9.3 实系数一元二次方程（八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

9.3 实系数一元二次方程 题型一 实数的平方根 1．28的平方根为 ；的平方根为 . 2．已知复数x满足方程，那么 . 3．求下列复数的平方根： (1)； (2)–3. 4．复数的平方根是 . 题型二 一元二次方程的根 5．一元二次方程（a、b、且）. （1）当时，方程 实根，为 ； （2）当时，方程 实根，为 ； （3）当时，方程 实根. 6．方程的根为 . 题型三 在复数范围内因式分解 7．在复数范围内因式分解： ． 8．在复数范围内分解因式： ． 9．在复数范围内分解因式： . 10．在复数范围内分解因式： ． 题型四 根据实系数一元二次方程的一个复数根求参数 11．若是关于的实系数方程的一个复数根，则 . 12．是实系数一元二次方程的一个根，则 . 13．已知复数是实系数二次方程的一根，则b= . 14．若是实系数一元二次方程的一个根，则 ． 15．若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ． 16．已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 题型五 根据实系数一元二次方程的解的情况求参数 17．若关于x的方程有纯虚数根，则实数t的值为 ． 18．若关于的一元二次方程有虚根，则实数的取值范围是 . 19．已知关于x的方程有实数根，则复数z的模的最小值为 题型六 其他根的情况综合 20．已知关于的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点为，则这个方程可以为（    ） A． B． C． D． 21．若关于的方程有一实根，则 ． 22．已知关于x的实系数方程的两虚根为、，则的取值范围是 ． 23．已知关于的实系数一元二次方程有两个根、，且，则满足条件的实数的值为 . 24．设关于x的实系数一元二次方程在复数集中的两个根为､，则下列结论中恒成立的是（    ）. A．和互为共轭复数 B．， C． D． 题型七 判断实系数一元二次方程根的情况 25．二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根，一个虚数根 C．有一对共轭虚数根 D．有两个虚数根 26．“”是“关于的方程有虚根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 27．若，则方程（    ） A．可能有两个实根 B．可能有一个实根一个虚根 C．可能有一对共轭虚根 D．不可能有两个虚根 28．设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（    ） A．只有纯虚数根 B．只有实数根 C．有两个实数根，两个纯虚数根 D．既没有实数根，也没有纯虚数根 题型八 解答综合题 29．（1）已知方程有一个根为，求实数k的值. （2）已知方程有一个根为，求复数k的值. 30．设复数满足： (1)若，求与． (2)若是实系数一元二次方程的两个根，求实数的值． 31．已知关于x的方程（）的两根为、，求实数m的值. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. 32．设，关于x的一元二次方程的两根为、． (1)若、为虚数，满足且，求和m的值； (2)若，求m的值． 33．已知关于x的实系数一元二次方程. (1)若复数z是该方程的一个虚根，且，求m的值； (2)记方程的两根为和，若，求m的值. 34．已知一元二次方程． (1)在复数范围内解该方程； (2)设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示） 一、填空题 1．已知顶点的直角坐标分别为，，，若虚数是实系数一元二次方程的根，且是钝角，则实数b的取值范围是 ． 2．设集合，，，其中，为实系数方程的根，则中所有元素之和为 ． 二、单选题 3．设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（    ） A．只有纯虚数根 B．只有实数根 C．有两个实数根，两个纯虚数根 D．既没有实数根，也没有纯虚数根 4．已知复数﹑满足，复数满足或者，且对任意成立，则正整数n的最大值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 三、解答题 5．已知复数，（，i是虚数单位） (1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值. 6．设复数，满足． （1）若，满足，求，； （2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求的值； （3）若，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.3 实系数一元二次方程 题型一 实数的平方根 1．28的平方根为 ；的平方根为 . 【答案】 【分析】利用平方根的定义求解即得. 【解析】令是28的平方根，则，而，于是， 所以28的平方根为； 令为的平方根，则，而，于是， 所以的平方根为. 故答案为：； 2．已知复数x满足方程，那么 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程的复数根的形式运算求解. 【解析】因为，则. 故答案为：. 3．求下列复数的平方根： (1)； (2)–3. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）设的平方根为，化简关系式，结合复数相等即可求解； （2）设–3的平方根为（），化简关系式，结合复数相等即可求解. 【解析】（1）设的平方根为（），则，∴ ∴，即或–4（舍去）. ∴或 ∴的平方根是或. （2）设–3的平方根为（）， 则，即， ∴解得或 ∴–3的平方根为或. 4．复数的平方根是 . 【答案】 【分析】设复数的平方根是结合复数的乘方运算以及复数相等的条件得，解方程即可求出结果. 【解析】设复数的平方根是，所以，即，由复数相等得，解得或，所以或， 故答案为：. 题型二 一元二次方程的根 5．一元二次方程（a、b、且）. （1）当时，方程 实根，为 ； （2）当时，方程 实根，为 ； （3）当时，方程 实根. 【答案】 有两个不相等的 有两个相等的 没有 【分析】略 【解析】略 6．方程的根为 . 【答案】 【分析】配方，直接求解即可. 【解析】由配方可得，，所以， 故， 故答案为：. 题型三 在复数范围内因式分解 7．在复数范围内因式分解： ． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合求根公式和复数的概念，即可求解． 【解析】令， ，由求根公式可知，， 故． 故答案为：． 8．在复数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】配方后，再根据，利用平方差公式求解即可. 【解析】 . 故答案为： 9．在复数范围内分解因式： . 【答案】 【分析】先利用立方差公式分解因式，再求出虚数根代入因式中即可. 【解析】 令，由求根公式可得：， 故. 故答案为：. 10．在复数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】首先分解为，再在复数范围内分解因式. 【解析】 故答案为： 题型四 根据实系数一元二次方程的一个复数根求参数 11．若是关于的实系数方程的一个复数根，则 . 【答案】 【分析】根据实系数方程虚根成对出现得另一根，再结合韦达定理求得结果. 【解析】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 因此 故答案为： 12．是实系数一元二次方程的一个根，则 . 【答案】26 【分析】由是实系数一元二次方程的一个根，代入求解即可. 【解析】将代入方程得：， 整理得： ，故解得， 故答案为：26. 13．已知复数是实系数二次方程的一根，则b= . 【答案】 【分析】由韦达定理、复数四则运算即可直接运算求解. 【解析】由二次方程求根公式可知虚根是成对出现的，故都是方程的解， 所以,. 故答案为：. 14．若是实系数一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】将代入方程可得，即可求出. 【解析】因为是实系数一元二次方程的一个根， 所以，即， 整理得， 所以，解得，则. 故答案为：. 15．若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ． 【答案】4 【分析】设关于的方程的两根虚根为，则且，即可求出的值，再代入检验. 【解析】设关于的方程的两根虚根为，则且， 所以，又，所以， 当时，，所以关于的方程有两个不相等实数根，不符合题意； 当时，，所以关于的方程有两个虚根，符合题意； 所以. 故答案为： 16．已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】由是关于的方程的一个根，则是关于的方程的一个根，结合根与系数的关系求解即可. 【解析】由是关于的方程的一个根， 则是关于的方程的一个根， 则，， 即，，则， 故选：D. 题型五 根据实系数一元二次方程的解的情况求参数 17．若关于x的方程有纯虚数根，则实数t的值为 ． 【答案】2 【分析】设(且)为方程的根，代入方程，根据复数的概念即可列式求解. 【解析】设(且)为方程的根， 则 . 故答案为：2. 18．若关于的一元二次方程有虚根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知得判别式，解不等式即可得解. 【解析】因为关于的一元二次方程有虚根， ，解得 所以实数的取值范围是 故答案为： 【点睛】结论点睛：若关于的一元二次方程有实根，则；若关于的一元二次方程有虚根，则；考查学生的逻辑推理能力，属于基础题. 19．已知关于x的方程有实数根，则复数z的模的最小值为 【答案】 【分析】根据题意可得，将复数z写成的形式，即可得，利用基本不等式即可求得其最小值为. 【解析】由可得， 显然不是方程的实数根，所以，即； 若关于x的方程有实数根，则，， 即复数z的实部为，虚部为， 所以复数z的模， 利用基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，即； 所以复数z的模的最小值为. 故答案为： 题型六 其他根的情况综合 20．已知关于的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点为，则这个方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由实系数一元二次方程虚根的性质可得，，再由韦达定理即可得解. 【解析】由题意，该方程的一个根为， 则该方程的另一个根， 由，可得方程可以为. 故选：A. 21．若关于的方程有一实根，则 ． 【答案】 【分析】为方程的根，则将代入方程成立，利用复数为0时实部为0虚部也为0计算的值，代入所求，结合复数的四则运算计算结果. 【解析】解：方程有一实根， 则，即 则，即 所以. 故答案为：. 22．已知关于x的实系数方程的两虚根为、，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据求出m的范围，设，，，结合韦达定理求出范围，从而可求出的范围． 【解析】∵关于x的实系数方程的两虚根为、， ∴，即， 设，，， 则， ， ∵，所以根据二次函数性质可知， ∴. 故答案为：. 23．已知关于的实系数一元二次方程有两个根、，且，则满足条件的实数的值为 . 【答案】或 【分析】分、两种情况讨论，在第一种情况下，利用韦达定理可求得的值；在第二种情况下，求出、的值，结合复数的模长公式可求得实数.综合可得出实数的值. 【解析】分以下两种情况讨论： （1）当时，即当时，由韦达定理可得，， ； （2）当时，即当时， 由可得，解得，， ，解得. 综上所述，或. 故答案为：或. 24．设关于x的实系数一元二次方程在复数集中的两个根为､，则下列结论中恒成立的是（    ）. A．和互为共轭复数 B．， C． D． 【答案】B 【分析】关于实数系一元二次方程根与系数的关系，选项B正确，选项C中，所以不正确，选项A两个复数根不一定是共轭复数.选项D当两根均为虚根，不成立. 【解析】两根为不相等实数时，选项A两个复数根不是共轭复数.实数系一元二次方程根与系数的关系，选项B正确，选项C中两根为虚数时，所以不正确.若两根均为虚根，选项D不成立. 故选：B. 题型七 判断实系数一元二次方程根的情况 25．二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根，一个虚数根 C．有一对共轭虚数根 D．有两个虚数根 【答案】D 【分析】设方程的根为，带入方程利用复数相等解出，可判断根的情况. 【解析】解：设方程的根为，则有， 即，即 ，解得：，所以方程的根为或. 故选：D. 26．“”是“关于的方程有虚根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可 【解析】解：当时，关于的方程有两个相等的实根， 当关于的方程有虚根时，成立， 所以“”是“关于的方程有虚根”的必要不充分条件， 故选：B 27．若，则方程（    ） A．可能有两个实根 B．可能有一个实根一个虚根 C．可能有一对共轭虚根 D．不可能有两个虚根 【答案】B 【分析】设出方程的根，写出韦达定理，根据韦达定理判断两根是实数还是虚数. 【解析】设是方程的两根， 根据韦达定理，得，， 因为两个实数的乘积仍然是实数，所以不可能是两个实根，选项A错误； 因为两个互为共轭复数的乘积是一个实数，所以也不可能是一对共轭虚根，选项C错误； 这个方程可能有一个实根和一个虚根，也可能是两个虚根，所以选项B正确，选项D错误. 故选：B. 28．设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（    ） A．只有纯虚数根 B．只有实数根 C．有两个实数根，两个纯虚数根 D．既没有实数根，也没有纯虚数根 【答案】D 【分析】根据题意假设是方程的根，进而代入得，同号，再求得，即可判断求得答案. 【解析】解：因为关于x的方程有纯虚数根，不妨设为， 所以，即， 所以，所以，同号， 所以， 所以， 令，所以，即 因为， 所以， 所以不可能为纯虚数，也不可能为实数， 所以关于x的方程既没有实数根，也没有纯虚数根 故选：D 题型八 解答综合题 29．（1）已知方程有一个根为，求实数k的值. （2）已知方程有一个根为，求复数k的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）把根代入方程计算解出实数k的值； （2）设（a、），方程转化为，把代入方程，整理得，根据复数相等计算得出，从而得复数. 【解析】（1）把代入方程，得， 整理得，解得. （2）设（a、），则方程化为. 把代入方程，得， 整理得， 所以解得 所以复数. 30．设复数满足： (1)若，求与． (2)若是实系数一元二次方程的两个根，求实数的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先设，代入运算即可； （2）由题意可设，则，代入运算即可. 【解析】（1）设，由得到， 因为， 则， 整理得， 可得，解得或， 所以或； （2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根， 则，且，互为共轭复数， 设，则，可得，， 因为，即 解得或， 所以或. 31．已知关于x的方程（）的两根为、，求实数m的值. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. 【答案】(1)-2或； (2)-2或. 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的根的系数关系计算求参； （2）根据实系数一元二次方程的根的系数关系计算求参. 【解析】（1）若、为实数， 则，即. 由韦达定理可得 所以， 解得，符合题意. 若、为虚数，则，即. 由韦达定理可得 设，，a、且， 则，解得. 因为，所以， 所以，符合题意. 综上，m的值为-2或. （2）①当、为实数，即时， ，即，所以，所以. 当时无解；当时，. ②当、为一对共轭虚数，即时，. 由，可知|， 则. 综上，m的值为-2或. 【点睛】方法点睛：分类讨论根据实系数一元二次方程的根为实数或一对共轭虚数分别计算求参. 32．设，关于x的一元二次方程的两根为、． (1)若、为虚数，满足且，求和m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据题意，设两虚根分别为，其中，因为，求得，得到，进而求得的值； （2）根据题意，分两个实根和两个虚根，两种情况讨论，利用韦达定理和虚根的性质，结合，列出方程，即可求解. 【解析】（1）由题意可知：关于的实系数一元二次方程的两个虚根为､，可得，解得， 因为，可设两虚根分别为，其中， 又因为，可得，解得， 即，， 所以. （2）由关于的实系数一元二次方程的两根为､， （ⅰ）若方程有两个实根､，则，可得，且， ①若，可知，则，不合题意； ②若，则异号，则，解得； （ⅱ）若方程有两个虚根，则，可得， 设为，不妨设，则，可得，解得， 即，所以； 综上可得，实数的值为或. 33．已知关于x的实系数一元二次方程. (1)若复数z是该方程的一个虚根，且，求m的值； (2)记方程的两根为和，若，求m的值. 【答案】(1)－2 (2)或 【分析】（1）利用，结合韦达定理可求解. （2）分讨论方程的两根为实根还是虚数根两种情况讨论，结合韦达定理可求解. 【解析】（1）解：因为，所以，因为，所以， 所以，由韦达定理可得，所以； （2）解：若方程的两根为实数根，则， 解得， 若方程的两根为虚数根，则设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以， 此时，满足题意， 综上，或 34．已知一元二次方程． (1)在复数范围内解该方程； (2)设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）由（1）可得，，再根据夹角公式求出，即可得解. 【解析】（1）因为，所以， 所以方程有一对虚数根，设为、， 又， 解得，． （2）由（1）可得，， 所以， 所以与夹角的大小为． 一、填空题 1．已知顶点的直角坐标分别为，，，若虚数是实系数一元二次方程的根，且是钝角，则实数b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件求出的值，然后由可得答案，注意排除共线的情况. 【解析】由已知，虚数也是实系数一元二次方程的根， 所以，解得，， 则、的坐标为，， 所以，，因是钝角，故，解得， 又当，共线时有，即． 所以的取值范围是． 故答案为： 2．设集合，，，其中，为实系数方程的根，则中所有元素之和为 ． 【答案】 【分析】由复数根的性质及根与系数关系得到的所有可能值，并求出，从而得到中所有元素之和. 【解析】由题设，，对应， 由与为方程两根，由根与系数的关系知，或或或， 所以，故 中所有元素之和为. 故答案为： 二、单选题 3．设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（    ） A．只有纯虚数根 B．只有实数根 C．有两个实数根，两个纯虚数根 D．既没有实数根，也没有纯虚数根 【答案】D 【分析】根据题意假设是方程的根，进而代入得，同号，再求得，即可判断求得答案. 【解析】解：因为关于x的方程有纯虚数根，不妨设为， 所以，即， 所以，所以，同号， 所以， 所以， 令，所以，即 因为， 所以， 所以不可能为纯虚数，也不可能为实数， 所以关于x的方程既没有实数根，也没有纯虚数根 故选：D 4．已知复数﹑满足，复数满足或者，且对任意成立，则正整数n的最大值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】用向量表示，根据题意，可得，因为或者，根据其几何意义可得的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n，数形结合，即可得答案. 【解析】用向量表示， 因为，所以， 又满足或者， 则可表示以O为起点，终点在以A为圆心，半径为r的圆上的向量，或终点在以B为圆心，半径为r的圆上的向量，则终点可能的个数即为n， 因为，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为， 如图所示，则最多有10个可能的终点，即n=10. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题. 三、解答题 5．已知复数，（，i是虚数单位） (1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先利用复数减法运算化简复数，再结合复数对应的点所在象限列不等式即可求解； （2）根据韦达定理求得，然后利用复数运算法则化简得，利用该复数为实数列方程得，从而代入化简得，最后利用复数模的运算求解即可. 【解析】（1）因为复数，，所以， 其对应的点为，由题意，解得， 即实数a的取值范围为； （2）由题意知的两根为，， 所以，所以，所以， 因为为实数， 所以，即， 所以， 所以. 6．设复数，满足． （1）若，满足，求，； （2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求的值； （3）若，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），或，；（2）或；（3）存在常数满足条件，． 【分析】（1）先设，代入运算即可； （2）由题意可设，则，代入运算即可； （3）设，则，代入运算即可 【解析】（1）设，由得到， ， ， ， ， 解得或， 故或； （2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根， 则 设，则 由题意得，， 解得或， 故或； （3）设，则， 由得， ， 故. 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$