第2讲 行程问题（二）(讲义+强化训练)---2025小升初数学热点考点通关宝典

第2讲行程问题（二）(强化训练) 一．选择题（共10小题） 1．一列火车长200米，以每分钟1200米的速度经过一座大桥，从车头进到车尾出一共用了2分钟．求桥的长度是多少米？正确的算式是（　　） A．1200×2+200 B．1200×2-200 C．（1200+200）×2 D．（1200-200）×2 2．一辆小汽车每秒行20米，刚驶入隧道时，发现一辆客车正在前面180米处行驶．如果两车速度保持不变，1.5分钟后两车同时驶出隧道，那么客车每秒行驶（　　）米． A．10 B．16 C．18 D．20 3．铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时。这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟。这列火车的车身总长是（　　） A．22米 B．56米 C．781米 D．286米 4．一条街上，一个骑车人和一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每隔10分钟有一辆公交车超过一个行人．每隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车？（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 5．早上6时10分1路车和2路车同时发车，1路车每隔10分发一辆车，2路车每隔15分发一辆车，第二次同时发车的时间是（　　） A．6：20 B．6：30 C．6：40 D．6：50 6．一列快车和一列慢车相对而行，其中快车的车长200米，慢车的车长250米，坐在慢车上的旅客看到快车驶过其所在窗口的时间是6秒钟，坐在快车上的旅客看到慢车驶过其所在窗口的时间是多少秒钟？（　　） A．6秒钟 B．6.5秒钟 C．7秒钟 D．7.5秒钟 7．在正方形ABCD上，甲乙分别从AC同时出发，方向如图所示，乙的速度是甲的速度的4倍，第199次在哪条边相遇？（　　） A．AB边上 B．BC边上 C．CD边上 D．DA边上 8．明明和爸爸绕着环形跑道跑步，明明跑一圈要3分钟，爸爸跑一圈要6分钟，如果两人从n点同时出发顺时针跑步，跑步速度不变，那么可以表示9分钟后两人位置的图是（　　） A． B． C． D． 9．如图，花园内有一个圆形水池，若小明在圆心O点，爸爸在岸上A点。小明从O点出发，沿着半径向B点跑；同时爸爸从A点出发，沿着圆周跑。已知爸爸的速度是小明的3倍，那么（　　）会先到达B点。 ​ A．爸爸 B．小明 C．同时 D．不能确定 10．解决“小丽和爸爸沿240米长的圆形跑道散步。爸爸走完一圈要4分钟，小丽走完一圈要6分钟。两人同时同地出发，相背而行，几分钟后首次相遇？”这个问题，以下算式正确的是（　　） A． B．240÷（4+6） C．1÷（240÷4+240÷6） D． 二．填空题（共5小题） 11．爸爸和欣欣都沿着一圆形花坛周围散步，爸爸走一圈4分钟，欣欣走一圈要5分钟。若两个人同向而行，则 ______分钟后两人会再次相遇。 12．可可和园园沿着一个长为90米，宽为45米的长方形广场赛跑，他们同时从点A出发，沿着顺时针方向跑，当可可跑回A点时，园园才跑到B点，他还需要跑9秒才能到达A点，可可每秒跑 ______米。 13．如图，科技人员正用玩具火车和玩具隧道实验，已知火车长6米，而火车完全通过隧道需要8秒，在某一光照处火车被光照射的时间为2秒。那么一辆照同样速度通行的9米火车过隧道需要 ______秒。 14．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车，则电车总站每隔 ______分钟开出一辆电车。 15．一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上又遇上了8辆迎面开来的电车，才到达甲站.这时候恰好又有电车从甲站开出，他从乙站到甲站走了______分钟。 三．应用题（共7小题） 16．在一条马路上，小智骑车与小慧同向而行，小智骑车的速度是小慧步行速度的3倍。他们发现每隔10分钟有一辆公交车超过小慧，每隔20分钟有一辆公交车超过小智。如果公交车从始发站每次间隔相同的时间发一辆车，且每辆车的速度相同，则相邻两车发车的间隔时间是多少分钟？ 17． 圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈，不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？ 18． 甲、乙两人在2千米环形道路的同一地点、同方向、同时出发，并要同时完成绕行2周。由于只有一辆自行车，所以最初由甲骑着出发，途中放下自行车，剩下的路步行：乙最初步行，途中骑上甲放下的自行车，行完剩下的路程。已知步行速度甲为5千米/时，乙为4千米/时，骑自行车速度甲为20千米/时，乙为15千米/时。绕完2周需要多少时间？甲骑行了多少千米将自行车放下？ 19． 火车通过大桥（或山洞）是以车头上桥（或山洞）开始，到车尾离桥（或山洞）结束。一列火车长225米，每秒行驶35米，全车要通过一条长650米的大桥，需要多少秒？ 20． 一座大桥全长6790米，一列火车通过大桥时每分钟行驶605米，这列火车从车头开上大桥到车尾离开大桥共需要12分钟。这列火车车身长多少米？ 21． 小明家在颐和园，如果骑车到人大附中，每隔3分钟就能见到一辆332路公共汽车迎面开来；如果步行到人大附中，每隔4分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来。已知任意两辆332路汽车的发车间隔都是一样的，并且小明骑车速度是小明步行速度的3倍，那么如果小明坐332路汽车到人大附中的话，每隔几分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来？ 22． 甲、乙两站每天上午9点到12点，每隔30分钟同时相向发出一辆公交车，由于从甲站到乙站是上坡路，所以公交车从甲站到乙站单程需要60分钟，从乙站到甲站单程需要45分钟。9：30、12：00从甲站发车的司机在途中（不考虑终点处）分别能看到多少辆从乙站开来的公交车？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 行程问题（二） 考点目录 1、环形跑道问题 2 2、列车过桥问题 5 3、发车间隔问题 7 4、错车问题 10 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 环形跑道问题 ★★★ ★★★ 列车过桥问题 ★★ ★★★★ 发车间隔问题 ★★ ★★★★ 错车问题 ★★ ★★★ 【考情分析】考查行程问题常以选择填空题和应用题的形式出现，其中应用题出现的比例又较高。主要命题点有：相遇问题、追及问题、流水问题、多次相遇问题、环形跑道问题、列车过桥问题等问题 热点突破1 关键知识 环形跑道问题 1． 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈． 环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程-甲程=跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程=跑道长． 2．解题方法： （1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差 （2）简单题利用公式 （3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差． 典型例题 例1： 例1：环绕小山一周的公路长1920米，甲、乙两人沿公路竞走，两人同时同地出发，反方向行走，甲比乙走得快，12分钟后两人相遇．如果两人每分钟多走16米，则相遇地点与前次相差20米． （1）求甲乙两人原来的行走速度． （2）如果甲、乙两人各以原速度同时同地出发，同向行走，则甲在何处第二次追上乙？ 【分析】（1）根据题干不难得出甲乙的速度之和是：1920÷12=160米/分；则提高速度后的速度之和就是160+16+16=192米/分，所以提高速度后甲乙二人相遇的时间是：1920÷192=10分钟； 因为甲的速度较快，提高速度之后，二人行走的时间变短，所以甲比原来少走了20米，由此设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是x+16米/分，由此根据，即可列出方程，求出x的值即可解答． （2）甲第二次追上乙时，比乙多走了两周，用两周的路程除以速度差即可得走的时间，用甲的速度乘以时间再除以一周的路程，余数即是离出发点的距离． 【解答】（1）甲乙原来的速度之和是：1920÷12=160（米）， 提高速度之后的速度之和是：160+16+16=192（米）， 所以提高速度之后二人相遇的时间是：1920÷192=10（分钟）， 设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是（x+16）米/分，根据题意可得方程： 12x-10（x+16）=20， 12x-10x-160=20， 2x=180， x=90， 则乙原来的速度是：160-90=70（米/分）， 答：甲原来的速度是90米/分，乙原来的速度是70米/分； （2）1920×2÷（90-70） =1920×2÷20 =192（分）， 192×90÷1920=9，说明正好在出发点． 答：甲在出发点第二次追上乙． 【点评】本题考查了环形跑道问题．解答此题的关键是根据甲乙第一次相遇的时间求出甲乙的速度之和，从而得出第二次相遇的时间，设出甲的速度，利用甲前后两次行走的路程之差即可列出方程解决问题． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024•重庆模拟）电子猫在周长240米的环形跑道上跑了一圈，前一半时间每秒是跑5米，后一半的时间每秒跑3米，电子猫后120米用了（　　）秒． A．40 B．25 C．30 D．36 【跟踪训练2】（2024春•江阴市期末）小小和妈妈沿着圆形花坛散步。小小走一圈用12分钟，妈妈走一圈用8分钟。如果两人同时同地出发，相背而行，走了16分钟后，两人的位置是下面的图（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练3】（2025春•江岸区期中）一个环形跑道长240m,小刚、小冬、小军三人从同一地点同时同方向跑步。小刚的速度是5米/秒，小冬的速度是4米/秒，小军的速度是6米/秒。至少经过 ______分钟。三人在原出发点相遇。 【跟踪训练4】（2024•资中县）A、B是圆形跑道直径的两端，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人第一次相遇时，相遇地点距离A地360米，两人按照原速度继续前行，甲经过B地后再与乙第二次相遇，相遇地点距离B地120米，这个圆形跑道的周长是______米。 【跟踪训练5】（2025•重庆模拟）甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。 【跟踪训练6】（2024春•雨花台区校级期中）可可和乐乐绕一条长400米的环形跑道跑步锻炼身体，他们同时从同一地点出发，向相反方向跑去，可可的速度是6米/秒，乐乐的速度是4米/秒。30秒后两人相遇了吗？如果没有相遇，两人还相距多少米？ 热点突破2 关键知识 列车过桥问题 （1）火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和． （2）火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和． （3）火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度． 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行． 典型例题 例1： 例1：一列火车长200米，以每分钟1200米的速度经过一座大桥，从车头进到车尾出一共用了2分钟．求桥的长度是多少米？正确的算式是（　　） A、1200×2+200        B、1200×2-200        C、（1200+200）×2        D、（1200-200）×2 【分析】从车头上桥到车尾离开桥一共用2分钟，则火车等于是跑了桥的全长加车的长度，于是，我们用2分钟所行驶的距离再减去车长200米就是桥的长度． 【解答】1200×2-200 =2400-200 =2200（米）， 故选：B． 【点评】解答此题的关键是知道：火车过桥走过的路程=桥长+车身长，再根据基本的数量关系解决问题． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024春•宿城区期中）一列长200米的火车，每秒行驶32米，这列火车经过大桥时，从车头上桥到车尾离桥一共用了39秒。这座大桥长（　　）米。 A．1048 B．1248 C．1448 【跟踪训练2】（2024•雨城区校级模拟）一列火车长200米，它以72km/h的速度经过一座大桥，从车头上桥到车尾离开桥一共用了2分钟，求桥长是多少米的算式正确的是（　　） A．1200×2-200 B．1200×2+200 C．（1200+200）×2 D．（1200-200）×2 【跟踪训练3】（2025春•鼓楼区期中）一座大桥长3200米，一列火车以850米/分的速度行驶，从车头上桥到车尾离开桥共用了4分钟。这列火车长 ______米。 【跟踪训练4】（2024•重庆模拟）一个9车的婚车车队以每秒6米的速度通过一座长153米的大桥，已知每辆车长5米，每辆车之间间隔3米，通过这座桥需要 ______秒。 【跟踪训练5】（2024•商水县模拟）某小学组织学生去参观科技展览，346人排成两路纵队，相邻两排相距0.5米，队伍每分钟走65米。现在要通过一座长889米的桥，从排头2人上桥到排尾2人离开桥共需多少分钟？ 【跟踪训练6】（2023秋•西湖区期末）某校五年级同学去参观展览。342人排成两路纵队，前后相邻两人各相距0.4米，队伍每分钟走60米。现在要过一座桥，从排头两人上桥到排尾两人离开，共需9.8分钟。桥长多少米？ 热点突破3 关键知识 发车间隔问题 （1）一般间隔发车问题．用3个公式迅速作答； 汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔 汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔 汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔 （2）求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数． 标准方法是：画图--尽可能多的列3个好使公式--结合s全程=v×t--结合植树问题数数． （3）当出现多次相遇和追及问题--柳卡． 典型例题 例1： 例1：公交车从甲站到乙站每间隔5分钟一趟，全程走15分钟，某人骑自行车从乙站往甲站行走，开始时恰好遇见一辆公交车，行走过程中又遇见10辆，到甲站时又一辆公交车要出发，这人走了（　　）分钟． A、35           B、40           C、50          D、45 【分析】因为是相向而行，所以骑自行车的时间加上公交车的时间应等于（10+1）×5=55（分钟），又因为公交车走全程需15分钟，所以骑自行车的时间为：55-15=40（分钟） 【解答】由题意可得 （10+1）×5-15 =55-15 =40（分钟）． 答：他从乙站到甲站共用了40分钟． 故选：B． 【点评】此题属于多次相遇问题，考查了学生“相向而行”这一知识点，以及分析问题的能力． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024春•肃北县期中）公交车从甲站到乙站每隔5分钟开出一辆，全程行驶40分钟，某人骑自行车从乙站到甲站，开始出发时恰好遇见一辆公交车，骑行过程中又遇见12辆，到甲站时又遇见一辆公交车刚要出发，这个人从乙站到甲站骑行的时间是（　　） A．65分钟 B．60分钟 C．70分钟 D．72分钟 【跟踪训练2】（2021•泰安模拟）公交车从甲站到乙站每间隔5分钟一趟，全程走15分钟，某人骑自行车从乙站往甲站行走，开始时恰好遇见一辆公交车，行走过程中又遇见10辆，到甲站时又一辆公交车要出发，这人走了（　　）分钟． A．35 B．40 C．50 D．45 【跟踪训练3】（2023春•成华区期末）汽车每隔15分钟开出一班，哥哥想乘9时10分的一班车，但到站时，已是9时20分，那么他要等______分钟才能乘上下一班车． 【跟踪训练4】（2024•江北区校级模拟）从电车总站每隔一定时间开出一辆电车，甲与乙两人在一条街上反方向步行，甲沿电车发车方向每分钟步行60米，每隔20分钟有一辆电车从后方超过自己；乙每分钟步行80米，每隔10分遇上迎面开来的一辆电车，那么电车总站每隔 ______分钟开出一辆电车。 【跟踪训练5】（2024•渝北区）一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的4倍，每隔8分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？ 【跟踪训练6】（2024•宁波模拟）在一条马路上，小智骑车与小慧同向而行，小智骑车的速度是小慧步行速度的3倍。他们发现每隔10分钟有一辆公交车超过小慧，每隔20分钟有一辆公交车超过小智。如果公交车从始发站每次间隔相同的时间发一辆车，且每辆车的速度相同，则相邻两车发车的间隔时间是多少分钟？ 热点突破4 关键知识 错车问题 多次相遇的基本公式和方法计算： 距离、列车错车问题最终都是转化为直线上的相遇或追及问题；相向而行错车相当于相遇问题，同向而行错车相当于追及问题．但在实际解题过程中我们会发现：同样是错车，如果给出的题设条件不同，则错车时所计算的路程与车长有关． 典型例题 例1： 例1：甲、乙两人在铁路旁边以同样的速度沿铁路方向相向而行，恰好有一列火车开来，整列火车经过甲身边用了18秒，2分后又用了15秒从乙身边开过． 问：（1）火车速度是甲的速度的几倍？ （2）火车经过乙身后，甲、乙两人还需要多少时间才能相遇？ 【分析】（1）设火车的长度为S，火车速度为V1，甲乙的速度为V2，因为火车经过甲用的时间长，所以甲与火车同向而行，而乙与火车相对而行；则火车经过甲的速度为V1-V2，经过乙的速度V1+V2，由于经过的距离同是火车的长度，由此可得：（V1-V2）×18=（V1+V2）×15，整理后得：V1=11V2，即火车速度为甲的速度的11倍． （2）经过甲后，火车行了2分钟即120秒才与乙相遇，当火车经过了乙，火车一共行驶了120+15秒=135秒．此时甲行走了135秒，火车在此时间段行走了135×V1的路程，甲走了135×V2的路程．那么火车经过乙以后甲乙之间的距离为135V1-135V2=1350V2．所以甲乙走这段路程所需要的时间为1350V2÷（V2+V2）=675秒．即火车经过乙675秒后甲乙两人相遇． 【解答】（1）设火车的长度为S，火车速度为V1，甲乙的速度为V2，由此可得： （V1-V2）×18=（V1+V2）×15 18V1-18V2=15V1+15V2， 3V1=33V2， V1=11V2． 答：火车速度为甲的速度的11倍． （2）2分钟=120秒， 135V1-135V2 =135×11V2-135V2， =1485V2-135V2， =1350V2． 1350V2÷（V2+V2）， =1350V2÷2V2， =675（秒）． 答：火车经过乙身后，甲、乙工人还需要675秒才能相遇． 【点评】本题为相遇问题与追及问题的综合，完成问题（2）时要注意从火车经过的距离中减去甲行的距离． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024•中原区）一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是270米，慢车的车长是360米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是12秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是（　　）秒。 A．9 B．10 C．11 D．12 【跟踪训练2】（2023•涪城区）一列快车和一列慢车相对而行，其中快车的车长200米，慢车的车长250米，坐在慢车上的旅客看到快车驶过其所在窗口的时间是6秒钟，坐在快车上的旅客看到慢车驶过其所在窗口的时间是多少秒钟？（　　） A．6秒钟 B．6.5秒钟 C．7秒钟 D．7.5秒钟 【跟踪训练3】（2024•渝北区）张良沿一公路徒步，速度为每小时4.2千米。沿该路的公共汽车每36分钟就有一辆车从后面超过他。每12分钟就又遇到迎面开来的一辆车，如果公共汽车按相等的时间间隔，以同一速度前行，那么，公共汽车发出时间间隔是 ______。 【跟踪训练4】（2024•新绛县）一列火车长152米，它的速度是每小时63.36公里，一个人与火车相向而行，全列火车从他身边开过用8秒钟，这个人的步行速度是每秒 ______米。 【跟踪训练5】（2024•沙坪坝区）小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，这时从他后面开过来一列火车，从车头遇到小李到车尾经过他身旁共用了21秒。已知火车全长336米，求火车的速度。 【跟踪训练6】（2024•双流区）从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。则电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 12 页 第 2 讲 行程问题（二） 1、环形跑道问题.....................................................2 2、列车过桥问题.....................................................5 3、发车间隔问题.....................................................7 4、错车问题........................................................10 热点考点 考查频率 考点难度 环形跑道问题 ★★★ ★★★ 列车过桥问题 ★★ ★★★★ 发车间隔问题 ★★ ★★★★ 错车问题 ★★ ★★★ 【考情分析】考查行程问题常以选择填空题和应用题的形式出现，其中应用题出现的比例又较高。主要 命题点有：相遇问题、追及问题、流水问题、多次相遇问题、环形跑道问题、列车过桥问题等问题 考点目录 热点透析 考情透析 第 2 页 共 12 页 环形跑道问题 1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次 相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次 （每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈． 环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程-甲程=跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程=跑 道长． 2．解题方法： （1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时， “多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背 向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点， 准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我 们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程 差．比如“用 10 秒钟快比慢多跑 100 米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常 用到的，通过路程差求速度差 （2）简单题利用公式 （3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就 找路程和，追击问题就找路程差． 例 1： 例 1：环绕小山一周的公路长 1920 米，甲、乙两人沿公路竞走，两人同时同地出发，反方向 行走，甲比乙走得快，12分钟后两人相遇．如果两人每分钟多走 16米，则相遇地点与前次相 差 20米． （1）求甲乙两人原来的行走速度． （2）如果甲、乙两人各以原速度同时同地出发，同向行走，则甲在何处第二次追上乙？ 热点突破 1 关键知识 典型例题 第 3 页 共 12 页 【分析】（1）根据题干不难得出甲乙的速度之和是：1920÷12=160 米/分；则提高速度后的 速度之和就是 160+16+16=192米/分，所以提高速度后甲乙二人相遇的时间是：1920÷192=10 分钟； 因为甲的速度较快，提高速度之后，二人行走的时间变短，所以甲比原来少走了 20 米，由此 设甲原来的速度是 x 米/分，则提高速度后，甲的速度是 x+16 米/分，由此根据，即可列出方 程，求出 x的值即可解答． （2）甲第二次追上乙时，比乙多走了两周，用两周的路程除以速度差即可得走的时间，用甲 的速度乘以时间再除以一周的路程，余数即是离出发点的距离． 【解答】（1）甲乙原来的速度之和是：1920÷12=160（米）， 提高速度之后的速度之和是：160+16+16=192（米）， 所以提高速度之后二人相遇的时间是：1920÷192=10（分钟）， 设甲原来的速度是 x 米/分，则提高速度后，甲的速度是（x+16）米/分，根据题意可得方程： 12x-10（x+16）=20， 12x-10x-160=20， 2x=180， x=90， 则乙原来的速度是：160-90=70（米/分）， 答：甲原来的速度是 90米/分，乙原来的速度是 70米/分； （2）1920×2÷（90-70） =1920×2÷20 =192（分）， 192×90÷1920=9，说明正好在出发点． 答：甲在出发点第二次追上乙． 【点评】本题考查了环形跑道问题．解答此题的关键是根据甲乙第一次相遇的时间求出甲乙的 速度之和，从而得出第二次相遇的时间，设出甲的速度，利用甲前后两次行走的路程之差即可 列出方程解决问题． 【跟踪训练 1】（2024•重庆模拟）电子猫在周长 240米的环形跑道上跑了一圈，前一半时间 跟踪训练 第 4 页 共 12 页 每秒是跑 5米，后一半的时间每秒跑 3米，电子猫后 120米用了（　　）秒． A．40 B．25 C．30 D．36 【跟踪训练 2】（2024春•江阴市期末）小小和妈妈沿着圆形花坛散步。小小走一圈用 12分 钟，妈妈走一圈用 8分钟。如果两人同时同地出发，相背而行，走了 16分钟后，两人的位置 是下面的图（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练 3】（2025春•江岸区期中）一个环形跑道长 240m,小刚、小冬、小军三人从同一 地点同时同方向跑步。小刚的速度是 5米/秒，小冬的速度是 4米/秒，小军的速度是 6米/ 秒。至少经过 ______分钟。三人在原出发点相遇。 【跟踪训练 4】（2024•资中县）A、B是圆形跑道直径的两端，甲、乙两人分别从 A、B两地 同时出发，相向而行，两人第一次相遇时，相遇地点距离 A地 360米，两人按照原速度继续 前行，甲经过 B地后再与乙第二次相遇，相遇地点距离 B地 120米，这个圆形跑道的周长是 ______米。 【跟踪训练 5】（2025•重庆模拟）甲、乙两人沿 400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道 的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加 2米/秒，乙比原来速度减少 2米/ 秒，结果都用 24秒同时回到原地。求甲原来的速度。 【跟踪训练 6】（2024春•雨花台区校级期中）可可和乐乐绕一条长 400米的环形跑道跑步锻 第 5 页 共 12 页 炼身体，他们同时从同一地点出发，向相反方向跑去，可可的速度是 6米/秒，乐乐的速度是 4米/秒。30秒后两人相遇了吗？如果没有相遇，两人还相距多少米？ 列车过桥问题 （1）火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身 长度之和． （2）火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时， 两者路程和则为两车身长度之和． （3）火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么 他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度． 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类 型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行． 例 1： 例 1：一列火车长 200 米，以每分钟 1200 米的速度经过一座大桥，从车头进到车尾出一共用 了 2分钟．求桥的长度是多少米？正确的算式是（　　） 热点突破 2 关键知识 典型例题 第 6 页 共 12 页 A、1200×2+200 B、1200×2-200 C、（1200+200）×2 D、（1200-200）×2 【分析】从车头上桥到车尾离开桥一共用 2分钟，则火车等于是跑了桥的全长加车的长度，于 是，我们用 2分钟所行驶的距离再减去车长 200米就是桥的长度． 【解答】1200×2-200 =2400-200 =2200（米）， 故选：B． 【点评】解答此题的关键是知道：火车过桥走过的路程=桥长+车身长，再根据基本的数量关系 解决问题． 【跟踪训练 1】（2024春•宿城区期中）一列长 200米的火车，每秒行驶 32米，这列火车经 过大桥时，从车头上桥到车尾离桥一共用了 39秒。这座大桥长（　　）米。 A．1048 B．1248 C．1448 【跟踪训练 2】（2024•雨城区校级模拟）一列火车长 200米，它以 72km/h的速度经过一座大 桥，从车头上桥到车尾离开桥一共用了 2分钟，求桥长是多少米的算式正确的是（　　） A．1200×2-200 B．1200×2+200 C．（1200+200）×2 D．（1200-200）×2 【跟踪训练 3】（2025春•鼓楼区期中）一座大桥长 3200米，一列火车以 850米/分的速度行 驶，从车头上桥到车尾离开桥共用了 4分钟。这列火车长 ______米。 【跟踪训练 4】（2024•重庆模拟）一个 9车的婚车车队以每秒 6米的速度通过一座长 153米 的大桥，已知每辆车长 5米，每辆车之间间隔 3米，通过这座桥需要 ______秒。 【跟踪训练 5】（2024•商水县模拟）某小学组织学生去参观科技展览，346人排成两路纵 队，相邻两排相距 0.5米，队伍每分钟走 65米。现在要通过一座长 889米的桥，从排头 2人 上桥到排尾 2人离开桥共需多少分钟？ 跟踪训练 第 7 页 共 12 页 【跟踪训练 6】（2023秋•西湖区期末）某校五年级同学去参观展览。342人排成两路纵队， 前后相邻两人各相距 0.4米，队伍每分钟走 60米。现在要过一座桥，从排头两人上桥到排尾 两人离开，共需 9.8分钟。桥长多少米？ 发车间隔问题 （1）一般间隔发车问题．用 3个公式迅速作答； 汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔 汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔 汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔 热点突破 3 关键知识 第 8 页 共 12 页 （2）求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数． 标准方法是：画图--尽可能多的列 3个好使公式--结合 s全程=v×t--结合植树问题数数． （3）当出现多次相遇和追及问题--柳卡． 例 1： 例 1：公交车从甲站到乙站每间隔 5 分钟一趟，全程走 15 分钟，某人骑自行车从乙站往甲站 行走，开始时恰好遇见一辆公交车，行走过程中又遇见 10 辆，到甲站时又一辆公交车要出发， 这人走了（　　）分钟． A、35 B、40 C、50 D、45 【分析】因为是相向而行，所以骑自行车的时间加上公交车的时间应等于（10+1）×5=55（分 钟），又因为公交车走全程需 15分钟，所以骑自行车的时间为：55-15=40（分钟） 【解答】由题意可得 （10+1）×5-15 =55-15 =40（分钟）． 答：他从乙站到甲站共用了 40分钟． 故选：B． 【点评】此题属于多次相遇问题，考查了学生“相向而行”这一知识点，以及分析问题的能 力． 【跟踪训练 1】（2024春•肃北县期中）公交车从甲站到乙站每隔 5分钟开出一辆，全程行驶 40分钟，某人骑自行车从乙站到甲站，开始出发时恰好遇见一辆公交车，骑行过程中又遇见 12辆，到甲站时又遇见一辆公交车刚要出发，这个人从乙站到甲站骑行的时间是（　　） A．65分钟 B．60分钟 C．70分钟 D．72分钟 【跟踪训练 2】（2021•泰安模拟）公交车从甲站到乙站每间隔 5分钟一趟，全程走 15分钟， 某人骑自行车从乙站往甲站行走，开始时恰好遇见一辆公交车，行走过程中又遇见 10辆，到 甲站时又一辆公交车要出发，这人走了（　　）分钟． A．35 B．40 C．50 D．45 跟踪训练 典型例题 第 9 页 共 12 页 【跟踪训练 3】（2023春•成华区期末）汽车每隔 15分钟开出一班，哥哥想乘 9时 10分的一 班车，但到站时，已是 9时 20分，那么他要等______分钟才能乘上下一班车． 【跟踪训练 4】（2024•江北区校级模拟）从电车总站每隔一定时间开出一辆电车，甲与乙两 人在一条街上反方向步行，甲沿电车发车方向每分钟步行 60米，每隔 20分钟有一辆电车从 后方超过自己；乙每分钟步行 80米，每隔 10分遇上迎面开来的一辆电车，那么电车总站每 隔 ______分钟开出一辆电车。 【跟踪训练 5】（2024•渝北区）一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步 行人速度的 4倍，每隔 8分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔 10分钟有一辆公共汽车超过 骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？ 【跟踪训练 6】（2024•宁波模拟）在一条马路上，小智骑车与小慧同向而行，小智骑车的速 度是小慧步行速度的 3倍。他们发现每隔 10分钟有一辆公交车超过小慧，每隔 20分钟有一 辆公交车超过小智。如果公交车从始发站每次间隔相同的时间发一辆车，且每辆车的速度相 同，则相邻两车发车的间隔时间是多少分钟？ 第 10 页 共 12 页 错车问题 多次相遇的基本公式和方法计算： 距离、列车错车问题最终都是转化为直线上的相遇或追及问题；相向而行错车相当于相遇问 题，同向而行错车相当于追及问题．但在实际解题过程中我们会发现：同样是错车，如果给 出的题设条件不同，则错车时所计算的路程与车长有关． 例 1： 例 1：甲、乙两人在铁路旁边以同样的速度沿铁路方向相向而行，恰好有一列火车开来，整 列火车经过甲身边用了 18秒，2分后又用了 15秒从乙身边开过． 问：（1）火车速度是甲的速度的几倍？ （2）火车经过乙身后，甲、乙两人还需要多少时间才能相遇？ 【分析】（1）设火车的长度为 S，火车速度为 V1，甲乙的速度为 V2，因为火车经过甲用的时 间长，所以甲与火车同向而行，而乙与火车相对而行；则火车经过甲的速度为 V1-V2，经过乙 的速度 V1+V2，由于经过的距离同是火车的长度，由此可得：（V1-V2）×18=（V1+V2）×15， 整理后得：V1=11V2，即火车速度为甲的速度的 11倍． （2）经过甲后，火车行了 2分钟即 120秒才与乙相遇，当火车经过了乙，火车一共行驶了 120+15秒=135秒．此时甲行走了 135秒，火车在此时间段行走了 135×V1的路程，甲走了 热点突破 4 关键知识 典型例题 第 11 页 共 12 页 135×V2的路程．那么火车经过乙以后甲乙之间的距离为 135V1-135V2=1350V2．所以甲乙走这 段路程所需要的时间为 1350V2÷（V2+V2）=675秒．即火车经过乙 675秒后甲乙两人相遇． 【解答】（1）设火车的长度为 S，火车速度为 V1，甲乙的速度为 V2，由此可得： （V1-V2）×18=（V1+V2）×15 18V1-18V2=15V1+15V2， 3V1=33V2， V1=11V2． 答：火车速度为甲的速度的 11倍． （2）2分钟=120秒， 135V1-135V2 =135×11V2-135V2， =1485V2-135V2， =1350V2． 1350V2÷（V2+V2）， =1350V2÷2V2， =675（秒）． 答：火车经过乙身后，甲、乙工人还需要 675秒才能相遇． 【点评】本题为相遇问题与追及问题的综合，完成问题（2）时要注意从火车经过的距离中减 去甲行的距离． 【跟踪训练 1】（2024•中原区）一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是 270米，慢车 的车长是 360米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是 12秒，那么坐在慢车上的人看见快 车驶过的时间是（　　）秒。 A．9 B．10 C．11 D．12 【跟踪训练 2】（2023•涪城区）一列快车和一列慢车相对而行，其中快车的车长 200米，慢 车的车长 250米，坐在慢车上的旅客看到快车驶过其所在窗口的时间是 6秒钟，坐在快车上 的旅客看到慢车驶过其所在窗口的时间是多少秒钟？（　　） 跟踪训练 第 12 页 共 12 页 A．6秒钟 B．6.5秒钟 C．7秒钟 D．7.5秒钟 【跟踪训练 3】（2024•渝北区）张良沿一公路徒步，速度为每小时 4.2千米。沿该路的公共 汽车每 36分钟就有一辆车从后面超过他。每 12分钟就又遇到迎面开来的一辆车，如果公共 汽车按相等的时间间隔，以同一速度前行，那么，公共汽车发出时间间隔是 ______。 【跟踪训练 4】（2024•新绛县）一列火车长 152米，它的速度是每小时 63.36公里，一个人 与火车相向而行，全列火车从他身边开过用 8秒钟，这个人的步行速度是每秒 ______米。 【跟踪训练 5】（2024•沙坪坝区）小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度 是 2米/秒，这时从他后面开过来一列火车，从车头遇到小李到车尾经过他身旁共用了 21 秒。已知火车全长 336米，求火车的速度。 【跟踪训练 6】（2024•双流区）从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条 街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行 82米，每隔 10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每 分钟步行 60米，每隔 10分 15秒遇上迎面开来的一辆电车。则电车总站每隔多少分钟开出一 辆电车？ 第2讲 行程问题（二） 考点目录 1、环形跑道问题 2 2、列车过桥问题 7 3、发车间隔问题 11 4、错车问题 15 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 环形跑道问题 ★★★ ★★★ 列车过桥问题 ★★ ★★★★ 发车间隔问题 ★★ ★★★★ 错车问题 ★★ ★★★ 【考情分析】考查行程问题常以选择填空题和应用题的形式出现，其中应用题出现的比例又较高。主要命题点有：相遇问题、追及问题、流水问题、多次相遇问题、环形跑道问题、列车过桥问题等问题 热点突破1 关键知识 环形跑道问题 1． 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈． 环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程-甲程=跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程=跑道长． 2．解题方法： （1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差 （2）简单题利用公式 （3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差． 典型例题 例1： 例1：环绕小山一周的公路长1920米，甲、乙两人沿公路竞走，两人同时同地出发，反方向行走，甲比乙走得快，12分钟后两人相遇．如果两人每分钟多走16米，则相遇地点与前次相差20米． （1）求甲乙两人原来的行走速度． （2）如果甲、乙两人各以原速度同时同地出发，同向行走，则甲在何处第二次追上乙？ 【分析】（1）根据题干不难得出甲乙的速度之和是：1920÷12=160米/分；则提高速度后的速度之和就是160+16+16=192米/分，所以提高速度后甲乙二人相遇的时间是：1920÷192=10分钟； 因为甲的速度较快，提高速度之后，二人行走的时间变短，所以甲比原来少走了20米，由此设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是x+16米/分，由此根据，即可列出方程，求出x的值即可解答． （2）甲第二次追上乙时，比乙多走了两周，用两周的路程除以速度差即可得走的时间，用甲的速度乘以时间再除以一周的路程，余数即是离出发点的距离． 【解答】（1）甲乙原来的速度之和是：1920÷12=160（米）， 提高速度之后的速度之和是：160+16+16=192（米）， 所以提高速度之后二人相遇的时间是：1920÷192=10（分钟）， 设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是（x+16）米/分，根据题意可得方程： 12x-10（x+16）=20， 12x-10x-160=20， 2x=180， x=90， 则乙原来的速度是：160-90=70（米/分）， 答：甲原来的速度是90米/分，乙原来的速度是70米/分； （2）1920×2÷（90-70） =1920×2÷20 =192（分）， 192×90÷1920=9，说明正好在出发点． 答：甲在出发点第二次追上乙． 【点评】本题考查了环形跑道问题．解答此题的关键是根据甲乙第一次相遇的时间求出甲乙的速度之和，从而得出第二次相遇的时间，设出甲的速度，利用甲前后两次行走的路程之差即可列出方程解决问题． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024•重庆模拟）电子猫在周长240米的环形跑道上跑了一圈，前一半时间每秒是跑5米，后一半的时间每秒跑3米，电子猫后120米用了（　　）秒． A．40 B．25 C．30 D．36 【答案】D 【分析】由于他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑3米，所以他的平均速度为（3+5）÷2=4米/秒，则他跑一圈需要时间为（240÷4=60）秒，则一半时间为（60÷2=30）秒，他前30秒共跑了（5×30=150）米，一半路程为（240÷2=120）米，所以后一半路程用每秒5米的速度跑的长度为（150-120=30）米，用时（30÷5=6）秒，用每秒3米跑的长度为（120-30=90）米，用时（90÷3=30）秒，所以后一半路程共用时（6+30=36）秒。 【解答】解：跑一圈需要时间为： 240÷[（3+5）÷2] =240÷[8÷2] =240÷4 =60（秒） 前一半时间跑的长度为： 60÷2×5=150（米） 则后一半路程中用每秒5米的速度跑的时间为： （150-240÷2）÷5 =（150-120）÷5 =30÷5 =6（秒） 用每秒3米的速度跑的时间为： （120-30）÷3 =90÷3 =30（秒） 所以后一半路程共用时：6+30=36（秒） 答：电子猫后120米跑了36秒。 故选：D。 【跟踪训练2】（2024春•江阴市期末）小小和妈妈沿着圆形花坛散步。小小走一圈用12分钟，妈妈走一圈用8分钟。如果两人同时同地出发，相背而行，走了16分钟后，两人的位置是下面的图（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把圆形花坛的周长看作单位“1”，小小走一圈用12分钟，平均每分钟走圈，妈妈走一圈用8分钟，平均每分钟走圈，根据速度和×时间=总路程，据此求出16分钟时两人走了多少圈，进而确定两人的位置，据此解答。 【解答】解：（+）×16 =×16 =3（圈） 因为两人16分钟走了3圈，所以两人相距圈的距离。 由此可以确定两人的位置在图象C的位置。 故选：C。 【跟踪训练3】（2025春•江岸区期中）一个环形跑道长240m,小刚、小冬、小军三人从同一地点同时同方向跑步。小刚的速度是5米/秒，小冬的速度是4米/秒，小军的速度是6米/秒。至少经过 ______分钟。三人在原出发点相遇。 【答案】4。 【分析】1、本题属于求几个数的最小公倍数，需要掌握求几个数的最小公倍数的方法： 2、根据路程、速度与时间的关系式，先求得小刚、小冬、小军三人跑1圈所用的时间分别是多少；3、然后再利用求最小公倍数的方法求得他们三人所用时间的最小公倍数，由此解答即可。 【解答】j解：小刚跑1圈所用的时间：240÷5=48（秒） 小冬跑1圈所用的时间：240÷4=60（秒） 小军跑1圈所用的时间：240÷6=40（秒） 48、40和60的最小公倍数是240。 240秒=4分钟 答：至少经过4分钟，三人在原出发点相遇。 故答案为：4。 【跟踪训练4】（2024•资中县）A、B是圆形跑道直径的两端，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人第一次相遇时，相遇地点距离A地360米，两人按照原速度继续前行，甲经过B地后再与乙第二次相遇，相遇地点距离B地120米，这个圆形跑道的周长是______米。 【答案】1920。 【分析】由图可知，相遇第一次，两人走了周长的一半；当两人第二次相遇时，相当于走了一个周长加上周长的一半，也就是三个周长的一半；每走一个周长的一半，甲就要走360米，则三个周长的一半，甲走了3×360=1080（米）；因为甲已经过了B地，所以甲走的路程减去120米，就是周长的一半，则用1080米减去120米，再乘2就是圆形跑道的周长。 【解答】解：（360×3-120）×2 =（1080-120）×2 =960×2 =1920（米） 答：这个圆形跑道的周长是1920米。 故答案为：1920。 【跟踪训练5】（2025•重庆模拟）甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。 【答案】7。 【分析】根据题意可知，甲与乙的速度和是（400÷24）米/秒，根据相遇前与相遇后速度和一定可知，甲的速度每秒增加2米后与乙原来的速度相同，设原来甲的速度是x米/秒，根据速度和列出方程求解即可。 【解答】解：400÷24=（米/秒） 设原来甲的速度是x米/秒。 x+x+2=   2x+2=       2x=         x=7 答：甲原来的速度是7米/秒。 【跟踪训练6】（2024春•雨花台区校级期中）可可和乐乐绕一条长400米的环形跑道跑步锻炼身体，他们同时从同一地点出发，向相反方向跑去，可可的速度是6米/秒，乐乐的速度是4米/秒。30秒后两人相遇了吗？如果没有相遇，两人还相距多少米？ 【答案】两人还没有相遇；100米。 【分析】两人在400米的环形跑道上跑步，他们同时从同一地点出发，向相反方向跑去。要知道30秒后两人是否相遇，根据路程=速度×时间，需要先算出30秒内两人一共跑的距离，再与400米比较大小即可。如果两人一共跑的距离大于400米，那么两人已经相遇过了。如果两人一共跑的距离小于400米，说明两人还没有相遇。 【解答】解：两人的速度和：6+4=10（米/秒） 10×30=300（米） 300＜400，所以两人还没有相遇。 400-300=100（米） 答：30秒后两人还没有相遇，两人还相距100米。 热点突破2 关键知识 列车过桥问题 （1）火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和． （2）火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和． （3）火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度． 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行． 典型例题 例1： 例1：一列火车长200米，以每分钟1200米的速度经过一座大桥，从车头进到车尾出一共用了2分钟．求桥的长度是多少米？正确的算式是（　　） A、1200×2+200        B、1200×2-200        C、（1200+200）×2        D、（1200-200）×2 【分析】从车头上桥到车尾离开桥一共用2分钟，则火车等于是跑了桥的全长加车的长度，于是，我们用2分钟所行驶的距离再减去车长200米就是桥的长度． 【解答】1200×2-200 =2400-200 =2200（米）， 故选：B． 【点评】解答此题的关键是知道：火车过桥走过的路程=桥长+车身长，再根据基本的数量关系解决问题． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024春•宿城区期中）一列长200米的火车，每秒行驶32米，这列火车经过大桥时，从车头上桥到车尾离桥一共用了39秒。这座大桥长（　　）米。 A．1048 B．1248 C．1448 【答案】A 【分析】根据“速度×时间=路程”可以求出火车39秒一共行驶的路程，这段路程包括桥长和车长，从中去掉车长就是桥长。 【解答】解：32×39-200 =1248-200 =1048（米） 答：这座大桥长1048米。 故选：A。 【跟踪训练2】（2024•雨城区校级模拟）一列火车长200米，它以72km/h的速度经过一座大桥，从车头上桥到车尾离开桥一共用了2分钟，求桥长是多少米的算式正确的是（　　） A．1200×2-200 B．1200×2+200 C．（1200+200）×2 D．（1200-200）×2 【答案】A 【分析】首先将72km/h换算为以米/分为单位的数，即72×1000÷60=1200（米/分），根据路程=速度×时间，列式1200×2求出火车2分钟行的路程是多少米，并把单位化成米；再减去这列火车车身的长，就是这座桥的长度，据此列式。 【解答】解：72×1000÷60=1200（米/分） 1200×2-200=2200（米） 答：桥长是2220米。 故选：A。 【跟踪训练3】（2025春•鼓楼区期中）一座大桥长3200米，一列火车以850米/分的速度行驶，从车头上桥到车尾离开桥共用了4分钟。这列火车长 ______米。 【答案】200。 【分析】从车头上桥到车尾离开桥一共用4分钟，则火车等于是跑了桥的全长加车的长度，于是我们用4分钟所行驶的距离再减去桥长3200米就是车身的长度。 【解答】解：4×850-3200 =3400-3200 =200（米） 答：这列火车车身长200米。 故答案为：200。 【跟踪训练4】（2024•重庆模拟）一个9车的婚车车队以每秒6米的速度通过一座长153米的大桥，已知每辆车长5米，每辆车之间间隔3米，通过这座桥需要 ______秒。 【答案】37。 【分析】由题干可知，用每辆车的长度乘9，求出9辆车一共有多长，用每辆车之间的间隔乘（9-1），求出9辆车之间一共有多少米，用9辆车一共的长度加上9辆车之间的间隔的长度，再加上桥的长度，求出9辆车要行驶的路程，再除以每秒的速度，即可求出通过这座桥需要多少秒。 【解答】解：5×9+3×（9-1）+153 =45+3×8+153 =45+24+153 =69+153 =222（米） 222÷6=37（秒） 答：通过这座桥需要37秒。 故答案为：37。 【跟踪训练5】（2024•商水县模拟）某小学组织学生去参观科技展览，346人排成两路纵队，相邻两排相距0.5米，队伍每分钟走65米。现在要通过一座长889米的桥，从排头2人上桥到排尾2人离开桥共需多少分钟？ 【答案】15分钟。 【分析】根据题意，我们可先求出排成两路纵队时每排的人数，进而根据人数的间隔求得纵队的长度，再得出排头2人上桥到排尾2人离开桥所要走的路程（即桥长+队伍长度），然后结合队伍的速度即可求出所用时间。由此解答。 【解答】解：346÷2=173（人） （173-1）×0.5=86（米） 86+889=975（米） 975÷65=15（分钟） 答：从排头2人上桥到排尾2人离开桥需要15分钟。 【跟踪训练6】（2023秋•西湖区期末）某校五年级同学去参观展览。342人排成两路纵队，前后相邻两人各相距0.4米，队伍每分钟走60米。现在要过一座桥，从排头两人上桥到排尾两人离开，共需9.8分钟。桥长多少米？ 【答案】520米。 【分析】每路纵队的人数是：342÷2=172（人），根据植树问题可求出队伍的长度是：0.4×（171-1）=68（米）；从排头两人上桥到排尾两人离开桥，行驶的路程应为桥长加队伍的长度，求出行驶的路程减去队伍的长度，得到的就是桥的长度。 【解答】解：每路纵队的人数是：342÷2=171（人） 队伍的长度是：0.4×（171-1） =0.4×170 =68（米） 60×9.8-68 =588-68 =520（米） 答：桥长520米。 热点突破3 关键知识 发车间隔问题 （1）一般间隔发车问题．用3个公式迅速作答； 汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔 汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔 汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔 （2）求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数． 标准方法是：画图--尽可能多的列3个好使公式--结合s全程=v×t--结合植树问题数数． （3）当出现多次相遇和追及问题--柳卡． 典型例题 例1： 例1：公交车从甲站到乙站每间隔5分钟一趟，全程走15分钟，某人骑自行车从乙站往甲站行走，开始时恰好遇见一辆公交车，行走过程中又遇见10辆，到甲站时又一辆公交车要出发，这人走了（　　）分钟． A、35           B、40           C、50          D、45 【分析】因为是相向而行，所以骑自行车的时间加上公交车的时间应等于（10+1）×5=55（分钟），又因为公交车走全程需15分钟，所以骑自行车的时间为：55-15=40（分钟） 【解答】由题意可得 （10+1）×5-15 =55-15 =40（分钟）． 答：他从乙站到甲站共用了40分钟． 故选：B． 【点评】此题属于多次相遇问题，考查了学生“相向而行”这一知识点，以及分析问题的能力． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024春•肃北县期中）公交车从甲站到乙站每隔5分钟开出一辆，全程行驶40分钟，某人骑自行车从乙站到甲站，开始出发时恰好遇见一辆公交车，骑行过程中又遇见12辆，到甲站时又遇见一辆公交车刚要出发，这个人从乙站到甲站骑行的时间是（　　） A．65分钟 B．60分钟 C．70分钟 D．72分钟 【答案】A 【分析】骑车人从开始和到站时一共遇到（12+2）辆公交车，可以看作两端都种树的植树问题，计算间隔数，然后计算从乙站到甲站骑行的时间。 【解答】解：一共遇到：12+2=14（辆）， （14-1）×5 =13×5 =65（分钟） 答：这个人从乙站到甲站骑行的时间是65分钟。 故选：A。 【跟踪训练2】（2021•泰安模拟）公交车从甲站到乙站每间隔5分钟一趟，全程走15分钟，某人骑自行车从乙站往甲站行走，开始时恰好遇见一辆公交车，行走过程中又遇见10辆，到甲站时又一辆公交车要出发，这人走了（　　）分钟． A．35 B．40 C．50 D．45 【答案】B 【分析】因为是相向而行，所以骑自行车的时间加上公交车的时间应等于（10+1）×5=55（分钟），又因为公交车走全程需15分钟，所以骑自行车的时间为：55-15=40（分钟）． 【解答】解：由题意可得 （10+1）×5-15 =55-15 =40（分钟）． 答：他从乙站到甲站共用了40分钟． 故选：B． 【跟踪训练3】（2023春•成华区期末）汽车每隔15分钟开出一班，哥哥想乘9时10分的一班车，但到站时，已是9时20分，那么他要等______分钟才能乘上下一班车． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“哥哥想乘9时10分的一班车，但到站时，已是9时20分，”说明9：10的车已经发车走了（20-10）10分钟，他要等下一班车需要的时间是：15-10=5（分钟），据此解答． 【解答】解：根据分析可得， 9时20分-9时10分=10分钟， 15-10=5（分钟）， 答：他要等5分钟才能乘上下一班车． 故答案为：5． 【跟踪训练4】（2024•江北区校级模拟）从电车总站每隔一定时间开出一辆电车，甲与乙两人在一条街上反方向步行，甲沿电车发车方向每分钟步行60米，每隔20分钟有一辆电车从后方超过自己；乙每分钟步行80米，每隔10分遇上迎面开来的一辆电车，那么电车总站每隔 ______分钟开出一辆电车。 【答案】14。 【分析】设电车的速度为x米/分钟，电车和甲属于追及问题，电车和乙属于相遇问题，初距离就是电车在间隔时间行的路程，这个距离是不变的，也就是电车和甲的追及距离（x-60）×20米，电车和乙的相遇距离（x+80）×10米，由此可得方程：（x-60）×20=（x+80）×10，求出速度，再求出电车在间隔时间行的路程，然后进一步解答即可。 【解答】解：设电车的速度为x米/分钟。 （x-60）×20=（x+80）×10      20x-1200=10x+800      10x=2000      x=200 （200-60）×20÷200 =2800÷200 =14（分钟） 答：电车总站每隔14分钟开出一辆电车。 故答案为：14。 【跟踪训练5】（2024•渝北区）一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的4倍，每隔8分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？ 【答案】7.5。 【分析】根据题意，我们可设步行人的速度为x米/分，则骑车人的速度为4x米/分，公共汽车的速度为y米/分；进而得出一方程8（y-x）=10（y-4x），整理得出：x：y=1：16；然后再根据两个未知数的关系，恰当设出步行人速度为1份，骑车人速度为4份，公共汽车速度为16份，进而用份数表示出“相邻两辆公共汽车之间的距离为：（16-1）×8=120份”，至此便可求出问题答案了。 【解答】解：设步行人的速度为x米/分，则骑车人的速度为4x米/分，公共汽车的速度为y米/分，得8（y-x）=10（y-4x）整理得：x：y=1：16若步行人速度为1份，则骑车人速度为4份，公共汽车速度为16份，得（16-1）×8=120； 120÷16=7.5（分钟） 答：间隔7.5分钟发一辆公共汽车。 故答案为：7.5。 【跟踪训练6】（2024•宁波模拟）在一条马路上，小智骑车与小慧同向而行，小智骑车的速度是小慧步行速度的3倍。他们发现每隔10分钟有一辆公交车超过小慧，每隔20分钟有一辆公交车超过小智。如果公交车从始发站每次间隔相同的时间发一辆车，且每辆车的速度相同，则相邻两车发车的间隔时间是多少分钟？ 【答案】8分钟。 【分析】本题可以看作两个追及问题分别是公交车和小慧，公交车和小智，设每两辆公交车间隔（即追及路程）为1，由此可以得出公交车与小慧的速度之差为：1÷10=，公交车与小智的速度差为：1÷20=；由此可求得小慧的速度为：（-）÷2=，由此即可解决问题。 【解答】解：设每两辆公交车间隔（即追及路程）为1； 由此可以得出公共汽车与小慧的速度之差为：1÷10=； 公共汽车与小智的速度差为：1÷20=； 因为小智骑车的速度是小慧步行速度的3倍； 所以小慧的速度为：（-）÷（3-1） =÷2 = 则公交车的速度是+= 1÷=8（分钟） 答：相邻两车发车的间隔时间是8分钟。 热点突破4 关键知识 错车问题 多次相遇的基本公式和方法计算： 距离、列车错车问题最终都是转化为直线上的相遇或追及问题；相向而行错车相当于相遇问题，同向而行错车相当于追及问题．但在实际解题过程中我们会发现：同样是错车，如果给出的题设条件不同，则错车时所计算的路程与车长有关． 典型例题 例1： 例1：甲、乙两人在铁路旁边以同样的速度沿铁路方向相向而行，恰好有一列火车开来，整列火车经过甲身边用了18秒，2分后又用了15秒从乙身边开过． 问：（1）火车速度是甲的速度的几倍？ （2）火车经过乙身后，甲、乙两人还需要多少时间才能相遇？ 【分析】（1）设火车的长度为S，火车速度为V1，甲乙的速度为V2，因为火车经过甲用的时间长，所以甲与火车同向而行，而乙与火车相对而行；则火车经过甲的速度为V1-V2，经过乙的速度V1+V2，由于经过的距离同是火车的长度，由此可得：（V1-V2）×18=（V1+V2）×15，整理后得：V1=11V2，即火车速度为甲的速度的11倍． （2）经过甲后，火车行了2分钟即120秒才与乙相遇，当火车经过了乙，火车一共行驶了120+15秒=135秒．此时甲行走了135秒，火车在此时间段行走了135×V1的路程，甲走了135×V2的路程．那么火车经过乙以后甲乙之间的距离为135V1-135V2=1350V2．所以甲乙走这段路程所需要的时间为1350V2÷（V2+V2）=675秒．即火车经过乙675秒后甲乙两人相遇． 【解答】（1）设火车的长度为S，火车速度为V1，甲乙的速度为V2，由此可得： （V1-V2）×18=（V1+V2）×15 18V1-18V2=15V1+15V2， 3V1=33V2， V1=11V2． 答：火车速度为甲的速度的11倍． （2）2分钟=120秒， 135V1-135V2 =135×11V2-135V2， =1485V2-135V2， =1350V2． 1350V2÷（V2+V2）， =1350V2÷2V2， =675（秒）． 答：火车经过乙身后，甲、乙工人还需要675秒才能相遇． 【点评】本题为相遇问题与追及问题的综合，完成问题（2）时要注意从火车经过的距离中减去甲行的距离． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024•中原区）一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是270米，慢车的车长是360米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是12秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是（　　）秒。 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】像这样的错车问题，两辆车上的人看对方车速两车是一样的，快车上的人看慢车驶过时，快车行驶的路程为慢车的长度，相反则是慢车的情况；所以只要求出两车相对行驶的速度，再进一步即可求解。 【解答】解：270÷（360÷12） =270÷30 =9（秒） 答：坐在慢车上看见快车驶过的时间是9秒。 故选：A。 【跟踪训练2】（2023•涪城区）一列快车和一列慢车相对而行，其中快车的车长200米，慢车的车长250米，坐在慢车上的旅客看到快车驶过其所在窗口的时间是6秒钟，坐在快车上的旅客看到慢车驶过其所在窗口的时间是多少秒钟？（　　） A．6秒钟 B．6.5秒钟 C．7秒钟 D．7.5秒钟 【答案】D 【分析】相遇问题公式“相遇路程=速度和×相遇时间”；坐在慢车上的旅客看到快车驶过其所在窗口的时间是6秒钟，这时相遇路程是快车的全长，根据“路度和=相遇路程÷相遇时间”计算出两车的速度和；坐在快车上的旅客看到慢车驶过，这时相遇路程是慢车的全长，根据“相遇时间=相遇路程÷速度和”解答即可。 【解答】解：250÷（200÷6） =250× =7.5（秒） 答：坐在快车上的旅客看到慢车驶过其所在窗口的时间是7.5秒。 故选：D。 【跟踪训练3】（2024•渝北区）张良沿一公路徒步，速度为每小时4.2千米。沿该路的公共汽车每36分钟就有一辆车从后面超过他。每12分钟就又遇到迎面开来的一辆车，如果公共汽车按相等的时间间隔，以同一速度前行，那么，公共汽车发出时间间隔是 ______。 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，先求出汽车与张良的速度差和速度和，再根据和差公式求出汽车的速度，再根据追及问题求出追及路程，用追及路程除以汽车的速度，就是汽车发车的间隔时间。 【解答】解：设汽车速度为每小时x千米。 36分=0.6小时 12分=0.2小时 0.6（x-4.2）=0.2（x+4.2） 0.6x-2.52=0.2x+0.84 0.6x-0.2x=0.84+2.52 0.4x=3.36  x=8.4 汽车与张良的速度差为： 8.4-4.2=4.2（千米/时） 发车间隔为： 4.2×0.6÷8.4 =2.52÷8.4 =0.3（小时） 0.3小时=18分钟 答：公共汽车发出时间间隔是18分钟。 故答案为：18。 【跟踪训练4】（2024•新绛县）一列火车长152米，它的速度是每小时63.36公里，一个人与火车相向而行，全列火车从他身边开过用8秒钟，这个人的步行速度是每秒 ______米。 【答案】见试题解答内容 【分析】火车过人，相向而行，路程和=车长，根据“速度和=路程÷时间”求出火车经过人时的速度和，用速度和减去火车的速度即是人步行的速度。 【解答】解：63.36公里/时=17.6米/秒 152÷8=19（米/秒） 19-17.6=1.4（米/秒） 答：这个人的步行速度是1.4米。 故答案为：1.4。 【跟踪训练5】（2024•沙坪坝区）小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，这时从他后面开过来一列火车，从车头遇到小李到车尾经过他身旁共用了21秒。已知火车全长336米，求火车的速度。 【答案】18米/秒。 【分析】根据“路程÷时间=速度”即可求出火车经过小李的速度，即火车和小李的速度差，用速度差加上小李的速度即为火车的速度。 【解答】解：336÷21+2 =16+2 =18（米/秒） 答：火车的速度为18米/秒。 【跟踪训练6】（2024•双流区）从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。则电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？ 【答案】11分。 【分析】假设甲、乙在同一起点遇到一辆电车时开始步行，10分钟后甲、乙之间的距离为他们的速度差乘步行的时间，此时甲遇到迎面开来的电车，这辆电车还要经过15秒再与乙相遇，据此用路程除以相遇时间可以求出乙与电车的速度和，进而求出电车的速度；甲在遇到第一辆电车后，经过10分钟遇到第二辆电车，由此可知，两辆电车相距甲、电车共行10分钟的路程，用这个路程除以电车的速度，即是两辆电车发车相隔的时间。 【解答】解：10分15秒=10.25分 （82-60）×10÷（10.25-10）-60 =22×10÷0.25-60 =220÷0.25-60 =880-60 =820（米） （82+820）×10÷820 =9020÷820 =11（分） 答：电车总站每隔11分钟开出一辆电车。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲行程问题（二）(强化训练) 一．选择题（共10小题） 1．一列火车长200米，以每分钟1200米的速度经过一座大桥，从车头进到车尾出一共用了2分钟．求桥的长度是多少米？正确的算式是（　　） A．1200×2+200 B．1200×2-200 C．（1200+200）×2 D．（1200-200）×2 【答案】B 【分析】从车头上桥到车尾离开桥一共用2分钟，则火车等于是跑了桥的全长加车的长度，于是，我们用2分钟所行驶的距离再减去车长200米就是桥的长度． 【解答】解：1200×2-200 =2400-200 =2200（米）， 故选：B． 2．一辆小汽车每秒行20米，刚驶入隧道时，发现一辆客车正在前面180米处行驶．如果两车速度保持不变，1.5分钟后两车同时驶出隧道，那么客车每秒行驶（　　）米． A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】因为小汽车的速度是20米每秒，行驶1.5分钟=90秒后，行驶了20×90=1800米，因为客车在小汽车的前面180米处，所以客车行驶的路程就是1800-180=1620米，再除以行驶的时间90秒，据此即可求出客车行驶的速度． 【解答】解：1.5分=90秒， （20×90-180）÷90， =1620÷90， =18（米/秒）， 答：客车每小时行驶18米． 故选：C． 3．铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时。这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟。这列火车的车身总长是（　　） A．22米 B．56米 C．781米 D．286米 【答案】D 【分析】本题属于追及问题，行人的速度为3.6千米/时=1（米/秒）；骑车人的速度为10.8千米/时=3（米/秒）；火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差．如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度即可表示为（x-1）×22，也可表示（x-3）×26，由此列出方程，求出火车的速度，进而求出车身总长。 【解答】解：行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒． 设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得 （x-1）×22=（x-3）×26   22x-22=26x-78   26x-22x=78-22    4x=56     x=14 火车的车身长为：（14-1）×22=286（米） 答：这列火车的车身总长是286米。 故选：D。 4．一条街上，一个骑车人和一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每隔10分钟有一辆公交车超过一个行人．每隔20分钟有一辆公交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公交车？（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题可以看作两个追及问题分别是公共车和人，公共车和自行车，设每两辆公共车间隔（即追及路程）为1，由此可以得出公共汽车与步行人的速度之差为：1÷10=；公共汽车与自行车人的速度差为：1÷20=．由此可求得人的速度为：=，由此即可解决问题． 【解答】解：设每辆公共汽车的间隔为1，则根据题意可得 公共汽车与步行人的速度之差为：1÷10=， 公共汽车与自行车人的速度差为：1÷20=， 因为自行车人的速度是步行人的3倍， 所以步行人的速度为： = =÷2 = 则公共汽车的速度是： ， 1÷=1×8=8（分钟）， 答：每隔8分钟发一辆车． 故选：B。 5．早上6时10分1路车和2路车同时发车，1路车每隔10分发一辆车，2路车每隔15分发一辆车，第二次同时发车的时间是（　　） A．6：20 B．6：30 C．6：40 D．6：50 【答案】C 【分析】1路车每隔10分发一辆车，2路车每隔15分发一辆车，那么两车同时发车的时间间隔应是10与15的最小公倍数，10与15的最小公倍数为30，所以30分钟后，两车第二次同时发车，即6点10分+30分=6点40分． 【解答】解：10和15的最小倍数为：3×2×5=30． 所以每隔30分钟，两车都同时发车一次， 则第二次同时发车的时间是：6点10分+30分=6点40分． 故选：C． 6．一列快车和一列慢车相对而行，其中快车的车长200米，慢车的车长250米，坐在慢车上的旅客看到快车驶过其所在窗口的时间是6秒钟，坐在快车上的旅客看到慢车驶过其所在窗口的时间是多少秒钟？（　　） A．6秒钟 B．6.5秒钟 C．7秒钟 D．7.5秒钟 【答案】D 【分析】相遇问题公式“相遇路程=速度和×相遇时间”；坐在慢车上的旅客看到快车驶过其所在窗口的时间是6秒钟，这时相遇路程是快车的全长，根据“路度和=相遇路程÷相遇时间”计算出两车的速度和；坐在快车上的旅客看到慢车驶过，这时相遇路程是慢车的全长，根据“相遇时间=相遇路程÷速度和”解答即可。 【解答】解：250÷（200÷6） =250× =7.5（秒） 答：坐在快车上的旅客看到慢车驶过其所在窗口的时间是7.5秒。 故选：D。 7．在正方形ABCD上，甲乙分别从AC同时出发，方向如图所示，乙的速度是甲的速度的4倍，第199次在哪条边相遇？（　　） A．AB边上 B．BC边上 C．CD边上 D．DA边上 【答案】B 【分析】因为乙的速度是甲的速度的4倍，所以第1次相遇，甲走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的 ，从第2次相遇起，5次一个循环，从而求得它们第199次相遇位置。 【解答】解：根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的=；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长=，从第2次相遇起，5次一个循环。 （199-1）÷5=39…3 ×3== 所以它们第199次相遇在边BC上。 故选：B。 8．明明和爸爸绕着环形跑道跑步，明明跑一圈要3分钟，爸爸跑一圈要6分钟，如果两人从n点同时出发顺时针跑步，跑步速度不变，那么可以表示9分钟后两人位置的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】明明跑一圈要3分钟，9分钟明明跑了3圈，明明在n点，爸爸跑一圈要6分钟，9分钟分钟跑了1圈半，据此选择即可。 【解答】解：明明跑一圈要3分钟，9分钟明明跑了3圈，明明在n点，爸爸跑一圈要6分钟，9分钟分钟跑了1圈半，所以可以表示9分钟后两人位置的图是。 故选：B。 9．如图，花园内有一个圆形水池，若小明在圆心O点，爸爸在岸上A点。小明从O点出发，沿着半径向B点跑；同时爸爸从A点出发，沿着圆周跑。已知爸爸的速度是小明的3倍，那么（　　）会先到达B点。 ​ A．爸爸 B．小明 C．同时 D．不能确定 【答案】B 【分析】观察可得小明跑的路程是圆O的半径，爸爸跑的路程是圆O周长的一半；根据圆半径与周长的关系可得爸爸走的路程是小明的π倍，结合爸爸的速度与小明速度的关系即可解答题目。 【解答】解：爸爸的速度是小明的3倍，但爸爸走的路程是小明的π倍， 3＜π 答：小明先到达点B。 故选：B。 10．解决“小丽和爸爸沿240米长的圆形跑道散步。爸爸走完一圈要4分钟，小丽走完一圈要6分钟。两人同时同地出发，相背而行，几分钟后首次相遇？”这个问题，以下算式正确的是（　　） A． B．240÷（4+6） C．1÷（240÷4+240÷6） D． 【答案】A 【分析】先根据速度=路程÷时间，分别求出小丽和爸爸的速度，再根据如果两人同时同地出发，相背而行，那么首次相遇时两人正好走了操场的一圈，根据相遇时间=总路程÷速度和，据此判断即可。 【解答】解：两种方法： 方法1：把圆形跑道一圈的长度看作单位“1”，根据速度=路程÷时间，分别求出小丽和爸爸的速度，再根据相遇时间=总路程÷速度和，列式为：1÷（+） 方法2：根据速度=路程÷时间，分别求出小丽和爸爸的速度，再根据相遇时间=总路程÷速度和，列式为：240÷（240÷4+240÷6） 故选：A。 二．填空题（共5小题） 11．爸爸和欣欣都沿着一圆形花坛周围散步，爸爸走一圈4分钟，欣欣走一圈要5分钟。若两个人同向而行，则 ______分钟后两人会再次相遇。 【答案】20。 【分析】把花坛的周长看作单位“1”，根据“速度=路程÷时间”求出爸爸和欣欣的速度，再根据“时间=追及路程÷速度差”即可解答。 【解答】解：1÷（-） =1÷ =20（分钟） 答：若两个人同向而行，则20分钟后两人会再次相遇。 故答案为：20。 12．可可和园园沿着一个长为90米，宽为45米的长方形广场赛跑，他们同时从点A出发，沿着顺时针方向跑，当可可跑回A点时，园园才跑到B点，他还需要跑9秒才能到达A点，可可每秒跑 ______米。 【答案】6。 【分析】根据题意可知，园园从B点到A点需要9秒，根据速度=路程÷时间，用45÷9，求出园园的速度；再根据时间=路程÷速度，因为是顺时针方向跑，用园园从A点跑到B点的路程除以园园的速度，求出园园从A点到B点的时间，也就是可可跑一圈的时间，再根据长方形的周长公式：周长=（长+宽）×2，代入数据，求出这个长方形广场的周长，再用广场的周长÷可可跑一圈的时间，即可求出可可每秒跑的路程。 【解答】解：45÷9=5（米） （90+45+90）÷5 =（135+90）÷5 =225÷5 =45（秒） （90+45）×2÷45 =135×2÷45 =270÷45 =6（米） 答：可可和园园沿着一个长为90米，宽为45米的长方形广场赛跑，他们同时从点A出发，沿着顺时针方向跑，当可可跑回A点时，园园才跑到B点，他还需要跑9秒才能到达A点，可可每秒跑6米。 故答案为：6。 13．如图，科技人员正用玩具火车和玩具隧道实验，已知火车长6米，而火车完全通过隧道需要8秒，在某一光照处火车被光照射的时间为2秒。那么一辆照同样速度通行的9米火车过隧道需要 ______秒。 【答案】9。 【分析】根据火车的车长除以火车被光照射的时间，即可计算出火车的速度，再用火车的速度乘火车完全通过隧道需要的时间，即可计算出火车完全通过隧道所行的路程，然后减去火车的车长，即可计算出隧道的长度，最后用火车的车长加上隧道的长度除以火车的速度，即可计算出一辆照同样速度通行的9米火车过隧道需要多少秒。 【解答】解：6÷2=3（米/秒） 3×8-6 =24-6 =18（米） （18+9）÷3 =27÷3 =9（秒） 答：一辆照同样速度通行的9米火车过隧道需要9秒。 故答案为：9。 14．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车，则电车总站每隔 ______分钟开出一辆电车。 【答案】11。 【分析】假设甲、乙在同一起点遇到一辆电车时开始步行，10分钟后甲、乙之间的距离为他们的速度差乘步行的时间，此时甲遇到迎面开来的电车，这辆电车还要经过15秒再与乙相遇，据此用路程除以相遇时间可以求出乙与电车的速度和，进而求出电车的速度；甲在遇到第一辆电车后，经过10分钟遇到第二辆电车，由此可知，两辆电车相距甲、电车共行10分钟的路程，用这个路程除以电车的速度，即是两辆电车发车相隔的时间。 【解答】解：10分15秒=10.25分 （82-60）×10÷（10.25-10）-60 =22×10÷0.25-60 =220÷0.25-60 =880-60 =820（米） （82+820）×10÷820 =9020÷820 =11（分） 答：电车总站每隔11分钟开出一辆电车。 故答案为：11。 15．一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上又遇上了8辆迎面开来的电车，才到达甲站.这时候恰好又有电车从甲站开出，他从乙站到甲站走了______分钟。 【答案】30。 【分析】出发时第一辆车刚到站，此时第（15÷5+1）辆车刚从甲站出发，到达甲站是，第（1+8+1）辆车刚从甲站出发，计算出有几个发车间隔，再乘间隔时间即可。 【解答】解：[（1+8+1）-（15÷5+1）]×5 =[10-（3+1）]×5 =[10-4]×5 =6×5 =30（分钟） 答：他从乙站到甲站走了30分钟。 故答案为：30。 三．应用题（共7小题） 16．在一条马路上，小智骑车与小慧同向而行，小智骑车的速度是小慧步行速度的3倍。他们发现每隔10分钟有一辆公交车超过小慧，每隔20分钟有一辆公交车超过小智。如果公交车从始发站每次间隔相同的时间发一辆车，且每辆车的速度相同，则相邻两车发车的间隔时间是多少分钟？ 【答案】8分钟。 【分析】本题可以看作两个追及问题分别是公交车和小慧，公交车和小智，设每两辆公交车间隔（即追及路程）为1，由此可以得出公交车与小慧的速度之差为：1÷10=，公交车与小智的速度差为：1÷20=；由此可求得小慧的速度为：（-）÷2=，由此即可解决问题。 【解答】解：设每两辆公交车间隔（即追及路程）为1； 由此可以得出公共汽车与小慧的速度之差为：1÷10=； 公共汽车与小智的速度差为：1÷20=； 因为小智骑车的速度是小慧步行速度的3倍； 所以小慧的速度为：（-）÷（3-1） =÷2 = 则公交车的速度是+= 1÷=8（分钟） 答：相邻两车发车的间隔时间是8分钟。 17．圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈，不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？ 【答案】5次。 【分析】设每两面旗子间距离为1，即跑道周长为2015.因为时间一定，速度比等于圈数比（即路程比），因为V甲：V乙=23：13，设V甲=23x,V乙=13x,甲要追上乙则需比乙多跑n圈，（23x-13x）t=2015n,10x×t=2015n,即甲追上乙时所花时间t=，则甲追上乙时，所走路程为23x×=；要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即n为偶数，然后根据n=2，4，6，8，10（最多多跑10圈）解答即可。 【解答】解：设每两面旗子间距离为1，即跑道周长为2015。因为V甲：V乙=23：13， 设V甲=23x,V乙=13x,甲要追上乙则需比乙多跑n圈，甲追上乙时所花时间为t, 则（23x-13x）t=2015n             10x×t=2015n                      t= 则甲追上乙时，所走路程为： 23x×=； 要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即n为偶数，然后根据n=2，4，6，8，10（最多多跑23-13=10圈）； 即甲追上乙则需比乙多跑2，4，6，8，10圈时，正好在旗子位置追上，综上所述，甲正好在旗子位置追上乙5次。 答：甲正好在旗子位置追上乙5次。 18．甲、乙两人在2千米环形道路的同一地点、同方向、同时出发，并要同时完成绕行2周。由于只有一辆自行车，所以最初由甲骑着出发，途中放下自行车，剩下的路步行：乙最初步行，途中骑上甲放下的自行车，行完剩下的路程。已知步行速度甲为5千米/时，乙为4千米/时，骑自行车速度甲为20千米/时，乙为15千米/时。绕完2周需要多少时间？甲骑行了多少千米将自行车放下？ 【答案】0.395小时；2.7千米。 【分析】要想时间尽量少，骑自行车的路程应尽量多，所以两人骑自行车的路程都应超过1周，步行的路程都不足1周。设甲骑车行了（2+x）千米，步行（2-x）千米，其中0＜x＜2，则乙步行了x千米，骑车行了（4-x）千米。根据两人用的总时间相同列方程求解即可。 【解答】解：设甲骑行了（2+x）千米将自行车放下。 3（2+x）+12（2-x）=15x+4（4-x） 6+3x+24-12x=15x+16-4x 20x=14 x=0.7 0.7+2=2.7（千米） =0.175+0.22 =0.395（小时） 答：绕完2周需要0.395小时，甲骑行了2.7千米将自行车放下。 19．火车通过大桥（或山洞）是以车头上桥（或山洞）开始，到车尾离桥（或山洞）结束。一列火车长225米，每秒行驶35米，全车要通过一条长650米的大桥，需要多少秒？ 【答案】25秒。 【分析】火车要经过的路程是（225+650）米，利用时间=路程÷速度，计算需要的时间。 【解答】解：（225+650）÷35 =875÷35 =25（秒） 答：需要25秒。 20．一座大桥全长6790米，一列火车通过大桥时每分钟行驶605米，这列火车从车头开上大桥到车尾离开大桥共需要12分钟。这列火车车身长多少米？ 【答案】470米。 【分析】根据题意可知，火车12分钟行的路程等于车身长度加上桥的长度，先用605乘12求出火车12分钟行的路程，再减去6790，即等于车身长度，据此即可解答。 【解答】解：605×12-6790 =7260-6790 =470（米） 答：这列火车车身长470米。 21．小明家在颐和园，如果骑车到人大附中，每隔3分钟就能见到一辆332路公共汽车迎面开来；如果步行到人大附中，每隔4分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来。已知任意两辆332路汽车的发车间隔都是一样的，并且小明骑车速度是小明步行速度的3倍，那么如果小明坐332路汽车到人大附中的话，每隔几分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来？ 【答案】2.4分钟。 【分析】依据题意可设小明步行速度为a,公交速度为b,则小明骑车速度为3a,每两辆公交车的间隔距离是一样的，所以发车间隔距离[3×（3a+b）]，由此找出公交车与步行的速度比，利用路程÷速度和=时间去解答。 【解答】解：设小明步行速度为a,公交速度为b,则小明骑车速度为3a,由题意得： 3×（3a+b）=4×（a+b）  9a+3b=4a+4b   5a=b 3×（3a+5a）÷（5a+5a） =24÷10 =2.4（分钟） 答：每隔2.4分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来。 22．甲、乙两站每天上午9点到12点，每隔30分钟同时相向发出一辆公交车，由于从甲站到乙站是上坡路，所以公交车从甲站到乙站单程需要60分钟，从乙站到甲站单程需要45分钟。9：30、12：00从甲站发车的司机在途中（不考虑终点处）分别能看到多少辆从乙站开来的公交车？ 【答案】3辆、2辆。 【分析】9：30出发，经过60分钟到达乙站，也就是10：30，路上会遇到从乙站分别在9：00，9：30，10：00开出来的3辆车； 根据从乙站开来的公交车在12：00还没到甲站的车判断即可。 【解答】解：9：30出发，经过60分钟到达乙站，也就是10：30，路上会遇到从乙站分别在9：00，9：30，10：00开出来的3辆车； 12：00出发，路上会遇到从乙站分别在11：30，12：00开出来的2辆车。 答：9：30、12：00从甲站发车的司机分别能看到3辆、2辆从乙站开来的汽车。 学科网（北京）股份有限公司 $$第 2 讲行程问题（二）(强化训练) 一．选择题（共 10 小题） 1．一列火车长 200米，以每分钟 1200米的速度经过一座大桥，从车头进到车尾出 一共用了 2分钟．求桥的长度是多少米？正确的算式是（　　） A．1200×2+200 B．1200×2-200 C．（1200+200）×2 D．（1200-200）×2 2．一辆小汽车每秒行 20米，刚驶入隧道时，发现一辆客车正在前面 180米处行 驶．如果两车速度保持不变，1.5分钟后两车同时驶出隧道，那么客车每秒行驶 （　　）米． A．10 B．16 C．18 D．20 3．铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同时向南行进，行人速度为 3.6千米/时，骑车人速度为 10.8千米/时。这时，有一列火车从他们背后开过 来，火车通过行人用 22秒钟，通过骑车人用 26秒钟。这列火车的车身总长是 （　　） A．22米 B．56米 C．781米 D．286米 4．一条街上，一个骑车人和一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人的 3 倍，每隔 10分钟有一辆公交车超过一个行人．每隔 20分钟有一辆公交车超过一个 骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔几分钟发一辆公 交车？（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 5．早上 6时 10分 1路车和 2路车同时发车，1路车每隔 10分发一辆车，2路车每 隔 15分发一辆车，第二次同时发车的时间是（　　） A．6：20 B．6：30 C．6：40 D．6：50 6．一列快车和一列慢车相对而行，其中快车的车长 200米，慢车的车长 250米， 坐在慢车上的旅客看到快车驶过其所在窗口的时间是 6秒钟，坐在快车上的旅客看 到慢车驶过其所在窗口的时间是多少秒钟？（　　） A．6秒钟 B．6.5秒钟 C．7秒钟 D．7.5秒钟 7．在正方形 ABCD上，甲乙分别从 AC同时出发，方向如图所示，乙的速度是甲的 速度的 4倍，第 199次在哪条边相遇？（　　） A．AB边上 B．BC边上 C．CD边上 D．DA边上 8．明明和爸爸绕着环形跑道跑步，明明跑一圈要 3分钟，爸爸跑一圈要 6分钟， 如果两人从 n点同时出发顺时针跑步，跑步速度不变，那么可以表示 9分钟后两人 位置的图是（　　） A． B． C． D． 9．如图，花园内有一个圆形水池，若小明在圆心 O点，爸爸在岸上 A点。小明从 O点出发，沿着半径向 B点跑；同时爸爸从 A点出发，沿着圆周跑。已知爸爸的速 度是小明的 3倍，那么（　　）会先到达 B点。 A．爸爸 B．小明 C．同时 D．不能确定 10．解决“小丽和爸爸沿 240米长的圆形跑道散步。爸爸走完一圈要 4分钟，小丽 走完一圈要 6分钟。两人同时同地出发，相背而行，几分钟后首次相遇？”这个问 题，以下算式正确的是（　　） A．1 ÷ （ 1 4 + 1 6 ） B．240÷（4+6） C．1÷（240÷4+240÷6） D．240 ÷ （ 1 4 + 1 6 ） 二．填空题（共 5 小题） 11．爸爸和欣欣都沿着一圆形花坛周围散步，爸爸走一圈 4分钟，欣欣走一圈要 5 分钟。若两个人同向而行，则 ______分钟后两人会再次相遇。 12．可可和园园沿着一个长为 90米，宽为 45米的长方形广场赛跑，他们同时从点 A出发，沿着顺时针方向跑，当可可跑回 A点时，园园才跑到 B点，他还需要跑 9 秒才能到达 A点，可可每秒跑 ______米。 13．如图，科技人员正用玩具火车和玩具隧道实验，已知火车长 6米，而火车完全 通过隧道需要 8秒，在某一光照处火车被光照射的时间为 2秒。那么一辆照同样速 度通行的 9米火车过隧道需要 ______秒。 14．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向 步行，甲每分钟步行 82米，每隔 10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行 60米，每隔 10分 15秒遇上迎面开来的一辆电车，则电车总站每隔 ______分钟开 出一辆电车。 15．一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 5分钟有一辆电车从甲站 发出开往乙站，全程要走 15分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲 站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上又遇上了 8辆迎面开来的电 车，才到达甲站.这时候恰好又有电车从甲站开出，他从乙站到甲站走了______分 钟。 三．应用题（共 7 小题） 16．在一条马路上，小智骑车与小慧同向而行，小智骑车的速度是小慧步行速度的 3倍。他们发现每隔 10分钟有一辆公交车超过小慧，每隔 20分钟有一辆公交车超 过小智。如果公交车从始发站每次间隔相同的时间发一辆车，且每辆车的速度相 同，则相邻两车发车的间隔时间是多少分钟？ 17．圆形跑道上等距插着 2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与 乙再次同时回到出发点时，甲跑了 23圈，乙跑了 13圈，不算起始点旗子位置，则 甲正好在旗子位置追上乙多少次？ 18．甲、乙两人在 2千米环形道路的同一地点、同方向、同时出发，并要同时完成 绕行 2周。由于只有一辆自行车，所以最初由甲骑着出发，途中放下自行车，剩下 的路步行：乙最初步行，途中骑上甲放下的自行车，行完剩下的路程。已知步行速 度甲为 5千米/时，乙为 4千米/时，骑自行车速度甲为 20千米/时，乙为 15千米/ 时。绕完 2周需要多少时间？甲骑行了多少千米将自行车放下？ 19．火车通过大桥（或山洞）是以车头上桥（或山洞）开始，到车尾离桥（或山 洞）结束。一列火车长 225米，每秒行驶 35米，全车要通过一条长 650米的大 桥，需要多少秒？ 20．一座大桥全长 6790米，一列火车通过大桥时每分钟行驶 605米，这列火车从 车头开上大桥到车尾离开大桥共需要 12分钟。这列火车车身长多少米？ 21．小明家在颐和园，如果骑车到人大附中，每隔 3分钟就能见到一辆 332路公共 汽车迎面开来；如果步行到人大附中，每隔 4分钟能见到一辆 332路公共汽车迎面 开来。已知任意两辆 332路汽车的发车间隔都是一样的，并且小明骑车速度是小明 步行速度的 3倍，那么如果小明坐 332路汽车到人大附中的话，每隔几分钟能见到 一辆 332路公共汽车迎面开来？ 22．甲、乙两站每天上午 9点到 12点，每隔 30分钟同时相向发出一辆公交车，由 于从甲站到乙站是上坡路，所以公交车从甲站到乙站单程需要 60分钟，从乙站到 甲站单程需要 45分钟。9：30、12：00从甲站发车的司机在途中（不考虑终点 处）分别能看到多少辆从乙站开来的公交车？