重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三4月月考（八）数学试题

2025届重庆市巴蜀中学高三4月月考卷 数学试卷 注意事项: 1. 答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分, 考试用时 120 分钟. 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1. 已知复数 满足 ,则 A. B. C. 1 D. 2. 对于正项等比数列 ” 是 “数列 是单调递增数列” 的( )条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 3. 已知 ,则向量 在 方向上的投影向量为 A. B. C. D. 4. 空间中有三组平行平面, 第一组有 3 个, 第二组有 2 个, 第三组有 4 个, 不同两组的平面都相交, 且交线不都平行, 则这些平面可以构成平行六面体的个数为 A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 5. 如图 1,正方形 的边长为 ,取 的各边中点 作第二个正方形 ,然后再取 的各边中点,作第三个正方形,依此方法一直继续下去, 那么所有的正方形的面积之和趋近于 图 1 A. B. C. D. 6. 已知 ,且 ,则 A. B. C. D. 7. 已知 ,且 ,则 A. B. C. D. 8. 如图 2,在平面直角坐标系 中, 为坐标原点,已知双曲线 的左焦点为 ,左、右顶点分别为 点为双曲线左支上一点且满足 轴,点 为线段 上一点,直线 交 轴于点 ,直线 交 轴于点 ,若 ,则该双曲线的离心率为 图 2 A. B. C. 2 D. 3 二、多项选择题(本大题共 3 个小题,每小题 6 分,共 18 分,在每个给出的四个选项中,有多项符 合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分) 9. 已知函数 ,则下列说法正确的有 A. 是 图象的一个对称中心 B. 是 图象的一条对称轴 C. 的周期也是 的周期 D. 图象可以由 图象向右平移 个单位得到 10. 已知二项式 的展开式中只有第 5 项的二项式系数取得最大,则下列说法正确的是 A. B. 展开式中无常数项 C. 展开式中共有 5 个有理项 D. 展开式的所有项的系数和为 1 11. 将长为 ,宽为 1 的长方形 沿着对角线 旋转一周形成几何体 ,记 的外轮廓所围几何体为 ,则下列说法正确的是 A. 能容纳底面半径为 ,高为 的圆锥 B. 能容纳 的最小球的半径为 1 C. 若圆柱的轴为直线 ,则 能容纳的这类圆柱的最大体积为 D. 能容纳的最大球的半径大于 三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分) 12. 已知等差数列 为其前 项和,若 与 的等差中项为 4 ,则 _____. 13. 圆心在射线 上,与 轴相切,且被 轴所截得的弦长为 的圆的方程为_____. 14. 已知关于 的方程 有解,则 的最小值为_____. 四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 13 分) 已知 分别为锐角 三个内角 的对边, 为三角形 的面积,且满足 (1)求角 的大小； (2)若 ,求 的取值范围. 16. (本小题满分 15 分) 为了研究高三学生的性别与身高是否大于 的关联性,调查了某中学所有高三年级的学生, 整理得到如下列联表一；然后从该校所有高三学生中获取容量为 100 的样本,整理后得到如下的列联表二: 表一: 性别 身高 合计 低于 不低于 女 360 90 450 男 100 450 550 合计 460 540 1000 表二: 性别 身高 合计 低于 不低于 170cm 女 25 15 40 男 25 35 60 合计 50 50 100 独立性检验中的几个常用的小概率值和相应的临界值表: 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)从表一中随机抽取一人,分别用 、 表示抽到男生、女生,用 表示抽到学生身高不低于 ,计算 ,并判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联? (2)请根据表二,依据 的独立性检验,能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联? 对比第一问的结论, 请分析两种判断方式的可靠性. 为了得到准确的结论, 请提出可行性建议; (3)现在从表二中,抽取样本容量为 10 的样本,其中女生样本数据为:156、157、165、172 (单位:cm),男生样本数据为:163、166、168、171、174、176(单位:cm)；求出这个样本的第 70 百分位数,并从低于第 70 百分位数的样本数据中抽取 3 人,记 为抽到的男生人数,求 的分布列及数学期望. 17. (本小题满分 15 分) 如图 3,在三棱锥 中,平面 平面 ,平面 平面 . 图 3 (1)求证: 平面 ； (2)若 ,二面角 的大小为 . 若 为平面 内一动点,满足 ,求 与平面 所成角的正弦值的最小值. 18.(本小题满分 17 分) 如图 4, 分别为双曲线 的左、右顶点, ,双曲线的两条渐近线方程为 . 图 4 (1)求双曲线的标准方程； (2)点 在直线 上运动,直线 交双曲线左支于点 ,直线 交双曲线右支于点 与 不重合). ①求直线 与 的斜率之积； ②问直线 是否过定点? 如果过定点,请求出定点坐标; 如果不过定点,请说明理由. 19. (本小题满分 17 分) 已知函数 ,其中 . (1) 当 时,求曲线 在点 处的切线方程; (2)若对于 恒成立,求 的取值范围； (3)对于定义域为 的函数 ,规定 . 当 时,令 ,求关于 的不等式 的解集. 学科网（北京）股份有限公司 $$