专题13：条件概率与相关公式 （强基篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题13 条件概率与相关公式 一、条件概率公式 1、定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 2、乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则. 3、条件概率的性质：设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则； （3）设B和B互为对立事件，则 4、已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 5、相互独立与条件概率的关系 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 二、全概率公式 （1）； （2）定理：若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 3、另一个角度理解全概率公式 （1）某一事件的发生有各种可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件发生的概率是. （2）每一个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生概率的总和，即全概率公式。 （3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了它们之间的关系。 注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2） 什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 三、贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 题型1：条件概率公式 【例1】已知，，，则 . 【答案】/ 【分析】根据条件概率公式即可求解. 【解析】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 【例2】已知， ，则 ． 【答案】/0.75 【分析】由条件概率公式求解即可. 【详解】由题意得， 而，得， 而，解得， 故答案为：. 【跟踪训练】 1.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，利用条件概率的公式即可求解. 【详解】由，得． 因为，所以．故选：C． 2.已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率的公式，以及概率的加法公式，可得答案. 【详解】由题意，，由，是互斥事件知，， 所以， 故选：A． 题型2：条件概率性质 【例3】下列说法正确的是（    ） A． B．是可能的 C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式及概率的性质判断各项的正误. 【详解】由，当，则，A错误； 当A或B为不可能事件时，，C错误； B：要使，即，当恰好为A的子事件成立，正确； D：由，故错误. 故选：B 【例4】设事件为两个随机事件，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用条件概率公式得出，然后利用公式化简得出结论. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以，即， 即，于是. 【跟踪训练】 1. ，分别为随机事件A，B的对立事件，下列命题不正确的是（    ） A． B．若，，则 C．若，则A与B独立 D． 【答案】B 【分析】A选项，由对立事件得到A正确；B选项，；C选项，由条件概率得到，C正确；D选项，利用乘法公式得到D正确. 【详解】A选项，由对立事件性质可知，A正确； B选项，若，，则，B错误； C选项，若，则， 故，A与B独立，C正确； D选项，，D正确. 2.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 3.已知，，则下列式子成立的是（ ） ①； ②； ③； ④. A．①②③④ B．② C．②③ D．②④ 【标准答案】B 【思路指引】 利用条件概率公式及概率性质辨析 【详解详析】 ①若则，故，故①错误； ②因为所以所以②正确； ③若或则故③错误； ④若或则故④错误. 故选：B 题型3：条件概率应用 【例5】一袋中装有除颜色外完全相同的个黑球和个白球，先后两次从袋中不放回地各取一球．已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的也是黑球的概率为 ． 【答案】/ 【分析】记事件：第一次取到黑球，事件：第二次取到黑球，求出，再利用条件概率公式，即可求出结果. 【解析】记事件：第一次取到黑球，事件：第二次取到黑球， 因为，， 所以， 故答案为：. 【例6】抛掷甲､乙两枚骰子，若事件：“甲骰子的点数小于”，事件：“甲､乙两枚骰子的点数之和等于”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用古典概型的概率公式求出，再利用条件概率公式可求得结果. 【详解】由题意知事件为甲骰子的点数小于，且甲､乙两枚骰子的点数之和等于， 则事件包含的基本事件为， 而抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子共有种情况，所以， 因为甲骰子的点数小于的有，两种情况，所以， 所以，故选：C 【例7】经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（ ） A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75 【答案】C 【解析】设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”事件B， 则由题意得，， 所以她两次均击中9环的概率为．故选：C． 【例8】一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是 【答案】 【解析】将事件分为A为一位医生是男医生，B为另一位医生也是男医生，利用条件概率公式求即可. 【详解】若A为一位医生是男医生，B为另一位医生也是男医生， ∴，而， ∴， 故答案为： 【例9】小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A， “小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件， 则由题意可得， 则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下， 第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为．故选：． 【跟踪训练】 1. 一个袋子中有2个红球和3个白球，这些小球除颜色外没有其他差异．从中不放回地抽取2个球，每次只取1个．设事件=“第一次抽到红球”，=“第二次抽到红球”，则概率是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用古典概率公式求出事件及事件的概率，再利用条件概率公式计算得解. 【详解】依题意，，， 所以.故选：B 2.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是3”，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率公式转化为，分别求解事件和实际包含的基本事件的个数，代入求解. 【详解】事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，，，，，故；为“至少有一次点数是3”，则事件为，，，， ，故，所以. 故选：B. 3.甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为 ． 【答案】 【分析】设乙命中目标的事件为，目标至少被命中1次的事件为，根据条件概率 公式计算得到答案. 【详解】设乙命中目标的事件为，目标至少被命中1次的事件为， 则，. . 故答案为： 4.2021年11月27日奥密克戎毒株输入我国香港，某医院委派甲、乙、丙、丁四名医生前往三个小区做好防疫工作，每个小区至少委派一名医生，在甲派往小区的条件下，乙派往小区的概率为 ． 【答案】 【分析】根据分组分配利用排列组合计算个数，结合条件概率的计算公式即可求解. 【详解】记事件为“甲派往小区”，事件为“乙派往小区”，则 若A小区分配甲一个人，则有，若A小区分配甲以及另一个人一起，则有,故事件包含的基本事件个数为， 在甲派往小区的条件下，乙派往小区的情况为：①只有甲派往小区，只有乙派往小区，另外两个人去C小区，则有1种情况，②从丙丁中选一个人连同甲一起派往小区，只有乙派往小区，剩下一个人去C小区，则有种情况，③从丙丁中选一个人连同乙一起派往小区，只有甲派往小区，剩下一个人去C小区，则有种情况， , 故答案为： 5.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲获得冠军的概率、甲获得冠军且比赛进行了3局的概率，再由条件概率公式求甲获得冠军的情况下比赛进行了三局的概率. 【详解】由题意，甲获得冠军的概率为， 其中甲获得冠军且比赛进行了3局的概率为， ∴所求概率为.故选：B. 题型4：条件概率与互斥，对立，相互独立事件的综合 【例10】下列各式中不能判断事件与事件独立的是 A．（A）（B） B．（A）（B）（A）（B） C． D． 【分析】由条件概率公式及事件相互独立意义可判断各选项． 【解答】解：选项：因为，所以（A）（B），由事件相互独立意义可知，事件与事件独立；故正确； 选项：因为（A）（B）， 又（A）（B）（A）（B），所以（A）（B）， 由选项可知，事件与事件独立；故正确； 选项：因为，即 所以，即事件与事件独立，所以事件与事件独立，故正确； 选项：事件在事件条件下，要么发生要么不发生，不能判断是否独立，故错误； 故选：． 【点评】本题考查条件概率公式及事件相互独立意义，属于基础题． 【例11】已知，为同一次试验中的两个随机事件，且（A），（B），命题甲：若，则事件与相互独立；命题乙：“与相互独立”是“”的充分不必要条件；则命题　　 A．甲乙都是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲乙都是假命题 【分析】结合对立事件概率公式和条件概率公式由可推出（A）（B），由此判断命题甲，结合独立事件概率公式，条件概率公式判断命题乙的条件与结论的关系，判断命题乙，由此可得结论． 【解答】解：因为， 所以， 所以，故（A）（B）， 所以事件与相互独立，命题甲正确， 若与相互独立，则与相互独立，与相互独立， ， ， 所以， 若，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， ，故事件与事件相互独立， 所以事件与事件相互独立， 所以“与相互独立”是“”的充分必要条件， 所以命题乙为假命题， 故选：． 【点评】本题主要考查条件概率，属于中档题． 【跟踪训练】 1．已知随机事件A，B满足，，则下列说法不正确的是（    ）． A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．若，则 D．若随机事件C满足，，则 【答案】B 【分析】根据相互独立事件的乘法公式即可判断A；根据互斥事件的概率公式及概率的性质即可判断B；根据条件概率公式即可判断CD. 【详解】对于A，若A与B相互独立，则，故A正确； 对于B，若A与B互斥，则， 由，故，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：B. 3.甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利）．已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立．若用M表示事件“甲最终获胜”，N表示事件“比赛共进行了两局且有人获得了最终胜利”，Q为“甲赢下第三局时获得了最终胜利”．则下列说法不正确的有（    ） A． B． C．N与Q互斥 D．N与Q独立 【答案】D 【分析】对于AB：用条件概率计算；对于C：利用互斥的概念来判断；对于D：利用相互独立的条件来判断. 【详解】对于A：， 则，A正确； 对于B：， 则，B正确； 对于C：N与Q不可能同时发生，故N与Q互斥，C正确； 对于D：，，， 故，故D错误. 题型5：全概率公式 【例12】已知为两个随机事件，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，结合条件概率和全概率公式，列出方程，即可求解. 【详解】由为两个随机事件，，且，，, 可得， 即，解得. 故选：D． 【例13】设A，B为两个事件，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】由，得，显然， 因此，所以． 故选：B 【跟踪训练】 1.设A，B为两个事件，已知，，，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【分析】根据题意，由全概率公式，代入数据计算可得答案． 【详解】根据题意，，则， 则， 解可得：． 故选：B． 2.已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式直接求解即可. 【详解】由全概率公式得 ， 解得， 故选：B 题型6：全概率公式应用 【例14】盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】从盒中任取1球，是红球记为，黑球记为，白球记为， 则，，彼此互斥，设第二次抽出的是红球记为事件B， 则，，，，，， ，故选：. 【例15】某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为（       ）A．0.814 B．0.809 C．0.727 D．0.652 【答案】A 【分析】利用条件概率以及全概率计算公式即可求解. 【详解】以Ai表示一批产品中有i件次品，i=0，1，2，3，4，B表示通过检验， 则由题意得，P(A0)=0.1，P(B|A0)=1，P(A1)=0.2，P(B|A1)==0.9，P(A2)=0.4， P(B|A2)=≈0.809，P(A3)=0.2，P(B|A3)=≈0.727， P(A4)=0.1，P(B|A4)=≈0.652． 由全概率公式， 得P(B)=P(Ai)P()=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814． 故选：A 【例16】某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为（ ） A．0.785 B．0.845 C．0.765 D．0.215 【答案】A 【解析】解：记为事件“植物没有枯萎”，为事件“邻居记得给植物浇水”， 则根据题意，知，，，， 因此．故选：A． 【例17】8支步枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的步枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式及条件概率公式可求解. 【详解】设事件A表示“射击时中靶”，事件表示“使用的枪校准过”，事件表示“使用的枪未校准”，则，是的一个划分． ，，，， 根据全概率公式得         ， 所以． 故选:B． 【例18】曲靖一中紫薇大酒店开设一楼、二楼、三楼三个学生餐厅，A同学一天午餐随机地选择一个餐厅就餐．如果中午去一楼餐厅就餐，那么当天晚上不去一楼就餐的概率等于0.9；如果中午去二楼餐厅就餐，那么当晚去二楼就餐的概率等于0.7；如果中午去三楼餐厅就餐，那么晚上不去三楼就餐的概率等于0.8． 还知道A同学晚上选择在一楼与三楼就餐的概率相等．那么，A同学晚上选择在一楼、二楼、三楼就餐的概率分别等于（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全概率公式进行求解即可. 【详解】解答：用表示Ａ同学中午去第层楼就餐，用表示Ａ同学当天晚上去第层楼就餐， ； ； ． 故选：D． 【跟踪训练】 1.现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球､2个黑球，2号罐子中装有4个红球､2个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为 . 【答案】 【解析】记1号罐子中取出红球的事件为，取出黑球的事件为，从2号罐子中取出红球的事件为， 显然互斥，， 所以. 故答案为：. 2.设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一批彩电. （1）假设100台彩电中有10台次品，现采用不放回抽样从中依次抽取3次，每次抽1台，求第3次才抽到合格品的概率； （2）若甲、乙、丙3个车间的产量依次占全厂的、、，且各车间的次品率分别为、、，.现从一批产品中检查出1个次品，求该次品来自甲、乙、丙车间的概率分别是多少? 【答案】（1）；（2）甲车间，乙车间，丙车间． 【解析】（1）第3次才抽到合格品的概率. （2）设“从一批产品中检查出1个次品”，“零件为甲车间加工”， “零件为乙车间加工”，“零件为丙车间加工”. 则，且两两互斥. 由题意可知，，，， ，，. 由全概率公式可得， . 则该次品来自甲车间的概率， 该次品来自乙车间的概率， 该次品来自丙车间的概率 3.某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为 ． 【答案】0.56/ 【解析】分别记取到一等麦种和二等麦种分别为事件，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件. 由已知可得，，，，， 由全概率公式可得，. 故答案为：0.56. 4.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可求得结果. 【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”， ，，， 由全概率公式可得. 故选：B. 题型7：贝叶斯公式 【例19】有甲、乙两个加工厂加工同一型号零件，甲厂加工的次品率为，乙厂加工的次品率为，已知甲乙两个加工厂加工的零件数分别占当地市场总数的45%，55%，现从当地市场上任意买一件这种型号的零件、则买到的零件是次品，且是甲厂加工的概率为 ． 【答案】 【解析】记为事件“零件为甲厂加工”，为事件“零件为乙厂加工”，为事件“买一个零件为次品”，则，． 所以． 所以． 故答案为:． 【例20】有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为 ． 【答案】 【解析】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件， 则，，，，，， 任取一个零件是次品的概率为 如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为 . 故答案为：. 【例21】某考生回答一道有4个选项的选择题，设会答该题的概率是，并且会答时一定能答对，若不会答，则在4个答案中任选1个.已知该考生回答正确，则他确实会答该题的概率是 . 【答案】 【解析】设考生会答该题为事件A，不会答为事件B，该考生回答正确为事件C； 则：,, 故答案为： 【跟踪训练】 1.托马斯•贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P（A|B），这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中P（B|A）•P（A）+P（B|Ac）•P（Ac）称为B的全概率．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%，即已知患病情况下，99%的可能性可以检查出阳性，正常人99%的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（　　） A．0.1% B．8% C．9% D．99% 【解题思路】记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B，由已知条件求出P（A），P（B|A），P（B|A）•P（A）+P（B|Ac）•P（Ac），结合题中的信息，求出P（A|B），即可得到答案． 【解答过程】解：记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B， 则P（A）＝0.1%，P（B|A）＝99%， P（B|A）•P（A）+P（B|Ac）•P（Ac）＝0.01098， 所以P（A|B）， 所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为9%． 故选：C． 2.英国数学家贝叶斯（1701﹣1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（　　） A．0.0688 B．0.0198 C．0.049 D．0.05 【解题思路】利用条件概率的概率公式求解即可． 【解答过程】解：设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件， 则P（B|A）＝0.99，P（A）＝0.02，，， 故所求概率P（B）＝0.99×0.02+0.05×0.98＝0.0688． 故选：A． 一、填空题 1．（2023建平中学月考）已知事件，若，，则______ 【分析】利用条件概率公式求解即可． 【详解】由题可知，， 2．（2024大同中学高三阶段练习）已知，且若，则 ． 【答案】/ 【分析】由，可得相互独立，再结合已知条件，根据独立事件的概率乘法公式，即可求解． 【解析】由可得相互独立， 又，， 又因为，所以， 所以 故答案为：． 3.（2023·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知，则 ． 【答案】0.74/ 【解析】因为，，， 所以， 所以， 所以， 故答案为：0.74. 4．（2023·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）某产品长度合格的概率为，重量合格的概率为，长度、重量合格的概率为，任取一件产品，已知其重量合格，则它的长度也合格的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合条件概率运算求解. 【解析】记“长度合格”为事件A，“重量合格”为事件B， 由题意可得：， 则， 所以已知其重量合格，则它的长度也合格的概率为. 故答案为：. 5.（23-24格致中学高二下期中）已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为_______ 【分析】列出所有的基本事件，用古典概型的计算公式求相应的概率. 【详解】用表示女孩，表示男孩， 则样本空间． 分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩都是女孩”为事件和事件， 则，， 所以． 6.（23-24格致中学高二下期中）从3，4，5，6，7，8中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于_______ 【分析】利用古典概率公式及条件概率公式即可求出结果. 【详解】因为，， 7.（23-24高二下·湖北十堰·期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为_______ 【分析】列出所有的基本事件，用古典概型的计算公式结合条件概率求相应的概率即可. 【详解】用表示女孩，表示男孩， 则样本空间． 分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩恰好有两个女孩”为事件A和事件B， 则，， . 8.（23-24延安中学高二下期中）花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为________． 【答案】 【分析】使用条件概率进行计算即可. 【详解】设事件“两束花是同一种花”，事件“两束花都是郁金香”， 则积事件“两束花都是郁金香”， 事件中样本点的个数为， 积事件中样本点的个数为， ∴已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为 . 9.在学校春季运动会中，甲､乙､丙､丁4名同学被安排到跳远､跳高､迎面接力这三个比赛项目参加志愿服务，每个项目至少安排一个人，且每个人只能参与其中一个项目，则在甲不去跳远项目的条件下，乙被安排到跳远项目的概率是_______ 【分析】理解题意，分别用组合公式求出甲不去跳远和乙被安排到跳远为事件的样本空间，从而可求出在甲不去跳远项目的条件下，乙被安排到跳远项目的概率. 【详解】甲不去跳远为事件， 乙被安排到跳远为事件， 所以 10.某病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的 4 名男医生（含一名主任医师）、 5 名女医生（含一名主任医师） 中分别选派 3 名男医生和 2 名女医生，则有一名主任医师被选派时，两名主任医师都被选派的概率为 ． 【答案】 【分析】求出有一名主任医生被选派以及两名主任医师都被选派的概率，根据条件概率的计算公式即可求得答案. 【详解】记“选派3名男医生和2名女医生，有一名主任医生被选派”为事件A， 则， 记“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”为事件B， 则． 故答案为：. 11.A，B，C，D，E共5位教师志愿者被安排到甲､乙､丙､丁4所学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位教师志愿者，且每位教师志愿者只能到一所学校支教，在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名教师志愿者的概率为 . 【答案】 【分析】求出A教师志愿者被安排到甲学校的排法，然后再求出在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的排法，根据条件概率进行计算，从而可求解． 【详解】A教师志愿者被安排到甲学校， 若甲学校只有一个人，则有种安排方法， 若甲学校有2个人，则有种安排方法， A教师志愿者被安排到甲学校共有60种安排方法， 在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的安排方法有24种， 所以在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的概率是 12．（2023·金山区高三校联考阶段练习）某同学喜爱篮球和跑步运动.在暑假期间，该同学下午去打篮球的概率为.若该同学下午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为.已知该同学在某天晚上去跑步，则下午打过篮球的概率为 . 【答案】 【解析】设下午打篮球为事件，晚上跑步为事件，易知，， ∴， ∴. 故答案为： 13．（2024闵行中中学高三阶段练习）某篮球队教练对近两年队员甲参加过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；中锋位置出场30次，其中球队获胜21次；后卫位置出场50次，其中球队获胜40次.用该样本的频率估计概率，则甲参加比赛时，该该球队某场比赛获胜的概率为 . 【答案】0.75/ 【解析】根据全概率公式可知： 甲参加比赛时，该该球队某场比赛获胜的概率为， 故答案为： 14．（2023上海中学高三开学考试）有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占，乙工厂生产的占.已知甲、乙两工厂生产的该型号产品的次品率分别为，，则从这批产品中任取一件是次品的概率是 . 【答案】0.024 【解析】设，分别表示甲、乙厂生产的产品，表示取到次品， 则，， ，， 从中任取一件产品取到次品的概率为： ， 故答案为：0.024． 二、选择题 15.（2023七宝中学高三模拟预测）设A，B是两个事件，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用条件概率公式及独立事件的概率关系，结合概率的性质判断各项的正误. 【详解】A：由，而，则，即时成立，否则不成立，排除； B：当A，B是两个相互独立的事件，有，否则不成立，排除； C：由且，故时成立，否则不成立，排除； D：由，而，则，符合； 故选：D 16.（2024浦东新区二模）已知随机事件A，B的概率分别为，且，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件概率的公式对选项一一判断即可得出答案. 【详解】由条件概率知：，因为，所以，故A不正确； ，与不一定相等，所以不一定成立，故B不正确； ，所以，故C正确； ，故D不正确. 故选：C. 17．（2024淮安二模）假设是两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】A选项，利用条件概率公式得到；B选项，与相互独立，故；C选项，根据求出答案；D选项，利用条件概率得到. 【详解】A选项，因为，，，， 所以，A正确； B选项，因为事件与相互独立，所以与相互独立， 所以，B错误； C选项，，C错误； D选项，因为，所以，D正确. 故选：AD. 18．（2024·上海嘉定·二模）小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，由古典概型公式求出、，进而计算可得答案. 【详解】根据题意，“两家分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩”，有种情况， 事件A：两家至少有一家选择古猗园，有种情况，故， 若两家选择景点不同且至少有一家选择古猗园，有种情况，即. 所以. 故答案为： 19．（2024延安中学练习）甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 ． 【答案】 【分析】第一空，利用部分平均分组分配问题，结合间接法即可得解；第二空，利用分类加法原理，结合排列组合的知识与条件概率的概率公式即可得解. 【详解】依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方案共种， 其中甲、乙参加同一项目的方案种， 则所求的参赛方案一共有种； 因为甲、乙两人不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目， 则甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有种方案， 若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一， 故总共有种不同的方案； 若甲和一人一起选择跳台滑雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2个项目， 故共有种不同的方案； 同理，乙单独选择跳台滑雪，有种不同的方案； 乙和一人共同选择跳台滑雪，有种不同的方案，总共有16种方案. 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是，分类讨论事件对应的情况，做到不缺不漏，从而得解. 20.（2024长宁区三模）假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 80% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则不正确的（　　） A．P（A2）＝30% B．P（BA3）＝70% C．P（B|A1）＝80% D．P（B）＝81% 【解题思路】根据表中数据，结合条件概率公式、全概率公式逐一判断能求出结果． 【解答过程】解：∵乙品牌市场占有率为30%，∴P（A2）＝30%，故A正确； P（BA3）＝P（A3）P（B|A3）＝20%×70%＝14%，故B错误； P（B|A1）＝80%，故C正确； P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3） ＝50%×80%+30%×90%+20%×70% ＝81%，故D正确． 故选：B． 21.（2024长宁区三模）有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%，记事件B＝“任取一个零件为次品”，事件Ai＝“零件为第i台车床加工”（i＝1，2，3），则不正确的是（　　） A．P（B|A1）＝0.06 B．P（A2B）＝0.015 C．P（B）＝0.0525 D．P（A1|B） 【解题思路】根据已知条件，结合全概率公式和条件概率公式，即可求解． 【解答过程】解：由题意可得，P（A1）＝0.25，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.45， P（B|A1）＝0.06，P（B|A2）＝P（B|A3）＝0.05，故A选项正确， 由全概率公式可得，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05＝0.0525，故C选项正确， P（A2B）＝P（A2）P（B|A2）＝0.3×0.05＝0.015，故B选项正确， P（A1|B），故D选项错误． 故选：D． 22.（2024宝山区校级模拟）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是（　　） ①P（B）； ②； ③事件B与事件A1相互独立； ④A1，A2，A3是两两互斥的事件． A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 【解题思路】由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，由条件概率公式求出P（B|A1），P（B）＝P（A1B）+P（A2B）+P（A3B），对照四个命题进行判断找出正确命题，选出正确选项． 【解答过程】解：由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，P（A1），P（A2），P（A3）； P（B|A1），由此知，②正确； P（B|A2），P（B|A3）； 而P（B）＝P（A1B）+P（A2B）+P（A3B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）．由此知①③不正确； A1，A2，A3是两两互斥的事件，由此知④正确； 对照四个命题知②④正确； 故选：A． 23.通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为，，.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到其他字符的概率为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为________． 【答案】 【分析】以表示事件“收到的字符是”，分别表示传输的字符为，，，根据已知得到，，，利用贝叶斯公式可计算求得. 【详解】以表示事件“收到的字符是”，表示事件“传输的字符为”，表示事件“传输的字符为”，表示事件“传输的字符为”，根据题意有： ，，，， ，； 根据贝叶斯公式可得： . 故答案为：. 24.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为________． 【答案】 【分析】设“中途停车修理”为事件， “经过的是货车”为事件， “经过的是客车” 为事件，则，然后代入贝叶斯公式计算. 【详解】设“中途停车修理”为事件， “经过的是货车”为事件， “经过的是客车” 为事件，则，，，，，由贝叶斯公式有. 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题13 条件概率与相关公式 一、条件概率公式 1、定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 2、乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则. 3、条件概率的性质：设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则； （3）设B和B互为对立事件，则 4、已知发生，在此条件下发生，相当于发生，要求，相当于把看作新的基本事件空间计算发生的概率，即． 5、相互独立与条件概率的关系 （1）事件与相互独立的充要条件是． （2）当时，与独立的充要条件是． （3）如果，与独立，则成立． 二、全概率公式 （1）； （2）定理：若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 3、另一个角度理解全概率公式 （1）某一事件的发生有各种可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件发生的概率是. （2）每一个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生概率的总和，即全概率公式。 （3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了它们之间的关系。 注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2） 什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 三、贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 题型1：应用条件概率公式计算 【例1】已知，，，则 . 【例2】已知， ，则 ． 【跟踪训练】 1.若，，，则（    ） A． B． C． D． 2.已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 题型2：条件概率性质 【例3】下列说法正确的是（    ） A． B．是可能的 C． D． 【例4】设事件为两个随机事件，，且，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. ，分别为随机事件A，B的对立事件，下列命题不正确的是（    ） A． B．若，，则 C．若，则A与B独立 D． 2.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 3.已知，，则下列式子成立的是（ ） ①；②； ③；④. A．①②③④ B．② C．②③ D．②④ 题型3：求条件概率 【例5】一袋中装有除颜色外完全相同的个黑球和个白球，先后两次从袋中不放回地各取一球．已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的也是黑球的概率为 ． 【例6】抛掷甲､乙两枚骰子，若事件：“甲骰子的点数小于”，事件：“甲､乙两枚骰子的点数之和等于”，则（    ） A． B． C． D． 【例7】经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（ ） A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75 【例8】一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是 【例9】小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 一个袋子中有2个红球和3个白球，这些小球除颜色外没有其他差异．从中不放回地抽取2个球，每次只取1个．设事件=“第一次抽到红球”，=“第二次抽到红球”，则概率是（       ） A． B． C． D． 2.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是3”，则等于（    ） A． B． C． D． 3.甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.6，已知目标至少被命中1次，则乙命中目标的概率为 ． 4.2021年11月27日奥密克戎毒株输入我国香港，某医院委派甲、乙、丙、丁四名医生前往三个小区做好防疫工作，每个小区至少委派一名医生，在甲派往小区的条件下，乙派往小区的概率为 ． 5.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（       ） A． B． C． D． 题型4：条件概率与互斥，对立，相互独立事件的综合 【例10】下列各式中不能判断事件与事件独立的是 A．（A）（B） B．（A）（B）（A）（B） C． D． 【例11】已知，为同一次试验中的两个随机事件，且（A），（B），命题甲：若，则事件与相互独立；命题乙：“与相互独立”是“”的充分不必要条件；则命题　　 A．甲乙都是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲乙都是假命题 【跟踪训练】 1．已知随机事件A，B满足，，则下列说法不正确的是（    ）． A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．若，则 D．若随机事件C满足，，则 3.甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利）．已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立．若用M表示事件“甲最终获胜”，N表示事件“比赛共进行了两局且有人获得了最终胜利”，Q为“甲赢下第三局时获得了最终胜利”．则下列说法不正确的有（    ） A． B． C．N与Q互斥 D．N与Q独立 题型5：全概率公式 【例12】已知为两个随机事件，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【例13】设A，B为两个事件，已知，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.设A，B为两个事件，已知，，，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 2.已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型6：全概率公式应用 【例14】盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（ ） A． B． C． D． 【例15】某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为（       ）A．0.814 B．0.809 C．0.727 D．0.652 【例16】某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15.邻居记得浇水的概率为0.9.则该人回来植物没有枯萎的概率为（ ） A．0.785 B．0.845 C．0.765 D．0.215 【例17】8支步枪中有5支已经校准过，3支未校准，一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8，用未校准的步枪射击时，中靶的概率为0.3，现从8支中任取一支射击，结果中靶，则所选用的枪是校准过的概率为（       ） A． B． C． D． 【例18】曲靖一中紫薇大酒店开设一楼、二楼、三楼三个学生餐厅，A同学一天午餐随机地选择一个餐厅就餐．如果中午去一楼餐厅就餐，那么当天晚上不去一楼就餐的概率等于0.9；如果中午去二楼餐厅就餐，那么当晚去二楼就餐的概率等于0.7；如果中午去三楼餐厅就餐，那么晚上不去三楼就餐的概率等于0.8． 还知道A同学晚上选择在一楼与三楼就餐的概率相等．那么，A同学晚上选择在一楼、二楼、三楼就餐的概率分别等于（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.现有两个罐子，1号罐子中装有3个红球､2个黑球，2号罐子中装有4个红球､2个黑球.现先从1号罐子中随机取出一个球放入2号罐子，再从2号罐子中取一个球，则从2号罐子中取出的球是红球的概率为 . 2.设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一批彩电. （1）假设100台彩电中有10台次品，现采用不放回抽样从中依次抽取3次，每次抽1台，求第3次才抽到合格品的概率； （2）若甲、乙、丙3个车间的产量依次占全厂的、、，且各车间的次品率分别为、、，.现从一批产品中检查出1个次品，求该次品来自甲、乙、丙车间的概率分别是多少? 3.某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为 ． 4.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（       ） A． B． C． D． 题型7：贝叶斯公式 【例19】有甲、乙两个加工厂加工同一型号零件，甲厂加工的次品率为，乙厂加工的次品率为，已知甲乙两个加工厂加工的零件数分别占当地市场总数的45%，55%，现从当地市场上任意买一件这种型号的零件、则买到的零件是次品，且是甲厂加工的概率为 ． 【例20】有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为 ． 【例21】某考生回答一道有4个选项的选择题，设会答该题的概率是，并且会答时一定能答对，若不会答，则在4个答案中任选1个.已知该考生回答正确，则他确实会答该题的概率是 . 【跟踪训练】 1.托马斯•贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：P（A|B），这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中P（B|A）•P（A）+P（B|Ac）•P（Ac）称为B的全概率．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%，即已知患病情况下，99%的可能性可以检查出阳性，正常人99%的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（　　） A．0.1% B．8% C．9% D．99% 2.英国数学家贝叶斯（1701﹣1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（　　） A．0.0688 B．0.0198 C．0.049 D．0.05 一、填空题 1．（2023建平中学月考）已知事件，若，，则______ 2．（2024大同中学高三阶段练习）已知，且若，则 ． 3.（2023·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知，则 ． 4．（2023·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）某产品长度合格的概率为，重量合格的概率为，长度、重量合格的概率为，任取一件产品，已知其重量合格，则它的长度也合格的概率为 ． 5.（23-24格致中学高二下期中）已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为_______ 6.（23-24格致中学高二下期中）从3，4，5，6，7，8中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于______ 7.（23-24高二下·湖北十堰·期末）假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为_______ 8.（23-24延安中学高二下期中）花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为________． 9.在学校春季运动会中，甲､乙､丙､丁4名同学被安排到跳远､跳高､迎面接力这三个比赛项目参加志愿服务，每个项目至少安排一个人，且每个人只能参与其中一个项目，则在甲不去跳远项目的条件下，乙被安排到跳远项目的概率是______ 10.某病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的 4 名男医生（含一名主任医师）、 5 名女医生（含一名主任医师） 中分别选派 3 名男医生和 2 名女医生，则有一名主任医师被选派时，两名主任医师都被选派的概率为 ． 11.A，B，C，D，E共5位教师志愿者被安排到甲､乙､丙､丁4所学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位教师志愿者，且每位教师志愿者只能到一所学校支教，在A教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名教师志愿者的概率为 . 12．（2023·金山区高三校联考阶段练习）某同学喜爱篮球和跑步运动.在暑假期间，该同学下午去打篮球的概率为.若该同学下午去打篮球，则晚上一定去跑步；若下午不去打篮球，则晚上去跑步的概率为.已知该同学在某天晚上去跑步，则下午打过篮球的概率为 . 13．（2024闵行中中学高三阶段练习）某篮球队教练对近两年队员甲参加过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；中锋位置出场30次，其中球队获胜21次；后卫位置出场50次，其中球队获胜40次.用该样本的频率估计概率，则甲参加比赛时，该该球队某场比赛获胜的概率为 . 14．（2023上海中学高三开学考试）有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占，乙工厂生产的占.已知甲、乙两工厂生产的该型号产品的次品率分别为，，则从这批产品中任取一件是次品的概率是 . 二、选择题 15.（2023七宝中学高三模拟预测）设A，B是两个事件，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 16.（2024浦东新区二模）已知随机事件A，B的概率分别为，且，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（2024淮安二模）假设是两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 18．（2024·上海嘉定·二模）小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率 ． 19．（2024延安中学练习）甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少一个人参加，且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则四人参加比赛的不同方案一共有 种；如果符合以上条件的各种方案出现的概率相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台滑雪，则 ． 20.（2024长宁区三模）假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 80% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，B表示买到的是优质品，则不正确的（　　） A．P（A2）＝30% B．P（BA3）＝70% C．P（B|A1）＝80% D．P（B）＝81% 21.（2024长宁区三模）有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%，记事件B＝“任取一个零件为次品”，事件Ai＝“零件为第i台车床加工”（i＝1，2，3），则不正确的是（　　） A．P（B|A1）＝0.06 B．P（A2B）＝0.015 C．P（B）＝0.0525 D．P（A1|B） 22.（2024宝山区校级模拟）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是（　　） ①P（B）；②；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件． A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 23.通信渠道中可传输的字符为，，三者之一，传输三者的概率分别为，，.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为，收到其他字符的概率为，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为，则传输的字符是的概率为________． 24.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$