第4讲 分数问题（二）(讲义+强化训练)---2025小升初数学热点考点通关宝典

第 4 讲 分数问题（二） 强化训练 一．选择题（共 10 小题） 1．某商场将运动衣按进价的 50%加价后，写上“大酬宾，八折优惠”，结果每件 运动衣仍获利 20元，运动衣的进价是（　　）元． A．110 B．120 C．130 D．100 2．一个三角形的三个内角的度数比是 2：2：5，如果将三角形按角分类是 （　　） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 3．一辆客车从甲地到乙地，第一天行驶了全程的 1 5 ，第二天行驶了 450千米，这时 已行路程和剩下路程的比是 3：7．甲乙两地相距（　　）千米． A．750 B．900 C．2250 D．4500 4．某开发商按照分期付款的形式售房．张明家购买了一套现价为 12万元的新房， 购房时需首付（第一年）款 3万元，从第二年起，以后每年应付房款 5000元，与 上一年剩余欠款的利息之和．已知剩余欠款的年利率为 0.4%，第（　　）年张明 家需要交房款 5200元． A．7 B．8 C．9 D．10 5．甲、乙两工程队合修一段公路，原计划甲工程队修的米数是乙工程队的 3 4 ，实际 甲工程队多修 600米．此时，乙工程队修的米数与甲工程队比是 2：3．原计划甲 工程队应修（　　）米． A．1500 B．2000 C．3500 D．2500 6．甲每分钟能洗 3个盘子或者 9个碗，乙每分钟能洗 2个盘子或者 7个碗，甲、 乙两人合作。20分钟后，两人共洗了 151个盘子和碗。其中盘子最多洗了 （　　）个。 A．60 B．75 C．76 D．79 7．加工一批零件，前一半时间加工的零件个数和后一半时间加工的个数之比是 3：2，则加工前一半零件所需的时间是加工后一半零件所需时间的（　　） A． 5 7 B． 2 3 C．1 1 2 D．无法确定 8．第一种盐水溶液 20千克，含盐率 18%，第二种盐水溶液含盐率 6%，要得到 10% 的盐水溶液，需在第一种盐水溶液中加入第二种盐水溶液（　　） A．20千克 B．30千克 C．36千克 D．40千克 9．现有含盐率 20%的盐水 80克，在其中加入 16克的水，要使含盐率不变，应加 入多少克的盐？（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 10．甲、乙、丙、丁四个杯子中都盛有糖水，甲杯中含糖 12%，乙杯中的糖和水分 别为 3g和 297g,丙杯中含水 98.7%，丁杯中原含糖 3g、水 240g,后来又加了 70g 水。则四杯糖水含糖百分比最低的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二．填空题（共 5 小题） 11．三角形三个内角的度数比是 1：2：3，则这个三角形三个内角分别是 ______°、______°和 ______°，这是一个 ______三角形。 12．红领巾是少先队员的标志，它的形状是一个等腰三角形，三个角的度数比是 4：1：1，那么它的顶角是______度． 13．已知甲瓶盐水的浓度是 8%，乙瓶盐水的浓度是 5%，混合后的浓度是 6.2%，那 么 1 4 瓶甲瓶盐水和 1瓶乙瓶盐水混合后的浓度是 ______。 14．一瓶 600克的糖水中含糖 50克，喝掉 2 5 后又加入 33克水，为了使糖水的浓度 和原来一样，必须加入______克糖． 15．师徒两人合作完成一项工程，由于配合得好，师傅的工作效率比单独做时要提 高 1 10 ，徒弟的工作效率单独做时提高 1 5 ，两人合作 6天，完成全部工程的 2 5 ，接着徒 弟又单独做 6天，这时这项工程还有 13 30 未完成，如果这项工程由师傅一人做， ______天完成。 三．应用题（共 7 小题） 16．某区参加英语比赛的男女生人数比是 4：3，结果有 91人获奖，获奖者中男女 生人数比是 8：5，没有获奖的人中，男女生人数比是 3：4．这个区参加英语比赛 的一共有多少人？ 17．前进路小学有 120名同学参加数学竞赛，共有 80人分别获一、二、三等 奖．其中获一、二等奖的人数之比是 3：5，获三等奖的人数占获奖总人数的 3 5 ．获 得-、二、三等奖的同学各有多少人？ 18．修一条长 2400m的路，甲队单独修要 8天修完，乙队单独修要 10天修完，甲 队单独修了全程的 11 20 后，剩下的再由甲、乙两队合作完成，还要多少天才能修完？ 19．甲容器中有浓度为 2%的盐水 180升，乙容器中有浓度为 9%的盐水若干升，从 乙容器中取出 240升盐水倒入甲容器。再往乙容器中倒入水，使两个容器中有一样 多同样浓度的盐水。问：再往乙容器中倒入多少升水？ 20．一瓶糖水的质量是 400克，浓度为 10%，如果要把这瓶糖水调为浓度为 8%的糖 水，需要往里面加入多少克水？（糖水的浓度是指糖水中糖的质量与糖水质量的百 分比。） 21．甲、乙两人合作为 400米的环形花坛铺设草坪，两人同时从同一地点背向而行 各自铺设，最初甲铺设草坪的速度比乙快 1 3 ，后来乙用了 10分钟去调换工具，回来 继续铺设，但工作效率比原来提高了一倍。结果从甲、乙开始铺设时间算起，经过 1小时，就完成了铺设草坪工作，并且两人铺设的草坪距离一样长，问乙换了工具 后又工作了多少分钟？ 22．水果店以 10元/千克买入一批水果，加四成的利润后定价出售，当卖出水果剩 下 1 4 时，这时已收回成本，并获利 240元。 （1）求原来水果重多少千克？ （2）一直把这批水果售完可获利多少元？ 第4讲 分数问题（二） 考点目录 1、按比例分配 2 2、工程问题 4 3、利润和利息问题 7 4、浓度问题 10 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 按比例分配 ★★★ ★★ 工程问题 ★★ ★★★ 利润和利息问题 ★★ ★★★★ 浓度问题 ★★★★ ★★★ 【考情分析】考查分数问题常以选择填空题和应用题的形式出现，其中选择题出现的比例又较高但是一般难度较低。主要命题点有：分数的大小比较、分数的拆项、巧算分数和、分数和百分数应用题问题、按比例分配、工程问题、利润和利息问题、浓度问题等问题，同学们在复习时应以基础为主，像分数的拆项、巧算分数和这类问题较难理解和掌握，同学们应在掌握基础的前提下多做相关题目加强理解。 热点突破1 关键知识 按比例分配 1．按比例分配定义： 在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配．这种分配方法通常叫做按比例分配． 2．解题方法： （1）求总份数 （2）想各部分占总数量的几分之几 （3）用分数乘法求出各部分是多少． 典型例题 例1： 例1：一堆由苹果核梨子组成的水果，苹果的质量和梨子的质量之比是4：3，现加入8斤梨子，水果的总质量变为64斤，求加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比为多少？ 【分析】根据题意，加入8斤梨子，水果总质量变为64斤，则原来这堆水果有64-8=56斤，已知苹果的质量和梨子的质量之比是4：3，所以1份为：56÷（4+3）=8斤，苹果：8×4=32斤，梨子：8×3+8=32斤，进而求出求加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比即可． 【解答】1份量：（64-8）÷（4+3）=8（斤） 苹果：8×4=32（斤） 梨子：8×3+8=32（斤） 苹果：梨子=32：32=1：1． 答：加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比为1：1． 【点评】此题考查的目的是理解掌握按比例分配应用题的结构特征及解答规律． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2023•黄山）一个三角形的三个内角的度数比是2：3：5，这个三角形是（　　）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 【跟踪训练2】三个数的平均数是9，这三个数的比是2：3：4，这三个数中最小的数是（　　） A．2 B．6 C．9 【跟踪训练3】甲、乙、丙三个数的比是5：7：8，这三个数的平均数是200，这三个数分别是______，______，______． 【跟踪训练4】红领巾是少先队员的标志，它的形状是一个等腰三角形，三个角的度数比是4：1：1，那么它的顶角是______度． 【跟踪训练5】四、五、六年级同学给学校图书室整理800本图书，四年级整理了图书总数的20%，剩下的按3：5分给五年级和六年级．四、五、六年级各整理了多少本图书？ 【跟踪训练6】兄弟两人，每月收入的比是4：3，支出钱数的比是18：13．他们两人都结余360元，问每人每月各收入多少元？ 热点突破2 关键知识 工程问题 工程问题公式 （1）一般公式：工效×工时=工作总量；　　工作总量÷工时=工效； 工作总量÷工效=工时． （2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式： 1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几； 1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间． （注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便．） 解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间． 典型例题 例1： 例1：师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个，完成任务时，徒弟比师傅少加工120个．这批零件共有多少个？ 【分析】求出师傅比徒弟每小时多加工零件个数，然后依据工作时间=多的工作总量÷每小时多做零件个数，求出两人完成任务需要的时间，最后根据工作总量=工作效率×工作时间即可解答． 解：120÷（9-5）×（9+5） =120÷4×14 =420（个） 【解答】这批零件共有420个． 【点评】解答本题的关键是求出两人完成任务需要的时间，解答依据是工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系． 例2：一项工程，甲、乙两人合做8天可完成．甲单独做需12天完成．现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3．这个工程实际工期为多少天？ 【分析】由题意可知，甲、乙合作8天完成，甲、乙的合作工作效率为，甲单独12天完成，甲的工作效率为，那么乙的工作效率-=．人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3，设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：x+×3x=1，解此方程求出两人的合作时间后，即能求出实际工期为多少天． 【解答】-=． 设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程： x+×3x=1， x+x=1， x=1， x=4． 4+4×3 =4+12， =16（天）． 答：这个工程实际工期为16天． 【点评】首先根据题意求出乙的工作效率，然后通过设未知数列出等量关系式是完成本题的关键． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024春•宛城区期中）一车队有a辆车，要把开挖地基时挖出的土方运走，因时间要求紧，需增加运输车辆。如果增加10辆车，需15次运完：若增加28辆车，10次就能运完。现经多方调协，增加了19辆车，运完这些土方需要（　　）次。 A．11 B．12 C．13 D．14 【跟踪训练2】（2023•潼南区）一项工程，甲单独做需要10小时完成，乙单独做需要15小时完成。现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果7小时才完成，甲停工了（　　）小时。 A．3.5 B．3 C． D．18 【跟踪训练3】（2025•渝北区）某工程，可用若干台机器在规定时间内完成，如果增加两台机器，则节省了八分之一的时间，如果减少两台机器，就要推迟小时完工。那么一台机器完成这个工程需要 ______小时。 【跟踪训练4】（2025•重庆模拟）师徒两人合作完成一项工程，由于配合得好，师傅的工作效率比单独做时要提高，徒弟的工作效率单独做时提高，两人合作6天，完成全部工程的，接着徒弟又单独做6天，这时这项工程还有未完成，如果这项工程由师傅一人做，______天完成。 【跟踪训练5】（2025•重庆模拟）甲乙丙三人合修一堵围墙，甲乙合修6天完成，乙丙合修2天完成余下工程的，剩下的再由甲乙丙三人合修5天完成，现在领工资1800元，依工作量分配，甲应得多少元？ 【跟踪训练6】（2024•管城区模拟）一队工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍，上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这队工人中有的人去了甲工地，其他工人到乙工地。到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这队工人有多少人？ 热点突破3 关键知识 利润和利息问题 主要公式： ①商品利润=商品售价-商品进价； ②商品利润率=商品利润/商品进价×100%； ③商品销售额=商品销售价×商品销售量； ④商品的销售利润=（销售价-成本价）×销售量． ⑤商品售价=商品标价×折扣率． 利息=本金×利率×存期；（注意：利息税）． 本息=本金+利息， 利息税=利息×利息税率． 注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率=月利率×12=日利率×365． 典型例题 例1： 例1：商店购进了一批钢笔，决定以每支9.5元的价格出售．第一个星期卖出了60%，这时还差84元收回全部成本．又过了一个星期后全部售出，总共获得利润372元．那么商店购进这批钢笔的价格是每支多少元？ 【分析】又过了一个星期全部售出后，总共获得利润372元，在这之前是还差84元才可以收回全部成本，说明又买出的这部分的总额为372+84=456（元），买出的这部分钢笔的数量是456÷9.5=48（支），而这48支相当于总数的1-60%=40%，求出总支数为48÷40%=120（支）；然后求出每支钢笔盈利为372÷120=3.1（元），再用每支钢笔的定价减去盈利的部分即为购进价． 【解答】这批钢笔的总数量： （372+84）÷9.5÷（1-60%）， =456÷9.5÷0.4， =48÷0.4， =120（支）； 每支钢笔的购进价： 9.5-372÷120， =9.5-3.1， =6.4（元）； 答：商店购进这批钢笔的价格是每支6.4元． 【点评】此题条件较复杂，需认真分析，先求出这批钢笔的数量是解决此题的关键． 跟踪训练 【跟踪训练1】某超市按进价加40%作为定价销售某种商品，可是销售得不好，只卖出了，后来老板按定价减价40%以210元出售，很快就卖完了，则这次生意盈亏情况是（　　） A．不亏不赚 B．平均每件亏了5元 C．平均每件赚了5元 D．不能确定 【跟踪训练2】商家获得的利润按照如下公式计算：利润=售价-进价-售价×税率，若税率由b%调整为c%，且商品的进价和利润都未改变，则商品的售价是原来的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【跟踪训练3】甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是______元． 【跟踪训练4】某种风险发生的可能性为万分之15，针对该风险的寿险品种的保险标准是每万元保额缴纳保费50元，保险公司计划将所收保费的30%用于公司运营，70%用于支付保险赔付，如果该保险每年销售1000万份（每份保额1000元），那么，在正常情况下，按33%向国家缴纳所得税后，该险种每年可使保险公司获得税后利润 ______万元． 【跟踪训练5】甲乙两种商品，成本共2000元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，后来都按定价打九折卖出去了，结果仍获利223元，甲商品的成本是多少元？ 【跟踪训练6】某微商一次购进了一种时令水果250千克，开始两天他以每千克高于进价40%的价格卖出180千克。第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种水果在前两天的售价基础上打4折全部售出，最后他卖该种水果获得618元的利润，计算商家打折卖出的该种剩余水果亏了多少元？ 热点突破4 关键知识 浓度问题 基本数量关系： 溶液质量=溶质质量+溶剂质量； 溶质质量=溶液中所含溶质的质量分数． 这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意． 典型例题 例1： 例1：A，B，C三个试管中各盛有10克、20克、30克水．把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出10克倒入C中．现在C中盐水浓度是0.5%．问最早倒入A中的盐水浓度是多少？ 【分析】混合后，三个试管中的盐水分别是20克、30克、40克，又知C管中的浓度为0.5%，可算出C管中的盐是：40×0.5%=0.2（克）．由于原来C管中只有水，说明这0.2克的盐来自从B管中倒入的10克盐水里． B管倒入C管的盐水和留下的盐水浓度是一样的，10克盐水中有0.2克盐，那么原来B管30克盐水就应该含盐：0.2×3=0.6（克）．而且这0.6克盐来自从A管倒入的10克盐水中． A管倒入B管的盐水和留下的盐水的浓度是一样的，10克盐水中有0.6克盐，说明原A管中20克盐水含盐：0.6×2=1.2（克），而且这1.2克的盐全部来自某种浓度的盐水．即说明倒入A管中的10克盐水含盐1.2克．所以，某种浓度的盐水的浓度是1.2÷10×100%=12% 【解答】B中盐水的浓度是： （30+10）×0.5%÷10×100%， =40×0.005÷10×100%， =2%． 现在A中盐水的浓度是： （20+10）×2%÷10×100%， =30×0.002÷10×100%， =6%． 最早倒入A中的盐水浓度为： （10+10）×6%÷10， =20×6%÷10， =12%． 答：最早倒入A中的盐水浓度为12%． 【点评】不管是哪类的浓度问题，最关键的思维是要抓住题中没有变化的量，不管哪个试管中的盐，都是来自最初的某种浓度的盐水中，运用倒推的思维来解答． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024•苏州）现有含糖量为7%的糖水600克，要使其含糖量增加到10%，需要再加糖（　　）克。 A．20 B．30 C．40 D．60 【跟踪训练2】一瓶药液含药为80%，倒出后再加满水，再倒出后仍用水加满，再倒出后还用水加满，这时药液含药为（　　） A．50% B．30% C．35% D．32% 【跟踪训练3】（2024•渝北区）两个杯子中分别装有浓度为40%与10%的食盐水，倒在一起混合后，浓度是30%。若再加入300克20%的食盐水，则浓度变为25%，那么原来有40%的食盐水 ______克。 【跟踪训练4】（2024•北碚区）一瓶纯酒精，倒出一半后加满水混合；然后又倒出溶液，再用水加满；最后又倒出一半，再加满水。如此三次后，瓶中酒精浓度为 ______。 【跟踪训练5】（2024•渝北区）甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合，接着将乙容器中一部分混合溶液倒入甲容器，这样甲容器中酒精含量为62.5%，乙容器中酒精含量为25%，那么从乙容器倒入甲容器的混合溶液是多少升？ 【跟踪训练6】（2024•玄武区）两个杯中分别装有浓度为45%与15%的盐水，倒在一起后混合盐水的浓度为35%，若再加入300克浓度为20%的盐水，则变成浓度为30%的盐水，则原来浓度为45%的盐水有多少克？ 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 13 页 第 4 讲 分数问题（二） 1、按比例分配.......................................................2 2、工程问题.........................................................4 3、利润和利息问题...................................................7 4、浓度问题........................................................10 热点考点 考查频率 考点难度 按比例分配 ★★★ ★★ 工程问题 ★★ ★★★ 利润和利息问题 ★★ ★★★★ 浓度问题 ★★★★ ★★★ 【考情分析】考查分数问题常以选择填空题和应用题的形式出现，其中选择题出现的比例又较高但是一 般难度较低。主要命题点有：分数的大小比较、分数的拆项、巧算分数和、分数和百分数应用题问题、 考点目录 热点透析 考情透析 第 2 页 共 13 页 按比例分配、工程问题、利润和利息问题、浓度问题等问题，同学们在复习时应以基础为主，像分数的 拆项、巧算分数和这类问题较难理解和掌握，同学们应在掌握基础的前提下多做相关题目加强理解。 按比例分配 1．按比例分配定义： 在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配．这种分配方 法通常叫做按比例分配． 2．解题方法： （1）求总份数 （2）想各部分占总数量的几分之几 （3）用分数乘法求出各部分是多少． 例 1： 例 1：一堆由苹果核梨子组成的水果，苹果的质量和梨子的质量之比是 4：3，现加入 8斤梨子， 水果的总质量变为 64斤，求加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比为多少？ 【分析】根据题意，加入 8 斤梨子，水果总质量变为 64 斤，则原来这堆水果有 64-8=56 斤， 已知苹果的质量和梨子的质量之比是 4：3，所以 1份为：56÷（4+3）=8斤，苹果：8×4=32 斤，梨子：8×3+8=32斤，进而求出求加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比即可． 【解答】1份量：（64-8）÷（4+3）=8（斤） 苹果：8×4=32（斤） 梨子：8×3+8=32（斤） 苹果：梨子=32：32=1：1． 答：加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比为 1：1． 热点突破 1 关键知识 典型例题 第 3 页 共 13 页 【点评】此题考查的目的是理解掌握按比例分配应用题的结构特征及解答规律． 【跟踪训练 1】（2023•黄山）一个三角形的三个内角的度数比是 2：3：5，这个三角形是 （　　）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 【跟踪训练 2】三个数的平均数是 9，这三个数的比是 2：3：4，这三个数中最小的数是 （　　） A．2 B．6 C．9 【跟踪训练 3】甲、乙、丙三个数的比是 5：7：8，这三个数的平均数是 200，这三个数分别 是______，______，______． 【跟踪训练 4】红领巾是少先队员的标志，它的形状是一个等腰三角形，三个角的度数比是 4：1：1，那么它的顶角是______度． 【跟踪训练 5】四、五、六年级同学给学校图书室整理 800本图书，四年级整理了图书总数 的 20%，剩下的按 3：5分给五年级和六年级．四、五、六年级各整理了多少本图书？ 【跟踪训练 6】兄弟两人，每月收入的比是 4：3，支出钱数的比是 18：13．他们两人都结余 360元，问每人每月各收入多少元？ 跟踪训练 第 4 页 共 13 页 工程问题 工程问题公式 （1）一般公式：工效×工时=工作总量；　　工作总量÷工时=工效； 工作总量÷工效=工时． （2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式： 1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几； 1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间． （注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为 2、3、4、5…．特别是假定工作总量 为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计 算将变得比较简便．） 解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工 作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工 作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况 下，工程问题求的是时间． 例 1： 例 1：师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工 9个，徒弟每小时加工 5个，完成任务 时，徒弟比师傅少加工 120个．这批零件共有多少个？ 【分析】求出师傅比徒弟每小时多加工零件个数，然后依据工作时间=多的工作总量÷每小时 多做零件个数，求出两人完成任务需要的时间，最后根据工作总量=工作效率×工作时间即可 解答． 解：120÷（9-5）×（9+5） 热点突破 2 关键知识 典型例题 第 5 页 共 13 页 =120÷4×14 =420（个） 【解答】这批零件共有 420个． 【点评】解答本题的关键是求出两人完成任务需要的时间，解答依据是工作时间，工作效率 以及工作总量之间数量关系． 例 2：一项工程，甲、乙两人合做 8天可完成．甲单独做需 12天完成．现两人合做几天后， 余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为 1：3．这个工程实际工期为多少天？ 【分析】由题意可知，甲、乙合作 8天完成，甲、乙的合作工作效率为 1 8 ，甲单独 12天完 成，甲的工作效率为 1 12 ，那么乙的工作效率 1 8 - 1 12 = 1 24 ．人合做几天后，余下的工程由乙独自完 成，使乙前后两段所用时间比为 1：3，设两人合作 x天，那么乙单独做 3x天，由此可得方 程： 1 8 x+ 1 24 ×3x=1，解此方程求出两人的合作时间后，即能求出实际工期为多少天． 【解答】 1 8 - 1 12 = 1 24 ． 设两人合作 x天，那么乙单独做 3x天，由此可得方程： 1 8 x+ 1 24 ×3x=1， 1 8 x+ 1 8 x=1， 1 4 x=1， x=4． 4+4×3 =4+12， =16（天）． 答：这个工程实际工期为 16天． 【点评】首先根据题意求出乙的工作效率，然后通过设未知数列出等量关系式是完成本题的 关键． 【跟踪训练 1】（2024春•宛城区期中）一车队有 a辆车，要把开挖地基时挖出的土方运走， 跟踪训练 第 6 页 共 13 页 因时间要求紧，需增加运输车辆。如果增加 10辆车，需 15次运完：若增加 28辆车，10次 就能运完。现经多方调协，增加了 19辆车，运完这些土方需要（　　）次。 A．11 B．12 C．13 D．14 【跟踪训练 2】（2023•潼南区）一项工程，甲单独做需要 10小时完成，乙单独做需要 15小 时完成。现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7小时才完成，甲停工了 （　　）小时。 A．3.5 B．3 C．1 2 3 D．18 【跟踪训练 3】（2025•渝北区）某工程，可用若干台机器在规定时间内完成，如果增加两台 机器，则节省了八分之一的时间，如果减少两台机器，就要推迟 2 3 小时完工。那么一台机器完 成这个工程需要 ______小时。 【跟踪训练 4】（2025•重庆模拟）师徒两人合作完成一项工程，由于配合得好，师傅的工作 效率比单独做时要提高 1 10 ，徒弟的工作效率单独做时提高 1 5 ，两人合作 6天，完成全部工程的 2 5 ，接着徒弟又单独做 6天，这时这项工程还有 13 30 未完成，如果这项工程由师傅一人做， ______天完成。 【跟踪训练 5】（2025•重庆模拟）甲乙丙三人合修一堵围墙，甲乙合修 6天完成1 3 ，乙丙合修 2天完成余下工程的 1 4 ，剩下的再由甲乙丙三人合修 5天完成，现在领工资 1800元，依工作 量分配，甲应得多少元？ 第 7 页 共 13 页 【跟踪训练 6】（2024•管城区模拟）一队工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工 作量是乙工地的工作量的1 1 2 倍，上午去甲工地的人数是去乙工地人数的 3倍，下午这队工人 中有 7 12 的人去了甲工地，其他工人到乙工地。到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工 作还需 4名工人再做 1天，那么这队工人有多少人？ 利润和利息问题 主要公式： ①商品利润=商品售价-商品进价； ②商品利润率=商品利润/商品进价×100%； 热点突破 3 关键知识 第 8 页 共 13 页 ③商品销售额=商品销售价×商品销售量； ④商品的销售利润=（销售价-成本价）×销售量． ⑤商品售价=商品标价×折扣率． 利息=本金×利率×存期；（注意：利息税）． 本息=本金+利息， 利息税=利息×利息税率． 注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率=月利率×12=日利率×365． 例 1： 例 1：商店购进了一批钢笔，决定以每支 9.5元的价格出售．第一个星期卖出了 60%，这时 还差 84元收回全部成本．又过了一个星期后全部售出，总共获得利润 372元．那么商店购 进这批钢笔的价格是每支多少元？ 【分析】又过了一个星期全部售出后，总共获得利润 372元，在这之前是还差 84元才可以 收回全部成本，说明又买出的这部分的总额为 372+84=456（元），买出的这部分钢笔的数 量是 456÷9.5=48（支），而这 48支相当于总数的 1-60%=40%，求出总支数为 48÷40%=120 （支）；然后求出每支钢笔盈利为 372÷120=3.1（元），再用每支钢笔的定价减去盈利的 部分即为购进价． 【解答】这批钢笔的总数量： （372+84）÷9.5÷（1-60%）， =456÷9.5÷0.4， =48÷0.4， =120（支）； 每支钢笔的购进价： 9.5-372÷120， =9.5-3.1， =6.4（元）； 答：商店购进这批钢笔的价格是每支 6.4元． 【点评】此题条件较复杂，需认真分析，先求出这批钢笔的数量是解决此题的关键． 典型例题 第 9 页 共 13 页 【跟踪训练 1】某超市按进价加 40%作为定价销售某种商品，可是销售得不好，只卖出了 1 4 ， 后来老板按定价减价 40%以 210元出售，很快就卖完了，则这次生意盈亏情况是（　　） A．不亏不赚 B．平均每件亏了 5元 C．平均每件赚了 5元 D．不能确定 【跟踪训练 2】商家获得的利润按照如下公式计算：利润=售价-进价-售价×税率，若税率由 b%调整为 c%，且商品的进价和利润都未改变，则商品的售价是原来的（　　） A． 1−b 1−c倍 B． 1−0.0b 1−0.0c倍 C． 0.0b 1−0.0c倍 D． 1−0.0b 0.0c 倍 【跟踪训练 3】甲、乙两种商品，成本共 2200元，甲商品按 20%的利润定价，乙商品按 15% 的利润定价，后来都按定价的 90%打折出售，结果仍获利 131元，甲商品的成本是______ 元． 【跟踪训练 4】某种风险发生的可能性为万分之 15，针对该风险的寿险品种的保险标准是每 万元保额缴纳保费 50元，保险公司计划将所收保费的 30%用于公司运营，70%用于支付保险 赔付，如果该保险每年销售 1000万份（每份保额 1000元），那么，在正常情况下，按 33% 向国家缴纳所得税后，该险种每年可使保险公司获得税后利润 ______万元． 【跟踪训练 5】甲乙两种商品，成本共 2000元，甲商品按 30%的利润定价，乙商品按 20%的 利润定价，后来都按定价打九折卖出去了，结果仍获利 223元，甲商品的成本是多少元？ 跟踪训练 第 10 页 共 13 页 【跟踪训练 6】某微商一次购进了一种时令水果 250千克，开始两天他以每千克高于进价 40% 的价格卖出 180千克。第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种 水果在前两天的售价基础上打 4折全部售出，最后他卖该种水果获得 618元的利润，计算商 家打折卖出的该种剩余水果亏了多少元？ 浓度问题 基本数量关系： 溶液质量=溶质质量+溶剂质量； 溶质质量=溶液中所含溶质的质量分数． 热点突破 4 关键知识 第 11 页 共 13 页 这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮 助理解题意． 例 1： 例 1：A，B，C三个试管中各盛有 10克、20克、30克水．把某种浓度的盐水 10克倒入 A 中，混合后取出 10克倒入 B中，混合后又从 B中取出 10克倒入 C中．现在 C中盐水浓度是 0.5%．问最早倒入 A中的盐水浓度是多少？ 【分析】混合后，三个试管中的盐水分别是 20克、30克、40克，又知 C管中的浓度为 0.5%，可算出 C管中的盐是：40×0.5%=0.2（克）．由于原来 C管中只有水，说明这 0.2克 的盐来自从 B管中倒入的 10克盐水里． B管倒入 C管的盐水和留下的盐水浓度是一样的，10克盐水中有 0.2克盐，那么原来 B管 30 克盐水就应该含盐：0.2×3=0.6（克）．而且这 0.6克盐来自从 A管倒入的 10克盐水中． A管倒入 B管的盐水和留下的盐水的浓度是一样的，10克盐水中有 0.6克盐，说明原 A管中 20克盐水含盐：0.6×2=1.2（克），而且这 1.2克的盐全部来自某种浓度的盐水．即说明倒 入 A管中的 10克盐水含盐 1.2克．所以，某种浓度的盐水的浓度是 1.2÷10×100%=12% 【解答】B中盐水的浓度是： （30+10）×0.5%÷10×100%， =40×0.005÷10×100%， =2%． 现在 A中盐水的浓度是： （20+10）×2%÷10×100%， =30×0.002÷10×100%， =6%． 最早倒入 A中的盐水浓度为： （10+10）×6%÷10， =20×6%÷10， =12%． 答：最早倒入 A中的盐水浓度为 12%． 典型例题 第 12 页 共 13 页 【点评】不管是哪类的浓度问题，最关键的思维是要抓住题中没有变化的量，不管哪个试管 中的盐，都是来自最初的某种浓度的盐水中，运用倒推的思维来解答． 【跟踪训练 1】（2024•苏州）现有含糖量为 7%的糖水 600克，要使其含糖量增加到 10%，需 要再加糖（　　）克。 A．20 B．30 C．40 D．60 【跟踪训练 2】一瓶药液含药为 80%，倒出 1 3 后再加满水，再倒出 1 4 后仍用水加满，再倒出 1 5 后 还用水加满，这时药液含药为（　　） A．50% B．30% C．35% D．32% 【跟踪训练 3】（2024•渝北区）两个杯子中分别装有浓度为 40%与 10%的食盐水，倒在一起混 合后，浓度是 30%。若再加入 300克 20%的食盐水，则浓度变为 25%，那么原来有 40%的食盐 水 ______克。 【跟踪训练 4】（2024•北碚区）一瓶纯酒精，倒出一半后加满水混合；然后又倒出1 4 溶液，再 用水加满；最后又倒出一半，再加满水。如此三次后，瓶中酒精浓度为 ______。 【跟踪训练 5】（2024•渝北区）甲容器中有纯酒精 11升，乙容器中有水 15升，第一次将甲 容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合，接着将乙容器中一部分混合溶液倒入 甲容器，这样甲容器中酒精含量为 62.5%，乙容器中酒精含量为 25%，那么从乙容器倒入甲容 器的混合溶液是多少升？ 跟踪训练 第 13 页 共 13 页 【跟踪训练 6】（2024•玄武区）两个杯中分别装有浓度为 45%与 15%的盐水，倒在一起后混合 盐水的浓度为 35%，若再加入 300克浓度为 20%的盐水，则变成浓度为 30%的盐水，则原来浓 度为 45%的盐水有多少克？ 第4讲 分数问题（二） 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．某商场将运动衣按进价的50%加价后，写上“大酬宾，八折优惠”，结果每件运动衣仍获利20元，运动衣的进价是（　　）元． A．110 B．120 C．130 D．100 2．一个三角形的三个内角的度数比是2：2：5，如果将三角形按角分类是（　　） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形   3．一辆客车从甲地到乙地，第一天行驶了全程的，第二天行驶了450千米，这时已行路程和剩下路程的比是3：7．甲乙两地相距（　　）千米． A．750 B．900 C．2250 D．4500 4．某开发商按照分期付款的形式售房．张明家购买了一套现价为12万元的新房，购房时需首付（第一年）款3万元，从第二年起，以后每年应付房款5000元，与上一年剩余欠款的利息之和．已知剩余欠款的年利率为0.4%，第（　　）年张明家需要交房款5200元． A．7 B．8 C．9 D．10 5．甲、乙两工程队合修一段公路，原计划甲工程队修的米数是乙工程队的，实际甲工程队多修600米．此时，乙工程队修的米数与甲工程队比是2：3．原计划甲工程队应修（　　）米． A．1500 B．2000 C．3500 D．2500 6．甲每分钟能洗3个盘子或者9个碗，乙每分钟能洗2个盘子或者7个碗，甲、乙两人合作。20分钟后，两人共洗了151个盘子和碗。其中盘子最多洗了（　　）个。 A．60 B．75 C．76 D．79 7．加工一批零件，前一半时间加工的零件个数和后一半时间加工的个数之比是3：2，则加工前一半零件所需的时间是加工后一半零件所需时间的（　　） A． B． C． D．无法确定 8．第一种盐水溶液20千克，含盐率18%，第二种盐水溶液含盐率6%，要得到10%的盐水溶液，需在第一种盐水溶液中加入第二种盐水溶液（　　） A．20千克 B．30千克 C．36千克 D．40千克 9．现有含盐率20%的盐水80克，在其中加入16克的水，要使含盐率不变，应加入多少克的盐？（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 10．甲、乙、丙、丁四个杯子中都盛有糖水，甲杯中含糖12%，乙杯中的糖和水分别为3g和297g,丙杯中含水98.7%，丁杯中原含糖3g、水240g,后来又加了70g水。则四杯糖水含糖百分比最低的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二．填空题（共5小题） 11．三角形三个内角的度数比是1：2：3，则这个三角形三个内角分别是 ______°、______°和 ______°，这是一个 ______三角形。 12．红领巾是少先队员的标志，它的形状是一个等腰三角形，三个角的度数比是4：1：1，那么它的顶角是______度． 13．已知甲瓶盐水的浓度是8%，乙瓶盐水的浓度是5%，混合后的浓度是6.2%，那么瓶甲瓶盐水和1瓶乙瓶盐水混合后的浓度是 ______。 14．一瓶600克的糖水中含糖50克，喝掉后又加入33克水，为了使糖水的浓度和原来一样，必须加入______克糖． 15．师徒两人合作完成一项工程，由于配合得好，师傅的工作效率比单独做时要提高，徒弟的工作效率单独做时提高，两人合作6天，完成全部工程的，接着徒弟又单独做6天，这时这项工程还有未完成，如果这项工程由师傅一人做，______天完成。 三．应用题（共7小题） 16．某区参加英语比赛的男女生人数比是4：3，结果有91人获奖，获奖者中男女生人数比是8：5，没有获奖的人中，男女生人数比是3：4．这个区参加英语比赛的一共有多少人？ 17． 前进路小学有120名同学参加数学竞赛，共有80人分别获一、二、三等奖．其中获一、二等奖的人数之比是3：5，获三等奖的人数占获奖总人数的．获得-、二、三等奖的同学各有多少人？ 18． 修一条长2400m的路，甲队单独修要8天修完，乙队单独修要10天修完，甲队单独修了全程的后，剩下的再由甲、乙两队合作完成，还要多少天才能修完？ 19． 甲容器中有浓度为2%的盐水180升，乙容器中有浓度为9%的盐水若干升，从乙容器中取出240升盐水倒入甲容器。再往乙容器中倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水。问：再往乙容器中倒入多少升水？ 20． 一瓶糖水的质量是400克，浓度为10%，如果要把这瓶糖水调为浓度为8%的糖水，需要往里面加入多少克水？（糖水的浓度是指糖水中糖的质量与糖水质量的百分比。） 21． 甲、乙两人合作为400米的环形花坛铺设草坪，两人同时从同一地点背向而行各自铺设，最初甲铺设草坪的速度比乙快，后来乙用了10分钟去调换工具，回来继续铺设，但工作效率比原来提高了一倍。结果从甲、乙开始铺设时间算起，经过1小时，就完成了铺设草坪工作，并且两人铺设的草坪距离一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？ 22．水果店以10元/千克买入一批水果，加四成的利润后定价出售，当卖出水果剩下时，这时已收回成本，并获利240元。 （1）求原来水果重多少千克？ （2）一直把这批水果售完可获利多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 分数问题（二） 考点目录 1、按比例分配 2 2、工程问题 5 3、利润和利息问题 11 4、浓度问题 16 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 按比例分配 ★★★ ★★ 工程问题 ★★ ★★★ 利润和利息问题 ★★ ★★★★ 浓度问题 ★★★★ ★★★ 【考情分析】考查分数问题常以选择填空题和应用题的形式出现，其中选择题出现的比例又较高但是一般难度较低。主要命题点有：分数的大小比较、分数的拆项、巧算分数和、分数和百分数应用题问题、按比例分配、工程问题、利润和利息问题、浓度问题等问题，同学们在复习时应以基础为主，像分数的拆项、巧算分数和这类问题较难理解和掌握，同学们应在掌握基础的前提下多做相关题目加强理解。 热点突破1 关键知识 按比例分配 1．按比例分配定义： 在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配．这种分配方法通常叫做按比例分配． 2．解题方法： （1）求总份数 （2）想各部分占总数量的几分之几 （3）用分数乘法求出各部分是多少． 典型例题 例1： 例1：一堆由苹果核梨子组成的水果，苹果的质量和梨子的质量之比是4：3，现加入8斤梨子，水果的总质量变为64斤，求加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比为多少？ 【分析】根据题意，加入8斤梨子，水果总质量变为64斤，则原来这堆水果有64-8=56斤，已知苹果的质量和梨子的质量之比是4：3，所以1份为：56÷（4+3）=8斤，苹果：8×4=32斤，梨子：8×3+8=32斤，进而求出求加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比即可． 【解答】1份量：（64-8）÷（4+3）=8（斤） 苹果：8×4=32（斤） 梨子：8×3+8=32（斤） 苹果：梨子=32：32=1：1． 答：加入梨子后，水果中苹果和梨子的质量之比为1：1． 【点评】此题考查的目的是理解掌握按比例分配应用题的结构特征及解答规律． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2023•黄山）一个三角形的三个内角的度数比是2：3：5，这个三角形是（　　）三角形。 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰 【答案】B 【分析】把比看作份数，内角和是180°，那么1份是180°÷（2+3+5）=18°，最大角是18°×5=90°，则这个三角形是直角三角形。 【解答】解：180°÷（2+3+5） =180°÷10 =18° 18°×5=90° 答：这个三角形是直角三角形。 故选：B。 【跟踪训练2】三个数的平均数是9，这三个数的比是2：3：4，这三个数中最小的数是（　　） A．2 B．6 C．9 【答案】B 【分析】三个数的平均数是9，则三个数的和是3×9，再根据按比分配原则，求最小的数即可。 【解答】解：9×3÷（2+3+4）×2 =27÷9×2 =3×2 =6 答：这三个数中最小的数是6。 故选：B。 【跟踪训练3】甲、乙、丙三个数的比是5：7：8，这三个数的平均数是200，这三个数分别是______，______，______． 【分析】先求出总份数5+7+8=20，再求出这三个数分别占总数的几分之几，然后求出三个数的和，根据一个数乘分数的意义，求出各数，解决问题． 【解答】解：5+7+8=20 200×3=600 600×=150 600×=210 600×=240 答：这三个数分别是150、210、240． 故答案为：150、210、240． 【跟踪训练4】红领巾是少先队员的标志，它的形状是一个等腰三角形，三个角的度数比是4：1：1，那么它的顶角是______度． 【分析】首先要知道三角形的内角和是180°，根据三个角的度数比是4：1：1，把这个三角形的内角和看作1+1+4=6份，先求出一份的度数，再求顶角的度数即可． 【解答】解：180÷（1+1+4）×4 =180÷6×4 =120（度） 答：它的顶角是120度． 故答案为：120． 【跟踪训练5】四、五、六年级同学给学校图书室整理800本图书，四年级整理了图书总数的20%，剩下的按3：5分给五年级和六年级．四、五、六年级各整理了多少本图书？ 【分析】把总本数看作单位“1”，四年级整理了图书总数的20%，四年级整理了图书的本数是800×20%=160（本），剩下的本数是800-160=640（本），再求出总份数，即3+5=8份，然后除剩下的本数，求出每份的本数，再分别乘3、5求出五、六年级整理的本数即可． 【解答】解：800×20%=160（本） 800-160=640（本） 640÷（3+5）=80（本） 80×3=240（本） 80×5=400（本） 答：四、五、六年级分别整理了图书160本、240本、400本． 【跟踪训练6】兄弟两人，每月收入的比是4：3，支出钱数的比是18：13．他们两人都结余360元，问每人每月各收入多少元？ 【分析】由兄弟二人每月支出的钱的比是18：13，设其中的一份为x元．所以哥哥支出18x元，弟弟支出13x元，然后分别求出每月的总钱数，根据收入的比4：3，列出比例进行解答，进一步求出各自的收入即可． 【解答】解；兄弟二人每月节余的钱一样多． 由兄弟二人每月支出的钱的比是18：13，设其中的一份为x元，则哥哥支出18x元，弟弟支出13x元． （18x+360）：（13x+360）=4：3   54x+1080=54x+1440 解得：x=180 哥哥每月收入：18×180+360=3600（元）， 弟弟每月收入：180×13+360=2700（元）， 答：哥哥每月收入3600元，弟弟每月收入2700元． 热点突破2 关键知识 工程问题 工程问题公式 （1）一般公式：工效×工时=工作总量；　　工作总量÷工时=工效； 工作总量÷工效=工时． （2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式： 1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几； 1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间． （注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便．） 解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间． 典型例题 例1： 例1：师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个，完成任务时，徒弟比师傅少加工120个．这批零件共有多少个？ 【分析】求出师傅比徒弟每小时多加工零件个数，然后依据工作时间=多的工作总量÷每小时多做零件个数，求出两人完成任务需要的时间，最后根据工作总量=工作效率×工作时间即可解答． 解：120÷（9-5）×（9+5） =120÷4×14 =420（个） 【解答】这批零件共有420个． 【点评】解答本题的关键是求出两人完成任务需要的时间，解答依据是工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系． 例2：一项工程，甲、乙两人合做8天可完成．甲单独做需12天完成．现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3．这个工程实际工期为多少天？ 【分析】由题意可知，甲、乙合作8天完成，甲、乙的合作工作效率为，甲单独12天完成，甲的工作效率为，那么乙的工作效率-=．人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3，设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：x+×3x=1，解此方程求出两人的合作时间后，即能求出实际工期为多少天． 【解答】-=． 设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程： x+×3x=1， x+x=1， x=1， x=4． 4+4×3 =4+12， =16（天）． 答：这个工程实际工期为16天． 【点评】首先根据题意求出乙的工作效率，然后通过设未知数列出等量关系式是完成本题的关键． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024春•宛城区期中）一车队有a辆车，要把开挖地基时挖出的土方运走，因时间要求紧，需增加运输车辆。如果增加10辆车，需15次运完：若增加28辆车，10次就能运完。现经多方调协，增加了19辆车，运完这些土方需要（　　）次。 A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】依据题意可设每辆车每次运土方x立方米，每辆车每次运土方量×车数量×次数=开挖地基时挖出的土方量，由此列方程计算a,由此解答本题。 【解答】解：设每辆车每次运土方x立方米，由题意得： 15（a+10）x=10（a+28）x       15a+150=10a+280              5a=130                a=26 15×（26+10）x÷[（26+19）x] =15×36÷45 =12（次） 答：增加了19辆车，运完这些土方需要12次。 故选：B。 【跟踪训练2】（2023•潼南区）一项工程，甲单独做需要10小时完成，乙单独做需要15小时完成。现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果7小时才完成，甲停工了（　　）小时。 A．3.5 B．3 C． D．18 【答案】C 【分析】将工作总量看作单位“1“，设甲停工了 x 小时，根据甲的效率×工作时间+乙的效率×工作时间=1，列出方程，求出x的值即可。 【解答】解：甲的效率： 乙的效率： 设甲停工了 x 小时。 ×（7-x ）+×7=1   -x+=1 1x= x=  x=1 答：甲停工了1时。 故选：C。 【跟踪训练3】（2025•渝北区）某工程，可用若干台机器在规定时间内完成，如果增加两台机器，则节省了八分之一的时间，如果减少两台机器，就要推迟小时完工。那么一台机器完成这个工程需要 ______小时。 【答案】56。 【分析】我们把1台机器1个小时的工作量看作是“1”，增加两台机器，则节省了八分之一的时间说明增加2台机器，工作时间是之前的（1-=）；因为工作总量相同，那么新的工作效率是之前工作效率的，即机器的台数是之前的，所以原有机器2÷（-1）=14（台）；减少两台机器，机器的台数为14-2=12（台），和之前相比，工作效率为12：14=6：7，那么工作时间之比为7：6，所以之前的工作时间为÷（7-6）×6=4（小时），再根据“工作总量=工作效率×工作时间”计算出工作效率，再用工作总量除以机器台数，就是1台机器完成需要的时间。 【解答】解：1-= 新的工作效率是之前工作效率的，即机器的台数是之前的。 2÷（-1） =2÷ =14（台） 14-2=12（台） 12：14=6：7 ÷（7-6）×6 =÷1×6 =×6 =4（小时） 14×4=56 56÷1=56（小时） 答：一台机器完成这个工程需要56小时。 故答案为：56。 【跟踪训练4】（2025•重庆模拟）师徒两人合作完成一项工程，由于配合得好，师傅的工作效率比单独做时要提高，徒弟的工作效率单独做时提高，两人合作6天，完成全部工程的，接着徒弟又单独做6天，这时这项工程还有未完成，如果这项工程由师傅一人做，______天完成。 【答案】33。 【分析】师徒两人合作6天完成了全部工程的，还剩下全部工程的；接着徒弟又单独干了6天，这时这项工程还有未完成，因此徒弟单独干6天完成了全部工程的1--=，即徒弟每天完成全部工程的；师徒合作时徒弟的效率为×（1+）=，则六天徒弟完成了全部工程的，那么师傅在六天内完成了全部工程的，则此时师傅的效率为，从而师傅单干时的效率÷（1+）=，于是如果这项工程由师傅一人单独完成需要33天。 【解答】解：徒弟独做6天完成：1--= 徒弟独做的效率为：÷6= 师徒合作时徒弟的效率为：×（1+）= 师傅单干时的效率：÷（1+）=， 师傅单独做需要的时间：1=33（天） 答：这项工程由师傅一人做33天完成。 故答案为：33。 【跟踪训练5】（2025•重庆模拟）甲乙丙三人合修一堵围墙，甲乙合修6天完成，乙丙合修2天完成余下工程的，剩下的再由甲乙丙三人合修5天完成，现在领工资1800元，依工作量分配，甲应得多少元？ 【答案】330元。 【分析】根据乙丙合修2天完成余下工程的，求出乙、丙的工作效率之和；再根据剩下的再由甲乙丙三人合修5天完成求出甲、乙、丙的工作效率之和，用甲、乙、丙的工作效率之和减去乙、丙的工作效率之和即可求出甲的工作效率，用甲的工作效率乘甲的工作时间即可求出甲的工作总量，用一共领到的工资乘甲的工作总量即可求解本题。 【解答】解：（1-）×÷2= [1--（1-）×]÷5= -= ×（6+5）= ×1800=330（元） 答：依工作量分配，甲应得330元。 【跟踪训练6】（2024•管城区模拟）一队工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍，上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这队工人中有的人去了甲工地，其他工人到乙工地。到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这队工人有多少人？ 【答案】36人。 【分析】因为上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，则上午去甲工地的人数是总人数的3÷（1+3）=，去乙工地的人数是总人数是1-=，下午去甲工地的人数是总人数的，则去乙工地的人数是总人数是1-=，把这批工人一天的工作量看作单位“1”，甲工地的工作量为（）×，，乙工地完成（）×，，还需4名工人再做1天，则这批工人有4（人）。 【解答】解：上午去甲工地的人数是总人数的：3÷（1+3）= 去乙工地的人数是总人数的1-= 下午去乙工地的人数是总人数的： 甲工地的工作量（）× 乙工地的工作量 乙工地完成的工作量：（）× 剩下的工作量 总人数为4（人） 答：这批工人有36人。 热点突破3 关键知识 利润和利息问题 主要公式： ①商品利润=商品售价-商品进价； ②商品利润率=商品利润/商品进价×100%； ③商品销售额=商品销售价×商品销售量； ④商品的销售利润=（销售价-成本价）×销售量． ⑤商品售价=商品标价×折扣率． 利息=本金×利率×存期；（注意：利息税）． 本息=本金+利息， 利息税=利息×利息税率． 注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率=月利率×12=日利率×365． 典型例题 例1： 例1：商店购进了一批钢笔，决定以每支9.5元的价格出售．第一个星期卖出了60%，这时还差84元收回全部成本．又过了一个星期后全部售出，总共获得利润372元．那么商店购进这批钢笔的价格是每支多少元？ 【分析】又过了一个星期全部售出后，总共获得利润372元，在这之前是还差84元才可以收回全部成本，说明又买出的这部分的总额为372+84=456（元），买出的这部分钢笔的数量是456÷9.5=48（支），而这48支相当于总数的1-60%=40%，求出总支数为48÷40%=120（支）；然后求出每支钢笔盈利为372÷120=3.1（元），再用每支钢笔的定价减去盈利的部分即为购进价． 【解答】这批钢笔的总数量： （372+84）÷9.5÷（1-60%）， =456÷9.5÷0.4， =48÷0.4， =120（支）； 每支钢笔的购进价： 9.5-372÷120， =9.5-3.1， =6.4（元）； 答：商店购进这批钢笔的价格是每支6.4元． 【点评】此题条件较复杂，需认真分析，先求出这批钢笔的数量是解决此题的关键． 跟踪训练 【跟踪训练1】某超市按进价加40%作为定价销售某种商品，可是销售得不好，只卖出了，后来老板按定价减价40%以210元出售，很快就卖完了，则这次生意盈亏情况是（　　） A．不亏不赚 B．平均每件亏了5元 C．平均每件赚了5元 D．不能确定 【答案】B 【分析】此题只要根据题意列式即可．“有一个商店把某件商品按进价加40%作为定价”中可设未知进价为x,即可得：定价=x（1+40%）．“后来老板按定价减价 40%以210元出售，”中又可得根据题意可得关于x的方程式，求解可得现价，比较可得答案． 【解答】解：根据题意：设未知进价为x, 可得：x•（1+40%）•（1-40%）=210 解得：x=250； 250×（1+40%）×+210×=245， 250-245=5， 所以这次生意平均每件亏了5元． 故选：B． 【跟踪训练2】商家获得的利润按照如下公式计算：利润=售价-进价-售价×税率，若税率由b%调整为c%，且商品的进价和利润都未改变，则商品的售价是原来的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】设利润为a,进价为n,原来的售价为x,现在的售价为y,根据利润=售价-进价-售价×税率，用字母分别表示出现在的售价和原来的售价，再用现在的售价÷原来的售价即可。 【解答】解：设利润为a,进价为n,原来的售价为x,现在的售价为y,原来的税率为b%，所以 a=x-n-b%x,所以 同理可得现在的售价y=，y：x=：=。 故选：B。 【跟踪训练3】甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是______元． 【分析】设甲成本为x元，则乙为2200-x元，分别把甲、乙商品定价后的价钱求出，然后根据一个数乘分数的意义，求出后来都按定价的90%打折出售的总价钱，继而根据“按定价的90%打折出售的总价钱-成本价=获利钱数（131）”列出方程，解答即可． 【解答】解：设甲成本为x元，则乙为2200-x元，则： 90%×[（1+20%）x+（2200-x）×（1+15%）]-2200=131           0.9×[1.2x+2200×1.15-1.15x]-2200=131                      0.9×[0.05x+2530]-2200=131                            0.045x+2277-2200=131                                  0.045x+77=131                                          x=1200 答：甲商品的成本是1200元． 故答案为：1200． 【跟踪训练4】某种风险发生的可能性为万分之15，针对该风险的寿险品种的保险标准是每万元保额缴纳保费50元，保险公司计划将所收保费的30%用于公司运营，70%用于支付保险赔付，如果该保险每年销售1000万份（每份保额1000元），那么，在正常情况下，按33%向国家缴纳所得税后，该险种每年可使保险公司获得税后利润 ______万元． 【分析】总收入：每万元保额缴纳保费50元，那么1000元的保费就是5元，1000万份共收入：1000万×5=5000万； 30%用于公司经营，这部分不计算在利润，也不纳税； 70%用于支付保险赔付，风险发生的可能性为万分之15，那么，求出1000万份可能发生多少起风险，每起风险要赔付1000元，求出赔付的总金额，这部分也不需要纳税； 剩下的钱数就是应纳所得税额，乘税率33%就是应缴的税金，剩下的钱数就是公司利润． 【解答】解：保额是1000元，那么保费是5元； 1000×5=5000（万元）； 5000×70%=3500（万元）； 1000×=1.5（万起）； 1.5×1000=1500（万元）； 3500-1500=2000（万元）； 2000-2000×33%， =2000-660， =1340（万元）； 答：该险种每年可使保险公司获得税后利润1340万元． 故答案为：1340． 【跟踪训练5】甲乙两种商品，成本共2000元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，后来都按定价打九折卖出去了，结果仍获利223元，甲商品的成本是多少元？ 【答案】700元。 【分析】设甲商品的成本是x元，则乙商品的成本是（2000-x）元，根据甲乙都是按定价打九折卖出去后获利223元，列方程求解即可。 【解答】解：设甲商品的成本是x元，则乙商品的成本是（2000-x）元。 [（1+30%）x+（1+20%）（2000-x）]×90%-2000=223 [1.3x+1.2×（2000-x）]×90%-2000=223 [1.3x+2400-1.2x]×90%-2000=223 [（0.1x+2400]×90%-2000=223 0.09x+2160-2000=223 0.09x+160=223  0.09x=63  x=700 答：甲商品的成本是700元。 【跟踪训练6】某微商一次购进了一种时令水果250千克，开始两天他以每千克高于进价40%的价格卖出180千克。第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种水果在前两天的售价基础上打4折全部售出，最后他卖该种水果获得618元的利润，计算商家打折卖出的该种剩余水果亏了多少元？ 【答案】462元。 【分析】设进价为x元/千克，根据前后一共获利618元，列出方程，求出x的值，然后根据总额减去进货总价来计算商家打折卖出的该种剩余水果亏了多少元即可。 【解答】解：设进价为x元/千克。依据题意可得： 180（1+40%）x+（250-180）×40%×（1+40%）x-250x=618 180×1.4x+70×0.4×1.4x-250x=618  252x+39.2x-250x=618 41.2x=618  41.2x÷41.2=618÷41.2   x=15 （250-180）×15-（250-180）×15×（1+40%）×0.4 =70×15-70×15×1.4×0.4 =1050-588 =462（元） 答：商家打折卖出的该种剩余水果亏了462元。 热点突破4 关键知识 浓度问题 基本数量关系： 溶液质量=溶质质量+溶剂质量； 溶质质量=溶液中所含溶质的质量分数． 这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意． 典型例题 例1： 例1：A，B，C三个试管中各盛有10克、20克、30克水．把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出10克倒入C中．现在C中盐水浓度是0.5%．问最早倒入A中的盐水浓度是多少？ 【分析】混合后，三个试管中的盐水分别是20克、30克、40克，又知C管中的浓度为0.5%，可算出C管中的盐是：40×0.5%=0.2（克）．由于原来C管中只有水，说明这0.2克的盐来自从B管中倒入的10克盐水里． B管倒入C管的盐水和留下的盐水浓度是一样的，10克盐水中有0.2克盐，那么原来B管30克盐水就应该含盐：0.2×3=0.6（克）．而且这0.6克盐来自从A管倒入的10克盐水中． A管倒入B管的盐水和留下的盐水的浓度是一样的，10克盐水中有0.6克盐，说明原A管中20克盐水含盐：0.6×2=1.2（克），而且这1.2克的盐全部来自某种浓度的盐水．即说明倒入A管中的10克盐水含盐1.2克．所以，某种浓度的盐水的浓度是1.2÷10×100%=12% 【解答】B中盐水的浓度是： （30+10）×0.5%÷10×100%， =40×0.005÷10×100%， =2%． 现在A中盐水的浓度是： （20+10）×2%÷10×100%， =30×0.002÷10×100%， =6%． 最早倒入A中的盐水浓度为： （10+10）×6%÷10， =20×6%÷10， =12%． 答：最早倒入A中的盐水浓度为12%． 【点评】不管是哪类的浓度问题，最关键的思维是要抓住题中没有变化的量，不管哪个试管中的盐，都是来自最初的某种浓度的盐水中，运用倒推的思维来解答． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024•苏州）现有含糖量为7%的糖水600克，要使其含糖量增加到10%，需要再加糖（　　）克。 A．20 B．30 C．40 D．60 【答案】A 【分析】根据题意可知，糖水的质量×含糖率=糖的质量，则把原来的糖水看作单位“1”，根据百分数乘法的意义，用600×7%即可求出原来糖的质量，设要使其含糖量增加到10%，需要再加糖x克，则现在的糖水有（600+x）克，糖有（600×7%+x）克，据此列方程为（600+x）×10%=600×7%+x,然后解出方程即可。 【解答】解：设要使其含糖量增加到10%，需要再加糖x克。 （600+x）×10%=600×7%+x   60+10%x=42+x   60-42=x-0.1x    0.9x=18   x=20 答：要使其含糖量增加到10%，需要再加糖20克。 故选：A。 【跟踪训练2】一瓶药液含药为80%，倒出后再加满水，再倒出后仍用水加满，再倒出后还用水加满，这时药液含药为（　　） A．50% B．30% C．35% D．32% 【答案】D 【分析】分析题意可知，每次倒出后又加满水，说明药液没变，只是药在变少，由此把药液设为10份，其中药8份，水2份，第一次倒出，再加满水，药还剩8×（1-）=，第二次再倒出，再加满水，这时药还剩×（1-）=4，第三次再倒出，再加满水，这时药还剩（1-）=，再根据药液浓度=药的质量÷药液的质量×100%，即可解决． 【解答】解：先把药液设为10份，其中药8份，水2份， [8×（1-）×（1-）×（1-）]÷10×100%， =3.2÷10×100%， =32%； 答：这时药液含药为32%； 故选：D． 【跟踪训练3】（2024•渝北区）两个杯子中分别装有浓度为40%与10%的食盐水，倒在一起混合后，浓度是30%。若再加入300克20%的食盐水，则浓度变为25%，那么原来有40%的食盐水 ______克。 【答案】200。 【分析】先给个名称好区分。“40%的盐水”称为“甲盐水”，“10%的盐水”称为“乙盐水”，“20%的盐水”称为“丙盐水”。甲盐水和乙盐水的重量比是：（30%-10%）：（40%-30%）=2：1，甲乙混合后的盐水和丙盐水的重量比是：（25%-20%）：（30%-25%）=1：1，所以甲盐水和乙盐水共300克．由此即可求得甲种盐水的质量。 【解答】解：根据题干分析可得： 甲盐水和乙盐水的重量比是：（30%-10%）：（40%-30%）=2：1 甲乙混合后的盐水和丙盐水的重量比是：（25%-20%）：（30%-25%）=1：1 所以甲盐水和乙盐水等于丙盐水的重量为：300克 2+1=3 300×=200（克） 答：原有40%的盐水200克。 故答案为：200。 【跟踪训练4】（2024•北碚区）一瓶纯酒精，倒出一半后加满水混合；然后又倒出溶液，再用水加满；最后又倒出一半，再加满水。如此三次后，瓶中酒精浓度为 ______。 【答案】18.75%。 【分析】设份法，设瓶中原纯酒精100份。根据每次倒出酒精的分率求出三次后酒精含量和水的含量，最后根据“浓度=溶质÷溶液”即可解答。 【解答】解：设瓶中原纯酒精100份。 第一次兑水后含有酒精：100×=50（份），含有水100-50=50（份）； 第二次兑水后含有酒精：50×（1-）=37.5（份），含有水：100-37.5=62.5（份）； 第三次兑水后含有酒精：37.5×=18.75（份），含有水：100-18.75=81.25（份）。 所以浓度为：18.75÷100×100%=18.75% 答：如此三次后，瓶中酒精浓度为18.75%。 故答案为：18.75%。 【跟踪训练5】（2024•渝北区）甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合，接着将乙容器中一部分混合溶液倒入甲容器，这样甲容器中酒精含量为62.5%，乙容器中酒精含量为25%，那么从乙容器倒入甲容器的混合溶液是多少升？ 【答案】6升。 【分析】根据浓度的计算方法，找出最终酒精与混合液的比，建立等量关系，列方程求解。 【解答】解：设从乙倒入甲x升。 对乙容器： 因为酒精：混合液=25%， 所以酒精：水=25%：（1-25%）=1：3，也就是倒入的酒精为15：3=5（升） 对甲容器：剩余的酒精为11-5=6（升）， （6+25%x）÷（6+x）=62.5%   6+0.25x=3.75+0.625x   0.325x=2.25  x=6 答：从乙容器倒入甲容器的混合溶液是6升。 【跟踪训练6】（2024•玄武区）两个杯中分别装有浓度为45%与15%的盐水，倒在一起后混合盐水的浓度为35%，若再加入300克浓度为20%的盐水，则变成浓度为30%的盐水，则原来浓度为45%的盐水有多少克？ 【答案】400克。 【分析】依据题意设浓度为35%的盐水质量为x克，利用盐水质量×盐水浓度=盐的质量，由此列方程计算浓度为35%的盐水质量，设原来浓度为45%的盐水有y克，利用盐水质量×盐水浓度=盐的质量，由此列方程计算浓度为45%的盐水质量。 【解答】解：设浓度为35%的盐水质量为x克，由题意得： 35%x+300×20%=（x+300）×30%  0.35x+60=0.3x+90  0.05x=30 x=600 设原来浓度为45%的盐水有y克，由题意得： 45%y+（600-y）×15%=600×35% 0.45y+600×0.15-0.15y=600×0.35 0.3y+90=210 y=400 答：原来浓度为45%的盐水有400克。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 分数问题（二） 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．某商场将运动衣按进价的50%加价后，写上“大酬宾，八折优惠”，结果每件运动衣仍获利20元，运动衣的进价是（　　）元． A．110 B．120 C．130 D．100 【答案】D 【分析】设进价是x元，并把进价看成单位“1”，原价就是（1+50%）x元，再把原价看成单位“1”，现价就是原价的80%，用乘法求出现价；现价减去成本价就是20元，由此列出方程求解． 【解答】解：设进价是x元，由题意得： （1+50%）x×80%-x=20， 1.5x×0.8-x=20，    1.2x-x=20，    0.2x=20，    x=100； 答：运动衣的进价是100元． 故选：D． 2．一个三角形的三个内角的度数比是2：2：5，如果将三角形按角分类是（　　） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形   【答案】C 【分析】根据三个内角的度数比是2：2：5，可以判断这是一个等腰三角形，再根据三角形的内角和是180°，把180度按2：2：5进行比例分配，求出最大的角的度数，判断三角形的种类即可。 【解答】解：180°×=100° 100度是一个钝角，因此这个三角形按角分是一个钝角三角形。 故选：C。 3．一辆客车从甲地到乙地，第一天行驶了全程的，第二天行驶了450千米，这时已行路程和剩下路程的比是3：7．甲乙两地相距（　　）千米． A．750 B．900 C．2250 D．4500 【答案】D 【分析】行了两天后，已行的路程与剩下的路程的比是3：7，即前两天共行了全程的，由于第一天行了全程 的，则第二天行了全程的（-），则甲、乙两地相距450÷（-）千米． 【解答】解：450÷（-） =450÷（-） =450÷ =4500（千米） 答：甲乙两地相距4500千米． 故选：D． 4．某开发商按照分期付款的形式售房．张明家购买了一套现价为12万元的新房，购房时需首付（第一年）款3万元，从第二年起，以后每年应付房款5000元，与上一年剩余欠款的利息之和．已知剩余欠款的年利率为0.4%，第（　　）年张明家需要交房款5200元． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】第一年付：30000（元）， 第二年付：5000+90000×0.4%=5360（元）， 第三年付：5000+85000×0.4%=5340（元）， 第四年付：5000+80000×0.4%=5320（元）， … 以此类推： 第十年付：5200元． 此题可用方程解答，设第x年，小明家需交房款5200元，根据题意列出方程： 5000+[（120000-30000）-5000×（x-2）]×0.4%=5200，解这个方程即可． 【解答】解：设第x年，小明家需交房款5200元，由题意得： 5000+[（120000-30000）-5000×（x-2）]×0.4%=5200，             5000+[90000-5000x+10000]×0.4%=5200，                5000+（100000-5000x）×0.4%=5200，                                     400-20x=200，                                         20x=200，                                           x=10． 答：第10年张明家需要交房款5200元． 故选：D。 5．甲、乙两工程队合修一段公路，原计划甲工程队修的米数是乙工程队的，实际甲工程队多修600米．此时，乙工程队修的米数与甲工程队比是2：3．原计划甲工程队应修（　　）米． A．1500 B．2000 C．3500 D．2500 【答案】B 【分析】先求出原计划甲工程队修这段路的比例，再求出实际甲工程队修的这段公路的比例，用600除以多修的比例即可的这段公路的长度，再用公路的长度乘以1-即可得乙工程队应修的米数，再求甲工程队的即可． 【解答】解： = = 3÷（2+3） =3÷5 = 600÷（） =600÷ =3500（米） 3500×（1-） =3500× =2000（米） 2000×=1500（米） 答：甲工程队原计划应修1500米． 故选：B． 6．甲每分钟能洗3个盘子或者9个碗，乙每分钟能洗2个盘子或者7个碗，甲、乙两人合作。20分钟后，两人共洗了151个盘子和碗。其中盘子最多洗了（　　）个。 A．60 B．75 C．76 D．79 【答案】D 【分析】用假设法：假设甲乙洗的都是盘子，则洗了 20×（2+3）=100（个），少了 151-100=51（个）；51也可以等于6+45，即甲洗1分钟的碗，19分钟的盘子，乙洗11分钟的盘子，9分钟的碗，则甲碗、盘总共洗了：19×3+9×1=66（个），乙碗、盘共洗了：11×2+7×9=85（个），甲乙总共洗了66+85=151（个），则总共洗的盘子：19×3+11×2=79（个），据此解答。 【解答】解：假设20分钟都洗盘子， 则可洗（2+3）×20=100（个） 共少洗了151-100=51（个） 51=6+45， 即甲洗1分钟的碗，19分钟的盘子，乙洗11分钟的盘子，9分钟的碗， 则甲碗、盘总共洗了： 19×3+9×1 =57+9 =66（个） 乙碗、盘共洗了： 11×2+7×9 =22+63 =85（个） 甲乙总共洗了66+85=151（个） 则总共洗的盘子： 19×3+11×2 =57+22 =79（个） 答：盘子最多洗了79个。 故选：D。 7．加工一批零件，前一半时间加工的零件个数和后一半时间加工的个数之比是3：2，则加工前一半零件所需的时间是加工后一半零件所需时间的（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】运用赋值法，令零件总数是10个，共用时间是2分钟，那么第一分钟加工了6个，第二分钟加工了4个；前6个零件用1分钟，那么一共零件就用分钟，由此求出前5个零件用的时间，用2分钟减去前5个零件用的时间就是后5个零件用的时间；然后用前5个零件用的时间除以后5个零件用的时间即可． 【解答】解：令零件总数是10个，共用时间是2分钟； 3+2=5； 第1分钟加工零件数：10×=6（个）， 每个零件用时分钟； ×5=（分钟）； ÷（2-）， =， =； 答：加工前一半零件所需的时间是加工后一半零件所需时间的． 故选：A． 8．第一种盐水溶液20千克，含盐率18%，第二种盐水溶液含盐率6%，要得到10%的盐水溶液，需在第一种盐水溶液中加入第二种盐水溶液（　　） A．20千克 B．30千克 C．36千克 D．40千克 【答案】D 【分析】依据题意设需在第一种盐水溶液中加入第二种盐水溶液x千克，则后来盐水中盐的质量为：（20+x）×10%，根据后来盐水中盐的质量-第一种盐水中盐的质量=第二种盐水中盐的质量，列方程计算即可。 【解答】解：设需在第一种盐水溶液中加入第二种盐水溶液x千克，则后来盐水中盐的质量为：（20+x）×10%，由题意得： （20+x）×10%-20×18%=x×6%                 200+10x-360=6x                                4x=160                                 x=40 答：需在第一种盐水溶液中加入第二种盐水溶液40千克。 故选：D。 9．现有含盐率20%的盐水80克，在其中加入16克的水，要使含盐率不变，应加入多少克的盐？（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据含盐率=盐的质量÷盐水的质量，设加入盐的质量为x克，则盐水的质量为（x+16）克，列方程解答即可。 【解答】解：x÷（x+16）=20%   x=0.2×（x+16）   x=0.2x+3.2  x-0.2x=3.2   0.8x=3.2   x=3.2÷0.8   x=4 答：应加入4克的盐。 故选：B。 10．甲、乙、丙、丁四个杯子中都盛有糖水，甲杯中含糖12%，乙杯中的糖和水分别为3g和297g,丙杯中含水98.7%，丁杯中原含糖3g、水240g,后来又加了70g水。则四杯糖水含糖百分比最低的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据“糖水的含糖率=×100%”，分别求出乙杯和丁杯中糖水的含糖率；然后用“1”减去98.7%，求出丙杯中糖水的含糖率；最后比较四个杯子中糖水的含糖率大小即可。 【解答】解：×100%=1% 1-98.7%=1.3% ×100%≈0.96% 0.96%＜1%＜1.3%＜12% 答：四杯糖水含糖百分比最低的是丁。 故选：D。 二．填空题（共5小题） 11．三角形三个内角的度数比是1：2：3，则这个三角形三个内角分别是 ______°、______°和 ______°，这是一个 ______三角形。 【答案】30；60；90；直角。 【分析】根据三角形内角和为180°，把180°平均分成（1+2+3）份，求出其中的一份是多少度，再分别乘2和3，求出另外两个角的度数。根据角的分类进行判断即可。 【解答】解：180°÷（1+2+3） =180°÷6 =30° 30°×2=60° 30°×3=90° 有一个角是90°，所以这是一个直角三角形。 答：这个三角形三个内角分别是30°、60°和90°，这是一个直角三角形。 故答案为：30；60；90；直角。 12．红领巾是少先队员的标志，它的形状是一个等腰三角形，三个角的度数比是4：1：1，那么它的顶角是______度． 【分析】首先要知道三角形的内角和是180°，根据三个角的度数比是4：1：1，把这个三角形的内角和看作1+1+4=6份，先求出一份的度数，再求顶角的度数即可． 【解答】解：180÷（1+1+4）×4 =180÷6×4 =120（度） 答：它的顶角是120度． 故答案为：120． 13．已知甲瓶盐水的浓度是8%，乙瓶盐水的浓度是5%，混合后的浓度是6.2%，那么瓶甲瓶盐水和1瓶乙瓶盐水混合后的浓度是 ______。 【答案】5.43%。 【分析】根据题意，分别设甲瓶盐水质量为a,乙瓶盐水的质量是b,根据它们混合后浓度是6.2%为等量关系，求出ab之间的数量关系，然后再进一步求出四分之一的甲瓶盐水与1瓶乙瓶盐水混合后的浓度即可。 【解答】解：设甲瓶盐水质量为a,乙瓶盐水的质量是b。 （8%a+5%b）÷（a+b）=6.2%，  8%a+5%b=6.2%a+6.2%b  1.8%a=1.2%b   a=b （a×8%+b×5%）÷（a+b） =（b+b）÷（b+b） =÷ ≈5.43% 答：瓶甲瓶盐水和1瓶乙瓶盐水混合后的浓度是5.43%。 故答案为：5.43%。 14．一瓶600克的糖水中含糖50克，喝掉后又加入33克水，为了使糖水的浓度和原来一样，必须加入______克糖． 【分析】根据题意，加入的33克水溶解糖后和原来的浓度一样，利用比例解题． 【解答】解：设加入x克糖； 糖：水=糖：水 x：33=50：（600-50） x：33=50：550 x=3； 答：必须加入3克糖． 15．师徒两人合作完成一项工程，由于配合得好，师傅的工作效率比单独做时要提高，徒弟的工作效率单独做时提高，两人合作6天，完成全部工程的，接着徒弟又单独做6天，这时这项工程还有未完成，如果这项工程由师傅一人做，______天完成。 【答案】33。 【分析】师徒两人合作6天完成了全部工程的，还剩下全部工程的；接着徒弟又单独干了6天，这时这项工程还有未完成，因此徒弟单独干6天完成了全部工程的1--=，即徒弟每天完成全部工程的；师徒合作时徒弟的效率为×（1+）=，则六天徒弟完成了全部工程的，那么师傅在六天内完成了全部工程的，则此时师傅的效率为，从而师傅单干时的效率÷（1+）=，于是如果这项工程由师傅一人单独完成需要33天。 【解答】解：徒弟独做6天完成：1--= 徒弟独做的效率为：÷6= 师徒合作时徒弟的效率为：×（1+）= 师傅单干时的效率：÷（1+）=， 师傅单独做需要的时间：1=33（天） 答：这项工程由师傅一人做33天完成。 故答案为：33。 三．应用题（共7小题） 16．某区参加英语比赛的男女生人数比是4：3，结果有91人获奖，获奖者中男女生人数比是8：5，没有获奖的人中，男女生人数比是3：4．这个区参加英语比赛的一共有多少人？ 【分析】先依据“结果获奖91人，其中男生与女生人数之比是8：5”，利用按比例分配的方法求出获奖的男女生的人数；然后设未获奖的男生有3x人，那么未获奖的女生有4x人，再根据参加考试的男女生人数比，即可列比例求解． 【解答】解：8+5=13 91÷13=7（人） 7×8=56（人） 7×5=35（人） 设未获奖的男生有3x人，未获奖的女生有4x人， （56+3x）：（35+4x）=4：3    （56+3x）×3=（35+4x）×4     168+9x=140+16x     7x=168-140     7x=28     x=4 所以未获奖男生：4×3=12（人）， 未获奖的女生：4×4=16（人）． 总人数是：（56+12）+（35+16） =68+51 =119（人） 答：这个区参加英语比赛的一共有119人． 17．前进路小学有120名同学参加数学竞赛，共有80人分别获一、二、三等奖．其中获一、二等奖的人数之比是3：5，获三等奖的人数占获奖总人数的．获得-、二、三等奖的同学各有多少人？ 【分析】把获奖总人数看作单位“1”，用获奖总人数×=获三等奖的人数，再用获奖总人数减去获三等奖的人数求出获一、二等奖的人数，又根据获一、二等奖的人数比是3：5，也就是获一、二等奖的人数一共有3+5=8份，一等奖的人数占其中的3份，二等奖的人数占其中的5份，即获一等奖的人数是一、二等奖人数的，获二等奖的人数是一、二等奖人数的；再根据分数乘法的意义列式解答即可． 【解答】解：80×=48（人） 80-48=32（人） 32×=12（人） 32×=20（人） 答：获得一、二、三等奖的同学分别有12人、20人、48人． 18．修一条长2400m的路，甲队单独修要8天修完，乙队单独修要10天修完，甲队单独修了全程的后，剩下的再由甲、乙两队合作完成，还要多少天才能修完？ 【答案】2天。 【分析】首先把这条道路的长度看作单位“1”，根据：工作效率=工作量÷工作时间，分别用1除以两队单独修需要的天数，求出两队每天各修这条路的几分之几；然后根据：工作效率=工作量÷工作时间，用（1-）除以两队的工作效率之和，求出如果两队合修，多少天能修完即可。 【解答】解：1÷8= 1÷10= （1-）÷（+） =÷ =2（天） 答：还要2天才能修完。 19．甲容器中有浓度为2%的盐水180升，乙容器中有浓度为9%的盐水若干升，从乙容器中取出240升盐水倒入甲容器。再往乙容器中倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水。问：再往乙容器中倒入多少升水？ 【答案】140升。 【分析】甲容器中有浓度为2%的盐水180升，乙容器中取出240升盐水倒入甲容器。则可以算出甲容器中的盐的体积和盐水的体积；由于再往乙容器中倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水，则可知，甲乙两容器中的盐和盐水分别一样多。所以可以再利用甲容器中的盐的体积和乙容器中有浓度为9%计算出乙中剩下盐水。最后计算出要倒入水的体积。 【解答】解：现在甲中含盐：180×2%+240×9%=25.2（升） 乙中剩下盐水：25.2÷9%=280（升） 还要倒入水：180+240-280=140（升） 答：再往乙容器中倒入140升水。 20．一瓶糖水的质量是400克，浓度为10%，如果要把这瓶糖水调为浓度为8%的糖水，需要往里面加入多少克水？（糖水的浓度是指糖水中糖的质量与糖水质量的百分比。） 【答案】需要往里面加水200克。 【分析】由于含糖量不变，根据含糖量，求得后来的糖水数量，用后来的糖水数量减去原来的糖水数量，解决问题。 【解答】解：400×10%÷8%-400 =500-400 =100（克） 答：需要往里面加水200克。 21．甲、乙两人合作为400米的环形花坛铺设草坪，两人同时从同一地点背向而行各自铺设，最初甲铺设草坪的速度比乙快，后来乙用了10分钟去调换工具，回来继续铺设，但工作效率比原来提高了一倍。结果从甲、乙开始铺设时间算起，经过1小时，就完成了铺设草坪工作，并且两人铺设的草坪距离一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？ 【答案】30分钟。 【分析】设乙原来铺设速度为v,最初甲铺设草坪的速度比乙快，则甲的铺设速度是乙的1+，又因为甲1小时即60分钟清理了400÷2=200（米），由此可得方程：60×（1+）v=200，求出v=2.5，乙后来回来继续铺设，但工作效率比原来提高了一倍，即为每分钟2.5×（1+1）米，再设乙换工具后又工作了x分钟，则乙按原速度铺设了（60-10-x）分钟，铺设了（60-10-x）×2.5米，后来铺设了2.5×（1+1）x米，由此可得方程：（60-10-x）×2.5+2.5×（1+1）x=400÷2，解答即可。 【解答】解：1小时=60分钟 设乙原来铺设速度为v。 60×（1+）v=400÷2 60×v=400÷2   80v÷80=200÷80   v=2.5 设乙换工具后又铺设了x分钟。 （60-10-x）×2.5+2.5×（1+1）x=400÷2 （50-x）×2.5+2.5×2x=200 125-2.5x+5x=200    125+2.5x-125=200-125    2.5x÷2.5=75÷2.5      x=30 答：乙换了工具后又工作了30分钟。 22．水果店以10元/千克买入一批水果，加四成的利润后定价出售，当卖出水果剩下时，这时已收回成本，并获利240元。 （1）求原来水果重多少千克？ （2）一直把这批水果售完可获利多少元？ 【答案】（1）480千克；（2）1920元。 【分析】（1）根据题意，水果的进价为10元/千克，加四成（即40%）的利润后定价出售，则水果的售价为10×（1+40%）=14元/千克。设原来水果重x千克，当卖出水果剩下时，即卖出了千克时，这时已收回成本，并获利240元，则每千克水果的售价×卖出水果的量-总成本=获利的钱数，即，据此解答。 （2）根据题意，每千克水果的利润为10×40%=4元，再乘水果的总量，即可算出把这批水果售完可获利多少元。 【解答】解：（1）设原来水果重x千克。 四成=40% 10×（1+40%） =10×140% =10×1.4 =14（元/千克） x=240×2 x=480 答：原来水果重480千克。 （2）10×40%×480 =10×0.4×480 =1920（元） 答：一直把这批水果售完可获利1920元。 学科网（北京）股份有限公司 $$