数学（四川成都卷）-学易金卷：2025年中考押题预测卷

( 11 ) 2025年中考押题预测卷（四川成都卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二 、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 9 ． ___________ 10 ． ________________ 11 ． __________ 12 ． _______________ 13 ． ____________________ 三、解答题（共 48 分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 14． （本题满分12分，每小题6分） )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 15． （本题满分8分） 1 6 ． （本题满分8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 7 ． （本题满分 10 分） 1 8 ． （本题满分 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( B卷 一 、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 19． _________________ 20 ． _________________ 21 ． ________________ 22 ． ________________ 23 ． ________________ 　　 二 、 解答 题（ 共3个小题 ，共 30 分） 24.（本题满分8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25 ．（ 本题满分 1 0 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26 ．（ 本题满分 1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考押题预测卷（四川成都卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中，最小的数是（　　）． A．﹣3 B． C．2 D．0 2．据报道，2024年春节假期全国国内旅游出游合计8.26亿人次．8.26亿用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是 （    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．随着人们对垃圾分类的认识不断增强，垃圾分类的知识不断被普及，我国的垃圾分类的水平也日益提高，一些高科技含量的垃圾箱也应运而生，例如：智能垃圾箱就分为“有害垃圾、可回收垃圾”等若干箱体．居民通过刷卡、手机号、人脸识别等身份识别方式进行自动开箱投放，将不同的垃圾投放至不同的箱体内，垃圾箱则根据居民投放的垃圾，自动进行称重，然后换算出可以现金提现或在礼品兑换机兑换实物礼品的积分．长沙市某小区7个家庭一周换算的积分分别为23，25，25，23，30，27，25，关于这组数据，中位数和众数分别是（　　） A．23，25 B．25，23 C．23，23 D．25，25 6．利用圆的等分，在半径为3的圆中作出如图的图案，则相邻两等分点之间的距离为（    ） A．3 B． C．4 D．6 7．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（ ） A． B． C． D． 8．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．分解因式： ． 10．在平面直角坐标系中，将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好落在直线上，则的值为 ． 11．如图，点A、B、C、D在同一直线上，．若，．则的长度等于 ． 12．已知点，，都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 ．（请用“”连接） 13．如图，在中，分别以点A点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N两点，作直线，直线 与相交于点D，连接，若，，则周长为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（1） 计算： ； （2）解不等式组：． 15．某市为了了解市民获取新闻的主要途径，开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下不完整的统计图表． 组别 获取新闻的主要途径 人数 A 电脑上网 280 B 手机上网 m C 电视 140 D 报纸 n E 其他 80 请根据图表信息解答下列问题： (1)这次抽样调查的人数是 ；统计表中，______，并补全条形统计图． (2)扇形统计图中“D”所对应的扇形的圆心角的度数是 ． (3)若该市约有 100万人，请你估计其中将电脑上网和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人数． 16．2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得的距离是，仰角为；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为， (1)求发射台与雷达站之间的距离； (2)求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？（参考数据：，，，，， ） 17．如图，是斜边上的中线，以为直径的与交于点E，过E作的切线与交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点、，使是以为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．若 ，则代数式 的值为 ． 20．已知是一元二次方程的两实根，则 ． 21．1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为 ． 22．如图，在中，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折得到，与交于点，当时，则 23．如图，在等边中，D为内一点，且，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．合肥市某超市经销某种特色水果的成本为每千克20元，一段时间内，销售单价P（元/千克）与时间t（天）的函数图像如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：（其中天数t为整数）．    (1)当天，求销售单价P（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式； (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 25．如图①，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接，点是抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式． (2)当点不与点、重合时，作直线，交直线于点，若的面积是面积的4倍，求点的横坐标． (3)如图②，当点在第一象限时，连接，交线段于点，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，的面积是否变化？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由． 26．已知是等腰直角三角形，，D为平面内一点．    (1)如图1，当D点在的中点时，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，若，求的周长； (2)如图2，当D点在外部时，E、F分别是的中点，连接，将绕E点逆时针旋转得到，连接，若，请探究之间的数量关系并给出证明； (3)如图3，当D在内部时，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，若经过中点F，连接，G为的中点，连接并延长交于点H，当最大时，请直接写出的值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（四川成都卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中，最小的数是（　　）． A．﹣3 B． C．2 D．0 2．据报道，2024年春节假期全国国内旅游出游合计8.26亿人次．8.26亿用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是 （    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．随着人们对垃圾分类的认识不断增强，垃圾分类的知识不断被普及，我国的垃圾分类的水平也日益提高，一些高科技含量的垃圾箱也应运而生，例如：智能垃圾箱就分为“有害垃圾、可回收垃圾”等若干箱体．居民通过刷卡、手机号、人脸识别等身份识别方式进行自动开箱投放，将不同的垃圾投放至不同的箱体内，垃圾箱则根据居民投放的垃圾，自动进行称重，然后换算出可以现金提现或在礼品兑换机兑换实物礼品的积分．长沙市某小区7个家庭一周换算的积分分别为23，25，25，23，30，27，25，关于这组数据，中位数和众数分别是（　　） A．23，25 B．25，23 C．23，23 D．25，25 6．利用圆的等分，在半径为3的圆中作出如图的图案，则相邻两等分点之间的距离为（    ） A．3 B． C．4 D．6 7．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（ ） A． B． C． D． 8．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．分解因式： ． 10．在平面直角坐标系中，将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好落在直线上，则的值为 ． 11．如图，点A、B、C、D在同一直线上，．若，．则的长度等于 ． 12．已知点，，都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 ．（请用“”连接） 13．如图，在中，分别以点A点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N两点，作直线，直线 与相交于点D，连接，若，，则周长为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（1） 计算： ； （2）解不等式组：． 15．某市为了了解市民获取新闻的主要途径，开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下不完整的统计图表． 组别 获取新闻的主要途径 人数 A 电脑上网 280 B 手机上网 m C 电视 140 D 报纸 n E 其他 80 请根据图表信息解答下列问题： (1)这次抽样调查的人数是 ；统计表中，______，并补全条形统计图． (2)扇形统计图中“D”所对应的扇形的圆心角的度数是 ． (3)若该市约有 100万人，请你估计其中将电脑上网和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人数． 16．2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得的距离是，仰角为；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为， (1)求发射台与雷达站之间的距离； (2)求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？（参考数据：，，，，， ） 17．如图，是斜边上的中线，以为直径的与交于点E，过E作的切线与交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点、，使是以为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．若 ，则代数式 的值为 ． 20．已知是一元二次方程的两实根，则 ． 21．1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为 ． 22．如图，在中，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折得到，与交于点，当时，则 23．如图，在等边中，D为内一点，且，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．合肥市某超市经销某种特色水果的成本为每千克20元，一段时间内，销售单价P（元/千克）与时间t（天）的函数图像如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：（其中天数t为整数）．    (1)当天，求销售单价P（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式； (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 25．如图①，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接，点是抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式． (2)当点不与点、重合时，作直线，交直线于点，若的面积是面积的4倍，求点的横坐标． (3)如图②，当点在第一象限时，连接，交线段于点，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，的面积是否变化？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由． 26．已知是等腰直角三角形，，D为平面内一点．    (1)如图1，当D点在的中点时，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，若，求的周长； (2)如图2，当D点在外部时，E、F分别是的中点，连接，将绕E点逆时针旋转得到，连接，若，请探究之间的数量关系并给出证明； (3)如图3，当D在内部时，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，若经过中点F，连接，G为的中点，连接并延长交于点H，当最大时，请直接写出的值． 10 / 11 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考押题预测卷（四川成都卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 4分，共 16分） 9．___________ 10．________________ 11．__________ 12．_______________ 13．____________________ 三、解答题（共 48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（本题满分 12分，每小题 6分） 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 15．（本题满分 8分） 16．（本题满分 8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（本题满分 10分） 18．（本题满分 10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ B卷 一、填空题（每小题 4分，共 20分） 19．_________________ 20．_________________ 21．________________ 22．________________ 23．________________ 二、解答题（共 3个小题，共 30分） 24.（本题满分 8分） 请在各题目的答 区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（本题满分 10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（本题满分 12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年中考押题预测卷（四川成都卷） 数学·参考答案 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A D D A A D 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 10. 11. 12. 13.4 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14.【详解】解：（1）原式 ；…………6分 （2）解不等式组： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集是．…………12分 15. 【详解】（1）解：由题可得：这次抽样调查的人数为（人）， ∴，， 补全条形统计图如下： 故答案为1000；400；…………3分 （2）解：由（1）可得：图中“D”所对扇形的圆心角度数为； 故答案为；…………5分 （3）解：由题意得： （人）； 答：电脑上网和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人数为68万人．…………8分 16.【详解】（1）解：在中，， 由，得． 答：发射台与雷达站之间的距离为；…………3分 （2）（2）在中，， 由，得 ， 又∵，得， ∴， 这枚火箭从A到B的平均速度：， 答：这枚火箭从A到B的平均速度大约是．…………8分 17. 【详解】（1）连接 ∵是的切线 ∴ ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴． ∴， ∴ ∴ ∴；…………4分 （2）由，设，， ∵， ∴ ∴． ∴． ∴正数 ∴，， 连接 ∵是直径， ∴ ∴     ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴．…………10分 【点睛】此题主要考查圆的切线判定综合，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟知切线的性质及相似三角形的判定与性质． 18. 【详解】（1）解：将带入得：， 解得： ∴， 将代入得：， ∴反比例函数的表达式为：， 联立， 解得：， ∴， 综上：反比例函数的表达式为：，；…………3分 （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小， ∵， ∴；…………6分 （3）解：设，， ①在点右侧时，过点作轴于点F，过点M作，交的延长线于点H， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴，…………8分 ②在点左侧时， 同理可得， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上：或．…………10分 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，将军饮马，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握反比了函数和一次函数的性质，会用待定系数法求解函数表达式，具有分类讨论的思想． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19./ 20.64 21. 22. 23. 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24.【详解】（1）设销售单价P（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为， 把点代入解析式，得， 解得， 故销售单价P（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为．…………3分 （2）设日销售利润为w元，天时， ∴当时，w有最大值为1250； 当时，， ∴， ∴第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元．…………8分 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． 25. 【详解】（1）解：二次函数经过、， 代入得，解得， 所以二次函数的表达式为．…………3分 （2）解：如图所示，当在轴上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点， ∴， ∴， ， ， ， ， 设点， ，， ，， ， ， 点的坐标可表示为， ∵为二次函数与轴交点， ， 设直线的解析式为， 把点，代入得： 解得： ∴直线的解析式为， 在上， ， 解得或． 即此时点P的坐标为或； 如图所示，当在轴下方时， 同理①可求出点的横坐标为或， ， 当点横坐标为时，在抛物线的段，不合题意，舍去， 综上所述，点的横坐标为或或．…………6分 （3）解：如图所示，以为底在轴上方作等腰直角三角形，连接，过点作轴于点， 和均为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 两条平行线之间的距离相等， 在运动时，到的距离保持不变，其距离都等于的长， 在等腰直角三角形中，， ， ． 综上所述，的面积不变，为4．…………10分 【点睛】本题是二次函数综合题，第一问考查了二次函数的解析式的求法，第二问是二次函数和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而表示出点的坐标，第三问则是利用了瓜豆原理的思想进行求解． 26. 【详解】（1）解：过点E作交的延长线于H，如图1，    ∵点D是的中点，且， ∴， 在中，， ∴，， 由旋转得： ，， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的周长；…………3分 （2）猜想：，理由如下： 如图2，连接，过点F作交于H，    ∵是等腰直角三角形，E、F分别是的中点， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴；…………6分 （3）设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，如图，    ∵将绕点D逆时针旋转，得到， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵Q是的中点，G是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 设，则， 在中，， ， 当A、Q、G三点共线时， ，取得最大值， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点，G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为．…………12分 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 10 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（四川成都卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中，最小的数是（　　）． A．﹣3 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据正数、负数、0的大小关系即可比较 【详解】四个数中，最小的数是-3， 故选A 2．据报道，2024年春节假期全国国内旅游出游合计8.26亿人次．8.26亿用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：8.26亿； 故选：B． 3．下列运算正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据积的乘方运算、单项式乘以单项式运算法则、合并同类项、平方差公式进行计算即可做出判断． 【详解】A、，此选项正确； B、，此选项错误； C、，此选项错误； D、，此选项错误， 故选：A． 【点睛】本题考查积的乘方、单项式乘以单项式、合并同类项、平方差公式，熟记平方差公式，掌握各运算法则是解答的关键． 4．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据相似多边形的性质可得，再结合四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵ 四边形 四边形 ， ， ∴， ∵，， ∴； 故选：D 5．随着人们对垃圾分类的认识不断增强，垃圾分类的知识不断被普及，我国的垃圾分类的水平也日益提高，一些高科技含量的垃圾箱也应运而生，例如：智能垃圾箱就分为“有害垃圾、可回收垃圾”等若干箱体．居民通过刷卡、手机号、人脸识别等身份识别方式进行自动开箱投放，将不同的垃圾投放至不同的箱体内，垃圾箱则根据居民投放的垃圾，自动进行称重，然后换算出可以现金提现或在礼品兑换机兑换实物礼品的积分．长沙市某小区7个家庭一周换算的积分分别为23，25，25，23，30，27，25，关于这组数据，中位数和众数分别是（　　） A．23，25 B．25，23 C．23，23 D．25，25 【答案】D 【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可． 【详解】解：把这组数据从小到大排列为：23，23，25，25，25，27，30，处在最中间的数据为25， ∴这组数据的中位数为25； ∵25出现了3次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为25； 故选D 【点睛】本题主要考查了求中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键． 6．利用圆的等分，在半径为3的圆中作出如图的图案，则相邻两等分点之间的距离为（    ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】如解析图，只需要证明是等边三角形，即可得到． 【详解】解：如图所示，A、B是相邻两等分点，连接， 由题意得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，证明是等边三角形是解题的关键． 7．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生，列出方程组，即可作答． 【详解】解：设有醇酒瓶，薄酒瓶， 根据题意得：， 故选：． 8．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴，以及与轴的交点判断A，根据过点，判断B选项，根据抛物线与轴有2个交点判定C选项，根据对称轴为直线，判断D选项，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可知，抛物线开口向下，则，对称轴为直线，即， ∴，即， ∴，故D选项正确 抛物线与轴交于正半轴，则， ∴，故A选项错误， ∵抛物线经过点，对称轴为直线，则过点， ∴，故B选项错误， ∵抛物线与轴有2个交点， ∴，故C选项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．分解因式： ． 【答案】 【分析】先提取公因式，再使用平方差公式即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式和公式法的综合应用，熟知以上知识是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好落在直线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据点的坐标平移规律可得点平移后的点坐标，再根据该点恰好落在直线上，代入求解即可． 【详解】解：将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点， 根据题意，得，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，熟练掌握点的坐标平移规律是解题的关键． 11．如图，点A、B、C、D在同一直线上，．若，．则的长度等于 ． 【答案】 【分析】先求出的长，再根据全等三角形对应边相等即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：5 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 12．已知点，，都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 ．（请用“”连接） 【答案】 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=0，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】的图象开口朝上，对称轴是直线， 关于直线的对称点是 当时，y随x的增大而增大， 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 13．如图，在中，分别以点A点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N两点，作直线，直线 与相交于点D，连接，若，，则周长为 ． 【答案】4 【分析】由作图可知是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式计算即可得出答案． 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线， ， ，， 的周长． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作图及其性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．（1） 计算： ； （2）解不等式组：． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算加减； （2）分别计算两个一元一次不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小找不到求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）解不等式组： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 原不等式组的解集是． 15．某市为了了解市民获取新闻的主要途径，开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下不完整的统计图表． 组别 获取新闻的主要途径 人数 A 电脑上网 280 B 手机上网 m C 电视 140 D 报纸 n E 其他 80 请根据图表信息解答下列问题： (1)这次抽样调查的人数是 ；统计表中，______，并补全条形统计图． (2)扇形统计图中“D”所对应的扇形的圆心角的度数是 ． (3)若该市约有 100万人，请你估计其中将电脑上网和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人数． 【答案】(1)1000；400；图见详解 (2) (3)电脑上网和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人数为68万人 【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图，解题的关键是理清题中所给数据； （1）根据扇形统计图及表格可进行求解； （2）由（1）可得“D”的人数，然后问题可求解； （3）根据“A”、“B”所占的百分比及题意可进行求解． 【详解】（1）解：由题可得：这次抽样调查的人数为（人）， ∴，， 补全条形统计图如下： 故答案为1000；400； （2）解：由（1）可得：图中“D”所对扇形的圆心角度数为； 故答案为； （3）解：由题意得： （人）； 答：电脑上网和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人数为68万人． 16．2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得的距离是，仰角为；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为， (1)求发射台与雷达站之间的距离； (2)求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）？（参考数据：，，，，， ） 【答案】(1)发射台与雷达站之间的距离为 (2)这枚火箭从A到B的平均速度大约是 【分析】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角，理解题意是关键． （1）利用锐角三角函数关系求解即可； （2）先利用锐角三角函数关系求解、，进而求得即可求解． 【详解】（1）解：在中，， 由，得． 答：发射台与雷达站之间的距离为； （2）（2）在中，， 由，得 ， 又∵，得， ∴， 这枚火箭从A到B的平均速度：， 答：这枚火箭从A到B的平均速度大约是． 17．如图，是斜边上的中线，以为直径的与交于点E，过E作的切线与交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质及直角三角形斜边上中线定理证明得到，故可求解； （2）由，设，，根据勾股定理求出，，连接，证明，列出比例关系即可求出，． 【详解】（1）连接 ∵是的切线 ∴ ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴． ∴， ∴ ∴ ∴； （2）由，设，， ∵， ∴ ∴． ∴． ∴正数 ∴，， 连接 ∵是直径， ∴ ∴     ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 【点睛】此题主要考查圆的切线判定综合，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟知切线的性质及相似三角形的判定与性质． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式及点的坐标； (2)在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点、，使是以为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出点A的坐标，再用待定系数法求出反比例函数的表达式，最后联立一次函数和反比例函数表达式，即可求出点B的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，用勾股定理即可求解； （3）设，，根据题意，构造全等三角形，进行分类讨论，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将带入得：， 解得： ∴， 将代入得：， ∴反比例函数的表达式为：， 联立， 解得：， ∴， 综上：反比例函数的表达式为：，； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小， ∵， ∴； （3）解：设，， ①在点右侧时，过点作轴于点F，过点M作，交的延长线于点H， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ②在点左侧时， 同理可得， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，将军饮马，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握反比了函数和一次函数的性质，会用待定系数法求解函数表达式，具有分类讨论的思想． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．若 ，则代数式 的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的化简求值，先得到，然后把括号内分式通分，除法化为乘法，然后因式分解约分，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 20．已知是一元二次方程的两实根，则 ． 【答案】64 【分析】 本题主要考查了二次函数根与系数的关系以及已知式子的值，求代数式的值，先根据根与系数的关系得出，，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：根据根与系数的关系可得：，， ∴ ， 故答案为：64． 21．1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为 ． 【答案】 【分析】将这一列数继续写下去，发现这列数的变化规律即可解答． 本题主要考查的是数字规律类问题，发现这列数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数． 由于， 即前2025个数共有组， ∴奇数有个． 故答案为：． 22．如图，在中，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折得到，与交于点，当时，则 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由，，得，由翻折可得，设，则，则，求得，设，则，由，则，解得，则，由勾股定理求出，过点作于点，则， 证明，得到，即，解得，由勾股定理求出，进而求出，再由勾股定理求出，即可求解．掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由翻折可得：， ∵， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 在中，， 如图，过点作于点，则， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 23．如图，在等边中，D为内一点，且，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】作的外接圆，连接并延长分别交于点，作于点，作交延长线于点，连接、、、，利用三角形外接圆的性质得到是等边三角形，利用锐角三角函数的定义可得，，则有，，通过证明得到，，设，，在中利用勾股定理整理得到，再通过证明，得到，代入数据整理得到，联立方程解出的值，即可求出的长． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接并延长分别交于点，作于点，作交延长线于点，连接、、、， ，， ， 等边， ，， 是的外接圆，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在中，，， ，， ， ， ， 又，， ， ，， 设，， ，，，， 在中，， 在中，， ， 整理得：； ，， ， ， ， ， 整理得：； 得，， 解得：或（舍去）， 代入到②，得， 解得：或（舍去）， ． 的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的外接圆、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，利用三角形外接圆的性质建立方程是解题的关键．本题属于几何综合题，对几何知识储备要求较高，同时需要较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．合肥市某超市经销某种特色水果的成本为每千克20元，一段时间内，销售单价P（元/千克）与时间t（天）的函数图像如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：（其中天数t为整数）．    (1)当天，求销售单价P（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式； (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 【答案】(1) (2)第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元 【分析】（1）设销售单价P（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为，把点代入解析式，确定即可． （2）根据利润=数量×单件利润，列式计算即可． 【详解】（1）设销售单价P（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为， 把点代入解析式，得， 解得， 故销售单价P（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为． （2）设日销售利润为w元，天时， ∴当时，w有最大值为1250； 当时，，∴， ∴第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． 25．如图①，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接，点是抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式． (2)当点不与点、重合时，作直线，交直线于点，若的面积是面积的4倍，求点的横坐标． (3)如图②，当点在第一象限时，连接，交线段于点，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，的面积是否变化？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 (3)的面积不变，为4 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）分两种情况：，当在轴上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，可得，再由的面积是面积的4倍，可得，设点，可得点的坐标可表示为，再求出直线的解析式；当在轴下方时，同理可求出点的横坐标为或，即可； （3）以为底在轴上方作等腰直角三角形，连接，过点作轴于点，可证得，从而得到，进而得到，再由两条平行线之间的距离相等，可得在运动时，到的距离保持不变，其距离都等于的长，即可． 【详解】（1）解：二次函数经过、， 代入得，解得， 所以二次函数的表达式为． （2）解：如图所示，当在轴上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点， ∴， ∴， ， ， ， ， 设点， ，， ，， ， ， 点的坐标可表示为， ∵为二次函数与轴交点， ， 设直线的解析式为， 把点，代入得： 解得： ∴直线的解析式为， 在上， ， 解得或． 即此时点P的坐标为或； 如图所示，当在轴下方时， 同理①可求出点的横坐标为或， ， 当点横坐标为时，在抛物线的段，不合题意，舍去， 综上所述，点的横坐标为或或． （3）解：如图所示，以为底在轴上方作等腰直角三角形，连接，过点作轴于点， 和均为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 两条平行线之间的距离相等， 在运动时，到的距离保持不变，其距离都等于的长， 在等腰直角三角形中，， ， ． 综上所述，的面积不变，为4． 【点睛】本题是二次函数综合题，第一问考查了二次函数的解析式的求法，第二问是二次函数和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而表示出点的坐标，第三问则是利用了瓜豆原理的思想进行求解． 26．已知是等腰直角三角形，，D为平面内一点．    (1)如图1，当D点在的中点时，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，若，求的周长； (2)如图2，当D点在外部时，E、F分别是的中点，连接，将绕E点逆时针旋转得到，连接，若，请探究之间的数量关系并给出证明； (3)如图3，当D在内部时，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，若经过中点F，连接，G为的中点，连接并延长交于点H，当最大时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点E作交的延长线于H，分别求出求出的长，即可得到答案； （2）连接，过点F作交于H，证明， 则，证明是等腰直角三角形，得到，，证明， 则，由即可证明结论； （3）设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，证明，则，设，则，在中，，，当A、Q、G三点共线时，，取得最大值，证明，则，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：过点E作交的延长线于H，如图1，    ∵点D是的中点，且， ∴， 在中，， ∴，， 由旋转得： ，， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的周长； （2）猜想：，理由如下： 如图2，连接，过点F作交于H，    ∵是等腰直角三角形，E、F分别是的中点， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，如图，    ∵将绕点D逆时针旋转，得到， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵Q是的中点，G是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 设，则， 在中，， ， 当A、Q、G三点共线时， ，取得最大值， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点，G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 28 / 29 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$