数学（湖南省卷）-学易金卷：2025年中考押题预测卷

1 2025 年中考押题预测卷（湖南省卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B 铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．_________________ 12．___________________ 12．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16. ___________________ 17. ___________________ 18. ___________________ 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8 个小题，共 66 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6 分） 20．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8 分） 22．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（9 分） 24．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（10 分） ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考押题预测卷（湖南省卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（   ） A． B． C．4 D． 2．支原体是世界上最小的微生物，其大小通常在到微米之间，比细菌还要小很多．1微米米，那么微米用科学记数法表示为（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标是中心对称，但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知直线，将含角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．下列四个选项中，正确的是（   ） A．云南省位于中国西南部，与越南、老挝、缅甸接壤，边境线全长4060000米，是中国边境线最长的省份之一．4060000用科学记数法表示为 B．8名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，19，17，15，这组数据的众数和中位数都是15 C．一个数的绝对值是3，这个数是3 D．甲乙两组同学参加学校知识竞赛，若甲乙两组同学平均成绩相同，甲组同学成绩方差，乙组同学成绩的方差，从两组中选择一组成绩好且发挥稳定的同学参加市上的比赛，应该选甲组同学 7．如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在距离中点的左侧处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，点为上一点，连接，，的平分线交于点，若点为的中点，平分，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（   ） ①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24/分） 11．分解因式： ． 12．今年春节档电影《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟龙行动》在网络上持续引发热议，甲、乙两位同学打算去观看这四部电影中的一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为 ． 13．如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，则的周长为 ． 14．抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，直线与x轴交于点B，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，以此类推…，则点的纵坐标是 ． 16．如图，一块正方形工件如图所示，工件的边长为，现在以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，将图中阴影部分单独切割，则阴影部分工件的面积为 ． 17．如图，等腰直角中，斜边，点、分别为线段和上的动点，则的最小值为 . 18．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算． 20．（6分）先化简：，然后在0，1，2中选取合适的值代入求值． 21．（8分）某班级同学对甲、乙两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，从甲、乙两块苹果园采摘的苹果中各随机选取200个，在技术人员指导下测量每个苹果的直径，将其作为样本数据，并整理、描述和分析（苹果的直径用表示，数据分为五组，，，，，），部分信息如下： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲园样本频数分布直方图中的值． (2)已知乙园样本数据中，，，，，五组数据的平均数分别取为，，，，，计算乙园样本数据的平均数． (3)下列结论一定正确的有________．（填序号） ①两园样本数据的中位数均在组； ②两园样本数据的众数均在组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． (4) 结合市场情况，将，两组的苹果认定为一级，组的苹果认定为二级，其他组的苹果认定为三级，其中一级苹果的品质最优，二级次之，三级最次．哪个园的苹果品质更优？请说明理由． 22．（8分）如图，在中，．点在的延长线上，连结． (1)尺规作图：过点A求作的平行线，与、的交点分别为、； (2)在（1）的条件下，若点是的中点，．试求的长度． 23．（9分）某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为元，今年销售额只有元． (1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ (2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为元，乙种电脑每台进价为元，公司预计用不多于元且不少于元的资金购进这两种电脑共台，问有几种进货方案？ (3)如果乙种电脑每台售价为元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时哪种方案对公司更有利？ 24．（9分）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为． (1)如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点A到地面的距离．（结果精确到0.01） (2)在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，） 25．（10分）二次函数（，，为实数）． (1)当，时，探究发现二次函数的顶点恰好在直线上． 直接写出的值为________________； 若二次函数与直线有两个交点，设两个交点分别为，，请证明；若二次函数与直线没有两个交点，请说明理由． (2)若，直线与二次函数相交于和两点，其中． 求的值； 当时，求二次函数的最大值． 26．（10分）“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 (1)如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点，分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是________； ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为________； 【类比探究】 (2)如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含的式子表示）； 【拓展延伸】 (3)如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（湖南省卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（   ） A． B． C．4 D． 2．支原体是世界上最小的微生物，其大小通常在到微米之间，比细菌还要小很多．1微米米，那么微米用科学记数法表示为（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标是中心对称，但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知直线，将含角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．下列四个选项中，正确的是（   ） A．云南省位于中国西南部，与越南、老挝、缅甸接壤，边境线全长4060000米，是中国边境线最长的省份之一．4060000用科学记数法表示为 B．8名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，19，17，15，这组数据的众数和中位数都是15 C．一个数的绝对值是3，这个数是3 D．甲乙两组同学参加学校知识竞赛，若甲乙两组同学平均成绩相同，甲组同学成绩方差，乙组同学成绩的方差，从两组中选择一组成绩好且发挥稳定的同学参加市上的比赛，应该选甲组同学 7．如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在距离中点的左侧处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，点为上一点，连接，，的平分线交于点，若点为的中点，平分，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（   ） ①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24/分） 11．分解因式： ． 12．今年春节档电影《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟龙行动》在网络上持续引发热议，甲、乙两位同学打算去观看这四部电影中的一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为 ． 13．如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，则的周长为 ． 14．抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，直线与x轴交于点B，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，以此类推…，则点的纵坐标是 ． 16．如图，一块正方形工件如图所示，工件的边长为，现在以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，将图中阴影部分单独切割，则阴影部分工件的面积为 ． 17．如图，等腰直角中，斜边，点、分别为线段和上的动点，则的最小值为 . 18．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算． 20．（6分）先化简：，然后在0，1，2中选取合适的值代入求值． 21．（8分）某班级同学对甲、乙两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，从甲、乙两块苹果园采摘的苹果中各随机选取200个，在技术人员指导下测量每个苹果的直径，将其作为样本数据，并整理、描述和分析（苹果的直径用表示，数据分为五组，，，，，），部分信息如下： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲园样本频数分布直方图中的值． (2)已知乙园样本数据中，，，，，五组数据的平均数分别取为，，，，，计算乙园样本数据的平均数． (3)下列结论一定正确的有________．（填序号） ①两园样本数据的中位数均在组； ②两园样本数据的众数均在组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． (4) 结合市场情况，将，两组的苹果认定为一级，组的苹果认定为二级，其他组的苹果认定为三级，其中一级苹果的品质最优，二级次之，三级最次．哪个园的苹果品质更优？请说明理由． 22． （8分）如图，在中，．点在的延长线上，连结． (1)尺规作图：过点A求作的平行线，与、的交点分别为、； (2)在（1）的条件下，若点是的中点，．试求的长度． 23．（9分）某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为元，今年销售额只有元． (1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ (2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为元，乙种电脑每台进价为元，公司预计用不多于元且不少于元的资金购进这两种电脑共台，问有几种进货方案？ (3)如果乙种电脑每台售价为元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时哪种方案对公司更有利？ 24．（9分）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为． (1)如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点A到地面的距离．（结果精确到0.01） (2)在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，） 25．（10分）二次函数（，，为实数）． (1)当，时，探究发现二次函数的顶点恰好在直线上． 直接写出的值为________________； 若二次函数与直线有两个交点，设两个交点分别为，，请证明；若二次函数与直线没有两个交点，请说明理由． (2)若，直线与二次函数相交于和两点，其中． 求的值； 当时，求二次函数的最大值． 26．（10分）“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 (1)如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点，分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是________； ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为________； 【类比探究】 (2)如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含的式子表示）； 【拓展延伸】 (3)如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值． 10 / 11 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考押题预测卷（湖南省卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11． ______ ___________ 12 ． ___________________ 12． __________________ 14 ． __________________ 15. ___________________ 1 6 . ___________________ 1 7 . ___________________ 1 8 . ___________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（本大题共8个小题，共 66 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分） 20 ． （6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21 ． （8分） 22 ． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23 ． （9分） 24 ． （9分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 25．（10分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 26．（10分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025年中考押题预测卷（湖南省卷） 数学参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 2 3 5 7 8 9 10 C C A B B B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.6(a+2)(a-2) 12. 13.41 14.k>号且k≠1 15.到 16.（16-45.警)cm2 17.210 18.影巨或92 三、解答题（本大题共8个小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.6分)解：1)原式-5-1-2×号+5 2分 =5-1-5十5”5分 =4 6分 20.(6分)解：(x+音)÷器 =(等+奇)+导 】分 2分 =X-1,4分 1/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 x≠0，x≠1， 5分 x取2，则原式=2-1=1.6分 21.(8分) 【详解】（1）解：a=200-15-70-50-25=40:1分 (2)解：E组占百分比为1-10%-25%-35%-25%=5%，2分 200109%+720023%+8x20083%t9200x25kt102004=7.9.… 200 3分 ∴.乙园样本数据的平均数为7.9cm: (3)解：由统计图可知，两园样本数据的中位数均在C组，故①正确 每一组的数据是一个范围，甲园的众数，乙园的众数是不能确定具体在哪一组，故②结论错误： 两园样本数据的最大数与最小数的差不一定相等，故③结论错误： 放答案为：①片5分 (4)解：乙园的苹果品质更优， .6分 理由如下：由样本数据频数分布直方图可得， 甲园一级苹果所占比例为9×100%=456， 乙园一级苹果所占比例为35%+25%=60%，大于甲园， 7分 因此可以认为乙园的苹果品质更优， 8分 22.(8分)(1)解：AB为所求作的线，所作图形如下： D 3分 (2)证明：：AD II CP,AB‖CD :四边形ABCD是平行四边形， 4分 ÷AB=CD, .AB CD. ÷△PBFn△PCD， 5分 …器=哭， 2/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :点F是DP的中点， BF=CD=AB. :BF=AF, ,,.,,,,,,,6分 ADIBC, ÷△AEF∽△CED, 7分 …器=器=， :DE=6, .EF=DE=3. 8分 22.(9分)(1)设今年三月份甲种电脑每台售价x元，则去年每台(x+500)元， 90000.80000=0. 依题意，得：x+00 .2分 解得x=4000. 检验可知x=4000是方程的解，且符合题意. 答：今年三月份甲种电脑每台售价4000元. 3分 (2)设购甲种电脑m台，则乙种电脑(20-m)台. 依题意，得：64000≤3500m+3000(20-m)≤66000,4分 解得：8≤m≤12 ,m为正整数， .m=8,9,10,11,12 ∴共有5种进货方案 答：一共有5种进货方案； 6分 (3)设甲种电脑m台，总获利为W元.则： W=(4000-3500)m+(3700-3000-a)(20-m)=(a-200)m+14000-20a.7分 要使(2)中所有方案获利相同， .W的结果与m无关， ∴.a-200=0, …a=200. 购买甲种电脑8台，乙种电脑12台时对公司更有利.8分 答：a的值为200，购买甲种电脑8台，乙种电脑12台时对公司更有利.…9分 3/10 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.(9分)(1)解：过点A作AF⊥CE,垂足为F,过点O作0G⊥AF,垂足为G. A B D CF .∠0GF=∠AFC=90°， ∠0CF=90°， .四边形0GFC为矩形 0C=GF 由题意，得0C=GF,∠A0G=72°，0D=0,2m·… 2分 在Rt△A0G中，A0=1.5m, .AG=A0.sin72°≈1.5×0.95=1.425(m) DC=1.2m,0D=0.2m ∴.0C=GF=DC-0D=1,2-0.2=1(m), AF=AG+FG=1.425+1=2.42502.43(m)4分 ∴.此时点A到地面的距离约为2.43m: （2)一辆宽为2.64m、高为2.2m的货车不能顺利通过入口.5分 理由：如图，当MN1CE,且MN=2.2m时，设MN交0G于点P,.6 分 A B CNF 由题意，得0P=CN,PN=GF=1m, .MP=MN-PN=2.2-1=1.2(m).n7分 在Rt△M0P中，∠MOP=72°， 4/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴0P=品≈号=0.4(m) ∴.0P=CN=0.4m. ,入口宽度CE为3m,8分 ∴NE=CE-CN=3-0,4=2.6(m). 2.6m<2.64m .一辆宽为2.64m、高为2.2mf的货车不能顺利通过入口.9分 25.(10分)(1)解：①当a=1,b≠0时， 二次函数y=ax2+bx+弹的解析式为y=x2+bx+单， 当x=会=-号时，y=其号+弹=9=b, ·二次函数的顶点坐标为（号，-b), 又：二次函数的顶点恰好在直线y1=x上， :-b=-号×k 解得：k=2, 故答案为：2： ②将k=2带入y1=kx, 可得：y1=2x, 又：y=x2+bx+， 可得：x2+bx+5-2x, 整理得：4x2+(4b-8x+(b2.4b)=0, ·△=(4b-8)2-4×4(62.4b)=64>0, 2分 ÷二次函数与y恒有两个交点， ·x1+x2=2-b,xx2=5Ψ， x=x+x24xx2=V4=2, x1x=2: 3分 (2)解：①：C在二次函数和V2上， 名+=p,吉+培+=p, 5/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 可得：名+吉=京+号+ b 4分 解得：b=0或b=4, :b>0, ab=4; 5分 ②油①知b=4, ÷二次函数的解析式为y=ax2+4x, ·抛物线的对称轴x=·会=·看， 当a>0时，二次函数开口向上， 如下图所示： 01 3 ·对称轴x=-<1, ÷在1≤x≤3时，y随x的增大而增大， ÷在x=3时，y取最大值为9a+12: 当a<0时，二次函数开口向下， 6分 ()当对称轴x=·音>3时， 解得：a>-, -号<a<0, 如下图所示： 6/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 此时二次函数在1≤x≤3上的图象，y随x的增大而增大， 。在X=3时，y取得最大值为9a十12：7分 ()当1≤-号≤3时， 解得：-2≤a≤-号， 如下图所示： 珠 3 此时二次函数在1≤x≤3上的图象，当x=-时y取得最大值- 分 (围)当对称轴-兰<1时， 解得：a<-2, 如下图所示： 珠 13 此时二次函数在1≤x≤3上的图象，y随x的增大而减小， ÷当x=1时，y取最大值为a十4， 49分 综上所述：当a>-号且a≠0时最大值为9a+12:当-2≤a≤-号时，最大值为-，当a<-2时，最大值 为a十4，…… 0分 26.(10分)(1)解：①：ABCD为矩形， ·BC=AD=20厘米，∠A=90°，BCILAD, :点E,F分别为边AD,BC的中点， ÷BF=专BC=10厘米，AE=方AD=10厘米， 7/10 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ÷BF=AE, :BFAE,∠A=90°， :四边形ABFE是矩形， 又：BF=AB=10厘米， ÷矩形ABFE是正方形， ÷∠EBF=∠BEF=45°，∠EFB=90°，BE=V2AB=10V2厘米， 由平移的性质得，EFEF,DEDE, DE FH, ÷DEFH, 又：∠GFH=90°， ·四边形FGEH是矩形， :点E与EB的中点0重合， ÷BE'=EE=专BE=5V2厘米， :∠EHB=∠EGE=90°，∠EBF=∠BEF=45°， :△BBH和△BEG都是等腰直角三角形，HE=器=5厘米，EG=号=5厘米， 2 S矩称GEH=HE·EG=25平方厘米， :S矩形ABD=AD·AB=200平方厘米， ·FGEH的面积与原矩形纸片ABCD的面积之比是品=言. 故答案为：言。 44】分 ②由①中的结论得，四边形FGEH是矩形，△BEH和△EEG都是等腰直角三角形， 设EB=a厘米，则BE=（10V2-a)厘米， EG=爱=后厘米，HE=器=(（10居)厘米 S称GEH=HE·EG=2(10-是)， :FGEH的面积与原矩形纸片ABCD的面积之比是站，S矩形ABcm=200平方厘米， 0 200 解得：a1=5V2-5,a1=5V5+5, 8/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ·平移距离EE为5V2-5或5V2+5, 故答案为：52-5或5V2+5. 2分 (2)解：：纸片KLMN为菱形，∠N=60°， S△MN=S△MKL=S装豚NN,△MNK和△MKL为等边三角形， :纸片KLM沿KM方向向上平移， ÷KPKL :△MKP△MKL 4分 :两个纸片重叠部分KPM的面积与纸片KLM的面积之比为行， -(然)=(s)=, SNK aMK=号a, KK=MK-MK=a号a=29a 5分 (3)解：如图，过点C作CN⊥FG于点N, D F E B :∠C=90°，AC=18厘米，BC=24厘米， AB=AC2+BC=V182+242=30厘米，6 分 :点D,E是AB,BC的中点， :CD=壳AB=15厘米，BE=BC=12厘米，DE=AC=9厘米， 由旋转的性质得，FG=BE=12厘米，DF=DE=9厘米， :S△crG=3FG·CN=6CN, ÷当FG上的高线CN最大时，则△CFG面积最大， 分 :CN≤CF, 9/10 学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :当点N和点F重合时，且△DFG旋转到AB外侧时，此时CN最大，8 分 :DF⊥FG, ÷此时C、D、F三点共线， 即CN=CF=CD+DF=15+9=24厘米， S△cFG=支FG·CN=克×12×24=144平方厘米， 44049 分 即△CFG面积的最大值为144平方厘米..10分 G B 10/10 2025年中考押题预测卷（湖南省卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行解题． 根据绝对值的意义和倒数的定义，即可得到答案． 【详解】解：，的倒数是； 故选：C． 2．支原体是世界上最小的微生物，其大小通常在到微米之间，比细菌还要小很多．1微米米，那么微米用科学记数法表示为（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：微米米， 故选C． 3．我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标是中心对称，但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 4．下列运算中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项，同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方逐项计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 5．如图，已知直线，将含角的直角三角板按如图方式放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质．利用两直线平行，同旁内角互补得到，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即 ∴， 故选：A． 6．下列四个选项中，正确的是（   ） A．云南省位于中国西南部，与越南、老挝、缅甸接壤，边境线全长4060000米，是中国边境线最长的省份之一．4060000用科学记数法表示为 B．8名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，19，17，15，这组数据的众数和中位数都是15 C．一个数的绝对值是3，这个数是3 D．甲乙两组同学参加学校知识竞赛，若甲乙两组同学平均成绩相同，甲组同学成绩方差，乙组同学成绩的方差，从两组中选择一组成绩好且发挥稳定的同学参加市上的比赛，应该选甲组同学 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法、求众数和中位数、绝对值、方差，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据科学记数法、求众数和中位数、绝对值、方差等知识点，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、4060000用科学记数法表示为，故此选项不正确，不符合题意； B、这组数据重新排序得：10，14，15，15，15，17，17，19．众数是15，中位数是，故此选项正确，符合题意； C、一个数的绝对值是3，这个数是3或，故此选项不正确，不符合题意； D、因为，所以从两组中选择一组成绩好且发挥稳定的同学参加市上的比赛，应该选乙组同学，故此选项不正确，不符合题意； 故选：B． 7．如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，推出，根据垂径定理可得，推出，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解： ， ， ， 交于点， ， ， ， ， 故选：B． 8．如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来，在距离中点的左侧处挂一个重的物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是掌握杠杆原理，能得出与的函数关系式. 根据杠杆原理得出与的函数关系式，再检验各数对是否满足函数解析式即可． 【详解】解：根据杠杆原理可得，， ， 是的反比例函数， 选项、不符合题意； ，， 选项不符合题意；选项符合题意； 故选：． 9．如图，在矩形中，点为上一点，连接，，的平分线交于点，若点为的中点，平分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形的性质结合平分、平分得、，设、，可得、、，利用勾股定理建立方程，得，求出，即可求解的值． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， 平分， ， ， ． 平分， ， ， ， 点为的中点， ． 设，，则，，， 在中，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 10．定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（   ） ①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别把代入和，都求出，即可判断①；先整理得，得或当 ，再结合，得出，则，求出，此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”；同理结合，得，得可以为正数，零，负数，即可判断③；把或当 与构建方程组，再结合判别式进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， ∴， ∴； 把代入把， ∴， ∴； ∴是“和谐点”； 故①说法是正确的； 依题意，把代入，得， 再把代入， 得， 解得或； ∴直线上有两个“和谐点”； 故②说法是错误的； ∵，， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴或当 ， ∵反比例函数的图象上 ∴依题意，则， ∴， 则， ∵， ∴， 此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”； 或， ∴， ， ∵， ∴可以为正数，零，负数， 综上当时，反比例函数的图象上最多只有四个“和谐点”； 故③说法是错误的； ∵二次函数， 依题意，则， ∴， ， 解得， ∴与有一个“和谐点”； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则与有两个“和谐点”； 故二次函数的图象上有3个“和谐点”，则； 当， 解得， 把代入， ∴， 解得， 此时， ∴， ∴， 此时有2个“和谐点”， 则， ∴， ， 此时有2个“和谐点”， 但有一个点是重合的，则二次函数的图象上有3个“和谐点”， 综上：二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． 故④说法是正确的； 故选：B． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24/分） 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．先提取公因式，再套用公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．今年春节档电影《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟龙行动》在网络上持续引发热议，甲、乙两位同学打算去观看这四部电影中的一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握用列表法或树状图法求概率． 运用列表或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：分别记《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐）《射雕英雄传：侠之大者》《蛟龙行动》为、、、，画树状图如下： 一共有种等可能的情况，其中两位同学选择观看相同影片的情况共有种， 这两位同学选择观看相同影片的概率为． 故答案为：． 13．如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，则的周长为 ． 【答案】41 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，证明，得到，，根据三角形中位线定理求出，计算即可，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：平分，， ， 在和中， ， ， ，， 是的边的中点， 是的中位线， ， 的周长， 故答案为：41． 14．抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，该抛物线与轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，可得，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得且， 故答案为：且． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，直线与x轴交于点B，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，过点作轴，交直线l于点，以为边作等边，以此类推…，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】根据求出点B的坐标，得到，根据等边三角形的性质，分别求得的纵坐标，进而得到的纵坐标，可得点的纵坐标．本题主要考查了图形规律题，结合一次函数的性质，等边三角形的性质求解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与x轴交于点B， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 同理得， 把代入得，， ∴， ∴， ∴同理得， ……， ∴的纵坐标为， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 16．如图，一块正方形工件如图所示，工件的边长为，现在以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，将图中阴影部分单独切割，则阴影部分工件的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算是关键． 根据题意，，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，如图所示，两弧交于点，连接，过点作于点，是等边三角形，则，，则，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，如图所示，两弧交于点，连接，过点作于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，则， ∴，则， ∴阴影部分的面积， 故答案为： ． 17．如图，等腰直角中，斜边，点、分别为线段和上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，线段的最值问题，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 作 并且使得，连接，证明，推出，则，可得当、、三点共线时，取到最小值，此时，反向延长，过点作于点，用勾股定理求解即可． 【详解】解：作 并且使得，连接， 根据题意可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 当、、三点共线时，取到最小值，此时， 延长，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 18．我们把只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做“邻补四边形”．如图，在中，，，点分别在边、上．如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解直角三角形，“邻补四边形”的定义．分四种情况讨论，作于点，利用四边形的面积，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是“邻补四边形”， 分情况讨论， ①当时， ∵，， ∴这种情况不符合题意，舍去； ②当时，由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点和点重合， ∴这种情况不符合题意，舍去； ③当时，同②得， ∴， ∴， ∴， 作于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的面积是； ④当时， 同理， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， 解得， 则，，， ∴四边形的面积是； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算． 【答案】4 【分析】本题主要考查零指数幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂、实数的运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键．先化简绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，然后计算加减法即可． 【详解】解：原式， ， ． 20．（6分）先化简：，然后在0，1，2中选取合适的值代入求值． 【答案】，1 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵，， ∴x取2，则原式． 21．（8分）某班级同学对甲、乙两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，从甲、乙两块苹果园采摘的苹果中各随机选取200个，在技术人员指导下测量每个苹果的直径，将其作为样本数据，并整理、描述和分析（苹果的直径用表示，数据分为五组，，，，，），部分信息如下： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲园样本频数分布直方图中的值． (2)已知乙园样本数据中，，，，，五组数据的平均数分别取为，，，，，计算乙园样本数据的平均数． (3)下列结论一定正确的有________．（填序号） ①两园样本数据的中位数均在组； ②两园样本数据的众数均在组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． (4)结合市场情况，将，两组的苹果认定为一级，组的苹果认定为二级，其他组的苹果认定为三级，其中一级苹果的品质最优，二级次之，三级最次．哪个园的苹果品质更优？请说明理由． 【答案】(1)40 (2) (3)① (4)乙园的苹果品质更优，理由见解析 【分析】本题主要考查频数分布直方图、加权平均数、中位数、众数等知识点，从统计图中获取所需信息是解题的关键． （1）用200分别减去其它各组的频数可得a的值； （2）根据加权平均数公式计算即可； （3）分别根据中位数、众数和极差的定义解答即可； （4）根据统计图数据求出比例判断即可． 【详解】（1）解：； （2）解：E组占百分比为， ∴乙园样本数据的平均数为； （3）解：由统计图可知，两园样本数据的中位数均在C组，故①正确； 每一组的数据是一个范围，甲园的众数，乙园的众数是不能确定具体在哪一组，故②结论错误； 两园样本数据的最大数与最小数的差不一定相等，故③结论错误； 故答案为：①； （4）解：乙园的苹果品质更优， 理由如下：由样本数据频数分布直方图可得， 甲园一级苹果所占比例为， 乙园一级苹果所占比例为，大于甲园， 因此可以认为乙园的苹果品质更优． 22． （8分）如图，在中，．点在的延长线上，连结． (1)尺规作图：过点A求作的平行线，与、的交点分别为、； (2)在（1）的条件下，若点是的中点，．试求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查角的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握角的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，然后再以点A为圆心，根据角的尺规作图进行作图即可； （2）由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后可得，，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：为所求作的线，所作图形如下： （2）证明：， 四边形是平行四边形， ， ∵， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 23．（9分）某电脑公司经销甲种型号电脑，受市场影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为元，今年销售额只有元． (1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ (2)为了提高收入，电脑公司决定增加经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为元，乙种电脑每台进价为元，公司预计用不多于元且不少于元的资金购进这两种电脑共台，问有几种进货方案？ (3)如果乙种电脑每台售价为元，为扩大乙种电脑的销量，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时哪种方案对公司更有利？ 【答案】(1)元 (2)种 (3)；甲种电脑台，乙种电脑台 【分析】（1）设今年三月份甲种电脑每台售价元，则去年每台元，然后由卖出相同数量的电脑，而去年销售额为90000元，今年销售额只有80000元列出方程求解即可； （2）设购甲种电脑台，则乙种电脑台，然后由甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于66000元且不少于64000元的资金购进这两种电脑共20台，列出不等式求解即可得到答案； （3）设甲种电脑台，总获利为元，然后根据题意求出关系式，再由使（2）中所有方案获利相同，求解即可． 本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，函数关系式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意，找到等量关系与不等关系，列出分式方程与不等式求解即可． 【详解】（1）设今年三月份甲种电脑每台售价元，则去年每台元． 依题意，得：， 解得． 检验可知是方程的解，且符合题意． 答：今年三月份甲种电脑每台售价4000元． （2）设购甲种电脑台，则乙种电脑台． 依题意，得：， 解得：． ∵为正整数， ∴，9，10，11，12 ∴共有5种进货方案． 答：一共有5种进货方案； （3）设甲种电脑台，总获利为元．则： ． ∵要使（2）中所有方案获利相同， ∴的结果与无关， ∴， ∴． ∴购买甲种电脑8台，乙种电脑12台时对公司更有利 答：的值为200，购买甲种电脑8台，乙种电脑12台时对公司更有利． 24．（9分）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为． (1)如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点A到地面的距离．（结果精确到0.01） (2)在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)不能通过，见解析 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． （1）过点A作，垂足为F，过点O作，垂足为G，易得四边形为矩形，得到，解，求出的长，利用求出的长即可； （2）当，且时，设交于点P，解直角三角形求出的长，进而求出的长，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为F，过点O作，垂足为G． ∴， ∵， ∴四边形为矩形． ∴， 由题意，得，，． 在中，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴此时点A到地面的距离约为． （2）一辆宽为、高为的货车不能顺利通过入口． 理由：如图，当，且时，设交于点P， 由题意，得，， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵入口宽度为， ∴． ∵， ∴一辆宽为、高为的货车不能顺利通过入口． 25．（10分）二次函数（，，为实数）． (1)当，时，探究发现二次函数的顶点恰好在直线上． 直接写出的值为________________； 若二次函数与直线有两个交点，设两个交点分别为，，请证明；若二次函数与直线没有两个交点，请说明理由． (2)若，直线与二次函数相交于和两点，其中． 求的值； 当时，求二次函数的最大值． 【答案】(1)；②有两个交点，证明见解析； (2)的值为； 当且时最大值为； 当时，最大值为； 当时，最大值为． 【分析】 当，时，二次函数的解析式为，可以求出二次函数的顶点坐标为，因为二次函数的顶点恰好在直线上，可得：，从而求出的值； 将带入，可得：，因为二次函数与直线有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，；，再利用计算求值即可； 根据点在二次函数和上，可得：，解方程求出的值即可； 首先根据的取值范围求出不同情况时抛物线的对称轴，再根据与抛物线的对称轴所在的位置之间的关系，利用二次函数的图象与性质分分情况求解． 【详解】（1）解：当，时， 二次函数的解析式为， 当时，， 二次函数的顶点坐标为， 又二次函数的顶点恰好在直线上， ， 解得：， 故答案为：； 将带入， 可得：， 又 ， 可得：， 整理得：， ， 二次函数与恒有两个交点， ；， ， ； （2）解：在二次函数和上， ，， 可得：， 解得：或， ， ， ； 由知， 二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴， 当时，二次函数开口向上， 如下图所示： 对称轴， 在时，随的增大而增大， 在时，取最大值为； 当时，二次函数开口向下， 当对称轴时， 解得：， ， 如下图所示： 此时二次函数在上的图象，随的增大而增大， 在时，取得最大值为； 当时， 解得：， 如下图所示： 此时二次函数在上的图象，当时取得最大值 当对称轴时， 解得：， 如下图所示： 此时二次函数在上的图象，随的增大而减小， 当时，y取最大值为． 综上所述：当且时最大值为；当时，最大值为，当时，最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二交函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系、分类讨论的思想，解决本题的关键是利用分类讨论的思想，分情况求解． 26．（10分）“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 (1)如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点，分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是________； ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为________； 【类比探究】 (2)如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含的式子表示）； 【拓展延伸】 (3)如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值．      【答案】(1)①；②或 (2) (3)144平方厘米 【分析】（1）①先利用平移的性质证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质分别求出和的长，再利用矩形的面积公式计算和的面积，即可求解；②设厘米，则厘米，表示出四边形的面积，再结合题意列出方程，解出的值即可解答； （2）利用平移的性质得到，推出，再利用相似三角形的性质得出，即可求解； （3）过点作于点，利用勾股定理求出厘米，结合点，是，的中点，得出厘米，厘米，厘米，利用旋转的性质得到厘米，厘米，分析可知当最大时，面积最大，结合图形利用线段的性质求出的最大值，即可求出面积的最大值． 【详解】（1）解：①为矩形， 厘米，，， 点，分别为边，的中点， 厘米，厘米， ， ，， 四边形是矩形， 又厘米， 矩形是正方形， ，，厘米， 由平移的性质得，，， ， ， 又， 四边形是矩形， 点与的中点重合， 厘米， ，， 和都是等腰直角三角形，厘米，厘米， 平方厘米， 平方厘米， 的面积与原矩形纸片的面积之比是． 故答案为：． ②由①中的结论得，四边形是矩形，和都是等腰直角三角形， 设厘米，则厘米， 厘米，厘米， ， 的面积与原矩形纸片的面积之比是，平方厘米， ， 解得：，， 平移距离为或． 故答案为：或． （2）解：纸片为菱形，， ，和为等边三角形， 纸片沿方向向上平移， ， ， 两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为， ， ， ． （3）解：如图，过点作于点，   ，厘米，厘米， 厘米， 点，是，的中点， 厘米，厘米，厘米， 由旋转的性质得，厘米，厘米， ， 当上的高线最大时，则面积最大， ， 当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大， ， 此时、、三点共线， 即厘米， 平方厘米， 即面积的最大值为144平方厘米．    【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质与判定、平移的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质与判定、旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的推理论证和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 28 / 29 2 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$