数学（北京卷）-【试题猜想】2025年中考考前最后一卷

2025年中考考前最后一卷（北京卷） 数 学 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．（本题2分）戏剧文创产业是以戏剧为主题的创意文化产业．下列与戏剧有关的文创图案中，成轴对称的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.不是轴对称图形，不符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2．（本题2分）2025年1月7日，长征三号乙运载火箭成功将实践二十五号卫星发射升空，标志着2025年中国航天发射任务的“开门红”．该火箭主要用于发射高轨航天器，并计划在2025年保持高密度发射，完成小行星探测等十几次重大任务．长征三号乙运载火箭的载重高达千克，用科学记数法表示为（    ）千克． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：长征三号乙运载火箭的载重高达千克，用科学记数法表示为千克． 故选：A． 3．（本题2分）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的定义，对顶角的性质，根据垂线的定义得到，根据对顶角相等得到，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（本题2分）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，能够根据有理数在数轴上对应点的位置进行判断是解题的关键．根据有理数，在数轴上对应点的位置进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 故选：D． 5．（本题2分）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．用球的总个数乘以摸到红球的频率即可． 【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为（个）， 故选：C． 6．（本题2分）关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．实数根的个数由b的值确定 B．没有实数根 C．两根互为倒数 D．若，则两根互为相反数 【答案】D 【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 所以此一元二次方程有两个不相等的实数根， 两根之积等于， 当时，方程变形为，解得或，即两根互为相反数， 故选：D． 7．（本题2分）如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图： 第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； 第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点； 第三步：作射线，交于点，交延长线于点． 作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，即可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故①正确； ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴， ∵， ∴，故②正确， 故选：B． 8．（本题2分）如图（1），为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②当点在上时，；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是(   ) A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 【答案】C 【分析】根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得到、的长度，再根据、是从5秒到7秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各结论分析解答即可． 【详解】解：如图所示： 根据图（1）（2）可得，当点到达点时，点到达点， 点、的运动的速度都是秒， ， ，故①正确； 动点，同时从点出发，运动速度都是秒，设、同时出发秒时， 当点在上时，，即是等腰三角形，则， 过点作于点，如图所示： ， 从到的变化是2， ， ， 在中，， ， ， ， ，， 设， 在中，由勾股定理可得，则，解得， ， 当点在上时，，故②错误； ， 当时，，故③正确； 当秒时，点在上，此时，， ， ，， ， 又， ，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，涉及从函数图象中获取信息、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，根据图（1）（2）判断出点到达点时点到达点是解题的关键，也是本题的突破口． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9．（本题2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数，分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：若分式在实数范围内有意义， 则， 解得，且． 故答案为：且． 10．（本题2分）分解因式： . 【答案】 【分析】本题考查分解因式，涉及提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，根据多项式结构特征，先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案，综合运用提公因式法及公式法分解因式是解决问题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 11．（本题2分）方程的解是 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先去分母，化为整式方程，再解即可，注意验根． 【详解】解：， 去分母，得， 化简，得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故答案为：． 12．（本题2分）下面是某小区随机抽取的60户家庭的某月用电量（千瓦时/户/月）情况统计表： 月用电量x 户数 （户） 7 15 19 14 5 已知该小区有1800户家庭，由此估计月用电量超过300千瓦时的家庭有 户． 【答案】570 【分析】本题考查频数分布表，用样本估计总体，能从频数分布表中获取有用信息是解题的关键． 将样本中月用电量超过300千瓦时的家庭数所占比例乘以1800即可作出估计． 【详解】解：（户， 估计月用电量超过300千瓦时的家庭有570户， 故答案为：570． 13．（本题2分）已知点在反比例函数（为常数）图象上，若且，则 0（请在中选择一个符号填写在横线上）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，由反比例函数的性质可知若，则，若，则，即可得出答案，明确双曲线位于一、三象限，点在同一象限是解题的关键． 【详解】解： ∴双曲线位于一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小， ∵点在反比例函数，且， ∴点在同一象限， ， 当在第一象限时， 若，则， ； 若，则， ； 当在第三象限时， 若，则， ； 若，则， ； 综上，， 故答案为：． 14．（本题2分）如图，为的直径，点C、D在上，若，则的度数是 ．    【答案】/70度 【分析】本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理的内容是解此题的关键． 连接，根据圆周角定理求出和，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：连接，   ， ， 为的直径， ， ， 故答案为：． 15．（本题2分）如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，，于点，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 根据勾股定理求得的长，结合平行四边形的性质求得的长，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴在中， ∴在中， 在中， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 16．（本题2分）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 2 1 （1）第一局投中A区5次，B区5次，则本局得分是 分； （2）第二局投中A区7次，B区m次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局降低了2分，则 ． 【答案】 15 1 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可列出方程，然后进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得： （分）； 故答案为15； （2）由题意得： 解得：； 故答案为1． 三、解答题（本题共68分，第17、18、19、22、23、25题每小题5分，第20、21、24、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（本题5分）计算． 【答案】3 【分析】此题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数进行计算即可． 【详解】解：原式 18．（本题5分）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 19．（本题5分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．（本题6分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质以及矩形的判定方法证明即可． （2）由矩形的性质得出，利用勾股定理求出，再证明，由相似三角形的性质得出，进而可得出． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 21．（本题6分）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶0.8米，求“致远号”的行驶速度． 【答案】“致远号”的行驶速度为米/秒 【分析】本题考查了分式方程的应用，设“致远号”的行驶速度为米/秒，则“领航号”的行驶速度为米/秒，根据“当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的”列出分式方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：设“致远号”的行驶速度为米/秒，则“领航号”的行驶速度为米/秒， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：“致远号”的行驶速度为米/秒． 22．（本题5分）已知直线与直线． (1)如果，当x取何值时，？ (2)如果两条直线相交于点A，A点的横坐标x满足，求整数n的值． 【答案】(1)当时， (2)或 【分析】本题考查了两条直线相交问题，关键是根据两直线相交联立方程解答． （1）把代入直线解析式，列出不等式即可求解； （2）根据两直线相交联立方程解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴直线，直线． 依题意有， 解得， 故当时，； （2）解：由得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 又∵n是整数， ∴整数或． 23．（本题5分）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 7 4.48 37.5% 乙组 7.625 7 0.73 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_____； (2)甲乙两组的这次初赛成绩中_____组的初赛成绩更整齐； (3)全校共有1600名学生参加了这次初赛，如果以甲乙两组的平均优秀率作为全校的优秀率，估计全校学生初赛成绩为优秀的大约有_____人； (4)已知甲乙两组初赛成绩是优秀的5名学生中有2名是女生、3名男生，若从5名学生中随机抽取2名学生在班上介绍学习经验，则恰好抽出一男一女的概率为_____； (5)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为甲组的成绩比乙组好，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出一条即可）． 【答案】(1)7.5 (2)乙 (3)500 (4) (5)见解析 【分析】本题考查了方差，加权平均数，中位数和众数，概率等知识，解题的关键是． （1）根据中位数的定义和计算公式计算即可； （2）从方差角度进行分析即可； （3）先计算出乙组的优秀率，然后求出全校平均优秀率，最后用1600乘以全校平均优秀率即可； （4）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解； （5）从优秀率，中位数等角度中进行分析即可．． 【详解】（1）解：， 故答案为：7.5； （2）解：∵， ∴乙组成绩波动较小， ∴乙组的初赛成绩更整齐， 故答案为：乙； （3）解：乙组的优秀率为， 全校的平均优秀率为， 估计全校学生初赛成绩为优秀的大约有人， 故答案为：500； （4）解：设女生为A，男生为B， 列表如下： A A B B B A A B B B ∴共有20种可能结果，其中恰好抽出一男一女的结果有12种， ∴P（两人同时看同一个直播节目）． （5）解：乙组中7出现的次数最多，则众数， 从优秀率看：甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率， ∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好； 从中位数看，甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数7， ∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好． 24．（本题6分）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线定义，得，可得，得，得，即得； （2）连接交于，根据垂径定理推论得，，根据，，得，，得，，根据，得，即得． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）解：如图2，连接交于， ， ， 是劣弧的中点， ，，， ∵，， ， ， ， 由（1）知， ， ，即， 解得，； ，，， ∴， ， ； 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查圆与三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰三角形性质，平行线判定和性质，切线判定和性质，垂径定理推论等边三角形判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，全等三角形判定和性质，扇形面积公式，是解题的关键． 25．（本题5分）已知二次函数的图像顶点为，且经过点． (1)二次函数的图像与x轴的另一个交点坐标为 ． (2)求这个二次函数的表达式； (3)请结合图像，直接写出：当函数值时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)（或） (3) 【分析】考查了待定系数法确定二次函数的解析式及抛物线与x轴的交点问题． （1）根据对称轴及与x轴的一个交点求得另一个交点坐标； （2）设出二次函数的顶点式，然后代入顶点坐标及经过的一点即可求得解析式； （3）结合图形确定自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：观察图象知：对称轴为，与x轴交于一点， 所以图象与x轴另一交点为； （2）解：设二次函数的解析式为， ∵图象顶点为， ∴， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴解析式为； （3）解：结合图象知：当函数值时，x的取值范围． 26．（本题6分）我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据： 销售单价（元/件） … 30 40 50 60 … 每天销售量（件） … 500 400 300 200 … (1)把上表中、的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数关系，并求出函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润？ 【答案】(1)，见解析； (2)当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润． 【分析】本题考查画函数图象，求一次函数解析式，二元一次方程的应用，一元二次方程的应用．解题关键是根据题意列出方程与求出函数解析式． （1）描点，由图可猜想与是一次函数关系，利用待定系数法求出表达式即可； （2）利润销售总价成本总价单件利润销售量．据此列方程，求解即可值． 【详解】（1）解：画图如图； 由图可猜想与是一次函数关系． 设一次函数的解析式为 一次函数的图象经过，这两点， ，解得， 函数关系式是：； （2）解：根据题意，得 化简整理，得， 解得：， 答：当销售单价定为40元或60元时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润． 27．（本题7分）如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，的延长线交于点．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在变化的过程中，当时，解答下列问题： ①猜测与的数量关系，并加以证明； ②若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①，见解析；② 【分析】（1）根据余角的性质得出，根据等腰三角形的性质求出．根据三角形内角和定理求出； （2）连接，根据等腰三角形的判定和性质，进行证明即可； （3）①过点作，垂足为，证明，得出，证明，得出，证明，即可得出结论； ②设．在中，根据勾股定理得出，得出，求出，根据勾股定理得出，求出，最后根据中位线性质求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ． ； （2）证明：如图，连接． 根据旋转可知：， ， 由（1）知， ， ， ； （3）解：①． 证明：如图，过点作，垂足为， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图2，设． 由①知， ， ． ， 在中，， ， 解得（舍去）或， ， 在中，， ， 解得或（舍去）， ． 由①知， 是的中位线 ． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，余角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 28．（本题7分）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①， 点O为坐标原点，的半径为1， 点． 动点B在上，连接， 作等边（为顺时针顺序），求的最大值． 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接， 以为边在 的左侧作等边三角形 ， 连接． （1） 请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （2） 线段的最大值为 ． 【灵活运用】 （3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为， 点 P 为线段 外一动点， 且，求线段长的最大值． 【迁移拓展】 （4）如图③， ， 点D 是以为直径的半圆上不同于 B、C的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】（1），理由见详解；（2）；（3）的值最大是；（4）的最大值为，最小值为． 【分析】（1）根据题意作图，连接，根据等边三角形的性质可证，由此即可求解； （2）根据题意可得的最大值即为的最大值，当点三点共线时，的值最大，由的半径为1， 点，得到的最大值为，由此即可求解； （3）根据题意，将绕点顺时针旋转后，点与点重合，点的对应点为点，如图所示，得到，，则是等腰直角三角形，则有的最大值即为的最大值，当点三点共线时，，即最大值为，分别求出，的值即可求解； （4）根据题意，分类讨论：以为边的等边在左侧时，以为边作等边，连接，可证，得到，则有的最大值即为的最大值，当时，的值最大，即经过垂直于时的直径时，的值最大；当以为边的等边在右侧时，以为边作等边，连接，可证，得到，则有的最小值即可为的最小值，当时，的值最小；根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）与相等的线段是，理由如下， 根据题意，，是等边三角形，作图如下，连接， ∴， ∴点在以点为圆心，以为半径的上， ∵，是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与相等的线段是， 故答案为：； （2）∵， ∴的最大值即为的最大值， 在中， ∵， ∴当点三点共线时，的值最大， ∵的半径为1， 点， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：； （3）∵， ∴将绕点顺时针旋转后，点与点重合，点的对应点为点，如图所示，则， ∴，，则是等腰直角三角形， ∴的最大值即为的最大值， ∵， ∴当点三点共线时，，即最大值为， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的值最大是， ∴的值最大是； （4）如图所示，以为边的等边在左侧时，以为边作等边，连接， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴的最大值即为的最大值， ∵点D 是以为直径的半圆上不同于 B、C的一个动点， ∴当时，的值最大，即经过垂直于时的直径时，的值最大，如图所示，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为； 如图所示，当以为边的等边在右侧时，以为边作等边，连接， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值即可为的最小值，当时，的值最小， 同理，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 综上所述，的最大值为，最小值为． 【点睛】本题主要考查坐标于图形，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的基础知识的综合运用，掌握圆的基础知识，正确作出辅助线，构造三角形全等，数形结合分析思想是解题的关键． 28 / 29 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$念学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 2025年中考考前最后一卷(北京卷) 数学·参考答案 第I卷 一、选择题(本题共8个小题,每小题2分,共16分)每题均有四个选项,符合题意的选项只有一个 ) ,2 2 3 6 7 1 8 1D D B A , C 第II卷 二、填空题(本题共8个小题,每小题2分,共16分) x-2且x-1 10. 4(x+3)(x-3 2 11. 5 12.570 13. 14. 70/70度 #72 15. 3 16. 15 1 三、解答题(本题共68分,第17、18、19、22、23、25题每小题5分,第20、21、24、26题每小题6分 第27,28题每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17.(5分)解:原式-4-(2-③)+1-3 =4-2+3+1-3 .....4.. =3. 18.(5分)解: 5-2(x-2)>3-r② 解不等式①得:x<7 .2分 解不等式②得:x6 ....4分 1/12 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 .不等式组的解集为: :×6. (1)- 19.(5分)解: ) -x+1(x-1)* x-1 x+1 #21-2+时,原式-2+1-1- 当$--1(-1)(2+1) 20.(6分)(1)证明:·四边形ABCD是菱形, .AC1BD,40-OC-AC 2 ./D0C=90*. *DE=OC,DE//0C. .四边形0CED是矩形: (2)解:·AC=3CE=6, .CE=2. ·四边形0CED是矩形, .乙ACE=90*. 在RtACE中. 由勾股定理得:AE=AC*+CE=6+2^=21$ ·DE//AC, $ DEF= FAC, EDF= ACF 2 二 2v0 ....6分 3 2/12 3学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 21.(6分)解:设“致远号”的行驶速度为x米/秒,则“领航号”的行驶速度为(x+0.8)米/秒 30x4 由题意可得: 0.8+× x 解得:x=3.2. 经检验,x=3.2是原方程的解,且符合题意 答:“致远号”的行驶速度为3.2来/秒 22.(5分)(1)解:m=-1,n=1. .直线y=-x+3-1=-x+2,直线yv=-2x-2+2=-2x 依题意有-x+2>-2x. 解得x>-2. 故当x-2时,V>y; .2分 (2)解:由y=y得:mx+3n-1=(m-1x-2n+2, 解得:x=-5i+3. .-1<x13. .-1<-5n+313. 解得:-2<n _/ 又:n是整数. :整数i=-1或0. 7+8 23.(5分)(1)解:a-- 37.5. 2 故答案为:7.5: (2)解::4.480.73, ·乙组成绩波动较小 ·乙组的初赛成绩更整齐 故答案为:乙; (3)解:乙组的优秀率为2+8x100%=25%, 37.5%+25%-31.25%. 全校的平均优秀率为 估计全校学生初赛成绩为优秀的大约有1600x31.25%=500人. 3/12 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 故答案为: 500; (4)解:设女生为A,男生为B, 列表如下: A B A 。 B (4.A) (4.B) (A.B) (A,B) (A.B) (A.B) A (A.A) (A.B) (B,A) (B,A) (B,B) B (B,B) B (B,A) (B.A) (B.B) (B,B) (B,A) (B.A) (B.B) B [B,B) .共有20种可能结果,其中恰好抽出一男一女的结果有12种, 123 :.P(两人同时看同一个直播节目)= 205 (5)解:乙组中7出现的次数最多,则众数=7; 从优秀率看:甲组成绩的优秀率为375%,高于乙组成绩的优秀率25% .从优秀率的角度看,甲组成绩比乙组好; 从中位数看,甲组成绩的中位数为7.5,高于乙组成绩的中位数7. ·从中位数的角度看,甲组成绩比乙组好 .5分 24.(6分)(1)证明:如图,连接0D, :AD是乙BAC的平分线 O 4 ./BAD=/OAD, .0A=0D. :./0AD=/0DA. 4/12 念学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 $$ODA= BAD: :OD/AB, $$ $0DC=$ $B=9 0$ $ :0D为半径, :BC是o0的切线; -.2分 (2)解:如图2,连接0F交AD于H, .OA=0F. A C : 乙0AF=/0FA. .3分 2.F是劣题AD的中点 $OF $AD,AH=DH, DOF=$ AOF : DOF=2DAF,$ 0AD= DAF$$ $ $ DOF= 0AF=$ AOF= 0FA$$$ “0AF+ A0F+0FA=180^*; 由(1)知OD/AB, $ C0D= 0AF=60*. QD OD 1 .cos60o- 即- OE+CE' 0D+52 FHA=$ OHD,$AH=DH, FAH=$ ODH$ .△FAH&ODHASA]. .SFn-Soou. 60x52} 25π . S=Sampor= -= 360 6 ,; 5/12 3学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 25.(5分)(1)解:观察图象知:对称轴为x三-1,与x轴交于一点(1.0). 所以图象与x轴另一交点为(-3.0) (2)解:设二次函数的解析式为v=a(x-h){}+k :图象顶点为P-1.2), :y=a(x+1){+2. 经过点A(1.0), :0-a(1+1){+2, 解得:a=- 1 2. :解析式为y-- .4分 (3)解:结合图象知:当函数值y>0时,x的取值范围-3<x<1. 26.(6分)(1)解:画图如图; 800 700 600 500 .2分 200 100 10 20 30 40 50 60 70 80 由图可猜想y与x是一次函数关系, 设一次函数的解析式为y=x+b(k:0) 一次函数的图象经过(30,500),(40,400)这两点 [500-30k+b 0--10 解得 1400-40+b' lB=800' :函数关系式是:y=-10x+800 (2)解:根据题意,得 6/12 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 (x-20)(-10x+800)=800 化简整理,得x2-100x+2400=0. 解得:x=40,x=60$$$ 答:当销售单价定为40元或60元时,工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润 27.(7分)(1)解::DE1AC. : DFC-90. :/D+/DCE=90*, : BCD-90{*. 乙ACB+/DCE=90*. :乙ACB- D=68*. *AB=AC, .乙B=乙ACB=68*. .乙A=180*-68*-68*=44*; .2分 (2)证明:如图,连接BD. 根据旋转可知:BC=CD, :CBD=ZCDB, 3分 由(1)知乙ABC=乙ACB=乙CDF. : ABC- CBD= CDF- CDB. .乙FBD=/FDB. 8.BF-DF;. (3)解:①AE+DE=CE. 证明:如图,过点B作BG1AC,垂足为G, 7/12 多学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 ## 则 BG$C=90$$ . DFC=90$$$ $$ DEC= BG$C$ D= $ACB,$CD=B$C, .△CDE△BCGAAS) $ DE=CG $ AEF= A GB=9 $$ . EF//BG. AE AF EG BF' VAF=BF $$ $ AF=FG :EG+CG=CE$$ $. AE+DE=CE . 5分 ②如图2,设CG=m,BG=$ 由①知ACDFABCG $CE=B$G=$ $$$$$ EG=AE=n-m. $ G= n-$ m C=AB=$ -m$ 在$Rt△$ABG $$$ B$}=AG^$}+B$G$$$ :(2n-m) }=(2n- m) }+} 解得n=m(舍去)或n=3m. . BG=3m. 在RtBCG中,B$C}=$CG$}+B$G}$$ 100=n2+9m}. 8/12 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 解得m=10或m=-10(舍去). $BG-310. 由①知AE=EG,$AF=BF$ $ :EF是。ABG的中位线 28.(7分)解:(1)与0C相等的线段是AF,理由如下; 根据题意,ABC,△0BE是等边三角形,作图如下,连接AE, $.OB=OE=BE. :点E在以点O为圆心,以OB为半径的o0上, : ABC,△0BE是等边三角形, $$ B$=B$C$=$AC. $ABC$= ACB$=$ BAC$=$6 0{*$.$ B$=OF=B$E. OBE= OEB$= BOE=6 0 $$ . 乙CBA+/AB0=/AB0+乙0BE. ' /FBA=/OBC. 在△ABE和CBO中. [AB-CB 乙ABE-乙CBO. BE-BO .△ABE&CBO(SAS), .AE=C0. :与0C相等的线段是AE 故答案为:AE: (2):'0C=AF. ” 4F的最大值即为0C的最大值 9/12 学科网 www.zxxk.com 让数与学更高效 在△A0F中. :OE+0A→AE, .当点A.O,E三点共线时, AF的值最大, :0的半径为1; 点A(2.0). :OE=10A=2 . AF的最大值为0E+0A=1+2=3 .0C的最大值为3 故答案为:3; (3):PM=PB, BPM=90*. .将△4PM绕点P顺时针旋转90{后,点M与点B重合,点A的对应点为点A,如图所示,则 △APM△A'PB y M $AP=A'P=2. APA'=90*,AM=A'B,则。APA'是等腰直角三角形 .4B的最大值即为4M的最大值 “'A'BAA+AB. .当点A.A’,B三点共线时.,即最大值为AA'+AB, “APA'是等腰直角三角形,AP=A'P=2. APA'=90*. 'AA'=AP+A'P=2+2=22 :A(2.0).B(5.0). .AB=5-2-3. .AA'+AB-22+3,即A'B的值最大是22+3; -.AM的值最大是22+3; 5分 (4)如图所示,以BD为边的等边。ABD在BD左侧时,以BC为边作等边BCF,连接DF; 10/12………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考考前最后一卷（北京卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．戏剧文创产业是以戏剧为主题的创意文化产业．下列与戏剧有关的文创图案中，成轴对称的是（   ） A．B．C． D． 2．2025年1月7日，长征三号乙运载火箭成功将实践二十五号卫星发射升空，标志着2025年中国航天发射任务的“开门红”．该火箭主要用于发射高轨航天器，并计划在2025年保持高密度发射，完成小行星探测等十几次重大任务．长征三号乙运载火箭的载重高达千克，用科学记数法表示为（    ）千克． A． B． C． D． 3．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 6．关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．实数根的个数由b的值确定 B．没有实数根 C．两根互为倒数 D．若，则两根互为相反数 7．如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图： 第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； 第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点； 第三步：作射线，交于点，交延长线于点． 作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 8．如图（1），为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②当点在上时，；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是(   ) A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9．若分式有意义，则实数x的取值范围是 ． 10．分解因式： . 11．方程的解是 12．下面是某小区随机抽取的60户家庭的某月用电量（千瓦时/户/月）情况统计表： 月用电量x 户数 （户） 7 15 19 14 5 已知该小区有1800户家庭，由此估计月用电量超过300千瓦时的家庭有 户． 13．已知点在反比例函数（为常数）图象上，若且，则 0（请在中选择一个符号填写在横线上）． 14．如图，为的直径，点C、D在上，若，则的度数是 ．    15．如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，，于点，，，则的长为 ． 16．某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 2 1 （1）第一局投中A区5次，B区5次，则本局得分是 分； （2）第二局投中A区7次，B区m次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局降低了2分，则 ． 三、解答题（本题共68分，第17、18、19、22、23、25题每小题5分，第20、21、24、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（本题5分）计算． 18．（本题5分）解不等式组： 19．（本题5分）先化简，再求值：，其中． 20．（本题6分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 21．（本题6分）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶0.8米，求“致远号”的行驶速度． 22．（本题5分）已知直线与直线． (1)如果，当x取何值时，？ (2)如果两条直线相交于点A，A点的横坐标x满足，求整数n的值． 23．（本题5分）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 7 4.48 37.5% 乙组 7.625 7 0.73 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_____； (2)甲乙两组的这次初赛成绩中_____组的初赛成绩更整齐； (3)全校共有1600名学生参加了这次初赛，如果以甲乙两组的平均优秀率作为全校的优秀率，估计全校学生初赛成绩为优秀的大约有_____人； (4)已知甲乙两组初赛成绩是优秀的5名学生中有2名是女生、3名男生，若从5名学生中随机抽取2名学生在班上介绍学习经验，则恰好抽出一男一女的概率为_____； (5)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为甲组的成绩比乙组好，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出一条即可）． 24．（本题6分）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 25．（本题5分）已知二次函数的图像顶点为，且经过点． (1)二次函数的图像与x轴的另一个交点坐标为 ． (2)求这个二次函数的表达式； (3)请结合图像，直接写出：当函数值时，x的取值范围． 26．（本题6分）我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据： 销售单价（元/件） … 30 40 50 60 … 每天销售量（件） … 500 400 300 200 … (1)把上表中、的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数关系，并求出函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润？ 27．（本题7分）如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，的延长线交于点．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在变化的过程中，当时，解答下列问题： ①猜测与的数量关系，并加以证明； ②若，求的长． 28．（本题7分）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①， 点O为坐标原点，的半径为1， 点． 动点B在上，连接， 作等边（为顺时针顺序），求的最大值． 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接， 以为边在 的左侧作等边三角形 ， 连接． （1） 请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （2） 线段的最大值为 ． 【灵活运用】 （3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为， 点 P 为线段 外一动点， 且，求线段长的最大值． 【迁移拓展】 （4）如图③， ， 点D 是以为直径的半圆上不同于 B、C的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最大值和最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前最后一卷（北京卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．戏剧文创产业是以戏剧为主题的创意文化产业．下列与戏剧有关的文创图案中，成轴对称的是（   ） A．B．C． D． 2．2025年1月7日，长征三号乙运载火箭成功将实践二十五号卫星发射升空，标志着2025年中国航天发射任务的“开门红”．该火箭主要用于发射高轨航天器，并计划在2025年保持高密度发射，完成小行星探测等十几次重大任务．长征三号乙运载火箭的载重高达千克，用科学记数法表示为（    ）千克． A． B． C． D． 3．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 6．关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．实数根的个数由b的值确定 B．没有实数根 C．两根互为倒数 D．若，则两根互为相反数 7．如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图： 第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； 第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点； 第三步：作射线，交于点，交延长线于点． 作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 8．如图（1），为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②当点在上时，；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是(   ) A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9．若分式有意义，则实数x的取值范围是 ． 10．分解因式： . 11．方程的解是 12．下面是某小区随机抽取的60户家庭的某月用电量（千瓦时/户/月）情况统计表： 月用电量x 户数 （户） 7 15 19 14 5 已知该小区有1800户家庭，由此估计月用电量超过300千瓦时的家庭有 户． 13．已知点在反比例函数（为常数）图象上，若且，则 0（请在中选择一个符号填写在横线上）． 14．如图，为的直径，点C、D在上，若，则的度数是 ．    15．如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，，于点，，，则的长为 ． 16．某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下： 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分（分） 2 1 （1）第一局投中A区5次，B区5次，则本局得分是 分； （2）第二局投中A区7次，B区m次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局降低了2分，则 ． 三、解答题（本题共68分，第17、18、19、22、23、25题每小题5分，第20、21、24、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（本题5分）计算． 18．（本题5分）解不等式组： 19．（本题5分）先化简，再求值：，其中． 20．（本题6分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 21．（本题6分）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行30米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶0.8米，求“致远号”的行驶速度． 22．（本题5分）已知直线与直线． (1)如果，当x取何值时，？ (2)如果两条直线相交于点A，A点的横坐标x满足，求整数n的值． 23．（本题5分）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 7 4.48 37.5% 乙组 7.625 7 0.73 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_____； (2)甲乙两组的这次初赛成绩中_____组的初赛成绩更整齐； (3)全校共有1600名学生参加了这次初赛，如果以甲乙两组的平均优秀率作为全校的优秀率，估计全校学生初赛成绩为优秀的大约有_____人； (4)已知甲乙两组初赛成绩是优秀的5名学生中有2名是女生、3名男生，若从5名学生中随机抽取2名学生在班上介绍学习经验，则恰好抽出一男一女的概率为_____； (5)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为甲组的成绩比乙组好，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出一条即可）． 24．（本题6分）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 25．（本题5分）已知二次函数的图像顶点为，且经过点． (1)二次函数的图像与x轴的另一个交点坐标为 ． (2)求这个二次函数的表达式； (3)请结合图像，直接写出：当函数值时，x的取值范围． 26．（本题6分）我市某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据： 销售单价（元/件） … 30 40 50 60 … 每天销售量（件） … 500 400 300 200 … (1)把上表中、的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数关系，并求出函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天能获得8000元利润？ 27．（本题7分）如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，的延长线交于点．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在变化的过程中，当时，解答下列问题： ①猜测与的数量关系，并加以证明； ②若，求的长． 28．（本题7分）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①， 点O为坐标原点，的半径为1， 点． 动点B在上，连接， 作等边（为顺时针顺序），求的最大值． 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接， 以为边在 的左侧作等边三角形 ， 连接． （1） 请你找出图中与相等的线段，并说明理由； （2） 线段的最大值为 ． 【灵活运用】 （3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为， 点 P 为线段 外一动点， 且，求线段长的最大值． 【迁移拓展】 （4）如图③， ， 点D 是以为直径的半圆上不同于 B、C的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最大值和最小值． 28 / 29 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考考前最后一卷（北京卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9 ． _________________ 1 0 ． ___________________ 1 1 ． __________________ 1 2 ． __________________ 1 3 . ___________________ 1 4 . ___________________ 1 5 ． __________________ 1 6 ． __________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题（本题共68分，第17、18、19、22、23、25题每小题5分，第20、21、24、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（本题5分）计算 ． 18．（本题5分）解不等式组： 19．（本题5分）先化简，再求值： ，其中 ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （本题6分） 21．（本题6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22．（本题5分） 23．（本题5分） （本题6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （本题5分） （本题6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （本题7分） （本题7分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$