中为虚数单位，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】首先根据复数代数形式的运算化简，再求出，令求出相应的的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，整理得，解得或； 因为是或的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）. （24-25高一下·全国·课前预习）已知是方程（b，c为实数）的一个根． (1)求b，c的值； (2)试判断是不是方程的根． 【答案】(1)； (2)是方程的根. 【知识点】复数的相等、复数的乘方、复数范围内方程的根 【分析】（1）利用方程根的定义，结合复数相等求出. （2）把代入方程，计算判断方程成立. 【详解】（1）由是方程的根，得，即， 而b，c为实数，，解得， 所以. （2）由（1）知方程为， 把代入方程左边，得，因此方程成立， 所以是方程的根． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）. （24-25高二上·云南昭通·期中）已知复数. (1)求复数的模； (2)若，求，的值. 【答案】(1) (2)， 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】（1）先利用复数除法化简题给复数，进而求得复数的模； （2）利用复数相等列出关于，的方程组，解之即可求得，的值. 【详解】（1）， . （2）， 又， ，解得，. 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题8分）. （24-25高三上·上海·期中）已知复数其中. (1)设，若是纯虚数，求实数的值； (2)设，分别记复数，在复平面上对应的点为、，求与的夹角大小. 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的计算、已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方 【分析】（1）由已知可得，根据是纯虚数即可求解； （2）当时求解，，可得复平面上对应的点、的坐标，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）， 由是纯虚数，所以， 所以； （2）当时，，所以， 所以，， 所以，， ， 所以与的夹角为. 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. （23-24高一下·北京大兴·期中）已知复数（为虚数单位）． (1)若是纯虚数，求； (2)若，求的值； (3)若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知复数的类型求参数、由复数模求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）由复数的乘法运算得到，再由纯虚数解出的值，从而得到； （2）由得到和，从而，解出的值； （3）由得到，对应的点为，由点在第二象限解不等式得到的取值范围. 【详解】（1）， 因为是纯虚数，所以，解得， 所以. （2）因为，所以，，解得. （3）因为，所以，则在复平面上对应的点为， 因为位于第二象限，所以，解得， 所以的取值范围为. 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. （2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)， 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、复数综合 【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数值域即可求解. 【详解】（1）设， ，，且， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， ； （3），设， 则， ，， . / 学科网（北京）股份有限公司 $$