第2章 一元一次不等式和一元一次不等式组（思维导图+知识梳理+易错点拨+15大考点讲练+优选真题难度分层练 共65题）-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末培优知识讲练

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版） 第2章 一元一次不等式和一元一次不等式组 （思维导图+知识梳理+易错点拨+15大考点讲练+优选真题难度分层练 共65题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：不等式 3 知识点梳理02：一元一次不等式 3 知识点梳理03：一元一次不等式组 4 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组） 4 易错考点点拨汇总 5 易错知识点01：一元一次不等式 5 易错知识点02：一元一次不等式组 5 易错知识点03：一元一次不等式与不等式组的应用 6 期末真题考点汇编讲练 6 期末考向一：不等式的解集 6 重点考点讲练01：不等式的解集 6 期末考向二：一元一次不等式 9 重点考点讲练02：求一元一次不等式的整数解 9 重点考点讲练03：求一元一次不等式解的最值 12 重点考点讲练04：用一元一次不等式解决实际问题 13 重点考点讲练05：用一元一次不等式解决几何问题 16 重点考点讲练06：在数轴上表示不等式的解集 20 期末考向三：一元一次不等式与一次函数 21 重点考点讲练07：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 21 重点考点讲练08：根据两条直线的交点求不等式的解集 25 期末考向四：一元一次不等式组 28 重点考点讲练09：求不等式组的解集 28 重点考点讲练10：解特殊不等式组 31 重点考点讲练11：求一元一次不等式组的整数解 33 重点考点讲练12：由一元一次不等式组的解集求参数 35 重点考点讲练13：不等式组和方程组结合的问题 37 重点考点讲练14：一元一次不等式组的其他应用 39 重点考点讲练15：不等式组的方案选择问题 42 优选真题难度分层练 45 中档题—夯实基础能力 45 压轴题—强化解题技能 52 同学你好，本套讲义针对学校课本内容同步制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02：一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 【易错点剖析】 ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点梳理03：一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组． 【易错点剖析】 （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标. 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 易错知识点01：一元一次不等式 1. 不等式的性质理解不清： 错误理解：例如，对于不等式 a > b，错误地认为加上或减去同一个数后，不等号的方向会改变。 正确理解：不等式的两边加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变。 2. 不等式的解集表示错误： 错误表示：在表示不等式的解集时，错误地使用等号或遗漏解集的范围。 正确表示： x >3. 3.解不等式的步骤混淆： 步骤混淆：在解不等式时，混淆去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤的顺序或方法。 正确步骤：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序逐步求解。 4. 忽视不等式的定义域： 忽视定义域：在解不等式时，忽视题目中给出的变量的定义域限制。 注意定义域：在解不等式前，应首先明确变量的定义域，并在求解过程中始终考虑这一限制。 易错知识点02：一元一次不等式组 1. 不等式组的解集求解错误： 错误求解：在求解不等式组时，错误地理解“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”的口诀，导致解集求解错误。 正确求解：首先分别求出每个不等式的解集，然后根据不等式组中各不等式解集的交集来确定不等式组的解集。 2. 忽视不等式组的解集范围： 忽视范围：在求解不等式组后，忽视解集的范围限制，导致答案错误。 注意范围：在求解不等式组后，应仔细检查解集是否满足题目中的所有条件，包括变量的定义域和其他限制条件。 3. 不等式组与方程组的混淆： 混淆概念：将不等式组与方程组的概念混淆，导致求解方法错误。 区分概念：明确不等式组和方程组的不同之处，不等式组是由多个不等式组成，而方程组是由多个方程组成。在求解时，应分别采用相应的方法。 4. 解集表示方法错误： 错误表示：在表示不等式组的解集时，错误地使用并集、交集等符号，或遗漏解集的部分范围。 正确表示：使用正确的符号表示不等式组的解集 易错知识点03：一元一次不等式与不等式组的应用 1. 应用问题建模错误： 建模错误：在将实际问题抽象为一元一次不等式或不等式组时，错误地理解题意或遗漏关键信息。 正确建模：仔细阅读题目，理解题意，找出题目中的不等关系，并准确地将其抽象为一元一次不等式或不等式组。 2. 解集的实际意义理解不清： 理解不清：在求解应用问题时，忽视解集的实际意义，导致答案不符合题目要求。 理解实际意义：在求解应用问题时，应充分考虑解集的实际意义，如人数不能为负数、时间不能为负等，并根据实际意义对解集进行筛选或调整。 3. 答案表述不准确： 表述不准确：在给出答案时，表述不准确或遗漏重要信息。 准确表述：在给出答案时，应准确、清晰地表述解题过程和结果，包括不等式的建立、求解过程、解集的范围以及解集的实际意义等。 期末考向一：不等式的解集 重点考点讲练01：不等式的解集 【母题精讲】（22-23七年级下·北京昌平·期中）定义新运算“”，规定：．若关于的不等式的解集为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据定义的新运算得到，得，由不等式的解集得，即可求得的值． 【规范解答】解： ， ， 得：， 不等式的解集为， ， 解得：， 故选：D． 【训练1】（22-23八年级下·江苏·期末）【定义】如果在平面直角坐标系中，点在直线上，我们就把直线叫做点P的“依附线”，点叫做这条直线的“依附点”，叫做点的“依附数”．例如，点在直线上，所以直线为点的“依附线”，点的“依附数”为． 【应用】 (1)已知点，在，，中，与点的“依附数”相同的点是______； (2)已知矩形中，点，，，．若矩形边上存在两个不同的点，都是直线的“依附点”，求的取值范围； (3)若直线上存在点，且点的“依附数”为，当，时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)，且 【思路点拨】（1）根据题中关于“依附数”的定义可知，对任意一点，若满足，则是点的“依附数”，分别判断点，，，的依附数即可； （2）设，，根据题意可得，分类讨论即可分别得到的范围和的范围，取其公共部分即可； （3）根据题意列方程组求得，结合，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可知，点在在直线上， 将代入得： ， 解得， 即直线的解析式为； 故点是直线的“依附点”，是点的“依附数”， 由此可得，对任意一点，若满足，则是点的“依附数”； ∴对于，，故是点的“依附数”， 对于，，故是点的“依附数”， 对于，，是点的“依附数”， ∴与点的“依附数”相同的点是． 故答案为：． （2）解：设，，若点，都是直线的“依附点”，即， ∵点，是两个不同的点，即点，在不同边上， 设点在上，则，，∴， ①点在上，则，，∴，故； ②点在上，则，，∴，故不存在； ③点在上，则，，∴，故； 综上，的取值范围为． （3）解：根据题意可知若点的“依附数”为，即直线是点的“依附线”，点在直线上， 故点是直线和直线的交点， 故 整理得：， ∵，即， 当时，解得：， ∵，则，，即，故该情况下无解； 当时，解得：， ∵，则，，即，故该情况下无解； 当时，解得： ∵，则，，即， 故当，时，的取值范围为，且． 【训练2】（23-24七年级下·全国·课后作业）如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是 ，的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解不等式，不等式的性质，根据题意得出，，即可求解． 【规范解答】因为不等式的解集是， 所以，， 所以，． 故答案为：，． 期末考向二：一元一次不等式 重点考点讲练02：求一元一次不等式的整数解 【母题精讲】（23-24八年级上·福建三明·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 解方程组得，，由得到，解得，即可得到m的最小整数解． 【规范解答】解：， 得：， 解得 得：， 解得 ∵ ∴ 解得：， ∴m的最小整数解为， 故选：B． 【训练1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在下面直角坐标系中，已知三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形的面积不小于面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【思路点拨】本题考查了坐标与图形性质：利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形的面积公式． （1）根据几个非负数和的性质得到，，，分别解一元一次方程得到，，； （2）根据三角形的面积公式和四边形的面积进行计算； （3）若，则，解得，则，，，然后分别写出点的坐标． 【规范解答】（1）解：， ，，， ，，； （2）解：点坐标为，点坐标为， 四边形的面积 ； （3）解：存在．理由如下： ， ， ， 为负整数， 或或， 点的坐标为或或． 【训练2】（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程，解题的关键在于熟练掌握不等式和方程的解题技巧．先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整数解，即可求出m的值，将m的值代入方程即可求出的值． 【规范解答】解： ， 不等式的最大整数解为2， 关于的方程的解是， ， ， 故答案为：2． 重点考点讲练03：求一元一次不等式解的最值 【母题精讲】（22-23七年级下·福建泉州·期末）已知实数，，．若，则的最大值为 ． 【答案】6 【思路点拨】由得，与相加得，由及，可得a的最大值为3，从而得出的最大值． 【规范解答】解：由得， 由得， 及， 解得：， 的最大值为3， 的最大值． 故答案为：6． 【训练1】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程的的解．    (1)求a的值． (2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 【答案】(1) (2)0 【思路点拨】（1）将代入二元一次方程的可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）先求出，再根据数轴可得，从而可得，解一元一次不等式即可得． 【规范解答】（1）解：将代入二元一次方程的得：， 解得． （2）解：由（1）得：， 则， 由数轴得：， 则， 解得， 所以的最小值是0． 【训练2】（22-23八年级下·云南临沧·期末）某服装厂每天生产、两种品牌的服装共600件，已知每件品牌服装可获利20元，每件品牌服装可获利15元，设每天生产品牌服装件，获得日总利润为元． （1）写出与之间的函数关系式； （2）如果服装厂要求每天获利不少于10000元，那么每天至少生产品牌服装多少件？ 【答案】（1）y=5x+9000；（2）每天至少生产品牌服装200件． 【思路点拨】（1）A种品牌服装x件，则B种品牌服装（600-x）件，利润=A种品牌服装件数×A种品牌服装一件的利润+B种品牌服装件数×B种品牌服装一件的利润，列出函数关系式； （2）根据“每天获利不少于10000元”列出不等式，求解即可得出结论． 【规范解答】解：（1）A种品牌服装x件，则B种品牌服装（600-x）件，依题意，得 y=20x+15（600-x）=5x+9000； （2）根据题意， 5x+9000≥10000 解得x≥200， 所以，每天至少生产品牌服装200件． 重点考点讲练04：用一元一次不等式解决实际问题 【母题精讲】（24-25八年级上·广西贵港·期末）苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克． (1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？ (2)若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于268元，则每天卖出的苹果至少是多少千克？ (3)由于天气炎热，当苹果还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的苹果进行打折销售，为确保销售苹果的总利润不低于1016元，最低可以打多少折？ 【答案】(1)购进香梨60千克，购进苹果200千克 (2)每天卖出的苹果至少是36千克 (3)最低可以打8折 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设李老板购进香梨千克，则李老板购进苹果为千克，根据“苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克，一共花费420元”，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设苹果的日销售量是千克，则香梨的日销售量是千克，根据“每天利润不少于268元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案； （3）设苹果打折销售，根据“销售苹果的总利润不低于1016元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案； 【规范解答】（1）解：设李老板购进香梨千克，则李老板购进苹果为千克， 根据题意得， 解方程得， 购进香梨60千克，购进苹果千克； （2）解：设苹果的日销售量是千克，则香梨的日销售量是千克，根据题意，得 解不等式，得： 答：每天卖出的苹果至少是36千克； （3）设苹果打折销售， 苹果的总利润为：， 解不等式得：， 答：最低可以打8折． 【训练1】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要张大小一样的纸，其中张为彩页，张为黑白页．印制该纪念册的总费用y由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页元/张，黑白页元/张．印刷费与印数的关系如下表． 印数（千册） 彩色（元/张） 黑白（元/张） (1)印制这批纪念册需制版费多少元？ (2)求出关于的函数表达式． (3)如果该校希望印数至少为千册，总费用最多为元，求印数的取值范围（精确到千册） 【答案】(1)印制这批纪念册的制版费为元； (2)； (3)印数的取值范围为或． 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的应用、解一元一次不等式．解决本题的关键是根据印刷费与印数之间的关系列出关于的函数关系式，根据关系式列不等式求出印数的取值范围．解题过程中需要注意分情况讨论． 根据纪念册中彩面的数量和黑白面的数量，计算求出制版费即可； 根据印数的取值范围分段列出关于的函数表达式即可； 因为印数至少为千册，所以应分当时和当时，两种情况分别求的取值范围． 【规范解答】（1）解：制版费：(元)， 答：印制这批纪念册的制版费为元； （2）解：当时，； 当时，， 关于的函数表达式为； （3）解：当时，， 解得：， ； 当时，， 解得， ， 印数的取值范围为或． 【训练2】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 6 8.6 11.2 13.8 (1)依据小亮测量的数据，求出y与x之间的函数表达式； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 【答案】(1) (2)9个 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）先根据每增加1个碗，碗的总高度增加可得与之间的函数关系满足一次函数，再利用待定系数法求解即可得； （2）根据总高度不超过建立不等式，解不等式求出的值，再根据为正整数即可得出答案． 【规范解答】（1）解：观察数据可知，每增加1个碗，碗的总高度增加， 则与之间的函数关系满足一次函数， 设与之间的函数表达式为， 将点和代入得：，解得， 则与之间的函数表达式为． （2）解：由题意得：， 解得， 因为为正整数， 所以此时碗的数量最多为9个． 重点考点讲练05：用一元一次不等式解决几何问题 【母题精讲】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列出不等式，即可解答． 【规范解答】解：，，能构成三角形， ， ， 解得， 又， ， 选项D不符合要求． 故选D． 【训练1】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，过点与点的直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，点在直线上，横坐标为． (1)求直线的函数表达式． (2)求点的坐标． (3)若的面积大于3，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数交点问题、一元一次不等式的应用、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）联立方程组，求解即可得出答案； （3）求出得出当的面积大于3时，点在点的右侧或在点的左侧，分两种情况，分别建立不等式，求解即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设直线的函数表达式为． 点与点在直线上， ∴， 解得：， 直线的函数表达式为． （2）解：直线与直线相交于点， ∴， 解得：， 点的坐标为． （3）解：在中，当时，，故， ∴， ∴， ∴当的面积大于3时，点在点的右侧或在点的左侧． 当点在点的右侧时， ，即， 解得． 当点在点的左侧时， ．即， 解得． 综上所述，的取值范围为或． 【训练2】（22-23七年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，，．设点运动时间为，其中．    (1)若，则的取值范围是______； (2)求为何值时，平分的面积； (3)求为何值时，． 【答案】(1) (2)2.5秒 (3)秒或12秒 【思路点拨】（1）根据当时，点F在线段上运动可得答案； （2）根据当平分的面积时，点F是线段的中点可得答案； （3）分类讨论：当点F在点C左侧时，点F再点C的右侧时，可得关于t的一元一次方程，根据解方程，可得答案； 【规范解答】（1）当时，， ∴， 解得， 故答案为：； （2）∵平分的面积， ∴， ∴， ∴； （3）分两种情况讨论： ①点F在点C左侧时，， 则， 解得； ②当点F在点C的右侧时，， 则， 解得， 综上所述，或12时，； 重点考点讲练06：在数轴上表示不等式的解集 【母题精讲】（22-23八年级下·陕西咸阳·期末）定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【思路点拨】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的关键． 由新定义的运算可得，进而求出关于的不等式的解集，结合数轴上得到等式为，即，然后求解即可． 【规范解答】解：由新运算的定义可得可化为 ∴， ∵由数轴上表示的解集可知， ∴，解得． 故选：B． 【训练1】（22-23八年级下·山东菏泽·期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【思路点拨】按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示不等式的解集即可． 【规范解答】解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 ； 在数轴上表示如下图所示：    【训练2】（22-23八年级下·山西太原·期末）解不等式组并将其解集表示在如图所示的数轴上．    【答案】，数轴见解析 【思路点拨】分别将不等式①和②解出来，在取公共部分即可． 【规范解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示为：    期末考向三：一元一次不等式与一次函数 重点考点讲练07：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【母题精讲】（24-25八年级上·四川成都·期末）关于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数值y随自变量x的增大而增大 B．图象经过第一、三、四象限 C．图象与y轴交于点 D．当时， 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的性质成为解题的关键． 根据一次函数的图象和性质逐项判断即可． 【规范解答】解：A、因为，所以函数值y随自变量x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； B、因为，，所以图象经过第一、三、四象限，故本选项正确，不符合题意； C、当时，，所以图象与y轴交于点，故本选项正确，不符合题意； D、当时，，所以当时，，故本选项错误，不符合题． 故选：D． 【训练1】（24-25八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)画出这个一次函数的图象，并根据图象回答：当______时，； (3)若该一次函数的图象、函数(为常数，)的图象和轴所围成的三角形的面积大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析； (3)，且 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元一次不等式的应用、一次函数图象上点的坐标特征； （1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据一次函数与坐标轴的交点坐标画出一次函数图象，根据函数图象写出不等式解集即可； （3）根据当函数经过点或时，两直线与轴所围成的三角形的面积为，结合图形，即可求解． 【规范解答】（1）解：设一次函数解析式为 ， 一次函数的图象经过点， ， 解得 一次函数解析式为； （2）一次函数图象如图： 由图象可知，当时，， 故答案为：>． （3）函数为常数，的图象和轴的交点坐标， 该函数与轴交点坐标为 当函数经过点或时，两直线与轴所围成的三角形的面积为 即或 解得：或， 该一次函数的图象、函数为常数，的图象和轴所围成的三角形的面积大于， ∴且 【训练2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求不等式的解集； (3)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【思路点拨】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，正确求出交点坐标，是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （2）根据函数图象直接得出的解集即可； （3）联立两直线解析式，解方程组得到点D的坐标，以及点E的坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可． 【规范解答】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：； （2）解：当时，，解得， ∴， 根据函数图象可知，不等式的解集是：． 故答案为：； （3）解：联立， 解得：， ∴点D的坐标为， 把代入得：， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，，此时点P的坐标为； 当时，，此时点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或． 重点考点讲练08：根据两条直线的交点求不等式的解集 【母题精讲】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，点在函数（且）的图象上． (1)若，求的值． (2)若，求的取值范围． (3)设函数，若，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的性质，数形结合是解题的关键． （1）代入点的坐标即可求得； （2）把点代入直线，求出，根据的取值范围，求出的取值范围； （3）证得两直线都经过点，结合一次函数的增减性即可判断． 【规范解答】（1）解：把点代入直线， 可得， 解得：． （2）解：把点代入直线， 可得，，即， 因为，所以， 所以． （3）解：因为， 所以直线图象过点， 因为当时，， 所以点也在图象上， 所以与图象的交点是， 因为，随的增大而减小，，随的增大而增大， 所以当时，． 【训练1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知函数，．若函数与的图象交于轴上的一点，且函数的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是一次函数的图象与性质，先求解与轴的交点坐标，再结合题意画出图象，结合图象可得答案. 【规范解答】解：∵， 当，解得：， ∴与轴的交点为， ∵函数与的图象交于轴上的一点，且函数的图象经过第二、三、四象限， 如图， ∴时， ∴； 故答案为： 【训练2】（21-22八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．先利用待定系数法求出点的坐标，再根据关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方，结合函数图象求解即可得． 【规范解答】解：将点代入函数得：，解得， ∴， ∵关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方， ∴由函数图象可知，， 即关于的不等式的解集是， 故选：D． 期末考向四：一元一次不等式组 重点考点讲练09：求不等式组的解集 【母题精讲】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）关于函数，给出下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图象必经过点；③若图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图象与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中正确的说法是 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【思路点拨】本题考查根据交点坐标确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，一般地，先求出交点坐标，再把坐标满足的条件转化成相应的方程或是不等式（组）进而解决问题．①当时，函数是一次函数；②，当时，，过函数过点，即可求解；③函数经过二，三，四象限，可得，从而可以求得k的取值范围；④当时，，与x轴无交点；当时，函数图象与x轴的交点始终在正半轴，即，即可求解． 【规范解答】解：①当时，函数是一次函数；故①符合题意； ②， 当时，，过函数过点，故②符合题意； ③函数经过二，三，四象限，则， 解得：，故③符合题意； ④当，即时，，与x轴无交点； 当，即时， 令，则， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵函数图象与x轴的交点始终在正半轴， 即， 由除法的意义可得：或， 解得：，故④不符合题； 故答案为：①②③． 【训练1】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为_______． 【答案】(1) (2) (3)图见解析 (4) 【思路点拨】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集： （1）去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集； （3）定方向，定边界，在数轴上表示出不等式的解集即可； （4）根据数轴，确定不等式组的解集即可． 【规范解答】（1）解： ， ∴； 故答案为：； （2） ∴； 故答案为：； （3）数轴表示解集，如图：    （4）由数轴可知：不等式组的解集为：； 故答案为：． 【训练2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论： ①若它的解集是，则；②当，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；④若不等式组有解，则． 其中正确的结论个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查解一元一次不等式组，根据不等式组的解求参数等．根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可． 【规范解答】解：∵， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵若它的解集是，即，解得：， ∴①正确， ∵当，，即不等式组的解为， ∴②正确， ∵若它的整数解仅有3个，即， ∴a的取值范围是 ∴③正确， ∵若不等式组有解，即，则， ∴④错误， 故选：C． 重点考点讲练10：解特殊不等式组 【母题精讲】（23-24八年级下·全国·期末）已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式的基本性质即可获得答案．将整理为，结合可得，，进而可得，然后将其代入并求解，即可获得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【训练1】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在一次函数的图像上存在点，使得点关于直线的对称点在的边上，其中，，，则的取值范围是 ．（注：直线是指过且垂直于轴的直线） 【答案】 【思路点拨】本题考查一次函数图像上的点，不等式的应用，设点，根据点和点关于直线对称得点，再根据点在的边上得，由得，由得，由此可得的取值范围，理解一次函数图像上的点满足一次函数的表达式，熟练掌握解不等式是解决问题的关键． 【规范解答】解：点在一次函数的图像上， 设点的坐标为， 点和点关于直线对称， 点和点的纵坐标相同，可设点的坐标为， ，即， 点的坐标为， ，，，点在的边上， ， 由，得；由，得； ， 故答案为． 【训练2】（20-21九年级上·江西南昌·开学考试）阅读下面的材料，回答问题：如果，求的取值范围． 解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，得或，分别解这两个不等式组，得第一个不等式组的解集为，第二个不等式组的解集为．故当或时，． （1）试利用上述方法，求不等式的解集． （2）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，根据图象，请你直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）或；（2）或． 【思路点拨】（1）根据乘法法则可得，或，分别解这两个不等式组即可； （2）由图像可得，时，，时，；时，，时，；然后利用乘法法则得到不等式组，解不等式组即可得到结果． 【规范解答】解：（1）根据题意，原不等式可化为两个不等式组或 解得或 故不等式的解集为或 （2）由图像得 时， 时， 时， 时， 根据题意，原不等式可化为两个不等式组或 解得或 ∴不等式的解集为或 重点考点讲练11：求一元一次不等式组的整数解 【母题精讲】（24-25九年级上·湖北黄石·期中）不等式组的整数解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，进而可得出其整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解决此题的关键． 【规范解答】解：解不等式得，, 解不等式得，, ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：,即不等式组有个整数解， 故选：． 【训练1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）对于一次函数（k为常数，），当时，y有3个整数值，则符合条件的整数k的值为 ． 【答案】2或 【思路点拨】本题考查了一次函数的性质、一元一次不等式组的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先求出和时，的值，再分两种情况：①和②，根据一次函数的性质建立不等式组，解不等式组即可得． 【规范解答】解：对于一次函数， 当时，， 当时，． ①当时，在内，随的增大而增大， ∴， ∵在内，有3个整数值， ∴， 解得，符合题设， ∴此时整数； ②当时，在内，随的增大而减小， ∴， ∵在内，有3个整数值， ∴， 解得，符合题设， ∴此时整数； 综上，符合条件的整数的值为2或， 故答案为：2或． 【训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）若是三边的长，且满足关系式是不等式组的最大整数解，求三边的长． 【答案】三边的长分别为 【思路点拨】本题考查绝对值、偶次方的非负性及不等式组的解法及整数解的确定，求不等式组的解集，应遵循以下原则∶同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 先根据题意，求出a和b的值，再求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可． 【规范解答】解：∵满足关系式， ∴， ∴． ∵不等式组的解集是， ∴最大整数解是5， ∴5． 故三边的长分别为． 重点考点讲练12：由一元一次不等式组的解集求参数 【母题精讲】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组，求代数式的值，根据不等式组的解集求出m与n的值是解题的关键；先解不等式组，根据不等式组的解集得关于m与n的方程，求出m与n的值，即可求得代数式的值． 【规范解答】解：令 解不等式①，得．解不等式②，得． 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 【训练1】（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组的解集为，则的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组，按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得，从而可得，，然后求出m，n的值，再代入式子中，进行计算即可解答． 【规范解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 【训练2】（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)当a为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查解二元一次方程组，解一元次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答． （1）两个方程相加可得出，根据列出关于的不等式，解之可得答案； （2）根据不等式的解集为为整数和（1）中的取值范围，可以求得的值； 【规范解答】（1）解：两个方程相加可得， 则， 根据题意，得：， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：由不等式，得， ∵不等式的解集为， ∴，得， 又∵且为整数， ． 重点考点讲练13：不等式组和方程组结合的问题 【母题精讲】（22-23八年级下·山东潍坊·期末）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】CD 【思路点拨】用得，再根据求出a的取值范围，即可解答． 【规范解答】解：， 得：， ∵， ∴，解得：， 故选：CD． 【训练1】（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【答案】 【思路点拨】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答． 【规范解答】解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入②得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， ， 当时，，符合题意； 所有满足条件的整数的值为． 故答案为：． 【训练2】（22-23七年级·河南南阳·期末）已知方程组的解满足，均为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，求的整数值． 【答案】(1) (2)整数m的值为 【思路点拨】（1）将m当做已知数解方程组，把x和y用含有m的式子表示出来，再根据，均为负数，列出关于m的一元一次不等式组，解之即可； （2）不等式的解为，根据不等式得性质得到，得到m的取值范围，再根据（1）m的范围，求得m最终的取值范围，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：解方程组得： ， ∵，， ∴， 解得：； （2）解：， 移项得：， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 又∵， ∴m的取值范围为， ∴整数m的值为． 重点考点讲练14：一元一次不等式组的其他应用 【母题精讲】（24-25八年级上·广西贺州·期末）某中学决定在“文体周”为一个节目制作、两种道具，共80个，制作的道具需要甲、乙两种材料组合而成，现有甲种材料300件，乙种材料280件，已知组装、两种道具所需的甲、乙两种材料，如下表所示： 甲种材料（件） 乙种材料（件） 道具 3 4 道具 5 2 经过计算，制作一个道具的费用为5元，一个道具的费用为4元．设组装种道具个，所需总费用为元． (1)求与的函数表达式，并求出的取值范围； (2)问组装种道具多少个时，所需总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)， (2)当组装A道具50个时，所需费用最少，最少费用是370元 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用，关键是通过实际问题列出一次函数关系，然后根据一次函数的性质解决问题． （1）设组装A种道具x个，则B种道具个，根据“总费用种道具费用种道具费用”即可得出y与x的函数关系式；再根据题意列不等式组即可得出x的取值范围； （2）根据（1）的结论，结合一次函数的性质解答即可． 【规范解答】（1）解： ． 根据题意，得 ． 解得 ∴的取值范围是． （2）解：由（1）得 ∵是的一次函数，且 ∴随着的增大而增大． ∴当时， 答：当组装A道具50个时，所需费用最少，最少费用是370元． 【训练1】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)5500元 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用． （1）根据利润等于单件利润乘以数量建立函数关系式即可； （2）先求出自变量的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． 【规范解答】（1）解：由题知， 与的函数表达式为． （2）解：由题知 由（1）知 ， 随的增大而增大， 当时，有最大值，（元）． 【训练2】（21-22八年级下·山东青岛·期中）某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的3倍，预期进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式： ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)100元，150元 (2)①②购进A型电脑25台，B型电脑75台时，利润最大，最大为13750元 【思路点拨】(1)设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑销售利润为b元，列出方程组计算即可． (2) 设型电脑台，则购买型电脑台， ①． ②根据题意，得，，得到，结合一次函数的增减性解答即可． 本题考查了方程组的应用，不等式组的应用，一次函数性质的应用，正确列式并准确解答时解题的关键． 【规范解答】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑销售利润为b元， 依题意得：， 解得：， 答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑销售利润为150元． （2）解：设型电脑台，则购买型电脑台， ①根据题意，得． ②根据题意，得，， 故， 根据题意，得， 故y所x的增大而减小， 故当时，，y有最大值，且最大值为13750， 答：购进A型电脑25台，B型电脑75台时，利润最大，最大为13750元． 重点考点讲练15：不等式组的方案选择问题 【母题精讲】（24-25八年级上·四川成都·期末）为了增强中学生体质，某学校倡导学生在大课间开展打羽毛球活动，需购买甲、乙两种品牌羽毛球．已知购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)每个甲品牌羽毛球15元，每个乙种品牌羽毛球10元 (2)有5种购买方案 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组的应用， （1）设每个甲品牌羽毛球元，每个乙种品牌羽毛球元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解； （2）设购买甲品牌羽毛球x个，购买乙种品牌品牌羽毛球个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【规范解答】（1）解：设每个甲品牌羽毛球元，每个乙种品牌羽毛球元，由题意得 ， 解得：， 答：每个甲品牌羽毛球15元，每个乙种品牌羽毛球10元； （2）解：设购买甲种品牌羽毛球x个，购买乙种品牌羽毛球个． 由题意得：， 解得：， 且均为正整数， ∴可以为：， ∴购买甲种品牌羽毛球106个，乙种羽毛球21个； 购买甲种品牌羽毛球108个，乙种羽毛球18个； 购买甲种品牌羽毛球110个，乙种羽毛球15个； 购买甲种品牌羽毛球112个，乙种羽毛球12个； 购买甲种品牌羽毛球114个，乙种羽毛球9个， ∴共有5种购买方案． 【训练1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 【答案】(1) (2)方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 【思路点拨】本题主要考查了列函数解析式、不等式组的应用等知识点，根据题意列出函数解析式、不等式组成为解题的关键． （1）设购进A商品件，则购进B商品件，然后根据总利润为A、B两种商品的利润之和列出函数解析式即可； （2）根据不等关系“A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元”列不等式组求得x的范围，然后确定进货方案即可． 【规范解答】（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件， 由题意可得：总利润，即． （2）解：由题意可得：， 解得：， ∵x为整数， ∴，， 所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 【训练2】（22-23七年级下·福建泉州·期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元 (2)共有5种购买方案，最低费用是8440元 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论． 【规范解答】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得， ． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元； （2）解：设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取85，86，87，88，89； ∴共有5种购买方案， 方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”； 方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”； ∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元， ∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低， ∴最低费用是（元）． 中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级上·广西桂林·期末）定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如，，，若则x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了解不等式，新定义运算，解题的关键是根据题意列出不等式，注意进行分类讨论．先根据题意分两种情况：当时，当时，列出不等式，解不等式即可得出答案． 【规范解答】解：当时，， 解不等式得：， 解不等式得： ∴； 当时，， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴此时无解； 综上分析可知：x的取值范围是． 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了不等式的性质．不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判断即可． 【规范解答】解：A、由可得，故本项不符合题意； B、由可得，故本项不符合题意； C、由可得，故本项不符合题意； D、由可得，故本项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）下列不等式的变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【思路点拨】本题考查不等式的性质．根据不等式的性质进行逐项判断即可． 【规范解答】解：A、，则，故本选项不符合题意； B、，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，则，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式．不等式的解集就是图象上两个一次函数的图象都在轴的下方，且的图象在的图象的下边的部分对应的自变量的取值范围． 【规范解答】解：经过点的直线与直线相交于点， 不等式的解集为． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，直线与直线交点的横坐标为，则的解为 ． 【答案】 【思路点拨】不等式的解集，就是指直线在直线的下方的自变量的取值范围，据此求解即可． 本题考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【规范解答】解：观察图象可知， 当时，直线在直线的下方， 不等式的解集为． 故答案为：． 6．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 【答案】/ 【思路点拨】此题考查一次函数的图象，运用观察法解一元一次不等式通常是从交点观察两边得解．根据函数图象与轴的交点坐标和函数的增减性可直接解答． 【规范解答】解：∵一次函数与轴的交点坐标为，y随x的增大而增大， ∴当时，． 故答案为． 7．（24-25八年级上·浙江·期末）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【思路点拨】本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【规范解答】解：由不等式①得，， 由不等式②得，， 在数轴上表示为： ． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的方程组的解满足． (1)的取值范围是________； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 【答案】(1) (2)的值为 【思路点拨】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组； （1）根据得，，得出，根据，即可求解； （2）先解不等式得出，根据不等式组的解集为，可得不等式的解集为．进而得出，结合（1）得结论，且为正整数，即可求解． 【规范解答】（1）解： 得， ∴ ∵ ∴ 解得： 故答案为：． （2）解不等式，得． ∵不等式组的解集为， ∴不等式的解集为． ∴，解得． 由（1）知， ∴，且m为正整数，故正整数m的值为1． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案． 【规范解答】解； 去分母：， 去括号：， 合并同类项：， ∴， 去括号：， 合并同类项：， ∵不等式组有5个整数解， ∴不等式组的解集为，且5个整数解为：2，1，0，，， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）某初中八年级数学兴趣小组的同学们，对函数（是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当，时，即．当时，；当时，__________． (2)当，，时，即． ①该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表： … 0 1 4 … … 3 2 … 其中__________． ②在图中所示的平面直角坐标系内画出函数，结合图像写出该函数的一条性质__________． ③已知函数的图像是一条经过点的直线，则关于的不等式的解集是__________． 【答案】(1) (2) ① ②作图见详解，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值是 ③或 【思路点拨】本题主要考查一次函数图象的性质，根据图象交点求不等式的解，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的性质即可求解； （2）①把代入计算即可； ②运用描点、连线即可作图； ③在函数中，当或时，，当时，，在函数中，函数的图像是一条经过点，当时，，当时，，由题意可得与异号，由此即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：①当，，时，即， ∴当时，， 故答案为：； ②作图如下： ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值是； ③根据图示可得，在函数中，当或时，，当时，， 在函数中，函数的图像是一条经过点， ∴当时，，当时，， ∵不等式， ∴与异号， ∴不等式的解集为或． 压轴题—强化解题技能 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再在数轴上表示不等式组的解集即可得． 【规范解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 在数轴上表示不等式组的解集如下： 故选：D． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是晓晓的一次数学课后作业，请帮助晓晓检查一下她的解题过程． 解不等式． 解：去分母，得．    …………① 去括号，得．    …………② 移项，得．    …………③ 合并同类项，得．    …………④ 系数化为1，得．    …………⑤ 晓晓的解题过程开始错误的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【思路点拨】此题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求解即可得到答案． 【规范解答】解：． 去分母，得．    …………① 去括号，得．    …………② 移项，得．    …………③ 合并同类项，得．    …………④ 系数化为1，得．    …………⑤ 由解题过程可知，晓晓的解题过程开始错误的一步是①， 故选：A 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先求出两个不等式的解集分别为和，再根据题意可得，解不等式即可得． 【规范解答】解：， ， ， ； ， ， ， ， ； ∵关于的一元一次不等式的解集中每一个的值都能使不等式成立， ∴， 解得， 故选：B． 14．（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解．解不等式组得出解集，根据整数解的和为12，可以确定整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，，再根据解集确定a的取值范围即可． 【规范解答】解：解不等式组， 解得：， ∵所有整数解的和是9，且或， ∴不等式组的整数解为①4，3，2或②4，3，2，1，0，， ∴或； 故答案为：或． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了点坐标所在的象限，熟练掌握平面直角坐标系中的点坐标的特征是解题关键．根据第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0建立不等式组，解不等式组即可得． 【规范解答】解：∵点在第二象限， ∴， 解得， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·重庆·期末）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的综合，掌握不等式组的取值方法，加减消元法解二元一次方程组，代入求值是解题的关键． 根据不等式的性质解不等式组，结合不等式组的取值方法得到，运用加减消元法解二元一次方程组得到，根据解为整数，分别代入计算得到满足条件的的值为0或6，由此即可求解． 【规范解答】解：， 解得，， 解得，， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴， 解得，， ， 解得，， ∵关于，的二元一次方程组的解为整数， ∴是的倍数，是的倍数， 当整数时，，符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，符合题意； ∴， 故答案为： ． 17．（24-25八年级上·福建福州·期中）在一个三角形中如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为倍半角、这个三角形叫做倍半三角形．例如：在中，，，则与互为倍平角，为倍半三角形． (1)在中，，互为倍半角，，则________°； (2)若为倍半三角形，，求这个三角形中最小的内角度数； (3)已知是倍半三角形中最大的内角，并且都不与其它两个内角互为倍半角，试确定的取值范围，并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)且；理由见解析 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理、一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据，互为倍半角，，结合三角形内角和为，求解即可； （2）分两种情况：当是“倍半角”时，当不是“倍半角”时，分别求解即可； （3）设，则另外两个角中较小的角为，则较大的一个为，根据是倍半三角形中最大的内角，并且都不与其它两个内角互为倍半角，列出不等式组，求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，互为倍半角，， 又∵三角形内角和为， ∴， ∴。 故答案为：30； （2）解：∵为倍半三角形，， ∴当是“倍半角”中的其中一个角时， 另外一个角为，则第三个角为， 或另外一个角为，此时这两个角之和是，不合题意， ∴此时最小的角为； 当不是“倍半角”中的任何一个角时，设这个三角形中较小的“倍半角”为， 则， 解得：， 此时最小角为， 综上所述，这个三角形中最小的内角为或 （3）解：∵是倍半三角形中最大的内角，并且都不与其它两个内角互为倍半角， ∴另外两个角一定互为“倍半角”， 设，则另外两个角中较小的角为，则较大的一个为，根据题意得： ， 解得：且， ∴且． 18．（24-25八年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形W关于直线l的对称图形为，图形上任一点到x轴，y轴的距离的最大值是d，称d是图形W关于直线l的m倍镜像“接收距离”． 已知点，． (1)①线段关于直线l的1倍镜像“接收距离”是______； ②线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，m的取值范围是______； (2)点，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是______． (3)点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”，求m的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【思路点拨】本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，解一元一次不等式等知识，解决问题的关键是数形结合． （1）①求出A、B关于直线l的1倍镜像的对应点坐标，进而根据定义判断； ②表示出A、B关于直线l的m倍镜像的对应点坐标，根据定义列出不等式组，进一步得出结果； （2）可推出B、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8，从而得出关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值； （3）表示出A、B、C、D于直线l的m倍镜像的对应点坐标，关于直线l的m倍镜像的线段是，根据当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，得出，从而求得临界m的值，进而得出结果． 【规范解答】（1）解：①设线段关于直线l的1倍镜像的线段为， ，， 点距离y轴距离最大为：3， 故答案为：3； ②点A和B关于直线的对称点为：，， 线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1， ，，， 、C距离y轴的距离之差是8， 、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8， ，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是 4， 故答案为：4； （3）解：如图2， 点A和B关于直线的对称点为：，， 线段关于直线l的m倍镜像的线段是，则，， 当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时， ， ， 当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，． 19．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集：___________． 【答案】(1) (2)3 (3) 【思路点拨】（1）将点代入，求出m，得到．把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）先求出点C坐标，再根据三角形的面积公式列式即可求出的面积； （3）利用函数图象，写出一次函数的图象在的上方所对应的自变量的范围即可． 【规范解答】（1）解：过点， ， ∴， ， 一次函数过点，， ， 解得， 一次函数表达式． （2）解：把代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数与轴的交点为， ， ， 又， ． （3）解：由图像可知，当时，一次函数的图象在的上面， ∴不等式的解集为． 20．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到A，B，C三个景点的距离分别为，，，学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为t小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点C游玩，且恰好在返回校门口，求t的最大值； (2)若，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去A，B，C中的哪几个景点？ 【答案】(1)2 (2)学校可能组织学生去景点A或景点B 【思路点拨】本题考查了不等式的应用，解决本题的关键是熟练掌握通过题目条件找出不等关系并能正确列出不等式， （1）根据题意先计算出时间，再列出不等式求解即可； （2）设景点与校门口的距离为．根据题意得，再求解即可． 【规范解答】（1）解：，， ∴， ∴t的最大值为2； （2）解：设景点与校门口的距离为． 根据题意得， 解得． ∴学校可能组织学生去景点A或景点B． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版） 第2章 一元一次不等式和一元一次不等式组 （思维导图+知识梳理+易错点拨+15大考点讲练+优选真题难度分层练 共65题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 3 知识点梳理01：不等式 3 知识点梳理02：一元一次不等式 3 知识点梳理03：一元一次不等式组 4 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组） 4 易错考点点拨汇总 5 易错知识点01：一元一次不等式 5 易错知识点02：一元一次不等式组 5 易错知识点03：一元一次不等式与不等式组的应用 6 期末真题考点汇编讲练 6 期末考向一：不等式的解集 6 重点考点讲练01：不等式的解集 6 期末考向二：一元一次不等式 7 重点考点讲练02：求一元一次不等式的整数解 7 重点考点讲练03：求一元一次不等式解的最值 8 重点考点讲练04：用一元一次不等式解决实际问题 9 重点考点讲练05：用一元一次不等式解决几何问题 10 重点考点讲练06：在数轴上表示不等式的解集 11 期末考向三：一元一次不等式与一次函数 12 重点考点讲练07：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 12 重点考点讲练08：根据两条直线的交点求不等式的解集 13 期末考向四：一元一次不等式组 14 重点考点讲练09：求不等式组的解集 14 重点考点讲练10：解特殊不等式组 15 重点考点讲练11：求一元一次不等式组的整数解 16 重点考点讲练12：由一元一次不等式组的解集求参数 17 重点考点讲练13：不等式组和方程组结合的问题 17 重点考点讲练14：一元一次不等式组的其他应用 18 重点考点讲练15：不等式组的方案选择问题 19 优选真题难度分层练 20 中档题—夯实基础能力 20 压轴题—强化解题技能 23 同学你好，本套讲义针对学校课本内容同步制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02：一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 【易错点剖析】 ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点梳理03：一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组． 【易错点剖析】 （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 知识点梳理04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标. 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 易错知识点01：一元一次不等式 1. 不等式的性质理解不清： 错误理解：例如，对于不等式 a > b，错误地认为加上或减去同一个数后，不等号的方向会改变。 正确理解：不等式的两边加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变。 2. 不等式的解集表示错误： 错误表示：在表示不等式的解集时，错误地使用等号或遗漏解集的范围。 正确表示： x >3. 3.解不等式的步骤混淆： 步骤混淆：在解不等式时，混淆去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤的顺序或方法。 正确步骤：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序逐步求解。 4. 忽视不等式的定义域： 忽视定义域：在解不等式时，忽视题目中给出的变量的定义域限制。 注意定义域：在解不等式前，应首先明确变量的定义域，并在求解过程中始终考虑这一限制。 易错知识点02：一元一次不等式组 1. 不等式组的解集求解错误： 错误求解：在求解不等式组时，错误地理解“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”的口诀，导致解集求解错误。 正确求解：首先分别求出每个不等式的解集，然后根据不等式组中各不等式解集的交集来确定不等式组的解集。 2. 忽视不等式组的解集范围： 忽视范围：在求解不等式组后，忽视解集的范围限制，导致答案错误。 注意范围：在求解不等式组后，应仔细检查解集是否满足题目中的所有条件，包括变量的定义域和其他限制条件。 3. 不等式组与方程组的混淆： 混淆概念：将不等式组与方程组的概念混淆，导致求解方法错误。 区分概念：明确不等式组和方程组的不同之处，不等式组是由多个不等式组成，而方程组是由多个方程组成。在求解时，应分别采用相应的方法。 4. 解集表示方法错误： 错误表示：在表示不等式组的解集时，错误地使用并集、交集等符号，或遗漏解集的部分范围。 正确表示：使用正确的符号表示不等式组的解集 易错知识点03：一元一次不等式与不等式组的应用 1. 应用问题建模错误： 建模错误：在将实际问题抽象为一元一次不等式或不等式组时，错误地理解题意或遗漏关键信息。 正确建模：仔细阅读题目，理解题意，找出题目中的不等关系，并准确地将其抽象为一元一次不等式或不等式组。 2. 解集的实际意义理解不清： 理解不清：在求解应用问题时，忽视解集的实际意义，导致答案不符合题目要求。 理解实际意义：在求解应用问题时，应充分考虑解集的实际意义，如人数不能为负数、时间不能为负等，并根据实际意义对解集进行筛选或调整。 3. 答案表述不准确： 表述不准确：在给出答案时，表述不准确或遗漏重要信息。 准确表述：在给出答案时，应准确、清晰地表述解题过程和结果，包括不等式的建立、求解过程、解集的范围以及解集的实际意义等。 期末考向一：不等式的解集 重点考点讲练01：不等式的解集 【母题精讲】（22-23七年级下·北京昌平·期中）定义新运算“”，规定：．若关于的不等式的解集为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【训练1】（22-23八年级下·江苏·期末）【定义】如果在平面直角坐标系中，点在直线上，我们就把直线叫做点P的“依附线”，点叫做这条直线的“依附点”，叫做点的“依附数”．例如，点在直线上，所以直线为点的“依附线”，点的“依附数”为． 【应用】 (1)已知点，在，，中，与点的“依附数”相同的点是______； (2)已知矩形中，点，，，．若矩形边上存在两个不同的点，都是直线的“依附点”，求的取值范围； (3)若直线上存在点，且点的“依附数”为，当，时，求的取值范围． 【训练2】（23-24七年级下·全国·课后作业）如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是 ，的取值范围是 ． 期末考向二：一元一次不等式 重点考点讲练02：求一元一次不等式的整数解 【母题精讲】（23-24八年级上·福建三明·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（    ） A．0 B． C． D． 【训练1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在下面直角坐标系中，已知三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形的面积不小于面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【训练2】（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则 ． 重点考点讲练03：求一元一次不等式解的最值 【母题精讲】（22-23七年级下·福建泉州·期末）已知实数，，．若，则的最大值为 ． 【训练1】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程的的解．    (1)求a的值． (2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 【训练2】（22-23八年级下·云南临沧·期末）某服装厂每天生产、两种品牌的服装共600件，已知每件品牌服装可获利20元，每件品牌服装可获利15元，设每天生产品牌服装件，获得日总利润为元． （1）写出与之间的函数关系式； （2）如果服装厂要求每天获利不少于10000元，那么每天至少生产品牌服装多少件？ 重点考点讲练04：用一元一次不等式解决实际问题 【母题精讲】（24-25八年级上·广西贵港·期末）苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克． (1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？ (2)若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于268元，则每天卖出的苹果至少是多少千克？ (3)由于天气炎热，当苹果还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的苹果进行打折销售，为确保销售苹果的总利润不低于1016元，最低可以打多少折？ 【训练1】（24-25八年级上·浙江丽水·期末）某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要张大小一样的纸，其中张为彩页，张为黑白页．印制该纪念册的总费用y由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页元/张，黑白页元/张．印刷费与印数的关系如下表． 印数（千册） 彩色（元/张） 黑白（元/张） (1)印制这批纪念册需制版费多少元？ (2)求出关于的函数表达式． (3)如果该校希望印数至少为千册，总费用最多为元，求印数的取值范围（精确到千册） 【训练2】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 6 8.6 11.2 13.8 (1)依据小亮测量的数据，求出y与x之间的函数表达式； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 重点考点讲练05：用一元一次不等式解决几何问题 【母题精讲】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 【训练1】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，过点与点的直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，点在直线上，横坐标为． (1)求直线的函数表达式． (2)求点的坐标． (3)若的面积大于3，直接写出的取值范围． 【训练2】（22-23七年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，，．设点运动时间为，其中．    (1)若，则的取值范围是______； (2)求为何值时，平分的面积； (3)求为何值时，． 重点考点讲练06：在数轴上表示不等式的解集 【母题精讲】（22-23八年级下·陕西咸阳·期末）定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【训练1】（22-23八年级下·山东菏泽·期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【训练2】（22-23八年级下·山西太原·期末）解不等式组并将其解集表示在如图所示的数轴上．    期末考向三：一元一次不等式与一次函数 重点考点讲练07：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【母题精讲】（24-25八年级上·四川成都·期末）关于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数值y随自变量x的增大而增大 B．图象经过第一、三、四象限 C．图象与y轴交于点 D．当时， 【训练1】（24-25八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)画出这个一次函数的图象，并根据图象回答：当______时，； (3)若该一次函数的图象、函数(为常数，)的图象和轴所围成的三角形的面积大于，直接写出的取值范围． 【训练2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求不等式的解集； (3)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 重点考点讲练08：根据两条直线的交点求不等式的解集 【母题精讲】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，点在函数（且）的图象上． (1)若，求的值． (2)若，求的取值范围． (3)设函数，若，当时，求的取值范围． 【训练1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知函数，．若函数与的图象交于轴上的一点，且函数的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为 ． 【训练2】（21-22八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 期末考向四：一元一次不等式组 重点考点讲练09：求不等式组的解集 【母题精讲】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）关于函数，给出下列结论：①当时，此函数是一次函数；②无论取什么值，函数图象必经过点；③若图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是；④若函数图象与轴的交点始终在正半轴，则的取值范围是．其中正确的说法是 ．（只填序号） 【训练1】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为_______． 【训练2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论： ①若它的解集是，则；②当，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；④若不等式组有解，则． 其中正确的结论个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 重点考点讲练10：解特殊不等式组 【母题精讲】（23-24八年级下·全国·期末）已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ． 【训练1】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在一次函数的图像上存在点，使得点关于直线的对称点在的边上，其中，，，则的取值范围是 ．（注：直线是指过且垂直于轴的直线） 【训练2】（20-21九年级上·江西南昌·开学考试）阅读下面的材料，回答问题：如果，求的取值范围． 解：根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，得或，分别解这两个不等式组，得第一个不等式组的解集为，第二个不等式组的解集为．故当或时，． （1）试利用上述方法，求不等式的解集． （2）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，根据图象，请你直接写出关于的不等式的解集． 重点考点讲练11：求一元一次不等式组的整数解 【母题精讲】（24-25九年级上·湖北黄石·期中）不等式组的整数解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【训练1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）对于一次函数（k为常数，），当时，y有3个整数值，则符合条件的整数k的值为 ． 【训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）若是三边的长，且满足关系式是不等式组的最大整数解，求三边的长． 重点考点讲练12：由一元一次不等式组的解集求参数 【母题精讲】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 【训练1】（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组的解集为，则的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【训练2】（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)当a为何整数时，不等式的解集为． 重点考点讲练13：不等式组和方程组结合的问题 【母题精讲】（22-23八年级下·山东潍坊·期末）关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【训练1】（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【训练2】（22-23七年级·河南南阳·期末）已知方程组的解满足，均为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，求的整数值． 重点考点讲练14：一元一次不等式组的其他应用 【母题精讲】（24-25八年级上·广西贺州·期末）某中学决定在“文体周”为一个节目制作、两种道具，共80个，制作的道具需要甲、乙两种材料组合而成，现有甲种材料300件，乙种材料280件，已知组装、两种道具所需的甲、乙两种材料，如下表所示： 甲种材料（件） 乙种材料（件） 道具 3 4 道具 5 2 经过计算，制作一个道具的费用为5元，一个道具的费用为4元．设组装种道具个，所需总费用为元． (1)求与的函数表达式，并求出的取值范围； (2)问组装种道具多少个时，所需总费用最少，最少费用是多少？ 【训练1】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？ 【训练2】（21-22八年级下·山东青岛·期中）某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的3倍，预期进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式： ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 重点考点讲练15：不等式组的方案选择问题 【母题精讲】（24-25八年级上·四川成都·期末）为了增强中学生体质，某学校倡导学生在大课间开展打羽毛球活动，需购买甲、乙两种品牌羽毛球．已知购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，则共有几种购买方案？ 【训练1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． (1)写出（元）关于 （件）的函数关系式； (2)若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 【训练2】（22-23七年级下·福建泉州·期中）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 中档题—夯实基础能力 1．（24-25八年级上·广西桂林·期末）定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如，，，若则x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期末）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）下列不等式的变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ． 5．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，直线与直线交点的横坐标为，则的解为 ． 6．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 7．（24-25八年级上·浙江·期末）解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于，的方程组的解满足． (1)的取值范围是________； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 10．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）某初中八年级数学兴趣小组的同学们，对函数（是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当，时，即．当时，；当时，__________． (2)当，，时，即． ①该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表： … 0 1 4 … … 3 2 … 其中__________． ②在图中所示的平面直角坐标系内画出函数，结合图像写出该函数的一条性质__________． ③已知函数的图像是一条经过点的直线，则关于的不等式的解集是__________． 压轴题—强化解题技能 11．（24-25七年级下·全国·单元测试）不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是晓晓的一次数学课后作业，请帮助晓晓检查一下她的解题过程． 解不等式． 解：去分母，得．    …………① 去括号，得．    …………② 移项，得．    …………③ 合并同类项，得．    …………④ 系数化为1，得．    …………⑤ 晓晓的解题过程开始错误的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x的不等式组的所有整数解的和是9，则a的取值范围是 ． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知点在第二象限，则的取值范围是 ． 16．（24-25八年级上·重庆·期末）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 17．（24-25八年级上·福建福州·期中）在一个三角形中如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为倍半角、这个三角形叫做倍半三角形．例如：在中，，，则与互为倍平角，为倍半三角形． (1)在中，，互为倍半角，，则________°； (2)若为倍半三角形，，求这个三角形中最小的内角度数； (3)已知是倍半三角形中最大的内角，并且都不与其它两个内角互为倍半角，试确定的取值范围，并说明理由． 18．（24-25八年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形W关于直线l的对称图形为，图形上任一点到x轴，y轴的距离的最大值是d，称d是图形W关于直线l的m倍镜像“接收距离”． 已知点，． (1)①线段关于直线l的1倍镜像“接收距离”是______； ②线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，m的取值范围是______； (2)点，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是______． (3)点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”，求m的取值范围（直接写出结果即可）． 19．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集：___________． 20．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到A，B，C三个景点的距离分别为，，，学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为t小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点C游玩，且恰好在返回校门口，求t的最大值； (2)若，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去A，B，C中的哪几个景点？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$