精品解析：广东省大湾区2025届普通高中毕业年级联合模拟考试（二）数学试题

2025届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（二） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，再求交集运算即可. 【详解】， 所以， 故选：B. 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数除法运算可求得复数，结合复数的模长、虚部、共轭复数和几何意义依次判断各个选项即可. 【详解】 所以，A错误； 因，所以虚部为，B错误； ，C错误； 在复平面内对应的点为在第四象限，故D正确. 故选：D 3. 一组数据由小到大排列为，已知该组数据的分位数是9.5，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先判断分位数的位置，然后根据题意列方程求解即可. 【详解】因为， 所以该组数据的分位数是第4、第5位数的平均数， 所以，解得， 故选：C. 4. 若，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 5. 已知向量，若向量与的夹角等于向量与的夹角，且向量与不共线，则向量（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出向量与的夹角的余弦值，设出向量的坐标根据已知条件列出方程组即可求出向量的坐标. 【详解】， 设，所以，即， 又因为向量与的夹角等于向量与的夹角， 所以，即， 解方程组解得或， 所以或，又因为向量与不共线， 所以. 故选：A 6. 设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（ ） A. 55 B. 45 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数恒等式的赋值思想，找到，从而转化为等比数列，再利用数列思想求和即可. 【详解】令可得， 再令可得， 又因为，所以， 再令可得， 又因为，所以有， 即是等比数列，则有首项，公比， 所以，即， 则， 故选：C. 7. 从双曲线上一点向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用解析几何思想，借助点到直线的距离公式来求出点，然后再继续求出交点的坐标，最后可求距离. 【详解】 根据双曲线具有的对称性，不妨设双曲线上第一象限的点， 则由双曲线可得渐近线方程为，即 所以由点到直线的距离公式可得： 由， 由双曲线上第一象限的点可知，所以上式可变形得， 即，则代入双曲线得：， 则过点作渐近线的垂线可得方程为：， 与渐近线联立解得：，即得， 再过点作渐近线的垂线可得方程为：， 与渐近线联立解得：，即得， 所以， 故选：A. 8. 若是三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，取中点，连接，过点作，由线面垂直的判定定理可得平面，然后由余弦定理可得的值，即可得到的值，再由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 取中点，连接，过点作， 由条件可得均为等边三角形， 则，且，平面， 所以平面，又平面，所以， 且，平面，所以平面， 又，则， 且是三棱锥外接球的直径，则， 则， 在中，由余弦定理可得， 则， 所以， 则. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 函数为奇函数 B. C. 函数的值域为 D. 函数在其定义域上为增函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】先化简的解析式然后根据奇函数的定义去判断奇偶性；对于B选项直接代入对应的函数解析式即可判断；对于C选项先化简函数解析式再根据二次函数反比例函数性质去求值域；对于D选项先化简函数解析式再利用复合函数单调性去求单调性. 【详解】， 令，此函数定义域为， ，故此函数为奇函数，A正确； ； ，B正确； ，令，则， 因为所以由二次函数性质可知，由反比例函数性质可知 所以，即， 所以函数的值域为，C正确； ，令， ， 由二次函数单调性可知：当时随的增大而增大，且 由反比例函数单调性可知： 随的增大而减小， 故当当时即时为减函数，故D错误. 故选：ABC 10. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（） A. B. 直线是曲线的对称轴 C. 在区间内有两个极值点 D. 曲线与直线所围成封闭图形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用辅助角公式，结合图象变换可得到；对于B，只需验证是否为最小值或最大值即可；对于C，利用换元法判断在上的极值点即可；对于D，由周期性及对称性可求封闭图形的面积. 【详解】对于A，， 向右平移个单位长得度，故A正确； 对打B，由A知， 是曲线的对称轴，故B正确； 对于当时， 在单调递增，在单调递减， sint在只有1个极值点，故只有1个极值点，故错误； 对于D，的最小正周期为，而的距离为， 所以围成的矩形面积为 又为轴对称及中心对称图形， 所围成封闭图形的面积为，故D还确. 故选：ABD 11. 已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下： 随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（ ） A B. 若服从两点分布，，则 C. 若，则 D. 若实数为常数，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据随机变量的生成函数定义，结合随机变量数学期望的求法，逐项判断即可. 【详解】对于A，随机变量的生成函数，则，当时，，所以A正确； 对于B，服从两点分布，，则生成函数为，所以B错误； 对于C，，则生成函数为，所以C错误； 对于D，对于线性变换的生成函数，所以D正确. 故选：AD 【点睛】1、随机变量两点分布，则； 2、随机变量，则； 3、. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设抛物线的焦点为，点在抛物线上且，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得为线段的中点，即可得到，再由焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，其准线方程为， 设，因为，则为线段的中点， 所以，即， 由抛物线的定义可得. 故答案为：2 13. 若角的终边经过点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义来得到已知角的函数值，再用二倍角公式和诱导公式来求其它角的三角函数值. 【详解】根据已知条件可知：， 则 ， 故答案为：. 14. 已知是圆上两个动点，点坐标为，若点满足四边形是矩形，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设与交于点，根据点的坐标写出点的坐标，然后在直角三角形中运用勾股定理列方程可得的关系式，进而得出的范围，最后求的取值范围即可． 【详解】如图，连接，设与交于点， 因为四边形是矩形，则，． 连接，在中，， 所以， 所以，即， 所以，所以， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为的面积为，满足. （1）求的值； （2）若，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由面积公式和余弦定理，即可求答案； （2）由已知两角一边，先用正弦定理求另一边，再利用三角形内角和第三个角，再由正弦定理求第三边，从而可求得周长. 【小问1详解】 ，再利用面积公式， ，即 又由余弦定理，得， . ， . 【小问2详解】 设的外接圆半径为， ， 由正弦定理，得. ， . ， 由正弦定理，得， 所以，的周长为. 16. 如图1，已知平面四边形纸片.将该纸片沿对角线翻折，连接得到三棱锥，如图2. （1）若，证明：平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）方法一：由余弦定理可得，再由勾股定理可得，由线面垂直的判定定理，即可证明；方法二：由空间向量的基底运算，可得垂直平面内任一向量，即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 方法一：（1）不妨设， 由题意可知，. ， 根据余弦定理， 得 ，所以. ， . 又且，平面， 平面. 方法二：（1）不妨设， 由题意可知，. 令， 以构成空间的一个基底， 则. 设是平面内任一向量， 根据平面向量基本定理，得. 由于， 且， 所以， 从而，平面. 【小问2详解】 方法一：取中点为中点为，连接， 所以， 因为，所以， 因为中点为，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以为等腰直角三角形， 又为中点，所以， 又，所以平面， 又平面，所以面面， 过作垂直于，交于点，则面，过作垂直于，交于点，连接，则即为平面与平面所成角， 不妨设，则 中， . 在中， 在中， 所以 所以平面与平面所成角的余弦值为. 方法二：以中点为坐标原点，以所在直线为轴，平面内过点垂直于的直线为轴，过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系如图，设，则，则 设， 因为， 则 所以，不妨取， 易得平面的一个一个法向量为 设平面的一个法向量为 则，即， 不妨设，可得 设平面与平面所成角为 则 故平面与平面所成角的余弦值为. 17. 已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上.点为直线上的动点，直线与直线的斜率之比为. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的长轴上是否存在定点，使得直线与椭圆交于两点，当点在直线上运动时，恒构成等差数列？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，定点 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式可求参数，再由点在椭圆上可求参数，即可得椭圆方程； （2）利用斜率取特殊值0时，找到定点的坐标，再利用一般斜率来进行证明即可得证. 【小问1详解】 设，且点， 得，. 由直线与直线的斜率之比为，得： 又因为点在上， 所以，， 将代入，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率为0时，分别为轴上两个端点， 此时，要满足成立， 则，此时点，点，猜想直线斜率不为0时，定点， 当直线斜率不为0时，设 由得 ， 根据猜想有， 此时，满足也成立， 所以综上，椭圆的长轴上存在定点，使得直线与椭圆交于两点时，恰好成等差数列. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有三个零点， ①求的取值范围； ②判断与的大小关系，并给出证明. 【答案】（1） （2）①；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义代入计算，即可得到结果； （2）①由条件可得有三个零点等价于在上有且只有一个零点，然后转化为的零点，然后利用导数即可判断；②结合①中的结论，考虑函数的单调性即可证明. 【小问1详解】 当时，，， 则，所以，切点， 则切线方程为. 【小问2详解】 ①当时，即， 则， 且， 若有三个零点等价于在上有且只有一个零点， 令，则，函数的零点与有相同的零点，又在上零点情况等价于在上零点情况， ， 当时，， 在上单调递减，所以，在上无零点，不符合题意， 当时，令， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以在有唯一零点，即在有唯一零点 综上所述，有三个零点时，； ②由①知，时有三个零点，（其中）， 考虑， 令， 则，所以在上单调递减， 所以，即， 所以， 又函数在上为增函数， 所以. 19. 依次投掷一枚骰子若干次，观察向上一面的点数，表示在第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率，规定.记为第次投掷后出现的点数种类数（例如：投掷三次，向上一面点数分别为，则只有“3”“5”两种点数，于是）. （1）求； （2）求的递推关系式，并求； （3）求的数学期望（用含有的式子表示）. 【答案】（1） （2）， （3）. 【解析】 【分析】（1）由概率新定义计算可得； （2）记第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为，则第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为，记第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为，则第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为，由可得递推关系；由递推关系得到，然后设，求出即可； （3）为第次投掷后出现的点数种类数，则，当时，通过计算得到，令，得到是以为首项，为公比的等比数列即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 记第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为，则第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为； 记第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为，则第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为； 故， ， ， ， 设， 则，于是，得， ， 所以， 所以， 又也满足上式， 所以. 【小问3详解】 为第次投掷后出现的点数种类数， 则， 当时， ， 令，则， ， 所以是以为首项，为公比的等比数列， ，即， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（二） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若集合，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第四象限 3. 一组数据由小到大排列为，已知该组数据分位数是9.5，则的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 若，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 已知向量，若向量与的夹角等于向量与的夹角，且向量与不共线，则向量（ ） A. B. C. D. 6. 设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（ ） A. 55 B. 45 C. D. 7. 从双曲线上一点向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 若是三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 函数为奇函数 B C. 函数的值域为 D. 函数在其定义域上为增函数 10. 已知函数图象是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（） A. B. 直线是曲线的对称轴 C. 在区间内有两个极值点 D. 曲线与直线所围成封闭图形的面积为 11. 已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下： 随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（ ） A. B. 若服从两点分布，，则 C. 若，则 D. 若实数常数，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设抛物线的焦点为，点在抛物线上且，则__________. 13. 若角的终边经过点，则__________. 14. 已知是圆上两个动点，点坐标为，若点满足四边形是矩形，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为的面积为，满足. （1）求的值； （2）若，求的周长. 16. 如图1，已知平面四边形纸片.将该纸片沿对角线翻折，连接得到三棱锥，如图2. （1）若，证明：平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值. 17. 已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上.点为直线上的动点，直线与直线的斜率之比为. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的长轴上是否存在定点，使得直线与椭圆交于两点，当点在直线上运动时，恒构成等差数列？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有三个零点， ①求的取值范围； ②判断与的大小关系，并给出证明. 19. 依次投掷一枚骰子若干次，观察向上一面的点数，表示在第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率，规定.记为第次投掷后出现的点数种类数（例如：投掷三次，向上一面点数分别为，则只有“3”“5”两种点数，于是）. （1）求； （2）求的递推关系式，并求； （3）求的数学期望（用含有的式子表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$