专题11：二项式定理 （强基篇）讲义-2024-2025学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第二册

2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题11 二项式定理 一、二项式定理及相关概念 1、二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. 2、二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. 3、二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 二、二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 三、二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ④各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 题型1：二项式定理展开及其逆应用 【例1】二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由二项式定理求解. 【解答过程】二项式 ， . 故选：B. 【例2】设， ． 【答案】 【知识点】二项展开式的应用 【分析】根据二项式定理计算可得. 【详解】因为展开式的通项为： （且）， 所以 ． 故答案为： 【跟踪训练】 1.写出的展开式． 【答案】 【详解】在二项式定理中令，可得 ． 2. 计算 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式、二项展开式的应用 【分析】逆向使用二项式定理即可. 【详解】 . 故答案为：. 3. 计算的值是 ． 【答案】 【知识点】二项展开式的应用 【分析】利用二项式定理得解. 【详解】由二项式定理可得，. 故答案为：. 4. 化简 . 【答案】 【知识点】二项展开式的应用 【分析】对已知式子进行变形，根据二项式定理进行求解即可. 【详解】 . 故答案为：. 题型2：求二项式展开式中特定项 1、求二项展开式中的常数项 【例3】的二项展开式中的常数项为 ．（结果用数字表示） 【答案】 【分析】由通项公式，令即可求得，代入即可得解. 【详解】， 由得， 所以常数项为. 故答案为： 【例4】已知的展开式中各项系数和为，则展开式中常数项为___________. 【答案】 【分析】由条件求，再结合二项式定理展开式通项公式求解. 【详解】因为的展开式中各项系数和为， 所以，即． 所以的常数项为． 故答案为：80 【跟踪训练】 1.的二项展开式中的常数项为 ． 【答案】 【分析】利用二项式定理直接求出展开式的常数项. 【详解】二项式的展开式的常数项为. 故答案为： 2. 已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则展开式中的常数项为______. 【答案】405 【分析】先求出和，利用二项展开式的通项公式直接求解. 【详解】因为的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等， 所以，由组合数的性质可知：. 所以. 因为展开式的各项系数之和为1024，所以在中，令，则有：. 因为，所以. 所以的展开式的通项公式为. 所以要求常数项，只需，解得：. 此时常数项为. 故答案为：. 2、求三项展开式中的指定项 【例5】展开式中的第四项为（    ） A． B． C．240 D． 【答案】B 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】展开式的通项公式为， 所以, 故选：B 【跟踪训练】 1. 二项式展开后的第三项是 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据通项公式计算即可. 【详解】因为 所以. 故答案为： 2.二项式的展开式中的第3项为（    ） A．160 B． C． D． 【解析】【答案】C 【分析】根据二项式展开式公式即可求解. 【详解】因为，所以，故C项正确. 3.若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由二项式定理知：含项为  ， 由题意 ， ， 解得 ； 故选：C. 3、求二项展开式中的有理项 【例6】二项式的展开式中，有理项有（    ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】二项展开式的应用、求有理项或其系数 【分析】先写出展开式的通项，进而即可得出满足的条件，即可得出答案. 【详解】二项式展开式的通项为 ，. 所以，当为偶数时，该项为有理项，即，共7项. 故选：C. 【跟踪训练】 1.在的展开式中，有多少个有理项？ 【难度】★★ 【答案】7 【解析】的展开式中的通项为： ∵3与5互质∴要使此项为有理项，只要能被3和5整除，即能被15整除 又∵∴=0，15×1，15×2，…，15×6，共有7项是有理项。 2.已知展开式的二项式系数之和为，则展开式中系数为有理数的项的个数是________． 【答案】4 【解析】依题意，知，， 则展开式的第项为， 当时，展开式中系数为有理数，所以展开式中系数为有理数的项的个数为. 故答案为：4. 4、系数最大（小）项 【例7】在的二项展开式中，系数最大的项为 . 【答案】70 【分析】写出二项展开式的通项公式，得到当时，二项展开式的系数为正，求出各项，得到系数最大的项. 【详解】的二项展开式为， 显然当时，二项展开式的系数为正，当时，二项展开式的系数为负， 其中，，， 故系数最大的项为. 故答案为：70 【跟踪训练】 1.已知的二项展开式中的系数是. （1）求； （2）求二项展开式中系数最小的项. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】由项的系数确定参数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）先求出二项式展开式的通项公式，由展开式中的系数是，列方程组可求出； （2）由题意利用二项式的通项公式求出展开式中系数最小的项 【详解】解：（1）展开式的通项公式为， 因为二项展开式中的系数是， 所以且， 由可知为奇数 解得， 所以， （2）由（1）可知展开式中的系数为， 要使该项系数最小，应为奇数，且接近， 所以， 所以二项展开式中系数最小的项为 2. 在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 . 【答案】或 【知识点】求系数最大（小）的项、二项式系数的增减性和最值 【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出展开式的通项公式，列出不等式求出系数最大项. 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是或. 故答案为：或 3. 已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】根据第4项的二项式系数最大求出，再通过通项公式得出展开式中项的系数为，接着由即可求解. 【解答过程】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项. 故选：B. 题型3：二项式系数问题 1、求指定项系数 【例8】的展开式中的系数为 . 【答案】28 【知识点】求指定项的系数 【分析】 根据二项式定理展开式的通项公式进行计算即可. 【详解】 因为的展开式的通项公式为， 当时，此项为， 则的系数为， 故答案为：28. 【跟踪训练】 1.二项式的展开式中含项的系数为 ． 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令得，，所以展开式中的系数为. 故答案为：. 2.在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（    ） A．20 B． C．15 D． 【答案】A 【解析】第4项的二项式系数为. 故选:A 2、求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 【例9】 ． 【答案】0 【分析】利用二项式定理展开式合并即可. 【详解】 . 故答案为：0 【例10】若，，则 . 【答案】 【分析】将代入，结合的值，求解代数式的值. 【详解】令，则，，则. 故答案为：. 【例11】设，求 （1）展开式中各二项式系数的和；（2）展开式中各项系数的和； （3）的值；（4）的值；（5）的值。 【难度】★★ 【答案】令 （1）注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和： （2）令，得 ∴展开式中各项系数的和 （3）注意到， ∴∴ （4）仿（3）得 又∴ （5）法一：由 ∴ 令，得，又∴ 法二：由二项式的展开式知， ∴ 又， ∴∴ 【跟踪训练】 1.设，则 . 【答案】4096 【分析】采用赋值法，令即可求出结果. 【详解】令，则, 即， 故答案为：4096. 2.设，则 . 【答案】728 【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式的展开式赋值法求解即可. 【详解】因为， 所以， 令,可得， 令,可得， 所以. 故答案为：728. 3.设 （1）求（2）求（3） （4）（5）求各项二项式系数的和。 【难度】★★ 【答案】（1）令,得 （2）令得而由（1）知 两式相加，得。 （3）由（2）得 （4）令得=1，亦得 （5）各项二项式系数的和为 3、求奇数项或偶数项系数和 【例12】设，且. (1)求、的值； (2)求展开式中各项系数和； (3)求展开式的奇数项系数和. 【答案】(1)， (2)2048 (3)1024 【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和、求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】（1）根据二项式定理可得，结合题意可得，利用赋值法令即可得结果； （2）利用赋值法令即可得结果； （3）利用赋值法令，结合（2）中结论即可得结果； 【详解】（1）因为的展开式为，可知， 又因为，解得； 可得， 令，可得展开式中各项系数和. （2）由（1）可知：， 令，可得， 所以展开式中各项系数和2048. （3）由（1）可知：，且， 令，可得， 两式相加可得，即， 所以展开式的奇数项系数和为1024. 【跟踪训练】 1.已知，则 （用数字作答）． 【答案】 【分析】根据题意，利用赋值法分别将和代入已知式子中，得到两个方程，由这两个方程化简整理，即可求出答案． 【详解】由， 令得，，① 令得，，② ①②得，， . 故答案为：. 4、求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 【例13】在的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，， 所以的展开式中含的项为， 所以项的系数为. 故答案为： 【例14】已知，则 .（用数字作答） 【答案】85 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据二项式展开式的通项公式来求得正确答案. 【详解】因为， 要求，即求展开式中的系数， 根据二项式展开式的通项公式， 对于，其通项为， 令，则展开式中的系数为， 对于，相当于展开式中的系数乘以， 令，则展开式中的系数为， 所以展开式中的系数为， 对于，相当于展开式中的系数， 令，则展开式中的系数为， 那么就是展开式中的系数， 所以， 把，，代入得：. 故答案为：85 【跟踪训练】 1.的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由于的展开式通项为， 故的展开式中，含的项为 ， 故的系数为， 故答案为： 2.已知，且，则 . 【答案】2 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】利用二项展开式的通项公式，分析含项的构成，求出a. 【详解】由题意，为中的系数. 因为的二项展开式的通项公式为， 所以的展开式中含项的系数为：，解得：. 故答案为： 3.的展开式中的系数为（   ） A． B．17 C． D．13 【答案】C 【分析】求出二项式的展开式的通项公式，然后分别令x的指数为6和3，进而可以求解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，则；令，则， 所以多项式的展开式中含的系数为. 5、求二项式系数最值 【例15】在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】利用已知条件求出的值，写出二项展开式的通项，即可求解. 【详解】由于的展开式只有第项的二项式系数最大， 则展开式中共有项，故，解得， 所以，的展开式通项为， 令，解得，因此所求即为. 【例16】在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第3项 【答案】A 【分析】分与讨论，都可求得，再根据二项式定理即可求解. 【详解】由可得， 当，，则， 其展开式的通项为， 令，得，解得； 当，，则， 其展开式的通项为， 令，得，解得； 综上所述： ， 所以展开式共有项，所以展开式中二项式系数最大项是第项. 【跟踪训练】 1.已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 . 【答案】 【解析】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项， 所以为偶数且，可得. 2.已知二项式，在其展开式中二项式系数最大的项的系数为 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项式系数的性质，可知第4项二项式系数最大，写出展开式的第4项即可得到. 【详解】由题意知，.根据二项式系数的性质可得，第4项二项式系数最大. ，所以展开式中二项式系数最大的项的系数为-160. 故答案为：-160. 6、求项的系数最值 【例17】已知的展开式中二项式系数最大的项的系数为 ． 【答案】 【知识点】求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值 【分析】利用二项式系数的性质可得第五项的二项式系数最大，由二项式展开的通项求解即可. 【详解】由已知可得的展开式中二项式系数最大的项为第五项， 第五项的系数为. 故答案为： 【例18】若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 【答案】 【知识点】求指定项的系数、二项式的系数和 【分析】首先根据二项式系数和的性质求出的值，然后写出二项式展开式的通项公式，再根据通项公式求出最高次项的系数. 【详解】已知的展开式中二项式系数和为32，则，即. 对于，则其展开式的通项公式为. 化简得. 当时，最高次项的系数为. 所以最高次项的系数为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.若，且，求中的最大值． （2）因为， 所以，解得， 设第项的系数为，则，， ，令，解得， 可得：. 所以中的最大值为. 2.已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，得到，从而求出展开式中系数的最小值. 【解答过程】因为的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以， 所以展开式的通项公式为，要使展开式中系数的最小值，则为奇数，取值为1，3，5，7，所以当或5时，系数最小，则展开式中系数的最小值为， 故选：C. 3.已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为 (1)求实数a和n的值； (2)求展开式中系数最小的项． 【答案】(1)， (2) 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）由题得到，再令，即可求出a； （2）写出二项展开式的通项公式，则，即可求解. 【详解】（1）仅有第5项的二项式系数最大，则 令，则，又，则 （2）二项展开式的通项为：， 假设第项的系数的绝对值最大，由通项可得： ，解得： 故二项展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大. 又展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负， 故展开式中系数最小的项是第6项： 题型4：求二项展开式中的参数 【例19】在的展开式中的系数为20，则常数 ． 【答案】 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】应用二项式展开式通项及相关项系数列方程求参数. 【详解】由题设，二项式展开式通项公式为，， 令，则，则. 故答案为： 【例20】已知，若存在使得，则k的最大值为 ． 【答案】1011 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项展开式的通项可得，讨论的奇偶性，结合分析求解即可. 【详解】二项式的通项为， 二项式的通项为， 所以，， 若，则有： 当为奇数时，此时，即， 则，可得， 又因为为奇数，所以的最大值为1011； 当为偶数时，此时，不合题意； 综上所述：的最大值为1011. 故答案为：1011. 【跟踪训练】 1.的展开式中的系数为36，则的值为 . 【答案】 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】因为的二项展开式为， 令，可得； 令，可得； 可得， 所以， 解得：， 故答案为： 2.的展开式中的系数是126，则（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】C 【分析】求出展开式通项，令，解出，即可得出答案. 【详解】展开式通项为， 令，解得，因为的系数是126，所以， 解得，故选：C. 3.已知的展开式中，前3项的二项式系数之和等于56． (1)求的值： (2)若展开式中的常数项为， ①求的值；②第项的系数是第项系数的6倍，求的值． 【答案】(1)10； (2)①；② 【分析】（1）利用二项式系数和列出方程，求出的值. （2）求出展开式的通项公式，利用常数项求出的值；利用项的系数关系，结合组合数计算求得的值. 【详解】（1）依题意，，即，整理得，而， 所以. （2）①由（1）知，二项式展开式的通项为， 由，得，因此，即，而， 所以. ②由①知，，依题意，， 即，则，解得 题型5：二项式定理应用 1、整数和余数问题 【例21】若能被13整除，则可以是（    ） A．0 B．1 C．11 D．12 【答案】B 【知识点】整除和余数问题 【分析】利用二项式定理展开，然后根据整除列式计算即可. 【详解】因为 ， 又因为能被13整除， 所以能被13整除，观察选项可知可以是. 故选：B. 【跟踪训练】 1. 被100除所得的余数为（    ） A．1 B．81 C． D． 【答案】B 【知识点】整除和余数问题 【分析】由二项式定理将展开，即可得出答案. 【详解】． 前91项均能被100整除，剩下两项为， 显然8281除以100所得的余数为81． 故被100除所得的余数为81． 故选：B. 2.若正整数a，b满足等式，且，则（   ） A．1 B．2 C．2022 D．2023 【答案】D 【知识点】整除和余数问题、二项展开式的应用 【分析】由，再根据二项式定理展开后可求的值. 【详解】∵ ， ∴. 故选：D. 3.若，求证明：能被整除． 【难度】★★ 【答案】 ， ∵，，，…均为自然数， ∴上式各项均为的整数倍．∴原式能被整除． 2、近似计算问题 【例22】求1.0110精确到0.001的近似值。 【难度】★★ 【答案】1.105 【解析】 =1+0.1+0.0045+…≈1.105 【跟踪训练】 1.最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【解题思路】利用二项式定理进行估值即可. 【解答过程】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C. 2.的计算结果精确到0.001的近似值是（    ） A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933 【解题思路】由二项式定理求解 【解答过程】. 故选：C. 3、证明组合恒等式 【例23】求证：. 【解题思路】利用二项式定理直接证明. 【解答过程】左边= =1=右边. 即证. 【跟踪训练】 1.求证： 【解题思路】根据二项式系数性质利用倒序相加求和即可得出结论. 【解答过程】证明： 令，则； 两式相加可得, 所以； 可得. 2.求证： 【解题思路】利用恒等式及二项式定理，左右展开后对应项系数相同，利用组合数性质计算即可. 【解答过程】考虑恒等式：， 有 ． 左边展开式中的系数为： ， 而右边展开式中项的系数为零． 所以. 即得所证等式． 题型6：杨辉三角 【例25】如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为 （用最简分数表示）. 【答案】 【知识点】二项式系数的增减性和最值、杨辉三角 【分析】第行从左至右依次为，由二项式系数性质可得答案. 【详解】观察知第行从左至右依次为， 由二项式系数的性质可得最大，其次为， 所以第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第10行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)560 (3)存在， 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用、杨辉三角 【分析】（1）根据二项式系数的性质求和即可； （2）根据组合数的性质化简求值即可； （3）假设存在，根据条件建立方程组求解，即可得解. 【详解】（1）第10行的各数之和为：. （2）杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为： . （3）存在，理由如下： 设在第行存在连续三项，其中且且， 有且，化简得且， 即，解得， 所以， 故这三个数依次是. 2.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（    ） 第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 第2023行中第1012个数和第1013个数相等 记“杨辉三角”第行的第个数为，则 第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【分析】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错. 【详解】第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； 第行是二项式的展开式的系数， 故第行中第个数为，第个数为，又，B正确； “杨辉三角”第行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； 第34行是二项式的展开式的系数，所以第15个数与第16个数之比为，D不正确. 故选：D. 3.在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如下图所示： 第0行                             1 第1行                        1        1 第2行                    1        2        1 第3行                1        3        3        1 第4行            1        4        6        4        1 第5行        1        5        10        10        5        1 第6行    1        6        15        20        15        6        1                                  如上图，杨辉三角第6行的7个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如下图： 第0行                             0 第1行                        0        1 第2行                    0        2        2 第3行                0        3        6        3 第4行            0        4        12        12        4 第5行        0        5        20        30        20        5 第6行    0        6        30        60        60        30        6                                  在这个新的三角数阵中，第10行的第3个数为 ；从第一行开始的前行的所有数的和为 ． 【答案】 90 【分析】由杨辉三角及二项式系数得出新的三角数阵中第行的第个数为；先求出新的三角数阵中第行的和为，再根据错位相减法求前行的所有数的和即可． 【详解】由题可得杨辉三角中第行的第个数为， 则新的三角数阵中第行的第个数为，故第10行的第3个数为， 新的三角数阵中第行的和为：， 设，， 两边求导得，， 令得，， 所以新的三角数阵中第行的和为，设前行的所有数的和为， 则， ， 两式相减得，， 所以， 故答案为：90，． 1、 填空题 1．（2024·上海杨浦·二模）已知二项式，其展开式中含项的系数为 . 【答案】45 【分析】根据二项式展开式的通项公式可得，令即可求解. 【详解】由题意知，展开式的通项公式为， 令，得， 即含的项的系数为45. 故答案为：45 2．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三月考）在二项式的展开式中，常数项的值为______．（结果用数字表示） 【答案】28 【分析】 写出展开式的通项，，令，即得解 【详解】 由题意， 令 故常数项为 故答案为：28 3.（2021·上海闵行·一模）若的二项展开式中的常数项为，则实数a=___________. 【答案】 【分析】 由二项式可得其展开式通项为，结合已知常数项求参数a即可. 【详解】 由题设，二项式展开式通项为， ∴当，常数项为，可得. 故答案为：. 4．（2022春·上海闵行·高二闵行中学校考期末）在的展开式中，含项的系数为__________. 【答案】80 【分析】应用二项式展开式通项确定项对应r值，即可得系数. 【详解】由题设，， 所以项的系数为. 故答案为：80 5．（2022秋·上海静安·高三校考期中）多项式，那么_____________． 【答案】11 【分析】根据二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】设的展开式的通项公式为, 所以, 故答案为:11. 6．（2022秋·上海宝山·高三上海市吴淞中学校考开学考试）在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则所有项的系数和等于______ 【答案】 【分析】由二项式系数和可求得的值，然后在二项式中令，可求得所有项的系数和. 【详解】的二项式系数和为，可得， 所以，的所有项的系数和为. 故答案为：. 7．（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）已知二项式的展开式中的系数为，则实数_______. 【答案】 【分析】利用所给的二项式写出展开式的通项即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为：. 当，解得：； 所以由展开式中含的项的系数为20可得： ，得，解得 故答案为:. 8．（2021·上海·闵行中学高三开学考试）已知二项式的展开式中，中间项的系数为160，则展开式的各项系数和为______． 【答案】729 【分析】 先写出展开式的通项，然后得到中间项的系数，由此可计算出的值，采用赋值法令可计算出各项系数和. 【详解】 因为展开式的通项为， 中间项为，令，所以，解得， 令，可得各项系数和为， 故答案为：. 9．（2021·上海崇明·一模）已知的展开式的各项系数之和为81，则_______． 【答案】4 【分析】求二项式展开式各项系数之和时，令未知数的值为1即可﹒ 【详解】由题意，令，∴﹒ 故答案为：4． 10．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）展开式中系数是___________． 【答案】10 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】依题意展开式中系数是. 故答案为： 11．（2021·上海师大附中高二期中）___________. 【答案】256 【分析】根据二项式系数的性质计算． 【详解】由二项式系数性质知， 所以 ． 故答案为：256． 12．（2021·上海普陀·一模）若，则___________. 【答案】 【分析】利用二项式定理求出、的值，即可得解. 【详解】的展开式通项为， 展开式中的指数只可能为偶数，则， 令，可得，则. 因此，. 故答案为：. 13．（2021·上海师大附中高二期中）在的展开式中，有理项的项数为___________项. 【答案】338 【分析】求出通项公式，令的系数为整数，找出符合的值即可. 【详解】二项式的通项为，则，，，也符合，故有理项的项数为：338项. 故答案为：338 14．（2021·上海师大附中高二期中）设则的最小值是___________. 【答案】## 【分析】结合二项式的展开式的通项公式求得，记，结合函数的单调性以及二项系数的性质即可判断. 【详解】结合二项式的展开式的通项公式可得 ， 所以， 当时， ，记，单调递增，也单调递增，所以最小值为； 当时，， 故的最小值是； 故答案为：. 二、选择题 15．若能被7整除，则x，n的值可能为（ ） A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4 C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5 【答案】C 【分析】 由二项式定理可得，进而可判断x＝5，n＝4时，能被7整除. 【详解】 当x＝5，n＝4时，(1＋x)n－1＝64－1＝(62－1)(62＋1)＝35×37能被7整除. 故选：C. 【点睛】 本题考查了二项式定理和整除问题，考查了运算求解能力，属于中档题目. 16．（2021·上海市复旦中学高三月考）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ） A． B． C． D．7 【答案】D 【分析】 根据二项式系数的单调性，求得，再结合二项式展开式的通项公式，即可求得指定项的系数. 【详解】 因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大， 所以 所以的展开式的通项 令，得 所以展开式中的系数为 故选：D 17．（2021·上海市建平中学高三月考）在的二项展开式中，系数最大的是第（ ）项 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】 由题意利用二项展开式的通项公式，利用组合数的计算公式，求得该二项展开式中系数最大的项． 【详解】 在二项式的展开式中，通项公式为， 故第r+1项的系数为 ，当时，系数为正， 因为, 所以当r＝4时，系数最大的项是第5项. 故选：C 三、解答题 18．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1)二项式系数为，第3项的系数为 (2) (3) 【知识点】二项式的系数和、求指定项的二项式系数、求系数最大（小）的项、求指定项的系数 【分析】（1）利用二项展开式的通项可求二项式系数与系数； （2）由二项式系数的性质可得； （3）设出系数绝对值最大项，根据与前后项系数绝对值大小关系建立不等式组求解可得. 【详解】（1）二项式的通项 ． 第3项的二项式系数为，第3项的系数为； （2）奇数项的二项式系数和； （3）设系数绝对值最大的项为第项， 当时， 由，解得， 又，所以，此时； 当时，； 当时，； 综上可知，系数绝对值最大的项为． 19．（2021·上海师大附中高二期中）求的展开式中： （1）各项系数之和； （2）各项系数的绝对值之和； （3）系数最小的项. 【答案】 （1）-1 （2） （3） 【分析】 （1）设，令求解； （2）令，与令得到的两式相加减求解； （3）的展开式的通项公式为：，将问题转化为求系数的绝对值的最大值即可. （1） 解：设， 令，得； 所以的展开式各项系数之和为-1； （2） 令，得， 两式相减得：， 两式相加得：， 所以的展开式各项系数的绝对值之和为， ； （3） 的展开式的通项公式为： ， 系数的绝对值为，设第r+1项的系数绝对值最大， 则，解得， 则，即系数的绝对值的最大值为， 因为13为奇数， 所以，即第14项的系数最小， 所以系数最小的项为 20.（23-24高二下·福建福州·期中）在 的展开式中， (1)求展开式中所有项的系数和； (2)求二项式系数最大的项； (3)系数的绝对值最大的项是第几项? 【答案】(1)1 (2) (3)第6项和第7项 【分析】（1）借助赋值法令即可得； （2）结合二项式系数的性质与二项式的展开式的通项公式计算即可得； （3）解不等式组即可得. 【详解】（1）令，可得展开式中所有项的系数和为； （2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项， 的展开式的通项为： ， 故； （3）由的展开式的通项为： ， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. 21．（2022·全国·高三专题练习）.求： (1)； (2)； (3)； (4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和； (5)求展开式二项式系数最大的项是第几项？ (6). 【解析】（1）令，得①. （2）令，得②. 由①-②得， . （3）相当于求展开式的系数和， 令，得. （4）展开式中二项式系数和是. 展开式中偶数项的二项系数和是. （5）展开式有2023项，中间项是第1012项， 所以展开式二项式系数最大的项是第1012项. （6）两边分别求导得： ， 令，得. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年沪教版2020选择性必修第二册同步培优课程（强基篇） 专题11 二项式定理 一、二项式定理及相关概念 1、二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. 2、二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. 3、二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 二、二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 三、二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ④各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 题型1：二项式定理展开及其逆应用 【例1】二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【例2】设， ． 【跟踪训练】 1.写出的展开式． 2. 计算 ． 3. 计算的值是 ． 4. 化简 . 题型2：求二项式展开式中特定项 1、求二项展开式中的常数项 【例3】的二项展开式中的常数项为 ．（结果用数字表示） 【例4】已知的展开式中各项系数和为，则展开式中常数项为___________. 【跟踪训练】 1.的二项展开式中的常数项为 ． 2. 已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则展开式中的常数项为______. 2、求三项展开式中的指定项 【例5】展开式中的第四项为（    ） A． B． C．240 D． 【跟踪训练】 1. 二项式展开后的第三项是 2.二项式的展开式中的第3项为（    ） A．160 B． C． D． 3.若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3、求二项展开式中的有理项 【例6】二项式的展开式中，有理项有（    ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪训练】 1.在的展开式中，有多少个有理项？ 2.已知展开式的二项式系数之和为，则展开式中系数为有理数的项的个数是________． 4、系数最大（小）项 【例7】在的二项展开式中，系数最大的项为 . 【跟踪训练】 1.已知的二项展开式中的系数是. （1）求； （2）求二项展开式中系数最小的项. 2. 3. 在的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 . 4. 已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 题型3：二项式系数问题 1、求指定项系数 【例8】的展开式中的系数为 . 【跟踪训练】 1.二项式的展开式中含项的系数为 ． 2.在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（    ） A．20 B． C．15 D． 2、求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和 【例9】 ． 【例10】若，，则 . 【例11】设，求 （1）展开式中各二项式系数的和；（2）展开式中各项系数的和； （3）的值；（4）的值；（5）的值。 【跟踪训练】 1.设，则 . 2.设，则 . 3.设 （1）求（2）求（3） （4）（5）求各项二项式系数的和。 3、求奇数项或偶数项系数和 【例12】设，且. (1)求、的值； (2)求展开式中各项系数和； (3)求展开式的奇数项系数和. 【跟踪训练】 1.已知，则 （用数字作答）． 4、求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数 【例13】在的展开式中，项的系数为 . 【例14】已知，则 .（用数字作答） 【跟踪训练】 1.的展开式中，项的系数为 . 2.已知，且，则 . 3.的展开式中的系数为（   ） A． B．17 C． D．13 5、求二项式系数最值 【例15】在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 .（用数字作答） 【例16】在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第3项 【跟踪训练】 1.已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 . 2.已知二项式，在其展开式中二项式系数最大的项的系数为 ． 6、求项的系数最值 【例17】已知的展开式中二项式系数最大的项的系数为 ． 【例18】若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 【跟踪训练】 1.若，且，求中的最大值． 2.已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为 (1)求实数a和n的值； (2)求展开式中系数最小的项． 题型4：求二项展开式中的参数 【例19】在的展开式中的系数为20，则常数 ． 【例20】已知，若存在使得，则k的最大值为 ． 【跟踪训练】 1.的展开式中的系数为36，则的值为 . 2.的展开式中的系数是126，则（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 3.已知的展开式中，前3项的二项式系数之和等于56． (1)求的值： (2)若展开式中的常数项为， ①求的值；②第项的系数是第项系数的6倍，求的值． 题型5：二项式定理应用 1、整数和余数问题 【例21】若能被13整除，则可以是（    ） A．0 B．1 C．11 D．12 【跟踪训练】 1. 被100除所得的余数为（    ） A．1 B．81 C． D． 2.若正整数a，b满足等式，且，则（   ） A．1 B．2 C．2022 D．2023 3.若，求证明：能被整除． 2、近似计算问题 【例22】求1.0110精确到0.001的近似值。 【跟踪训练】 1.最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 2.的计算结果精确到0.001的近似值是（    ） A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933 3、证明组合恒等式 【例23】求证：. 【跟踪训练】 1.求证： 2.求证： 题型6：杨辉三角 【例25】如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为 （用最简分数表示）. 【跟踪训练】 1.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第10行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 2.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（    ） 第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 第2023行中第1012个数和第1013个数相等 记“杨辉三角”第行的第个数为，则 第34行中第15个数与第16个数之比为 3.在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如下图所示： 第0行                             1 第1行                        1        1 第2行                    1        2        1 第3行                1        3        3        1 第4行            1        4        6        4        1 第5行        1        5        10        10        5        1 第6行    1        6        15        20        15        6        1                                  如上图，杨辉三角第6行的7个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如下图： 第0行                             0 第1行                        0        1 第2行                    0        2        2 第3行                0        3        6        3 第4行            0        4        12        12        4 第5行        0        5        20        30        20        5 第6行    0        6        30        60        60        30        6                                  在这个新的三角数阵中，第10行的第3个数为 ；从第一行开始的前行的所有数的和为 ． 1、 填空题 1．（2024·上海杨浦·二模）已知二项式，其展开式中含项的系数为 . 2．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三月考）在二项式的展开式中，常数项的值为______．（结果用数字表示） 3.（2021·上海闵行·一模）若的二项展开式中的常数项为，则实数a=___________. 4．（2022春·上海闵行·高二闵行中学校考期末）在的展开式中，含项的系数为__________. 5．（2022秋·上海静安·高三校考期中）多项式，那么_____________． 6．（2022秋·上海宝山·高三上海市吴淞中学校考开学考试）在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则所有项的系数和等于______ 7．（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）已知二项式的展开式中的系数为，则实数_______. 8．（2021·上海·闵行中学高三开学考试）已知二项式的展开式中，中间项的系数为160，则展开式的各项系数和为______． 9．（2021·上海崇明·一模）已知的展开式的各项系数之和为81，则_______． 10．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）展开式中系数是___________． 11．（2021·上海师大附中高二期中）___________. 12．（2021·上海普陀·一模）若，则___________. 13．（2021·上海师大附中高二期中）在的展开式中，有理项的项数为___________项. 14．（2021·上海师大附中高二期中）设则的最小值是___________. 二、选择题 15．若能被7整除，则x，n的值可能为（ ） A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4 C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5 16．（2021·上海市复旦中学高三月考）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ） A． B． C． D．7 17．（2021·上海市建平中学高三月考）在的二项展开式中，系数最大的是第（ ）项 A．3 B．4 C．5 D．6 三、解答题 18．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 19．（2021·上海师大附中高二期中）求的展开式中： （1）各项系数之和； （2）各项系数的绝对值之和； （3）系数最小的项. 20.（23-24高二下·福建福州·期中）在 的展开式中， (1)求展开式中所有项的系数和； (2)求二项式系数最大的项； (3)系数的绝对值最大的项是第几项? 21．（2022·全国·高三专题练习）.求： (1)； (2)； (3)； (4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和； (5)求展开式二项式系数最大的项是第几项？ (6). 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$