专题突破：概率重点题型突破（12大题型）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

专题突破：概率重点题型突破 一、事件的关系与运算 1.事件间的关系的判断方法：判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系． 2.写出基本事件的方法及注意点： (1)列举法：一一列出所有基本事件的结果，一般适用于较简单的问题． (2)列表法：一般适用于较简单的试验方法． (3)树状图法：一般适用于较复杂问题中基本事件个数的探求．(注意点：要分清“有序”还是“无序”．) 二、古典概型概率的计算： 1.求古典概型概率的步骤为： (1)判断是否为古典概型； (2)算出基本事件的总数n； (3)算出事件A中包含的基本事件个数m； (4)算出事件A的概率，即P(A)＝. 在运用公式计算时，关键在于求出m、n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错． 2．对于事件总数较多的情况，在解题时，没有必要一一列举出来，只将我们解题需要的列举出来分析即可． 三、互斥、对立事件的判断： 1.判断事件是否互斥的两步骤 第一步，确定每个事件包含的结果； 第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的． 2．判断事件对立的两步骤 第一步，判断是互斥事件； 第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立． 3.对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断． 4.判断互斥、对立事件的2种方法: (1)定义法: 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 (2) 集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集 即：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B互斥时，A∩B＝∅；A，B对立时，A∩B＝∅且A∪B＝U(U为全集)．两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件． 四、独立事件的判断： 1.两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件． 2.一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么： (1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B； (2)A，B都发生为事件AB； (3)A，B都不发生为事件； (4)A，B恰有一个发生为事件A＋B． (5)A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋． 五、相互独立事件同时发生的概率： 1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2.事件A＋B；AB；之间的概率关系如表所示： A，B互斥 A，B相互独立 P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P() 1－[P(A)＋P(B)] P()P() 题型一　 事件的关系与运算 【例1】（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】事件的运算及其含义 【分析】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得. 【详解】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C 【变式1-1】（2025高三下·全国·专题练习）同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2，3，4，…，11，12中的一个，记事件A为“点数之和是2，4，7，12”，事件B为“点数之和是2，4，6，8，10，12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】写出某事件的对立事件、写出基本事件 【分析】应用交事件及对立事件的定义运算求解即可. 【详解】事件，事件， 又事件，． 故选：C 【变式1-2】（23-24高一下·海南·期末）从分别写有的张卡片中随机一次取出张，设事件为“写有的卡片被取出”，为“写有的卡片被取出”，为“取出的卡片上的数都大于”，为“取出的卡片上的数之和小于”，则（   ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 【答案】D 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】对于A，给出即可作为反例；对于B，给出即可作为反例；对于C，给出即可作为反例；对于D，论证发生等价于发生即可. 【详解】对于A，由于当同时取出时，与同时发生，所以它们不是互斥事件，故A错误； 对于B，由于当同时取出时，与都不发生，所以它们不是对立事件，故B错误； 对于C，由于当同时取出时，发生，不发生，所以它们不相等，故C错误； 对于D，由于发生当且仅当取出的卡片至少有一张是非正数，即至少有一个发生，故，故D正确. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高二下·上海·期中）小明在书店随机地选一本书，设事件：小明选的书是数学书，事件：小明选的书是中文版的书，事件：小明选的书是2024年或2024年以后出版的书，请写出表示的事件： . 【答案】选到一本2024年前出版的中文版的数学书 【知识点】事件的运算及其含义、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据并事件、交事件、对立事件的定义判断即可； 【详解】因为{选到一本数学书}，{选到一本中文版的书}，{选到一本2024年或2024年以后出版的书}， 所以{选到一本2024年前出版的中文版的数学书}． 故答案为：选到一本2024年前出版的中文版的数学书 题型二 古典概型概率的计算 【例2】（2025·湖南·二模）甲同学与乙同学进行如下游戏：在个白色小方格中，甲同学将从上往下数的第i行，从左往右数的第j列涂黑，而乙同学从除黑色方格以外的任意一格出发，只能往前、后、左、右四个方向移动，且不能经过黑色方格.若乙可以不重复的一次性经过所有白色方格，则乙获胜，否则甲获胜，记甲涂黑的方格为. (1)若，甲同学随机涂黑一个方格，求甲获胜的概率. (2)若甲将涂黑，求证：当m为奇数时，甲一定获胜. (3)若m为奇数，乙从出发，甲将涂黑，其中i，j不同时为1，求证：甲获胜的概率. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）不难看出只有当甲不涂黑方格的四个角和中心处，甲一定获胜，由此可得甲获胜的概率； （2）给格子标号，若乙要获胜，则标号为1的格子数与标号为2的格子数之差的绝对值不大于1， 即1比2的数量多两个时，此时甲一定获胜，计算当m为奇数时，1号和2号的格子数， 发现1的数量比2的数量多两个，故当m为奇数时，甲一定获胜； （3）由（2）可知，考虑1比2多两个的情况，只有涂黑2时，1比2的数量多两个，此时甲一定获胜， 计算2号格子的数量，除以甲能涂黑的格子数，即可证明甲获胜的概率. 【详解】（1）甲随机涂黑一个，在方格的四个角和中心处，显然乙可以不重复地一次性经过所有白色方格， 只有当甲涂黑，，，时，乙无法不重复地一次性经过所有白色方格， 故甲获胜的概率为. （2）我们为格子标号： 1 黑格 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 乙不妨从1出发，则乙的路线必定是1→2→1→2…， 若乙要获胜，则标号为1的格子数与标号为2的格子数之差的绝对值不大于1， 若最后是2，则说明1的数量和2的数量相同，若最后是1，则说明比2多一个， 由于m为奇数，则第3，5，7…列，1的数量比2的数量多1个， 这样的列数一共有个，也就是1比2的数量多， 同理，第2，4，6，…，2的数量比1的数量多一个（不考虑黑格），这样的列一共有列， 因此1的数量比2的数量多个， 但实际情况是第二列中1的数量和2的数量一样多，因此1的数量比2的数量多两个， 这说明乙无法不重复地一次性经过所有白色方格，因此当m为奇数时，甲一定获胜. （3）受到（2）的启发，我们仍然为格子标号： 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 乙的路线仍然是1→2→1→2→…,乙获胜只需要使1和2一样多，或1比2多一个， 我们考虑1比2多两个的情况： 若不考虑涂黑的格子，由（2）可知：1比2的数量多1个 当且仅当涂黑2时，1比2的数量多两个，此时甲一定获胜， 第1，3，5…m列共有个2，第2，4，6…列共有个2，因此一共有个2， 又因为甲可以涂黑除了共个方格，因此甲获胜的概率. 【变式2-1】（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）如图是易书中的八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），传说莱布尼兹据此发明了二进制计数法.从八卦中任取两卦，这两卦中阳线数量之和为4的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】首先得到根阳线的有一卦，根阳线的有三卦，根阳线的有三卦，根阳线的有一卦，再求出基本事件总数，与满足条件的事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得. 【详解】由图可知有根阳线的有一卦，根阳线的有三卦，根阳线的有三卦，根阳线的有一卦， 记根阳线的分别为、、，根阳线的分别为、、，根阳线的为， 从八卦中任取两卦，一共有种， 其中满足阳线之和为的有，，，，，共种， 故两卦中阳线之和为的概率. 故选：B 【变式2-2】（24-25高二上·吉林·阶段练习）据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当． 即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据6根算筹，分为五类情况：，逐一分类求解满足要求的两位数，即可求解概率. 【详解】根据题意可知：一共6根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为一共五类情况； 第一类：，即十位用5根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是5或者9，个位为1，则两位数为51或者91； 第二类：，即十位用4根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是4或者8，个位可能为2或者6，故两位数可能42，46，82，86； 第三类：，即十位用3根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是3或者7，个位可能为3或者7，故两位数可能是33，37，73，77； 第四类：，即十位用2根算筹，个位用4根算筹，那么十位为2或6，个位可能为4或者8，则该两位数为24或者28或者64或者68， 第五类：，即十位用1根算筹，个位用5根算筹，那十位是1，个位为5或者9，则两位数为15或者19； 综上可知：用6根算筹组成的满足题意的所有的两位数有：15，19，24，28，33，37，42，46，51，64，68，73，77，82，86，91共计16个，则不小于50的有：51，64，68，73，77，82，86，91共计8个， 故概率为， 故选：B. 【变式2-3】（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在一个盒子中有除颜色外完全相同的3个球，蓝球，红球，绿球各1个，从中随机地取出1个球，观察其颜色后放回，然后随机取出1个球． (1)请用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2)求“第一次取出的是红球”的概率； (3)求“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据题意写出样本空间即可； （2）写出事件A包含的基本事件，利用古典概型求解； （3）写出事件B包含的基本事件，利用古典概型求解. 【详解】（1）样本空间Ω={（蓝球，蓝球），（蓝球，红球），（蓝球，绿球），（红球，蓝球），（红球，红球），（红球，绿球）（绿球，蓝球）（绿球，红球）（绿球，绿球）}． （2）设“第一次取出的是红球”为事件A． 事件A包含的样本点有（红球，蓝球），（红球，红球），（红球，绿球），共3个， 由（1）知基本事件总数， 所以． （3）设“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”为事件B． 事件B包含的样本点有（红球，蓝球），（红球，绿球），共2个， 由（1）知基本事件总数， 所以. 题型三 互斥事件、对立事件问题 【例3】（2025高三·全国·专题练习）从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（   ） A．恰好有一件次品与全是次品 B．至少有一件次品与全是次品 C．至少有一件次品与全是正品 D．至少有一件正品与至少有一件次品 【答案】C 【知识点】确定所给事件的对立关系 【分析】由对立事件的概念逐项判断即可； 【详解】任取两件所有可能结果为：全是正品、全是次品、一件正品一件次品； A中，恰好有一件次品即为一件正品一件次品， 所以恰好有一件次品与全是次品是互斥但不对立事件； B中，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品， 所以至少有一件次品与全是次品不是对立事件； C中，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品， 所以至少有一件次品与全是正品是对立事件； D中，至少有一件正品包含：全是正品、一件正品一件次品； 至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品， 所以至少有一件正品与至少有一件次品有交集，不是对立事件． 故选：C 【变式3-1】（24-25高三上·山东潍坊·期末）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3球，那么互斥而不对立的两个事件是（   ） A．至少一个红球和都是红球 B．至少一个黑球和都是红球 C．至少一个黑球和至少一个红球 D．恰有一个红球和恰有一个黑球 【答案】D 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、确定所给事件的对立关系 【分析】由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断. 【详解】对于A至少一个红球和都是红球不互斥，同时发生的情况是都是红球，A错误； 对于B至少有一个黑球和都是红球互斥并对立，所以B错误； 对于C至少一个黑球和至少一个红球，当一个黑球两个红球是可以同时发生，不互斥，C错误； 对于D，恰有一个红球和恰有一个黑球，互斥但不对立，存在情况都是红球或都是黑球，D正确. 故选:D. 【变式3-2】（2026高三·全国·专题练习）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（   ） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 【答案】D 【知识点】写出某事件的对立事件 【分析】直接利用对立事件的定义判断即可. 【详解】连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶； ②只有一次中靶；③两次都没有中靶， 所以事件“至少一次中靶”互为对立事件的是两次都没有中靶. 故选：D． 【变式3-3】（多选）（22-23高一下·甘肃·期末）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①⑤⑥ D．③④⑦ 【答案】AC 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件、对立事件的相关概念对关系式进行判断即可得出结论． 【详解】由题设可知： 表示甲乙两人均未击中靶，因此，故①正确； 表示两人都击中靶，而表示至少有1人击中靶，因此②错误； 表示至少有1人击中靶，因此③正确； 表示至少有1人击中靶，而表示恰一人击中靶，因此④错误； 表示两人中恰好只有1人击中靶，因此⑤正确； 与是对立事件，因此⑥正确； 与不是互斥事件，， 因此⑦错误． 综上可得正确的是①③⑤⑥． 故选：AC． 题型四 互斥事件、对立事件的概率计算 【例4】（24-25高二·上海·课堂例题）盒子里装有大小与质地相同的红球与白球，从中任取两色均有的4个球．设事件A：4个球中有3个红球、1个白球，事件B：4个球中有1个红球、3个白球．已知，，求“4个球中红球与白球个数不同”的概率． 【答案】 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】理解题意，弄清所求事件与已知事件之间的关系，利用相关概率公式计算即得. 【详解】因为试验为“从中任取两色均有的4个球”，则试验结果包括: 3个红球、1个白球；2个红球，2个白球和1个红球、3个白球三种， 故事件“4个球中红球与白球个数不同”包括：3个红球、1个白球和1个红球、3个白球两种结果， 可表示为：，因事件与事件互斥， 故其概率为： 【变式4-1】（24-25高二·上海·课堂例题）若事件A和B互斥，且，，则 ． 【答案】0.8/ 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】先利用互斥事件的概率加法公式求出，再由即得. 【详解】因事件A和B互斥，则， 解得，故. 故答案为：0.8. 【变式4-2】（22-23高二下·河北石家庄·期末）某学生从外地回家，他乘坐火车、汽车、飞机的概率分别是. (1)他乘坐火车或飞机回家的概率是多少？ (2)他不乘坐火车回家的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）根据题意，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解； （2）根据题意，结合对立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，某学生乘坐火车、汽车、飞机的概率分别是，且彼此互斥的， 所以他乘坐火车或飞机回家的概率是. （2）解：由题意，他乘坐火车回家的概率为， 根据对立事件的概率计算公式，可得不乘坐火车回家的概率. 【变式4-3】（24-25高二·上海·课堂例题）投掷两颗骰子，求点数之和为下列条件的概率． (1)5或10； (2)小于5或大于10． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出基本事件、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）设事件和，根据古典概型概率公式计算和，接着利用互斥事件的概率加法公式计算即得; （2）设事件和，计算出，接着利用互斥事件的概率加法公式计算即得. 【详解】（1）因投掷两颗骰子这个试验的样本空间为 ， 设事件A：点数之和为5，则, ， 设事件B：点数之和为10，则,， 因事件与互斥，故 （2）设事件C：点数之和小于5，则,， 事件D：点数之和大于10，则， 因事件与互斥，故. 题型五 有放回无放回问题的概率 【例5】（24-25高二上·山东·期中）袋中装有形状大小完全相同的5个小球，其中2个白球，2个红球，1个黄球.先后从中不放回的抽取两个小球，若每抽到一个白球、红球、黄球分别得分，则两次得分之和为0分的概率为 ． 【答案】/0.3 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】分别求出试验“从中不放回的抽取两个小球”和事件“两次得分之和为0分”所含的样本点数，利用古典概型概率公式即可求得. 【详解】不妨记2个白球，2个红球，1个黄球依次为, 则试验“从袋中不放回的抽取两个小球”的样本空间为： ， 则事件 “两次得分之和为0分”包含的样本点组成的集合为 由古典概型概率公式，可得两次得分之和为0分的概率为. 故答案为：. 【变式5-1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）从集合中依次不放回的任取两个数，记事件 “第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（    ） A． B．为不可能事件 C．事件 A，B 相互独立 D． 【答案】C 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】先将任取的两个数用一组有序实数表示，可列出试验和事件包括的样本点，利用古典概率模型求其概率，再根据各选项的要求逐一判断即可. 【详解】从集合中依次不放回的任取两个数，若用一组有序实数表示， 则试验的样本空间为： ， 则 ， . 对于A，因，故A正确，不合题意； 对于B，因，故为不可能事件，即B正确，不合题意； 对于C，因，则，则， 即事件 A，B 相互不独立，故C错误，符合题意； 对于D，因，故必有，即D正确，不合题意. 故选：C. 【变式5-2】（多选）（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】BC 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色不全相同的结果有24种， ,其概率为，故B正确； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故C正确； 无红球的结果有8种，其概率为，故D错误． 故选：BC. 【变式5-3】（多选）（23-24高二上·安徽·开学考试）一个口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每次从中随机抽取1个球，则（    ） A．若不放回地抽取两次，则“取到2个红球”和“取到2个白球”是互斥事件 B．若不放回地抽取两次，则“取到2个红球”与“取到2个白球”相互独立 C．若有放回地抽取两次，则第1次取到红球的概率大于第2次取到红球的概率 D．若有放回地抽取两次，则至少取到一次红球的概率是 【答案】AD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、有放回与无放回问题的概率、相互独立事件与互斥事件 【分析】对于A，根据互斥事件概念判断；对于B，互斥事件不可能是相互独立事件；对于C，有放回地抽取每次抽到红球的概率均相等；对于D，使用对立事件计算概率. 【详解】对于A，若不放回地抽取两次，则取到的球不可能是2个红球和2个白球，所以“取到2个红球”和“取到2个白球”是互斥事件，故A正确； 对于B，若不放回地抽取两次，记事件A：“取到2个红球”，记事件B：“取到2个白球”，则A与B是互斥事件，所以，而，所以，所以A与B不是相互独立事件，故B错误； 对于C，若有放回地抽取两次，则第1次取到红球的概率为，第2次取到红球的概率为，所以第1次取到红球的概率等于第2次取到红球的概率，故C错误； 对于D，若有放回地抽取两次，则至少取到一次红球的概率是，故D正确. 故选：AD. 题型六 独立事件的判断 【例6】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）（1）统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于分的频率为.估计该班学生数学成绩的平均分和中位数；    （2）已知事件，相互独立，试证明它们的对立事件，相互独立. 【答案】（1）平均分；中位数为；（2）证明见解析 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、相互独立事件与互斥事件 【分析】（1）由已知求出，利用平均数和中位数的定义和公式求解即可； （2）利用相互独立事件概率公式和和事件概率公式推导即可. 【详解】（1）由已知得， 则， 所以. 该班学生数学成绩的平均分的估计值为： ， 因为， ， 所以中位数在内， 故中位数为. （2） 因为， 因为事件，相互独立， 所以， 所以， 则， 所以事件，相互独立. 【变式6-1】（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 【答案】B 【知识点】独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据独立事件的定义，结合题意即可判断各选项的正误. 【详解】由题知：，，， ，，，. 因为，， 所以事件两两独立； 但，所以事件不相互独立. 故选：B. 【变式6-2】（2026高三·全国·专题练习）设M，N为两个随机事件，则以下命题是真命题的为（   ） A．若M，N为互斥事件，且，则 B．若，则事件M，N相互独立 C．若，则事件M，N相互独立 D．若，则事件相互独立 【答案】B 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】对于A，由互斥事件的概率加法公式可判断真假；对于B，由独立事件的概率公式可判断真假； 对于C、D，由对立事件和独立事件的概率公式可判断真假. 【详解】对于A，由互斥事件的概率加法公式得，故A是假命题； 对于B，因为，所以事件相互独立，故B是真命题； 对于C，由得，， 所以事件不相互独立，故C是假命题； 对于D，由题意得，，若相互独立，则，故D是假命题． 故选：B. 【变式6-3】（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】由已知得出样本空间包含的样本点的个数为36个，求出相关事件的概率，逐一利用相互独立事件的概率乘法公式检验即得. 【详解】由题意得：事件“”的情况有：共12种， 所以． 事件“为奇数”的情况有： 共18种， 所以； 事件“”的情况有： 共10种， 所以； 事件“”的情况有：共6种， 所以. 对于A，因，则与不独立，故A错误； 对于B，因，则与不独立，故B错误； 对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误； 对于D， ，则与相互独立，故D正确. 故选：D. 题型七 独立事件概率的计算 【例7】（23-24高二上·上海虹口·期中）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求 (1)甲和乙同时命中的概率； (2)甲和乙都不命中的概率； (3)甲和乙至少一人命中的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式结合对立事件即可. 【详解】（1）设甲命中为事件，概率为，乙罚球时命中为事件，概率为， 则设甲和乙同时命中为事件,则. （2）设甲和乙都不命中为事件，则. （3）甲和乙至少一人命中为事件，. 【变式7-1】（多选）（24-25高一下·江西景德镇·期中）已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（   ） A． B． C． D．若、相互独立，则和至少有一个发生的概率为 【答案】ACD 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】由已知易求得判断A；若，计算可判断B；由，，计算可判断C；利用相互独立事件的概率公式计算可判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 若，则，故B错误； 若，则， 若，则， 所以，故C正确； 若、相互独立，则也相互独立，所以， 所以和至少有一个发生的概率为，故D正确. 故选：ACD. 【变式7-2】（23-24高二下·山东威海·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，每次投篮若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本次平局.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为和，且每次投篮甲、乙投中与否互不影响，各次投篮也互不影响，则次投篮甲至少获胜次的概率为 . 【答案】/0.104 【知识点】独立事件的实际应用 【分析】设甲获胜为事件,求出甲获胜的概率，次投篮甲至少获胜次的概率为，利用独立事件的概率公式求解即可. 【详解】设甲获胜为事件,则， 则次投篮甲至少获胜次的概率为 . 故答案为：. 【变式7-3】（25-26高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的实际应用 【分析】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 一小时内没有一台机床需要维护，即，计算即可； （2）一小时内至少有一台机床不需要维护，即，计算可得. 【详解】（1）设事件A为“甲机床需要维护”，事件B为“乙机床需要维护”， 则， 则一小时内没有一台机床需要维护， 即. （2）一小时内至少有一台机床不需要维护， 即. 题型八 概率的综合问题 【例8】（24-25高二·上海·课堂例题）三人合作玩某游戏，用火箭筒射击一低空飞行的直升机，甲瞄准驾驶员、乙瞄准油箱、丙瞄准发动机主要部件，命中率分别为、、，个人的射击是相互独立的，任一人射中，直升机即被击落．求击落直升机的概率． 【答案】 【知识点】独立事件的实际应用、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】设事件A：甲命中驾驶员，事件B：乙命中油箱，事件C：丙命中发动机， 由，代入计算可得. 【详解】设事件A：甲命中驾驶员，事件B：乙命中油箱，事件C：丙命中发动机， 则, 所以 . 即击落直升机的概率为． 【变式8-1】（23-24高一下·福建福州·期末）目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】独立事件的乘法公式、相互独立事件与互斥事件、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）根据互斥事件的概率公式和对立事件概率公式计算可得； （2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （3）甲、乙两人所付的租车费用之和为元可能的情况是甲、乙的租车费用分别为： ①元、元，②元、元，③元、元，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）甲租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率为：， 乙租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率为：； （2）甲、乙两人所付的租车费用相同可分为租车费用都为元、元、元三种情况， 甲、乙两人租车费用都为元的概率为， 甲、乙两人租车费用都为元的概率为， 甲、乙两人租车费用都为元的概率为， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为； （3）甲、乙两人所付的租车费用之和为元可能的情况是甲、乙的租车费用分别为： ①元、元，②元、元，③元、元， 所以甲、乙两人所付的租车费用之和为元的概率为： . 【变式8-2】（22-23高一·全国·课堂例题）甲、乙两人练习射击，甲命中的概率为0.8，乙命中的概率为0.7，两人同时射击，且中靶与否独立，求： (1)甲或乙命中的概率； (2)甲中、乙不中的概率； (3)甲不中、乙中的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】概率的基本性质、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断、相互独立事件与互斥事件 【分析】（1）设出事件，利用求解； （2）利用进行求解； （3）利用进行求解. 【详解】（1）设“甲命中”，“乙命中”，则“甲或乙命中”， “甲中、乙不中”，“甲不中、乙中”，且，． 甲乙中靶与否独立， 所以． （2）甲乙中靶与否独立， 故． （3）甲乙中靶与否独立， 故． 【变式8-3】（22-23高一下·甘肃武威·阶段练习）2023年华为回归推出双旗舰的传统，3—4月份发布P系列，9—10月份发布Mate系列，华为P60和Mate60机型分别搭载高通骁龙8＋GEN14G和高通骁龙8＋GEN24G芯片组，性能优异．互不相识的张三与李四两位年轻人先后到同一家商城购买手机，张三与李四购买华为手机的概率分别为0.7，0.5，购买价位在5000元以上的手机的概率分别为0.4，0.6，假设张三与李四购买什么款式的手机相互独立． (1)求恰好有一人购买华为手机的概率； (2)求至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】独立事件的乘法公式、相互独立事件与互斥事件 【分析】（1）利用独立事件乘法概率公式，结合互斥事件概率公式，即可求解； （2）首先分别计算张三和李四购买价位在5000元以上的华为手机的概率，再结合 独立事件和互斥事件概率公式，列式求解. 【详解】（1）设张三购买华为手机为事件，李四购买华为手机为事件， 则恰好有一人购买华为手机的概率 （2）设张三购买5000元以上手机为事件，李四购买5000元以上手机为事件， 张三购买5000元以上的华为手机为事件，李四购买5000元以上的华为手机为事件， 则，, 所以至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率 . 题型九 根据概率求参数 【例9】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3. (2)①答案见解析；②不公平 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率、根据古典概型的概率求参数 【分析】（1）根据古典概型的计算公式求盒中红球、黄球、蓝球的个数. （2）①根据题意，列出样本空间即可； ②结合古典概型，分别求出甲乙获胜的概率，即可作出判断. 【详解】（1）设盒中红球个，黄球个，则篮球（）个， 由题意：. 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,3. （2）①因为是有放回的随机抽取两次，每次抽取一球，所以样本空间为：，其中包含个样本点，并且每个样本点发生的可能性相同. ②因为红球的编号为1,2，黄球的编号为3，篮球的编号为4,5,6. 根据规则，甲获胜的样本点有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个样本点，所以甲获胜的概率为， 从而乙获胜的概率为：. 因为，所以这个游戏不公平. 【变式9-1】（21-22高一下·新疆乌鲁木齐·期末）从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（    ） A．28 B．14 C．10 D．8 【答案】D 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】根据古典概型求概率公式列出方程，求出的值. 【详解】设为取出的两个数对，x是第一个数，y是第二个数，且 则 设事件A：取出的两个不同的数的和为5 则，则 ， ∴ 故选：D 【变式9-2】（23-24高一下·安徽黄山·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则 . 【答案】/ 【知识点】相互独立事件与互斥事件、独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，解得：. 故答案为： 【变式9-3】（22-23高一·全国·课后作业）袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、白球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或白球的概率是，试求得到黑球、黄球、白球的个数分别是多少? 【答案】黑球2个，黄球4个，白球3个. 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】记事件“取到红球”，事件“取到黑球”，事件“取到黄球”，事件“取到白球”，根据题意，得到，，的方程组，从而解得答案. 【详解】记事件“取到红球”，事件“取到黑球”，事件“取到黄球”，事件“取到白球”，且事件两两互斥， 由概率加法公式知得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或白球的概率是， 综上得，解得. 所以取到黑球、黄球、绿球的概率分别是，故袋中有黑球2个，黄球4个，白球3个. 题型十 概率统计的综合问题 【例10】（24-25高二下·上海·期中）黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）； (2)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 【答案】(1)，平均数为； (2). 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据直方图中频率和为1求出值；利用频率分布直方图求平均数的求法求解. （2）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，则； 平均数为. （2）评分在的频率分别为， 则在中抽取人，记为；在中抽取4人，记为， 从这6人中随机抽取2人，样本空间： ，共有15个结果， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件， 则，共有8个结果， 所以. 【变式10-1】（24-25高一下·江西景德镇·期中）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位） (2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率． 【答案】(1)，不低于分 (2) 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可； （2）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能参加物理竞赛的概率，然后利用独立事件乘法概率公式求解即可. 【详解】（1）依题意得，， 又 ， 所以第分位数位于，且， 他的物理成绩应不低于分较为合适． （2）依题意甲能参加物理竞赛的概率， 乙能参加物理竞赛的概率， 二人互不影响，所以甲、乙至少有一人能参加物理竞赛的概率为: . 【变式10-2】（24-25高一下·江西景德镇·期中）有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，． (1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率； (2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】（1）运用列举法列出从乙盒中任取两张卡片所有的取法，列举出取函数的定义域不同的取法，根据古典概型概率公式可求得所求的概率． （2）列举出从甲、乙两盒中各取一张卡片所有的取法．再由是偶函数，是奇函数，是减函数，是增函数，得出恰为“奇遇”的取法，根据古典概型概率公式可求得所求的概率. 【详解】（1）乙盒中的4个函数 ，，，分别记为， 从乙盒中任取两张卡片，所有的取法为，共种， 又函数，的定义域均为，函数的定义域为， 函数的定义域为， 所取函数的定义域不同的取法有，共5种， 所以这两张卡片上的函数的定义域不同的概率为． （2）把甲盒中的奇函数、偶函数、增函数、减函数分别记为奇、偶、增、减， 则从甲、乙两盒中各取一张卡片有（奇，1），（奇，2），（奇，3），（奇，4）， （偶，1），（偶，2），（偶，3），（偶，4），（增，1），（增，2），（增，3）， （增，4），（减，1），（减，2），（减，3），（减，4）， 共16种取法． 又是偶函数，是奇函数，是减函数，是增函数， 恰为“奇遇”的有（偶，1），（奇4），（减，2），（增，3），共4种， 所以“奇遇”的概率为． 【变式10-3】（24-25高二下·上海·期中）半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半．20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄（结论精确到个位）； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差． 【答案】(1)32 (2) (3)平均数为38，方差为． 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】（1）根据平均数的定义结合频率分布直方图求解即可； （2）先根据分层抽样的定义求出从第四组和第五组所抽取的人数，然后利用列举法结合古典概型的概率公式求解； （3）根据平均数和方差的定义结合已知条件求解即可. 【详解】（1）（岁）． （2）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组应抽取人，记为（乙），，对应的样本空间为： ， ， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则， 所以． （3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， ， 据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为38，方差为． 题型十一 频率与概率 【例11】（24-25高一下·全国·课后作业）某市统计近几年婴儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下： 出生婴儿数 21840 23070 20094 19982 出生男婴数 11453 12031 10297 10242 (1)试计算这几年男婴出生的频率（精确到0.001）； (2)估计该市男婴出生的概率（精确到0.1）． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】用频率估计概率、计算频率、计算几个数的平均数 【分析】（1）根据表中数据计算即可； （2）对（1）中的四组数据取平均值. 【详解】（1）男婴出生的频率分别为； （2）由题意知，所以该市男婴出生的概率约为. 【变式11-1】（多选）（24-25高二上·浙江杭州·期中）中国篮球职业联赛（CBA）中，某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况（不包括罚球）如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球次数 100 55 18 记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据给定的数表，利用频率估计概率逐项判断得解. 【详解】依题意，，ABC正确； ，D错误. 故选：ABC 【变式11-2】（24-25高二下·上海·期中）在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有 个． 【答案】3 【知识点】用频率估计概率、计算古典概型问题的概率 【分析】利用频率估计概率进行分析即可求解. 【详解】红色出现的频率为，所以红球出现的概率应接近， 设袋子中红球的个数为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，最接近， 所以袋中红球最有可能有3个. 故答案为：3. 【变式11-3】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 【答案】 0.21/ 0.18/ 【知识点】用频率估计概率、计算频率 【分析】计算出赔付金额大于投保金额的频率，得到估计赔付金额大于投保金额的概率；在求出投保的新司机人数和赔付金额为4500元的样本车辆中，新司机人数，估计出在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率. 【详解】赔付金额大于投保金额的频率为， 估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21， 在样本车辆中，车主是新司机的占15%， 故投保的新司机人数为， 在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，即人， 估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为. 故答案为：0.21，0.18 题型十二 生产、生活中的概率问题 【例12】（23-24高二·上海·课堂例题）把分奖金问题的三局两胜改为五局三胜，问： (1)在比分是的情况下，怎么分奖金公平？ (2)在比分是的情况下，怎么分奖金公平？ 【答案】(1)A、B两人应按来分奖金. (2)A、B两人应按来分奖金. 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、相互独立事件与互斥事件、独立事件的实际应用 【分析】（1）根据互斥事件和相互独立事件的概率公式求出A最终获胜的概率，进而得B最终获胜的概率，再按获胜概率的比例分配奖金即可. （2）由题意可知第一局A已经获胜，根据五局三胜的规则，A最终获胜只需在最后四局中再胜2局，依此信息结合互斥事件和相互独立事件的概率公式求出A最终获胜的概率，进而得B最终获胜的概率，再按获胜概率的比例分配奖金即可. 【详解】（1）用事件“A最终获胜”，事件“接下去第一局A获胜”， “接下去第二局A获胜”，“接下去第三局A获胜”， 则， 由题意可知前两局A已经均获胜，根据五局三胜的规则，A最终获胜只需在最后三局中再胜一局， 所以，因为、与两两互斥， 所以 ， 所以A最终获胜的概率是，B最终获胜的概率是， 所以A、B两人应按来分奖金. （2）用事件“A最终获胜”，事件“接下去第局A获胜”，， 则， 由题意可知第一局A已经获胜，根据五局三胜的规则，A最终获胜只需在最后四局中再胜2局， 所以， 且由每局比赛是相互独立的得 ， ， ， ， ， ， 因为两两互斥， 所以 ， 所以A最终获胜的概率是，B最终获胜的概率是， 所以A、B两人应按来分奖金. 【点睛】思路点睛：对“在比分是的情况下，怎么分奖金公平”这个问题，用事件“A最终获胜”，事件“接下去第局A获胜”，.先由比分是得出第一局A已经获胜，从而根据五局三胜的规则得出A最终获胜只需在最后四局中再胜2局，进而得到，接着结合互斥事件和相互独立事件的概率公式求出即得到A最终获胜的概率，进而得B最终获胜的概率，再按获胜概率的比例分配奖金即可得解. 【变式12-1】（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 【答案】A 【知识点】辨析概率与频率的关系、用频率估计概率、天气预报中的概率解释、抽奖、彩票的概率解释 【分析】根据频率与概率的定义以及两者之间的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概率是频率的稳定值，故A正确， 对于B, 某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误， 对于C, 连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则在100此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面的频率为，而掷一枚硬币出现反面的概率为，故C错误， 对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D错误， 故选：A 【变式12-2】（2023·广西桂林·模拟预测）某机器由A，B，C三类元件构成，它们所占的比例分别为0.1，0.4，0.5，且它们发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2，现机器发生了故障，问：应从哪类元件开始检查？ 【答案】应从C元件开始检查． 【知识点】其他问题中的概率解释 【分析】根据发生故障的概率大小进行判断即可. 【详解】解：A，B，C三类元件故障率分别为：，，， 因为其中C类元件的故障率最大，所以应从C元件开始检查． 【变式12-3】（23-24高二·上海·课堂例题）社会调查人员总希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题的诚实回答，但是被采访者常常不愿意如实做出应答．1965年，华纳（Stanley L. Warner）发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意如实回答的情绪的方法．华纳的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者究竟回答的是哪个问题，在这两个问题中有一个是敏感的或者令人为难的，另一个则是无关紧要的．这样，应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他自己知道回答的是哪个问题．例如，在调查运动员是否服用兴奋剂的时候，设计一个从袋中摸球的试验：袋中放有1黑1白两个大小与质地相同的小球，运动员从中随意摸出1个小球．无关紧要的问题是：你摸出的小球是白色的吗？而敏感的问题是：你服用过兴奋剂吗？然后要求被调查的运动员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．假设用这个方法调查了200名运动员，得到56个“是”的回答，请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂． 【答案】 【知识点】决策中的概率思想、其他问题中的概率解释、计算古典概型问题的概率 【分析】根据抛掷硬币出现正面的概率为，摸出的小球的是白色的概率也是，用这种方法用于个运动员，可得个运动员回答“是”，可得这人中有人回答“是”的运动中使用了兴奋剂，根据古典概率及概率的计算公式，即可求解. 【详解】因为掷硬币出现正面的概率是，大约有100人回答了第一个问题，因为摸出的小球的是白色或黑色的可能性是相同的，因而在回答第一个问题的100人中大约有一半人，即50人回答了“是”，其余6个回答“是”的人服用过兴奋剂，由此我们估计这群人中大约有6%的人服用过兴奋剂． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：概率重点题型突破 一、事件的关系与运算 1.事件间的关系的判断方法：判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系． 2.写出基本事件的方法及注意点： (1)列举法：一一列出所有基本事件的结果，一般适用于较简单的问题． (2)列表法：一般适用于较简单的试验方法． (3)树状图法：一般适用于较复杂问题中基本事件个数的探求．(注意点：要分清“有序”还是“无序”．) 二、古典概型概率的计算： 1.求古典概型概率的步骤为： (1)判断是否为古典概型； (2)算出基本事件的总数n； (3)算出事件A中包含的基本事件个数m； (4)算出事件A的概率，即P(A)＝. 在运用公式计算时，关键在于求出m、n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错． 2．对于事件总数较多的情况，在解题时，没有必要一一列举出来，只将我们解题需要的列举出来分析即可． 三、互斥、对立事件的判断： 1.判断事件是否互斥的两步骤 第一步，确定每个事件包含的结果； 第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的． 2．判断事件对立的两步骤 第一步，判断是互斥事件； 第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立． 3.对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断． 4.判断互斥、对立事件的2种方法: (1)定义法: 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 (2) 集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥． ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集 即：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B互斥时，A∩B＝∅；A，B对立时，A∩B＝∅且A∪B＝U(U为全集)．两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件． 四、独立事件的判断： 1.两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件． 2.一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么： (1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B； (2)A，B都发生为事件AB； (3)A，B都不发生为事件； (4)A，B恰有一个发生为事件A＋B． (5)A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋． 五、相互独立事件同时发生的概率： 1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2.事件A＋B；AB；之间的概率关系如表所示： A，B互斥 A，B相互独立 P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P() 1－[P(A)＋P(B)] P()P() 题型一　 事件的关系与运算 【例1】（2025·湖南娄底·二模）某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025高三下·全国·专题练习）同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2，3，4，…，11，12中的一个，记事件A为“点数之和是2，4，7，12”，事件B为“点数之和是2，4，6，8，10，12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·海南·期末）从分别写有的张卡片中随机一次取出张，设事件为“写有的卡片被取出”，为“写有的卡片被取出”，为“取出的卡片上的数都大于”，为“取出的卡片上的数之和小于”，则（   ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C． D． 【变式1-3】（24-25高二下·上海·期中）小明在书店随机地选一本书，设事件：小明选的书是数学书，事件：小明选的书是中文版的书，事件：小明选的书是2024年或2024年以后出版的书，请写出表示的事件： . 题型二 古典概型概率的计算 【例2】（2025·湖南·二模）甲同学与乙同学进行如下游戏：在个白色小方格中，甲同学将从上往下数的第i行，从左往右数的第j列涂黑，而乙同学从除黑色方格以外的任意一格出发，只能往前、后、左、右四个方向移动，且不能经过黑色方格.若乙可以不重复的一次性经过所有白色方格，则乙获胜，否则甲获胜，记甲涂黑的方格为. (1)若，甲同学随机涂黑一个方格，求甲获胜的概率. (2)若甲将涂黑，求证：当m为奇数时，甲一定获胜. (3)若m为奇数，乙从出发，甲将涂黑，其中i，j不同时为1，求证：甲获胜的概率. 【变式2-1】（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）如图是易书中的八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），传说莱布尼兹据此发明了二进制计数法.从八卦中任取两卦，这两卦中阳线数量之和为4的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·吉林·阶段练习）据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当． 即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在一个盒子中有除颜色外完全相同的3个球，蓝球，红球，绿球各1个，从中随机地取出1个球，观察其颜色后放回，然后随机取出1个球． (1)请用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2)求“第一次取出的是红球”的概率； (3)求“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”的概率． 题型三 互斥事件、对立事件问题 【例3】（2025高三·全国·专题练习）从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（   ） A．恰好有一件次品与全是次品 B．至少有一件次品与全是次品 C．至少有一件次品与全是正品 D．至少有一件正品与至少有一件次品 【变式3-1】（24-25高三上·山东潍坊·期末）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3球，那么互斥而不对立的两个事件是（   ） A．至少一个红球和都是红球 B．至少一个黑球和都是红球 C．至少一个黑球和至少一个红球 D．恰有一个红球和恰有一个黑球 【变式3-2】（2026高三·全国·专题练习）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（   ） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 【变式3-3】（多选）（22-23高一下·甘肃·期末）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①⑤⑥ D．③④⑦ 题型四 互斥事件、对立事件的概率计算 【例4】（24-25高二·上海·课堂例题）盒子里装有大小与质地相同的红球与白球，从中任取两色均有的4个球．设事件A：4个球中有3个红球、1个白球，事件B：4个球中有1个红球、3个白球．已知，，求“4个球中红球与白球个数不同”的概率． 【变式4-1】（24-25高二·上海·课堂例题）若事件A和B互斥，且，，则 ． 【变式4-2】（22-23高二下·河北石家庄·期末）某学生从外地回家，他乘坐火车、汽车、飞机的概率分别是. (1)他乘坐火车或飞机回家的概率是多少？ (2)他不乘坐火车回家的概率是多少？ 【变式4-3】（24-25高二·上海·课堂例题）投掷两颗骰子，求点数之和为下列条件的概率． (1)5或10； (2)小于5或大于10． 题型五 有放回无放回问题的概率 【例5】（24-25高二上·山东·期中）袋中装有形状大小完全相同的5个小球，其中2个白球，2个红球，1个黄球.先后从中不放回的抽取两个小球，若每抽到一个白球、红球、黄球分别得分，则两次得分之和为0分的概率为 ． 【变式5-1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）从集合中依次不放回的任取两个数，记事件 “第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（    ） A． B．为不可能事件 C．事件 A，B 相互独立 D． 【变式5-2】（多选）（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【变式5-3】（多选）（23-24高二上·安徽·开学考试）一个口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每次从中随机抽取1个球，则（    ） A．若不放回地抽取两次，则“取到2个红球”和“取到2个白球”是互斥事件 B．若不放回地抽取两次，则“取到2个红球”与“取到2个白球”相互独立 C．若有放回地抽取两次，则第1次取到红球的概率大于第2次取到红球的概率 D．若有放回地抽取两次，则至少取到一次红球的概率是 题型六 独立事件的判断 【例6】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）（1）统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于分的频率为.估计该班学生数学成绩的平均分和中位数；    （2）已知事件，相互独立，试证明它们的对立事件，相互独立. 【变式6-1】（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 【变式6-2】（2026高三·全国·专题练习）设M，N为两个随机事件，则以下命题是真命题的为（   ） A．若M，N为互斥事件，且，则 B．若，则事件M，N相互独立 C．若，则事件M，N相互独立 D．若，则事件相互独立 【变式6-3】（2025·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型七 独立事件概率的计算 【例7】（23-24高二上·上海虹口·期中）两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的．求 (1)甲和乙同时命中的概率； (2)甲和乙都不命中的概率； (3)甲和乙至少一人命中的概率． 【变式7-1】（多选）（24-25高一下·江西景德镇·期中）已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（   ） A． B． C． D．若、相互独立，则和至少有一个发生的概率为 【变式7-2】（23-24高二下·山东威海·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，每次投篮若一方投中且另一方未投中，则投中的一方获胜，否则本次平局.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为和，且每次投篮甲、乙投中与否互不影响，各次投篮也互不影响，则次投篮甲至少获胜次的概率为 . 【变式7-3】（25-26高二上·上海·期末）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为，求下列事件的概率． (1)一小时内没有一台机床需要维护； (2)一小时内至少有一台机床不需要维护． 题型八 概率的综合问题 【例8】（24-25高二·上海·课堂例题）三人合作玩某游戏，用火箭筒射击一低空飞行的直升机，甲瞄准驾驶员、乙瞄准油箱、丙瞄准发动机主要部件，命中率分别为、、，个人的射击是相互独立的，任一人射中，直升机即被击落．求击落直升机的概率． 【变式8-1】（23-24高一下·福建福州·期末）目前低碳的生活理念流行，越来越多的年轻人加入自行车骑游行列.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人租车时间超过2小时，且不超过3小时的概率； (2)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (3)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率 【变式8-2】（22-23高一·全国·课堂例题）甲、乙两人练习射击，甲命中的概率为0.8，乙命中的概率为0.7，两人同时射击，且中靶与否独立，求： (1)甲或乙命中的概率； (2)甲中、乙不中的概率； (3)甲不中、乙中的概率． 【变式8-3】（22-23高一下·甘肃武威·阶段练习）2023年华为回归推出双旗舰的传统，3—4月份发布P系列，9—10月份发布Mate系列，华为P60和Mate60机型分别搭载高通骁龙8＋GEN14G和高通骁龙8＋GEN24G芯片组，性能优异．互不相识的张三与李四两位年轻人先后到同一家商城购买手机，张三与李四购买华为手机的概率分别为0.7，0.5，购买价位在5000元以上的手机的概率分别为0.4，0.6，假设张三与李四购买什么款式的手机相互独立． (1)求恰好有一人购买华为手机的概率； (2)求至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率． 题型九 根据概率求参数 【例9】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共6个．若从中随机抽取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)将这6个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6．现在从盒中有放回的随机抽取两次，每次抽取一球．将第一、二次取出的小球的编号分别记为，． ①写出一个等可能的样本空间； ②设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于9则甲胜，否则乙胜．试从甲或乙获胜的概率角度，判断这个游戏是否公平． 【变式9-1】（21-22高一下·新疆乌鲁木齐·期末）从n个正整数1，2，…，n任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则（    ） A．28 B．14 C．10 D．8 【变式9-2】（23-24高一下·安徽黄山·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则 . 【变式9-3】（22-23高一·全国·课后作业）袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、白球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或白球的概率是，试求得到黑球、黄球、白球的个数分别是多少? 题型十 概率统计的综合问题 【例10】（24-25高二下·上海·期中）黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）； (2)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 【变式10-1】（24-25高一下·江西景德镇·期中）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位） (2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率． 【变式10-2】（24-25高一下·江西景德镇·期中）有甲、乙两个盒子，其中甲盒中装有四张卡片，分别写有：奇函数、偶函数、增函数、减函数，乙盒中也装有四张卡片，分别写有函数：，，，． (1)若从乙盒中任取两张卡片，求这两张卡片上的函数的定义域不同的概率； (2)若从甲、乙两盒中各取一张卡片，乙盒中的卡片上的函数恰好具备甲盒中的卡片上的函数的性质时，则称为一个“奇遇”，现从两盒中各取一张卡片，求它们恰好“奇遇”的概率． 【变式10-3】（24-25高二下·上海·期中）半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半．20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄（结论精确到个位）； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差． 题型十一 频率与概率 【例11】（24-25高一下·全国·课后作业）某市统计近几年婴儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下： 出生婴儿数 21840 23070 20094 19982 出生男婴数 11453 12031 10297 10242 (1)试计算这几年男婴出生的频率（精确到0.001）； (2)估计该市男婴出生的概率（精确到0.1）． 【变式11-1】（多选）（24-25高二上·浙江杭州·期中）中国篮球职业联赛（CBA）中，某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况（不包括罚球）如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球次数 100 55 18 记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高二下·上海·期中）在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有 个． 【变式11-3】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 题型十二 生产、生活中的概率问题 【例12】（23-24高二·上海·课堂例题）把分奖金问题的三局两胜改为五局三胜，问： (1)在比分是的情况下，怎么分奖金公平？ (2)在比分是的情况下，怎么分奖金公平？ 【变式12-1】（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 【变式12-2】（2023·广西桂林·模拟预测）某机器由A，B，C三类元件构成，它们所占的比例分别为0.1，0.4，0.5，且它们发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2，现机器发生了故障，问：应从哪类元件开始检查？ 【变式12-3】（23-24高二·上海·课堂例题）社会调查人员总希望从对人群的随机抽样调查中得到对他们所提问题的诚实回答，但是被采访者常常不愿意如实做出应答．1965年，华纳（Stanley L. Warner）发明了一种应用概率知识来消除这种不愿意如实回答的情绪的方法．华纳的随机化应答方法要求人们随机地回答所提两个问题中的一个，而不必告诉采访者究竟回答的是哪个问题，在这两个问题中有一个是敏感的或者令人为难的，另一个则是无关紧要的．这样，应答者将乐意如实地回答问题，因为只有他自己知道回答的是哪个问题．例如，在调查运动员是否服用兴奋剂的时候，设计一个从袋中摸球的试验：袋中放有1黑1白两个大小与质地相同的小球，运动员从中随意摸出1个小球．无关紧要的问题是：你摸出的小球是白色的吗？而敏感的问题是：你服用过兴奋剂吗？然后要求被调查的运动员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．假设用这个方法调查了200名运动员，得到56个“是”的回答，请你估计这群运动员中大约有百分之几的人服用过兴奋剂． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$