精品解析：山东省青岛市市南区第二十六中学2022-2023学年九年级第二学期阶段性质量检测（一模）数学试题

2022—2023学年度青岛二十六中第二学期阶段性质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 友情提示：亲爱的同学，欢迎参加本次考试，祝你答题成功！ 本次考试只交答题纸，请同学们务必将学校、班级、姓名写在答题纸的卷面上，务必在答题纸规定的位置上写答案，在其他位置写答案不得分！ 一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请将1—8各小题所选答案的标号涂写在答题纸规定位置 1. 下列四个数中，属于有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 万花筒写轮眼是漫画《火影忍者》及其衍生作品中的一种瞳术，下列图标中，是中心对称图形的有（　　）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列计算正确的是(　　) A. B. C. D. 4. 冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒，新型冠状病毒的半径约是米， 将数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小 C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变 6. 如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．弦AB与DC的延长线相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝48°，则∠DBC的度数为（　　） A. 84° B. 72° C. 66° D. 48° 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. 计算＋的结果是______． 10. 关于函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是________． 11. 某工程队进行爆破时，为了安全，人要撤离到距爆破点米以外安全区域．已知引线的燃烧速度为米/秒，爆破者离开速度为米/秒，点燃时引线向远离爆破点的方向拉直，则引线的长度应满足什么条件？设引线长米，请根据题意列出关于的不等式____________． 12. 在一个不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，小东向其中投入10个黑球（与白球除颜色外均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有25次摸到黑球．请你估计这个袋中有_____个白球． 13. 如图，已知正方形的边长为4，E是边延长线上一点，F为边上一点，，连接并延长交线段于点G，连接交于点M，连接交于点N．则下列结论： ①；②；③；④当时，． 其中正确的有 ___________．（填序号） 14. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，A是圆弧与直线的切点，B是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为C，，，，，A到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为______． 三、作图题（本题满分4分） 15 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：和线段a．求作：，使它与的两边相切，半径等于线段a． 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. 计算： （1）计算：． （2）解不等式组，并写出它的非负整数解． 17. 甲乙两人用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，A转盘被分成如图所示的三份，并分别标有数字1，2，﹣3；B转盘被等分成三份，分别标有数字﹣1，﹣2，3．甲乙两人同时转动转盘，当转盘停止转动时，指针所指的数字之差的绝对值大于2，则甲胜；指针所指的数字之差的绝对值小于2．则乙胜．请问，这个游戏对甲乙两人公平吗？说明理由． 18. 2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东方向，求中餐台C到就餐区D（即）的距离．（结果保留整数）（参考数值：，，，，，．） 19. 【问题背景】九年级学生进行了第一次中考一模质量检测，已知青岛市二十六中九年级学生总数占比青岛市南区九年级学生总数的， 【评分标准】90分及以上为优秀；80分分为良好；60分分为及格；60分以下为不及格．将测试数据制成如图统计图．请根据相关信息解答下面的问题： 【数据分析】 （1）扇形统计图中，“不及格”等级所在扇形圆心角度数是______． （2）求参加本次测试学生的平均成绩； （3）若青岛二十六中参加本次测试“良好”及“良好”以上等级的学生共有192人，请你估计青岛市南区“不及格”等级的学生的人数． 20. 某市在城中村改造中，需要种植A、B两种不同的树苗共3000棵，经招标，承包商以15万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，A、B两种树苗的成本价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 A 28 90% B 40 95% 设种植A种树苗x棵，承包商获得的利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）政府要求栽植这批树苗的成活率不低于93%，承包商应如何选种树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？ （3）在达到（2）中政府的要求并获得最大利润的前提下，承包商用绿化队的40人种植这两种树苗，已知每人每天可种植A种树苗6棵或B种树苗3棵，如何分配人数才能使种植A、B两种树苗同时完工． 21. 如图，在中，O是对角线、的交点，延长边到点F，使，过点F作，连接、． （1）求证． （2）连接，已知 　 　．（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：且； 条件②：且． 22. 跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为7米． （1）求抛物线C2的函数解析式； （2）当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同； （3）运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？ 23. 问题提出：已知矩形，点E为上的一点，，交于点F．将绕点B顺时针旋转得到，则与的有怎样的数量关系． 问题探究 探究一：如图，已知正方形，点E为上的一点，，交于点F． （1）如图1，直接写出的值 　 　； （2）将绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接，猜想与的数量关系，并证明你的结论； 探究二：如图，已知矩形，点E为上的一点，，交于点F． 如图3，若四边形为矩形， ，将绕点B顺时针旋转得到（E、F的对应点分别为、点），连接、，则的值是否随着α的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值． 一般规律 如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点B顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量关系． 问题解决 如图4，当时，其他条件不变，绕点B顺时针旋转，设旋转角为当时，直接写出此时　 　． 拓展延伸 如图5，点E是正方形对角线上一点，连接，过点E作，交线段于点F，交线段于点M，连接交线段于点H．给出下列四个结论，①；②；③；④；正确的结论有 ___　 　个． 24. 已知：如图，在中，．点D是中点，点P从点C出发，沿向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点A出发，沿向点B匀速运动，速度为3cm/s；连接，将绕点D旋转得．设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t为何值时，？ （2）当t为何值时，四边形是菱形？ （3）设四边形的面积为y，求y与t的函数关系式； （4）是否存在某一时刻t，使得点T在的外接圆上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022—2023学年度青岛二十六中第二学期阶段性质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 友情提示：亲爱的同学，欢迎参加本次考试，祝你答题成功！ 本次考试只交答题纸，请同学们务必将学校、班级、姓名写在答题纸的卷面上，务必在答题纸规定的位置上写答案，在其他位置写答案不得分！ 一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请将1—8各小题所选答案的标号涂写在答题纸规定位置 1. 下列四个数中，属于有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整数和分数统称为有理数，根据定义解答． 【详解】解：属于有理数；、、都属于无理数， 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的定义，熟记定义并正确区分有理数与无理数是解题的关键． 2. 万花筒写轮眼是漫画《火影忍者》及其衍生作品中的一种瞳术，下列图标中，是中心对称图形的有（　　）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐个判断即可得． 【详解】解：第1个和第3个图标是中心对称图形，共有2个， 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟记定义是解题关键． 3. 下列计算正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，零次幂，负整数指数幂，进行计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴选项A不符合题意； ∵， ∴选项B不符合题意； ∵， ∴选项C符合题意； ∵， ∴选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，零次幂，负整数指数幂，掌握以上运算法则是解题的关键． 4. 冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒，新型冠状病毒的半径约是米， 将数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：C． 5. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ） A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小 C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数，方差的定义计算即可． 【详解】解：∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分， ∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小， 故选：B． 【点睛】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6. 如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图的定义及画图规则，画出俯视图，再与各选项进行对比即可找出正确答案． 【详解】解：从上向下看几何体时，外部轮廓如图1所示： ∵上半部有圆孔，且在几何体内部，看不见的轮廓线画虚线， ∴整个几何体的俯视图如图2所示： 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的知识点，熟知左视图的定义和画三视图的规则是解题的关键． 7. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．弦AB与DC的延长线相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝48°，则∠DBC的度数为（　　） A. 84° B. 72° C. 66° D. 48° 【答案】A 【解析】 【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质及平角定义可得，∠ADC＝∠GBC＝48°，根据垂径定理可得得到DE＝CE，∠DAE＝42°，AC＝AD，根据三角形内角和定理可得∠DAE＝42°，最后根据圆周角定理可知即可求解． 【详解】解：连接AC， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＝∠GBC＝48°， ∵AO⊥CD， ∴DE＝CE，∠AED＝90°，AC＝AD， ∴∠DAE＝180°﹣∠ADC﹣∠AED＝42°， ∴∠CAD＝2∠DAE＝84°， 由圆周角定理得，∠DBC＝∠CAD＝84°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆的角度计算，涉及到圆内接四边形的性质，垂径定理，三角形内角和定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学知识求得∠DAC． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，根据两个函数的图象交于点，当时，一次函数的图象过一，三象限，抛物线的开口向下，当时，一次函数的图象过二，四象限，抛物线的开口向上，据此进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，， ∴两个函数图象交于点， 当时，一次函数的图象过一，三象限，抛物线的开口向下， 当时，一次函数的图象过二，四象限，抛物线的开口向上， 故满足条件的只有选项D； 故选：D． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 9. 计算＋结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算方法进行计算即可； 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算法则是正确解答的前提． 10. 关于的函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】关于x的函数y=（k-2）x2-（2k-1）x+k的图象与x轴有两个交点，则判别式b2-4ac＞0，且二次项系数不等于0，据此列不等式求解． 【详解】解：根据题意得： ， 解得k＞- 且k≠2． 故答案是：k＞-且k≠2． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 11. 某工程队进行爆破时，为了安全，人要撤离到距爆破点米以外的安全区域．已知引线的燃烧速度为米/秒，爆破者离开速度为米/秒，点燃时引线向远离爆破点的方向拉直，则引线的长度应满足什么条件？设引线长米，请根据题意列出关于的不等式____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据引线燃烧的时间＞人撤离到安全区域的时间，得出不等式即可． 【详解】解：设引线长x米， 由题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出不等式关系式是解题的关键． 12. 在一个不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，小东向其中投入10个黑球（与白球除颜色外均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有25次摸到黑球．请你估计这个袋中有_____个白球． 【答案】30 【解析】 【分析】根据黑球个数和出现的频率，可以计算出总的球数，然后即可计算出白球的个数，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 袋中球的总数为：， 则白球约为40−10＝30（个）， 故答案是：30． 【点睛】本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，计算出球的总个数． 13. 如图，已知正方形的边长为4，E是边延长线上一点，F为边上一点，，连接并延长交线段于点G，连接交于点M，连接交于点N．则下列结论： ①；②；③；④当时，． 其中正确的有 ___________．（填序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】①根据已知条件证明，即可判断； ②由和已知条件证明四边形是平行四边形，再证明，当且仅当时，，即可判断； ③结合①②证明，进而可以判断； ④当时，可得是等边三角形，作于点H，根据正方形边长为4，即可求出的值，进而可以判断. 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确， 若， ∵， ∴， 而不一定是， 故②错误， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确， 作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故④错误， ∴正确的是①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形、全等三角形、平行四边形的性质和判定，在有中点和直角三角形的前提条件下，可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明两条线段相等. 14. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，A是圆弧与直线的切点，B是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为C，，，，，A到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设大圆的半径为R，利用已知条件求出、的长，利用求出大圆的半径R，再根据图中线段关系得出为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可． 【详解】解：如图，作垂直于，交、于S、N，垂足为M，过点O作垂直于，垂足为Q， ∵A到直线和的距离均为， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由于是圆弧的切线， ∴，， 设大圆的半径为R，则， ，， ∵， ∴ 解得， 图中阴影部分面积分为扇形AOB和直角△AOH的面积减去小半圆的面积， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，熟练掌握圆的有关计算方法是解题的关键． 三、作图题（本题满分4分） 15. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：和线段a．求作：，使它与的两边相切，半径等于线段a． 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，根据与的两边相切，得到圆心在的角平分线上，作的角平分线，在上找一点，过点作的垂线，以点为圆心，线段的长为半径，画弧，交垂线于点，过点，作的垂线，交于点，再以点为圆心，线段的长为半径，画圆即可． 【详解】解，如图，即为所求． 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. 计算： （1）计算：． （2）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】（1） （2），0，1，2 【解析】 【分析】（1）先把分子分母因式分解，再计算，即可求解； （2）分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：， 由不等式①得：． 由不等式②得：． ∴不等式组的解集为：， ∴它的非负整数解为0，1，2． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 17. 甲乙两人用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，A转盘被分成如图所示的三份，并分别标有数字1，2，﹣3；B转盘被等分成三份，分别标有数字﹣1，﹣2，3．甲乙两人同时转动转盘，当转盘停止转动时，指针所指的数字之差的绝对值大于2，则甲胜；指针所指的数字之差的绝对值小于2．则乙胜．请问，这个游戏对甲乙两人公平吗？说明理由． 【答案】不公平，理由见解析 【解析】 【分析】用列举法表示出所有可能的结果，利用数字之差的绝对值大于2，和数字之差的绝对值小于2的情况各有多少种，进而计算该事件发生的概率，从而得出是否公平； 【详解】解：每次游戏可能出现的所有结果列表如下： B A -1 -2 3 1 2 3 2 2 3 4 1 -3 2 1 6 -3 2 1 6 从表中看出：共有12种等可能的结果，其中数字之差绝对值大于2的有5种，数字之差的绝对值小于2的有3种， ∴甲获胜概率P 乙获胜的概率P ∵二人获胜的概率不相等， 因此游戏不公平 【点睛】此题考查了概率的应用．求某件事件发生的概率，必须先把所有可能的结果列举出来，然后再求概率；游戏是否公平，就是判断事件发生的概率是否相等． 18. 2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东方向，求中餐台C到就餐区D（即）的距离．（结果保留整数）（参考数值：，，，，，．） 【答案】357米 【解析】 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得，，，从而可得四边形是矩形，进而可得米，，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出，，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．本题考查了矩形的判定，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 则，，， 四边形是矩形， 米，， 设米， 在中，（米）， （米）， 米， 米， 米， 在中，， ， ， 解得：， 中餐台到就餐区（即的距离为357米． 19. 【问题背景】九年级学生进行了第一次中考一模质量检测，已知青岛市二十六中九年级学生总数占比青岛市南区九年级学生总数的， 【评分标准】90分及以上为优秀；80分分为良好；60分分为及格；60分以下为不及格．将测试数据制成如图统计图．请根据相关信息解答下面的问题： 【数据分析】 （1）扇形统计图中，“不及格”等级所在扇形圆心角的度数是______． （2）求参加本次测试学生的平均成绩； （3）若青岛二十六中参加本次测试“良好”及“良好”以上等级的学生共有192人，请你估计青岛市南区“不及格”等级的学生的人数． 【答案】（1） （2）（分） （3）400（人） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求平均数，利用样本估计总体： （1）360度乘以不及格的人数所占的比例，求出圆心角的度数即可； （2）利用加权平均数的计算公式进行计算即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：“不及格”等级所占百分比为，． 故答案为：； 【小问2详解】 （分）； 【小问3详解】 参加本次测试“良好”及“良好”以上等级的学生共有192人， 青岛二十六中九年级学生总数为（人）， 青岛二十六中九年级学生总数占比青岛市南区九年级学生总数的， 估计全青岛市南区“不及格”等级的学生的人数为（人）． 20. 某市在城中村改造中，需要种植A、B两种不同的树苗共3000棵，经招标，承包商以15万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，A、B两种树苗的成本价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 A 28 90% B 40 95% 设种植A种树苗x棵，承包商获得的利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）政府要求栽植这批树苗的成活率不低于93%，承包商应如何选种树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？ （3）在达到（2）中政府的要求并获得最大利润的前提下，承包商用绿化队的40人种植这两种树苗，已知每人每天可种植A种树苗6棵或B种树苗3棵，如何分配人数才能使种植A、B两种树苗同时完工． 【答案】（1）y=150000﹣28x﹣40（3000﹣x）=12x+30000（0≤x≤3000）．（2）购买A种树苗1200棵，B种树苗1800棵时，承包商应的利润最大，最大利润为44400元．（3）安排10人种植A种树苗，30人种植B种树苗，恰好同时完工． 【解析】 【分析】（1）由购买A种树苗x棵，可得出购买B种树苗（3000﹣x）棵，根据“总利润=报价﹣购买A种树苗钱数﹣购买B种树苗钱数”即可得出y关于x的函数关系式； （2）根据政府要求栽植这批树苗的成活率不低于93%，即可列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可解决最值问题； （3）设安排m人种植A种树苗，则有（40﹣m）人种植B种树苗，根据每人每天可种植A种树苗6棵或B种树苗3棵且同时完工，可列出关于m的分式方程，解分式方程求出m的值，检验后即可得出结论． 【详解】解：（1）根据题意，得：购买B种树苗（3000﹣x）棵， ∴y与x之间的函数关系式为y=150000﹣28x﹣40（3000﹣x）=12x+30000（0≤x≤3000）． （2）根据题意，得：90%x+95%（3000﹣x）≥93%×3000， 解得：x≤1200， ∵y=12x+30000中k=12＞0， ∴当x=1200，3000﹣1200=1800时，y取最大值，最大值为44400． 答：购买A种树苗1200棵，B种树苗1800棵时，承包商应的利润最大，最大利润为44400元． （3）设安排m人种植A种树苗，则有（40﹣m）人种植B种树苗， 根据题意，得： =， 解得：m=10． 经检验，m=10是分式方程的解，且符合实际，此时40﹣10=30（人）． 答：安排10人种植A种树苗，30人种植B种树苗，恰好同时完工． 【考点】一次函数的应用． 21. 如图，在中，O是对角线、的交点，延长边到点F，使，过点F作，连接、． （1）求证． （2）连接，已知 　 　．（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：且； 条件②：且． 【答案】（1）见解析 （2）选择②，四边形是正方形，见解析 【解析】 【分析】（1）证明，，结合，可得结论； （2）选择②，先证明，，可得四边形是平行四边形，证明，可得四边形是矩形，再证明，从而可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 选择②，四边形正方形， 证明：∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形，矩形，正方形的判定，熟记正方形的判定方法并灵活应用是解本题的关键． 22. 跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为7米． （1）求抛物线C2的函数解析式； （2）当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同； （3）运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？ 【答案】（1） （2）12 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意将点，代入抛物线求出b、c即可得出答案； （2）设运动员与点A的水平距离是m米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同，根据题意得：，求出m的值即可； （3）运动员与小山坡的高度差为h,则，求出最值即可． 【小问1详解】 把点，代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线； 【小问2详解】 设运动员与点A的水平距离是m米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同， 根据题意得：， 化简得：， 解得：或（舍）， 故运动员与点A的水平距离是12米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同； 【小问3详解】 设运动员与小山坡的高度差为h, 则 ∵， ∴当时，h有最大值，最大值为， ∴运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是米． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解题的关键． 23. 问题提出：已知矩形，点E为上的一点，，交于点F．将绕点B顺时针旋转得到，则与的有怎样的数量关系． 问题探究 探究一：如图，已知正方形，点E为上的一点，，交于点F． （1）如图1，直接写出的值 　 　； （2）将绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接，猜想与的数量关系，并证明你的结论； 探究二：如图，已知矩形，点E为上的一点，，交于点F． 如图3，若四边形为矩形， ，将绕点B顺时针旋转得到（E、F的对应点分别为、点），连接、，则的值是否随着α的变化而变化．若变化，请说明变化情况；若不变，请求出的值． 一般规律 如图3，若四边形为矩形，，其它条件都不变，将绕点B顺时针旋转得到，连接，，请直接写出与的数量关系． 问题解决 如图4，当时，其他条件不变，绕点B顺时针旋转，设旋转角为当时，直接写出此时　 　． 拓展延伸 如图5，点E是正方形对角线上一点，连接，过点E作，交线段于点F，交线段于点M，连接交线段于点H．给出下列四个结论，①；②；③；④；正确的结论有 ___　 　个． 【答案】问题探究：探究一（1）；（2），见解析；探究二：；一般规律：；问题解决：或；拓展延伸：3 【解析】 【分析】探究一（1）由正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得解； （2）由（1）的结论即旋转的性质证明，则，即可得到答案； 探究二：证明，得到，由绕点B顺时针旋转得到，则，再证明，则，即可得到答案； 一般规律：作，垂足为M．证明四边形是矩形，再中，，证明，得到，即可得到结论； 问题解决：分两种情况求解即可； 拓展延伸：过点E作，交于P，于Q，证明，则可得，，即可判断①；推得，即可判断②；当点E向D点运动时，的面积逐渐增大，而的面积逐渐减小，特别地，当点E和点D重合时，的面积是的面积，而的面积是0，即可判断③，过点F作，由得到，又由，得到，即可判断④． 【详解】解：问题探究 探究一：（1）∵是正方形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）， 理由：由（1）知，， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴； 探究二： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴． 即． 一般规律 与的数量关系是：； 理由：如图，作，垂足为M． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴中，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； 问题解决 如图4，连接 ∵， ∴点E在的中垂线上， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 如图4，， 即： ， 如图， ， 即：， 故答案为：或． 拓展延伸 如图5，过点E作，交于P，于Q， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； 当点E向D点运动时，的面积逐渐增大，而的面积逐渐减小，特别地，当点E和点D重合时，的面积是的面积，而的面积是0， ∴③不正确， 过点F作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，综合性较强，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 24. 已知：如图，在中，．点D是中点，点P从点C出发，沿向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点A出发，沿向点B匀速运动，速度为3cm/s；连接，将绕点D旋转得．设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t为何值时，？ （2）当t为何值时，四边形是菱形？ （3）设四边形的面积为y，求y与t的函数关系式； （4）是否存在某一时刻t，使得点T在的外接圆上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）存， 【解析】 【分析】（1）首先根据勾股定理得到的长，根据旋转性质和平行四边形判定，可以证出四边形为平行四边形，利用得线段成比例，从而得解； （2）过Q作于N，用含t的代数式表示出的长，由（1）已经证明四边形PQRT为平行四边形，它的对角线互相垂直时为萎形，再证明，，再根据相似三角形对应边的比相等即可得解； （3）过P作于M，过点Q作于N，根据，即可得解； （4）过C作 于H，所以，再证明，对应角相等，即为内错角相等，所以，从而证出当Q在上运动时，T也在过C点与平行的直线上运动，取中点O连作于M，则四边形为矩形，，若T在的外接圆上，则，即可得解． 【小问1详解】 解：连接， 由旋转知：，， ∴四边形为平行四边形， 当时，则 ， ∴， ∵，，， ∴， 依题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形为平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形为萎形知，当，即时，平行四边形为菱形， 过Q作于N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 由①等式知：， ∴， ∴， ∴， ∴，舍去负根， ∴， 检验是原方程的根， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， 过P作于M，过点Q作于N， 由（2）知， 在中，， ∴， ∴ ， ∴； 【小问4详解】 解：过C作 于H， ∴， ∴， 连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当Q在上运动时，T也在过C点与平行的直线上运动， 取中点O连作于M，则四边形为矩形，，若T在的外接圆上，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即当时，T在的外接圆上． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的外接圆的性质，解题关键是恰当作出辅助线，熟练掌握以上性质和判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$