高二数学月考卷02（新高考通用，计数原理+随机变量及其分布列+统计）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

2024-2025学年高二数学下学期第三次月考 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：计数原理+随机变量及其分布列+统计 5．难度系数：0.60。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 2．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 3．稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用.右表是2024年前5个月某国稀土出口均价（单位：万元吨）与月份的统计数据.若与的线性回归方程为，则的值为（ ） 1 2 3 4 5 1.7 2.4 2.0 1.6 A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7 4．在的展开式中，常数项为（    ） A．60 B． C．15 D． 5．某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（   ） A． B． C． D． 6．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽．小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉入编号（从左至右）为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的球槽内．若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分，否则不得分．若，为使所得积分的数学期望最大，每次试验前选定的球槽编号为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为480 C．若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，且甲、乙参加同一项工作，则不同的安排方法数为48 D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为180 8．设，若随机变量的分布列如下： 0 2 则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知二项式的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（   ） A．所有项的二项式系数和为256 B．所有项的系数和为1 C．二项式系数最大的项为第5项 D．展开式中的有理项共4项 10．下列说法正确的是（    ） A．数据的上四分位数为9 B．若，，且，则相互独立 C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D．将两个具有相关关系的变量的一组数据，，…，调整为，，…，，决定系数不变 （附：，，） 11．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件存在如下关系：.对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡､支付宝或微信进行支付.已知使用信用卡支付的用户占总用户的，使用支付宝支付的用户占总用户的，其余的用户使用微信支付.平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是0.0675，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为，则以下说法正确的是（    ） A．使用信用卡支付的用户中有的人遇到支付问题 B．使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率相同 C．要将出现支付问题的概率降到0.05，可以将信用卡支付通道关闭 D．减少微信支付的人数有可能降低出现支付问题的概率 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．随着国家二孩政策的放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表： 城市级别生育意愿 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 计算得．参照下表， P() 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 则有 的把握认为生育意愿与城市级别有关． 13．展开式中的系数为 . 14．某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量（克）分为4级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为（精确到0.1）.若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过3，则的最大值为 ． 参考数据：若，则：；；． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在展开式中，前3项的系数成等差数列. 求： (1)的值； (2)二项展开式中的有理项. 16．（15分）某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下列表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 100 20 女性 50 30 80 总计 50 200 (1)求； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ (3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了款车的人数为，求的数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 17．（15分）随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额（单位：百亿） 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱．） (2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额． 参考数据：，， 参考公式：相关系数； 线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，． 18.（17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立． 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只） (2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体． （i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p； （ii）以（i）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X =99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数n． 参考公式：（其中为样本容量） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 19．（17分）2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为. (1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； (2)若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵； (3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数. 参考公式：时，，. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B B A C D D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．432 14．4 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）二项式展开式的第项为， 第一项系数为，第二项系数为，第三项系数为， 依题意，，显然，解得， 所以的值为8.…………6分 （2）由（1）知，显然展开式的有理项必满足，则为4的倍数，即有， 因此， 所以二项展开式中的有理项为．…………13分 16． （15分） 【详解】（1），；…………2分 （2）零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联， 根据列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于；…………9分 （3）随机抽取1人购买款车的概率为：， 的可能取值有0，1，2，3，4，依题意服从，， 因此，.…………15分 17． （15分） 【详解】（1）由已知得，， ，， ， 故， ，所以线性相关性程度很强；…………8分 （2），， 则， 所以关于的线性回归方程为， 当时，， 所以预计2025年该平台的交易额为15.9百亿．…………15分 18.（17分） 【详解】（1） 由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为： 在内有（只）； 在内有（只）； 在内有（只）； 在内有（只）， 在内有（只）． 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只； 而指标值小于60的小白鼠共有只， 所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只， 同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只， 故列联表如下：单位：只 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计 70 130 200 （3分） 零假设为:注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联． 根据列联表中数据，得， 根据的独立性检验，推断不成立， 即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关， 此推断犯错误的概率不大于0.05.…………6分 （2） （i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”， 事件B=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’， 事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”， 记事件A，B，C发生的概率分别为， 则，， ， 所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.…………11分 （ii）由题意，知随机变量， ， 因为最大， 所以， 解得 是整数，所以或， 接受接种试验的人数为109或110．…………17分 19．（17分） 【详解】（1）设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，，1，2， “两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为个”， 则，， ，，， 则， 故.…………5分 （2）由题知，1，2， 由（1）知， 同理可得， 则， 故的信息熵.…………10分 （3）由题知，其中，2，3，…， 则， 又， 则，① ，② 得： ， 由题知，当无限增大时，趋近于零，趋近于零，则趋近于. 所以当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.…………17分 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：计数原理+随机变量及其分布列+统计 5．难度系数：0.60。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 2．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 3．稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用.右表是2024年前5个月某国稀土出口均价（单位：万元吨）与月份的统计数据.若与的线性回归方程为，则的值为（ ） 1 2 3 4 5 1.7 2.4 2.0 1.6 A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7 4．在的展开式中，常数项为（    ） A．60 B． C．15 D． 5．某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（   ） A． B． C． D． 6．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽．小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉入编号（从左至右）为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的球槽内．若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分，否则不得分．若，为使所得积分的数学期望最大，每次试验前选定的球槽编号为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为480 C．若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，且甲、乙参加同一项工作，则不同的安排方法数为48 D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为180 8．设，若随机变量的分布列如下： 0 2 则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知二项式的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（   ） A．所有项的二项式系数和为256 B．所有项的系数和为1 C．二项式系数最大的项为第5项 D．展开式中的有理项共4项 10．下列说法正确的是（    ） A．数据的上四分位数为9 B．若，，且，则相互独立 C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D．将两个具有相关关系的变量的一组数据，，…，调整为，，…，，决定系数不变 （附：，，） 11．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件存在如下关系：.对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡､支付宝或微信进行支付.已知使用信用卡支付的用户占总用户的，使用支付宝支付的用户占总用户的，其余的用户使用微信支付.平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是0.0675，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为，则以下说法正确的是（    ） A．使用信用卡支付的用户中有的人遇到支付问题 B．使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率相同 C．要将出现支付问题的概率降到0.05，可以将信用卡支付通道关闭 D．减少微信支付的人数有可能降低出现支付问题的概率 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．随着国家二孩政策的放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表： 城市级别生育意愿 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 计算得．参照下表， P() 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 则有 的把握认为生育意愿与城市级别有关． 13．展开式中的系数为 . 14．某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量（克）分为4级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为（精确到0.1）.若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过3，则的最大值为 ． 参考数据：若，则：；；． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在展开式中，前3项的系数成等差数列. 求： (1)的值； (2)二项展开式中的有理项. 16．（15分）某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下列表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 100 20 女性 50 30 80 总计 50 200 (1)求； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ (3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了款车的人数为，求的数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 17．（15分）随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额（单位：百亿） 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱．） (2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额． 参考数据：，， 参考公式：相关系数； 线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，． 18． （17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立． 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只） (2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体． （i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p； （ii）以（i）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X =99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数n． 参考公式：（其中为样本容量） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 19．（17分）2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为. (1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； (2)若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵； (3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数. 参考公式：时，，. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：计数原理+随机变量及其分布列+统计 5．难度系数：0.60。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 【答案】B 【解析】由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关， 由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关. 故选：B 2．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为随机变量服从正态分布，且， 则. 故选：B. 3．稀土被誉为工业的维生素，具有无法取代的优异磁、光、电性能，对改善产品性能，增加产品品种，提高生产效率起到了巨大的作用.右表是2024年前5个月某国稀土出口均价（单位：万元吨）与月份的统计数据.若与的线性回归方程为，则的值为（ ） 1 2 3 4 5 1.7 2.4 2.0 1.6 A．1.4 B．1.5 C．1.6 D．1.7 【答案】B 【解析】由题意可知，， 因为线性回归方程为过样本中心点， 所以， 所以，解得. 故选： 4．在的展开式中，常数项为（    ） A．60 B． C．15 D． 【答案】A 【解析】的展开式通项公式为， 令，解得，所以展开式中的常数项为. 故选：A. 5．某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，事件为“比赛进行两局，甲获得冠军”，所以，， ， 由条件概率公式可得. 故选：C. 6．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽．小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉入编号（从左至右）为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的球槽内．若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分，否则不得分．若，为使所得积分的数学期望最大，每次试验前选定的球槽编号为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】设选定的格子编号为，则小球碰撞过程中有次向右边滚落， 落到该格子的概率为，此时其数学期望为， 令，则， 当时，，当时，，所以当时，最大，D正确. 故选：D 7．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（   ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为480 C．若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，且甲、乙参加同一项工作，则不同的安排方法数为48 D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为180 【答案】D 【解析】对于A：若每人都安排一项工作，则不同的方法数为，A选项错误； 对于B：若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为，B选项错误； 对于C:若每人都安排一项工作，每项工作至少有1人参加，且甲、乙参加同一项工作，则不同的安排方法数为，C选项错误； 对于D：若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作， 当1人从事司机工作时，则安排方案有； 当2人从事司机工作时，则安排方案有； 则不同安排方案的种数为. 故选：D. 8．设，若随机变量的分布列如下： 0 2 则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由分布列的性质可知，所以有，所以A项正确； ， ， 因为，所以，所以B项正确； ，， ， 因为，所以， 所以不一定小于0，所以不一定成立，所以C项错误； ， 且， 所以有 ， 令， 所以，，所以， 所以在上单调递增， ， 所以 所以D项正确； 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知二项式的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（   ） A．所有项的二项式系数和为256 B．所有项的系数和为1 C．二项式系数最大的项为第5项 D．展开式中的有理项共4项 【答案】BD 【解析】由题设，，即二项式为，展开式通项为，， 所以所有项的二项式系数和为，A错； 令，则所有项的系数和为，B对； 由于展开式共有8项，则二项式系数最大的项为第4、5项，C错； 展开式中的有理项，则为整数，有，即共有4项，D对. 故选：BD 10．下列说法正确的是（    ） A．数据的上四分位数为9 B．若，，且，则相互独立 C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D．将两个具有相关关系的变量的一组数据，，…，调整为，，…，，决定系数不变 （附：，，） 【答案】BD 【解析】对于A，我们把数据重新排列，得到， 又，所以数据的上四分位数为，故A错误； 对于B，因为，所以， 由条件概率公式得，得到，即相互独立，故B正确； 对于C，散点不一定在回归直线上，不能直接代入直线方程，故C错误； 对于D，由于，变成了， 则，， 从而都不变，则，故D正确. 故选：BD. 11．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件存在如下关系：.对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡､支付宝或微信进行支付.已知使用信用卡支付的用户占总用户的，使用支付宝支付的用户占总用户的，其余的用户使用微信支付.平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是0.0675，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为，则以下说法正确的是（    ） A．使用信用卡支付的用户中有的人遇到支付问题 B．使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率相同 C．要将出现支付问题的概率降到0.05，可以将信用卡支付通道关闭 D．减少微信支付的人数有可能降低出现支付问题的概率 【答案】BC 【解析】根据题意，设用户使用信用卡支付的事件为，用户使用支付宝支付为事件，用户使用微信支付为事件，用户出现支付问题为事件， 则， 且， 对于A中，由， 解得，所以A错误； 对于BC中，由 解得，同理可得，所以， 即使用支付宝支付遇到支付问题与使用微信支付遇到支付问题的概率相同， 要将出现支付问题的概率降到0.05，可以将信用卡支付通道关闭,所以BC正确； 对于D中，减少微信支付的人数，即减少， 则的值不一定减少，所以D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．随着国家二孩政策的放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表： 城市级别生育意愿 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 计算得．参照下表， P() 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 则有 的把握认为生育意愿与城市级别有关． 【答案】 【解析】因为，所以有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”. 故答案为：. 13．展开式中的系数为 . 【答案】 【解析】得项类型一：从6个因式中选择1个提供，5个提供2， 此时的系数为； 类型二：从6个因式中选择2个提供，4个提供2， 此时的系数为； 合并同类项，含的项为. 故答案为：. 14．某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量（克）分为4级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为（精确到0.1）.若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过3，则的最大值为 ． 参考数据：若，则：；；． 【答案】4 【解析】因为蓝莓果重量服从正态分布，其中，， ， 设第次抽到优等果的概率， 恰好抽取次的概率， 所以， 设 ①，则 ②， 两式相减得： 所以， 由，即， 又，， 所以的最大值为4． 故答案为：4． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）在展开式中，前3项的系数成等差数列. 求： (1)的值； (2)二项展开式中的有理项. 【解析】（1）二项式展开式的第项为， 第一项系数为，第二项系数为，第三项系数为， 依题意，，显然，解得， 所以的值为8.（6分） （2）由（1）知，显然展开式的有理项必满足，则为4的倍数，即有， 因此， 所以二项展开式中的有理项为．（13分） 16．（15分）某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下列表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 100 20 女性 50 30 80 总计 50 200 (1)求； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ (3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了款车的人数为，求的数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【解析】（1），；（2分） （2）零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联， 根据列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于；（9分） （3）随机抽取1人购买款车的概率为：， 的可能取值有0，1，2，3，4，依题意服从，， 因此，.（15分） 17．（15分）随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 交易额（单位：百亿） 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性一般；若，则认为与线性相关性较弱．） (2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额． 参考数据：，， 参考公式：相关系数； 线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，． 【解析】（1）由已知得，， ，， ， 故， ，所以线性相关性程度很强；（8分） （2），， 则， 所以关于的线性回归方程为， 当时，， 所以预计2025年该平台的交易额为15.9百亿．（15分） 18． （17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立． 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只） (2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体． （i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p； （ii）以（i）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X =99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数n． 参考公式：（其中为样本容量） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 【解析】（1） 由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为： 在内有（只）； 在内有（只）； 在内有（只）； 在内有（只）， 在内有（只）． 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只； 而指标值小于60的小白鼠共有只， 所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只， 同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只， 故列联表如下：单位：只 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计 70 130 200 （3分） 零假设为:注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联． 根据列联表中数据，得， 根据的独立性检验，推断不成立， 即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关， 此推断犯错误的概率不大于0.05.（6分） （2） （i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”， 事件B=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’， 事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”， 记事件A，B，C发生的概率分别为， 则，， ， 所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.（11分） （ii）由题意，知随机变量， ， 因为最大， 所以， 解得 是整数，所以或， 接受接种试验的人数为109或110．（17分） 19．（17分）2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为. (1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； (2)若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵； (3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数. 参考公式：时，，. 【解析】（1）设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，，1，2， “两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为个”， 则，， ，，， 则， 故.（5分） （2）由题知，1，2， 由（1）知， 同理可得， 则， 故的信息熵.（10分） （3）由题知，其中，2，3，…， 则， 又， 则，① ，② 得： ， 由题知，当无限增大时，趋近于零，趋近于零，则趋近于. 所以当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数.（17分） 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$