福建省厦门市翔安第一中学2024—2025学年九年级上学期数学期中考试试题

福建省厦门市翔安第一中学2024—2025学年九年级上学期数学期中考试试题 考试时间 120 分钟　满分 150 分 第 Ⅰ 卷（选择题　共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.−的绝对值是（ ） A. 7 B. -7 C. D. − 2.如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（ ） 3.中国光刻机技术近年来取得显著进展，已量产 28 nm 浸没式 DUV 光刻机，填补国内空白。已知 28 nm = 0.000000028 m。将 0.000000028 用科学记数法表示为（ ） A. 28×10−7 B. 2.8×10−8 C. 2.8×10−7 D. 0.28×10−8 4.如图，已知直线 AB 与 CD 交于点 O，OE⊥OC，OF 平分∠BOE。若∠COF = 32°，则∠AOD 的度数为（ ） A. 24° B. 26° C. 28° D. 30° 5.花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式。下列花窗图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） 6.实数 a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ） A. a+c>a+b B. (b−a)(b−c)>0 C. ac>ab D. c−b>c−a 7.小亮和爸爸计划乘动车外出旅游。在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）。若此时 C 座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 8.若关于 x 的一元二次方程2x2−3x−m−1=0有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） A. m≥− B. m≤− C. m≥− D. m≤− 9.如图，将折线O−A1−A2−A3−A4绕点A4顺时针旋转 180° 得到一段新的折线A4−A5−A6−A7−A8，再将新的折线绕点A8顺时针旋转 180°…… 以此类推，得到一段连续的折线。则点A2025的坐标为（ ） A. (1265, 0) B. (,) C. (1266,) D. (,0) 10.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)是二次函数y=x2−bx+c的图象上任意两点，设x2−x1=t，若当−2<x1<2且−1<b<4时，都有y2>y1，则 t 的取值范围是（ ） A. t<−4或t>7 B. t<−5或t>8 C. t<−5或t>7 D. −t<−4或t>8 第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。） 11. 若二次根式有意义，则实数x 的取值范围是 。 12.如图 1，在边长为 8 cm 的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图 2 所示。小亮由此估计阴影部分面积约为 cm2。 13.如图，⊙O的内接正六边形 ABCDEF 的边长为 6，点 P 是弧CD的中点，则弧AP的长为 。 14.七巧板是中国传统数学文化的重要载体，将图 1 所示的七巧板，拼成图 2 所示的图形，则tan∠BAC= 。 15.如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，点 E 为 AD 上一点，且BE=BC，作∠EBC的角平分线 BF 交边 CD 于点 F，作于点 P，分别与 AB 和 BF 交于点 G 和点 Q，若AG=AB，则 PQ 的长度为 。 三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16. （本小题满分 7 分）计算：2cos30°+()−2+∣1−∣−(π−2025)0。 17.（本小题满分 7 分）先化简，再求值：(a+)÷，其中a=−4。 18.（本小题满分 7 分）如图，在菱形ABCD 中，点E，F分别在BC，CD 上，且∠AEC=∠AFC。求证：AE=AF。 19.（本小题满分 8 分）为促进学生健康成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼。为了解学生校外锻炼情况，现统计九年级部分学生每周的校外锻炼时间（时间用 x 表示，单位：h），并对这些数据进行统计整理。数据分成 4 组： A 组：0≤x<3；B 组：3≤x<6；C 组：6≤x<9；D 组：9≤x<12。 下面给出了部分信息： a. C 组数据：6, 6, 6, 6.2, 6.5, 6.6, 6.7, 6.8, 7, 7, 7, 7.3, 7.6, 7.8, 8, 8, 8, 8.2, 8.4, 8.4, 8.5, 8.8 b. 不完整的学生每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中 A 组对应扇形的圆心角为 °； （2）请补全条形统计图； （3）抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是 h； （4）该校计划成立体育社团，为每周校外锻炼时间不足 6 小时的同学提供训练指导。目前九年级共 600 名学生，计划每 15 名同学配 1 名指导教师，请估计九年级所需指导教师的人数。 20.（本小题满分 8 分）如图1，墙壁上的点 A 处装有一个壁挂式吊灯，已知支架AB 长度为40 cm，且 AB 与墙壁 AE 所成夹角∠BAE=40°，壁灯吊杆 BC 长 30 cm，AB 与 BC 的夹角可调节。吊灯连接杆 CD 垂直于地面，CD=5cm。 （1）如图 2，当∠ABC=90°时，求灯口 D 与墙壁的距离； （2）如图 3，现有一靠墙放置的学习桌 FH，FH 与地面平行，其距离地面的高度 FG 为 80 cm。为了日常使用方便，当 AB 与 BC 夹角调整至∠ABC=120°时，灯口 D 需距离桌面 70 cm。求点 A 距离地面的高度。（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67） 21.（本小题满分 9 分）如图，在中，AC=BC，⊙O与边 AB，CB 分别交于点 D，G，AG 是⊙O的直径，连接 CO，DG，过点 D 作，交 BC 于点 E。 （1）求证：DE 是⊙O的切线； （2）若tan∠EDG=，AD=3，求 EG 的长。（本小题满分 10 分） 22.（本小题满分10分） 23.（本小题满分10 分）直线y=x+b与双曲线y=(x>0)交于点A(2,3)，与y 轴交于点B。 （1）求 k，b 的值； （2）如图 1，点 C 是直线y=x+b上第一象限内的一点，过点 C 作轴，垂足为点 E，交双曲线于点 D，当=时，求的值； （3）如图 2，已知点 P 是双曲线上一动点，连接 OA，OP，当∠AOP=∠BAO时，求点 P 的坐标。 24.（本小题满分 12 分）二次函数y=ax2+bx的图象过点A(−4,4)，B(,)，连接 AB，点 C 是抛物线上一个动点。 （1）求二次函数的表达式； （2）如图 1，若点C 在 y 轴左侧的抛物线上运动，平移线段 AB，使其一个端点与点 C 重合，另一个端点恰好落在 x 轴上，求点 C 的坐标； （3）如图 2，若点C 在 y 轴右侧的抛物线上运动，作直线 AC，交 x 轴于点 E，将直线 AC 绕点 A 逆时针旋转45°得直线AG，交y 轴于点F，连接 EF。若EF=FO，直接写出点 C 的坐标。 25.（本小题满分 12 分）在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点 D 在边 AC 上（点 D 不与点 A，点 C 重合），连接 BD 并将 BD 绕点 D 逆时针旋转 90° 得到 DE。 （1）如图 1，连接 CE。 ① CE 与 BC 的位置关系为 ，∠ABD与∠CED的数量关系是 ； ②请用等式表示 BC，CD 和 CE 的数量关系，并说明理由； （2）如图 2，将△ABD沿 BD 翻折，得到△A’BD，连接A’E，若A’E的最小值为 2，求 AB 的长。 答案 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.−的绝对值是（ C ） A. 7 B. -7 C. D. − 2.如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则该几何体可能是（ A ） 3.中国光刻机技术近年来取得显著进展，已量产 28 nm 浸没式 DUV 光刻机，填补国内空白。已知 28 nm = 0.000000028 m。将 0.000000028 用科学记数法表示为（ B ） A. 28×10−7 B. 2.8×10−8 C. 2.8×10−7 D. 0.28×10−8 4.如图，已知直线 AB 与 CD 交于点 O，OE⊥OC，OF 平分∠BOE。若∠COF = 32°，则∠AOD 的度数为（ B ） A. 24° B. 26° C. 28° D. 30° 5.花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式。下列花窗图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ D ） 6.实数 a，b，c 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ D ） A. a+c>a+b B. (b−a)(b−c)>0 C. ac>ab D. c−b>c−a 7.小亮和爸爸计划乘动车外出旅游。在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）。若此时 C 座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ D ） A. B. C. D. 8.若关于 x 的一元二次方程2x2−3x−m−1=0有实数根，则实数 m 的取值范围是（ A ） A. m≥− B. m≤− C. m≥− D. m≤− 9.如图，将折线O−A1−A2−A3−A4绕点A4顺时针旋转 180° 得到一段新的折线A4−A5−A6−A7−A8，再将新的折线绕点A8顺时针旋转 180°…… 以此类推，得到一段连续的折线。则点A2025的坐标为（ B ） A. (1265, 0) B. (,) C. (1266,) D. (,0) 10.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)是二次函数y=x2−bx+c的图象上任意两点，设x2−x1=t，若当−2<x1<2且−1<b<4时，都有y2>y1，则 t 的取值范围是（ B ） A. t<−4或t>7 B. t<−5或t>8 C. t<−5或t>7 D. −t<−4或t>8 第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。） 11. 若二次根式有意义，则实数x 的取值范围是 x≥3 。 12.如图 1，在边长为 8 cm 的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图 2 所示。小亮由此估计阴影部分面积约为 22.4 cm2。 13.如图，⊙O的内接正六边形 ABCDEF 的边长为 6，点 P 是弧CD的中点，则弧AP的长为 5π 。 14.七巧板是中国传统数学文化的重要载体，将图 1 所示的七巧板，拼成图 2 所示的图形，则tan∠BAC= 。 15.如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，点 E 为 AD 上一点，且BE=BC，作∠EBC的角平分线 BF 交边 CD 于点 F，作于点 P，分别与 AB 和 BF 交于点 G 和点 Q，若AG=AB，则 PQ 的长度为 。 三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16. （本小题满分 7 分）计算：2cos30°+()−2+∣1−∣−(π−2025)0。 =+9+﹣1﹣1 =2+7 17.（本小题满分 7 分）先化简，再求值：(a+)÷，其中a=−4。 解原式=× =a+2 将a=﹣4代入得﹣2 18.（本小题满分 7 分）如图，在菱形ABCD 中，点E，F分别在BC，CD 上，且∠AEC=∠AFC。求证：AE=AF。 证明：∵菱形ABCD ∴∠B=∠D，AB=AD，BC=CD 又∵∠AEC=∠AFC ∴∠AEB=∠AFD ∴△ABE≌△ADF（AAS） ∴AE=AF。 19.（本小题满分 8 分）为促进学生健康成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼。为了解学生校外锻炼情况，现统计九年级部分学生每周的校外锻炼时间（时间用 x 表示，单位：h），并对这些数据进行统计整理。数据分成 4 组： A 组：0≤x<3；B 组：3≤x<6；C 组：6≤x<9；D 组：9≤x<12。 下面给出了部分信息： a. C 组数据：6, 6, 6, 6.2, 6.5, 6.6, 6.7, 6.8, 7, 7, 7, 7.3, 7.6, 7.8, 8, 8, 8, 8.2, 8.4, 8.4, 8.5, 8.8 b. 不完整的学生每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中 A 组对应扇形的圆心角为 °； （2）请补全条形统计图； （3）抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是 h； （4）该校计划成立体育社团，为每周校外锻炼时间不足 6 小时的同学提供训练指导。目前九年级共 600 名学生，计划每 15 名同学配 1 名指导教师，请估计九年级所需指导教师的人数。 （1）40，18° （2）D组12人，图略 （3）7.1 （4）600×÷15=6 20.（本小题满分 8 分）如图1，墙壁上的点 A 处装有一个壁挂式吊灯，已知支架AB 长度为40 cm，且 AB 与墙壁 AE 所成夹角∠BAE=40°，壁灯吊杆 BC 长 30 cm，AB 与 BC 的夹角可调节。吊灯连接杆 CD 垂直于地面，CD=5cm。 （1）如图 2，当∠ABC=90°时，求灯口 D 与墙壁的距离； （2）如图 3，现有一靠墙放置的学习桌 FH，FH 与地面平行，其距离地面的高度 FG 为 80 cm。为了日常使用方便，当 AB 与 BC 夹角调整至∠ABC=120°时，灯口 D 需距离桌面 70 cm。求点 A 距离地面的高度。（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67） （1）过B作BM⊥AE于M，过C作CN⊥BM于N ∵在Rt△ABM中，根据正弦和余弦的定义， sin∠BAE=，cos∠BAE= 已知AB=40cm，sin40∘≈0.64，cos40∘≈0.77 ∴BM=ABsin40∘≈40×0.64=25.6cm，AM=ABcos40∘≈40×0.77=30.8cm。 ∵∠ABC=90∘，∠ABM+∠MBC=90∘，∠BCN+∠MBC=90∘ ∴∠BCN=∠BAE=40∘ 在Rt△BCN中，sin∠BCN=，已知BC=30cm ∴CN=BCsin40∘≈30×0.64=19.2cm ∴灯口D与墙壁的距离为AM+CN≈30.8+19.2=50cm。 （2）过B作BP⊥AE于P，过C作CQ⊥BP交BP延长线于Q。 在Rt△ABP中，BP=ABsin40∘≈40×0.64=25.6cm，AP=ABcos40∘≈40×0.77=30.8cm。 ∵∠ABC=120∘，∠ABP=50∘ ∴∠CBQ=30∘ 在Rt△BCQ中，sin∠CBQ=，cos∠CBQ= ∵BC=30cm ∴CQ=BCsin30∘=15cm，BQ=BCcos30∘≈30×≈25.98cm。 ∴灯口D距离桌面70cm，桌面距离地面80cm，CD=5cm ∴C到地面的高度为70+80−5=145cm ∴B到地面的高度为145−CQ=145−15=130cm ∴点A距离地面的高度为130+BP≈130+25.6=155.6cm。 21.（本小题满分 9 分）如图，在中，AC=BC，⊙O与边 AB，CB 分别交于点 D，G，AG 是⊙O的直径，连接 CO，DG，过点 D 作，交 BC 于点 E。 （1）求证：DE 是⊙O的切线； （2）若tan∠EDG=，AD=3，求 EG 的长。（本小题满分 10 分） （1）证明：连接OD ∵AC=BC，OA=OG ∴CO是△ABC的中线 根据等腰三角形三线合一性质，∴CO⊥AB ∵DE∥CO ∴DE⊥AB ∵OA=OD ∴∠A=∠ODA ∵AC=BC ∴∠A=∠B ∴∠ODA=∠B ∴OD∥BC ∵DE⊥AB，OD∥BC ∴DE⊥OD ∵OD是⊙O的半径 ∴DE是⊙O的切线。 （2）解：连接AD，DG ∵AG是⊙O的直径 ∴∠ADG=90∘ ∵AC=BC，CO⊥AB ∴D是AB中点。 ∵AD=3 ∴AB=2AD=6 ∵∠EDG+∠BDG=∠BDE=90∘，∠B+∠BDG=90∘ ∴∠EDG=∠B ∵tan∠EDG= ∴tanB= 在Rt△ABD中，AD=3，AB=6 根据勾股定理可得BD=3 ∵tanB== 设CO=x，则BO=3x 在Rt△BOC中，根据勾股定理BC2=CO2+BO2 ∴BC=x ∵AB=6，D是AB中点，BD=3，且BC=，CD=CO=x ∴BC==x 解得x=3，即CO=3，BO=9 ∵∠EDG=∠B，tan∠EDG= 设EG=y，则DE=3y ∵DE∥CO ∴△BDE∽△BOC 则= BC=3，BE=BG−EG，BG= 在Rt△ADG中，tan∠DAG=tanB=，AD=3 ∴DG=，AG=2，BG=2 ∴= 解得y=1 ∴EG=1 22.（本小题满分10分） 项目任务1：设两车行驶里程为s千米。 ∵A车每千米行驶费用为a元，总行驶费用7.5元，所以s=； B车每千米行驶费用为(a+0.45)元，总行驶费用18.75元，所以s= 由于行驶里程相同，则= 解得a=0.3 经检验a=0.3是原方程的根 ∴B车每千米行驶费用为0.3+0.45=0.75元。 项目任务 2： ∵A车一年总费用yA=6500+1230+0.3x=7730+0.3x； B车一年总费用yB=2900+0.075x+0.75x=2900+0.825x。 当yA=yB时， 7730+0.3x=2900+0.825x 解得x=9200 yA>yB时， 7730+0.3x>2900+0.825x 解得x<9200 yA<yB时， 7730+0.3x<2900+0.825x 解得x>9200 ∴当x=9200时，购买A车和B车费用相同；当x<9200时，购买B车更划算；当x>9200时，购买A车更划算。 23.（本小题满分10 分）直线y=x+b与双曲线y=(x>0)交于点A(2,3)，与y 轴交于点B。 （1）求 k，b 的值； （2）如图 1，点 C 是直线y=x+b上第一象限内的一点，过点 C 作轴，垂足为点 E，交双曲线于点 D，当=时，求的值； （3）如图 2，已知点 P 是双曲线上一动点，连接 OA，OP，当∠AOP=∠BAO时，求点 P 的坐标。 （1）将A(2,3)代入y= 得k=3×2=6 将A(2,3)代入y=x+b 得3=+b×2+b 解得b=2 （2）由（1）知直线y=x+b，B(0,2)，A(2,3) ∵= 设C点横坐标为m，则C(m,m+2) 根据两点间距离公式得= 且C在第一象限，m>0 解得m=3 ∴C(3,)，D(3,2) 则= （3）过A作AH⊥x轴于H，A(2,3)，B(0,2)，tan∠BAO= ∵∠AOP=∠BAO ∴设P(n,)，直线OP的斜率kOP= ∴tan∠AOP=，又tan∠AOP=tan∠BAO= 则= 解得n=3或n=−3（舍去） ∴P(3,2) 24.（本小题满分 12 分）二次函数y=ax2+bx的图象过点A(−4,4)，B(,)，连接 AB，点 C 是抛物线上一个动点。 （1）求二次函数的表达式； （2）如图 1，若点C 在 y 轴左侧的抛物线上运动，平移线段 AB，使其一个端点与点 C 重合，另一个端点恰好落在 x 轴上，求点 C 的坐标； （3）如图 2，若点C 在 y 轴右侧的抛物线上运动，作直线 AC，交 x 轴于点 E，将直线 AC 绕点 A 逆时针旋转45°得直线AG，交y 轴于点F，连接 EF。若EF=FO，直接写出点 C 的坐标。 (1） 把A (-4.4), B(,)代入二次函数y=ax2+bx 得 解得 ∴二次函数的表达式为 y=x2+3x (2）设C(a,a2+3a)，D（b,0). ①当点 B 与点 C 重合， ∵DC是由 AB 平移所得．则有 解得 将 a =-代入y=x2+3x得y=﹣ ∴点C坐标为（-，﹣） ②当点 A 与点 C 重合 则有 解得a1=﹣（舍去），a2=﹣﹣ ∴点C（﹣﹣，） (3）C（，） 25.（本小题满分 12 分）在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点 D 在边 AC 上（点 D 不与点 A，点 C 重合），连接 BD 并将 BD 绕点 D 逆时针旋转 90° 得到 DE。 （1）如图 1，连接 CE。 ① CE 与 BC 的位置关系为 ，∠ABD与∠CED的数量关系是 ； ②请用等式表示 BC，CD 和 CE 的数量关系，并说明理由； （2）如图 2，将△ABD沿 BD 翻折，得到△A’BD，连接A’E，若A’E的最小值为 2，求 AB 的长。 （1）① CE⊥BC；∠ABD=∠CED 过D作DF⊥DC交BC于F ∵∠A=90∘，AB=AC ∴∠ACB=45∘，△DFC为等腰直角三角形，DF=DC 又∵BD=DE，∠BDF=∠EDC ∴△BDF≌△EDC（SAS）。 ∴∠DFB=∠DCE=135∘ 故∠BCE=135∘−45∘=90∘ 即CE⊥BC；且∠ABD=∠DEC=∠CED。 ②BC=CE+CD 由△BDF≌△EDC 得BF=CE。 又∵△DFC是等腰直角三角形 根据勾股定理 FC=CD ∴BC=BF+FC=CE+CD （2）AB=2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$