第3讲 分数问题（一）(讲义+强化训练)---2025小升初数学热点考点通关宝典

第 3 讲 分数问题（一）强化训练 一．选择题（共 10 小题） 1．如图所示各图中的圆表示“1”，则 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + 1 10 的和最接近图（　　） 中的阴影部分。 A． B． C． D． 2．计算 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 + 1 128 +……，照这样不断加下去，总和接近（　　） A．1 B．2 C．10 D．100 3．将 2000减去它的 1 2 ，再减去余下的 1 3 ，又减去余下的 1 4 ，…最后减去余下的 1 100 ， 结果是（　　） A．1 B．20 C．200 D．2000 4．将一根绳子截断，第一段占这根绳子的 3 5 ，第二段长 3 5 米，这两段绳子相比 （　　） A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．无法比较 5．甲、乙两人进行骑车比赛，同时出发，当甲骑到全程的 7 8 ，乙骑到全程的 5 6 时， 这时两人相距 70米，如果继续按各人的速度骑下去，当甲到达终点时，两人最大 距离是（　　） A．1600米 B．70米 C．80米 D．无法确定 6．在 2021 2020 ， 2020 2021 ， 2022 2021 ， 2021 2022 这四个数中，最大的数是（　　） A． 2021 2020 B． 2020 2021 C． 2022 2021 D． 2021 2022 7．从 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ， 1 5 ， 1 6 中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与 6 7 最接近，去掉的两个 数是（　　） A． 1 2 ， 1 5 B． 1 2 ， 1 6 C． 1 3 ， 1 4 D． 1 5 ， 1 6 8． 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 再加上（　　）后，结果就是 1． A． 1 32 B． 1 64 C． 1 128 9．有三堆棋子，每堆棋子 42枚，并且只有黑白两色棋子．第一堆里的黑子和第二 堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占 3 7 ，把这三堆棋子集中在一起，白棋子占全 部棋子的（　　） A． 11 21 B． 3 7 C． 10 21 D． 4 7 10．已知 a、b、c三个数均大于 0，且 a＞b＞c,下列式子正确的是（　　） A． a b + c ＞1 B． a b−c ＞1 C． a b × c ＜1 D． a b + c ＜1 二．填空题（共 5 小题） 11．把下列分数按大小顺序排列： 2 3 ， 5 8 ， 15 23 ， 10 17 ， 12 19 ______． 12．比较 2n 3n + 2 、 3n 4n + 3 、 4n 5n + 4 的大小（n＞0）：______． 13．我们把分子为 1的分数称为“单位分数”，一个单位分数可以分成两个单位分 数之和，例如 1 2 = 1 3 + 1 6 ，请将 1 3 分成两个分母不同的单位分数之和： 1 3 =______． 14．如果 a和 b都是非零自然数，并且满足 a 4 + b 7 = 27 28 ，那么 a+b=______． 15．某校美术社团原有 2个班，现在要重新编为 3个班，将原一班的 1 3 与原二班的 1 4 组成新一班，将原一班的 1 4 与原二班的 1 3 组成新二班，余下的 30人组成新三班。如 果新一班的人数比新二班的人数多 10%，那么新一班有 ______人。 三．应用题（共 5 小题） 16．在一次 200米达标检测中，小丽用了 7 10 分钟，小杰用了 13 20 分钟，小峰用了 0.6 分钟。谁跑得最快？ 17．明天就是我国的传统节日“端午节”，小卖部的王阿姨准备了一些红枣粽子和 蛋黄粽子，如果红枣粽子增加 1 4 ，这时红枣粽子和蛋黄粽子的数量比是 3：4；如果 红枣粽子增加 50%，蛋黄粽子减少 5个，红枣粽子和蛋黄粽子的数量刚好相等。王 阿姨一共准备了多少个红枣粽子？ 18．甲、乙、丙、丁四人平均有 36本课外书，甲的本数是乙的 2 3 ，乙的本数是丙的 5 4 ，丁比甲多 3本。 （1）丙有多少本课外书？ （2）丙的课外书中，故事书占 1 4 ，科技书占除故事书外其他书的 1 3 ，绘画书占故事 书与科技书总本数的一半，绘画书有多少本？ 19．因为 1-1 2 = 1 2 ， 1 2 − 1 3 = 1 6 ， 1 3 − 1 4 = 1 12 ，所以 1 2 + 1 6 = 1− 1 2 + 1 2 − 1 3 =1- 1 3 = 2 3 ， 1 2 + 1 6 + 1 12 = 1− 1 2 + 1 2 − 1 3 + 1 3 − 1 4 =1- 1 4 = 3 4 （1）依照这个规律，你能写出下一道这样的算式与计算过程吗？ （2）根据这个规律计算下面算式。 1 12 + 1 20 + 1 30 20．某出租车公司有出租车 100辆，平均每天每辆出租车消耗的汽油费为 140元， 为了充分利用当地丰富的天然气资源，该公司决定安装改烧汽油为天然气的装置。 公司第一次改装部分出租车后核算，已改装的车辆每天的燃料费占剩下没有改装车 辆每天燃料费的 3 20 。 （1）设第一次改装的出租车为 x辆，试用含 x的代数式表示改装后的车辆每天的 燃料费。 （2）若公司第二次改装同样多的出租车后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩 下没有改装车辆每天燃料费的 2 5 ，问：该公司两次共改装了多少辆出租车？ （3）若每辆车的改装费为 8400元，公司全部车辆的改装费用向银行贷款，对银行 实行分期还款形式，首次（第一年）还款为 14万元，从第二年起，以后每年还款 为 5万元与上一年剩余欠款的利息之和。已知剩余款的贷款年利率为 5%，问：第 几年公司需还款 6万元？ 第3讲 分数问题（一）强化训练 一．选择题（共10小题） 1．如图所示各图中的圆表示“1”，则的和最接近图（　　）中的阴影部分。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把圆平均分成360份，就是把圆以圆周角来分，就是其中的60份，就是其中的45份，是其中的40份，是其中的36份，则的和是其中181份又份，也就是占圆面积的一半又.。 【解答】解： =++++ =+ +＞ 故选：C。 2．计算+++++++……，照这样不断加下去，总和接近（　　） A．1 B．2 C．10 D．100 【答案】A 【分析】根据拆项公式：，拆项后通过加减相互抵消，根据分母越大分数值越小即可确定这个算式的和越来越接近1。 【解答】解：+++++…… =1-++-+++……+ =1- 当n的值越来越大，那么越接近0， 所以1-就越接近1， 所以照这样的规律加下去，这个算式的和越来越接近 1。 故选：A。 3．将2000减去它的，再减去余下的，又减去余下的，…最后减去余下的，结果是（　　） A．1 B．20 C．200 D．2000 【答案】B 【分析】先列出算式为2000×（1-）×（1-）×（1-）×…×（1-）然后求出各个括号内的得数，这时可以通过约分，即可得出答案． 【解答】解：根据题意列式得， 第一次剩下：2000×（1-） 第二次剩下：2000×（1-）×（1-） 第三次剩下：2000×（1-）×（1-）×（1-） … 最后一次剩下：2000×（1-）×（1-）×（1-）×（1-） =2000××××…×× =2000× =20． 故选：B． 4．将一根绳子截断，第一段占这根绳子的，第二段长米，这两段绳子相比（　　） A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．无法比较 【答案】A 【分析】第一段占这根绳子的，是把全长看成单位“1”，第一段占这根绳子的，那么第二段就占这根绳子的1-=，比较这两段绳子占全长的分率即可求解。 【解答】解：第一段占这根绳子的， 第二段占这根绳子的1-=， ＞ 答：这两段绳子相比第一段长。 故选：A。 5．甲、乙两人进行骑车比赛，同时出发，当甲骑到全程的，乙骑到全程的时，这时两人相距70米，如果继续按各人的速度骑下去，当甲到达终点时，两人最大距离是（　　） A．1600米 B．70米 C．80米 D．无法确定 【答案】C 【分析】，当甲骑到全程的，乙骑到全程的时，这时两人相距70米，则70米占全程的-，则全程是70÷（-）=1680米，又相同时间内，甲骑到全程的，乙骑到全程的，则两人的速度比是：=21：20，所以，当甲到达终点时，两人最大距离是1680×（1-）米． 【解答】解：：=21：20 =70÷（-）×（1-） =70× =80（米） 答：两人最大距离是80米． 故选：C． 6．在，，，这四个数中，最大的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为假分数的值都大于真分数的值，比较题中两个假分数的大小，把假分数化成带分数，带分数的整数部分相同，只要比较带分数的真分数即可。 【解答】解：=1 =1 因为＞ 所以＞ 所以在，，，这四个数中，最大的数是。 故选：A。 7．从，，，，中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与最接近，去掉的两个数是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】这五个数的总和为1.45，≈0.857，1.45比0.857大0.593，所以从五个数当中选出两个，使它们的和接近0.593，比较后即可求解。 【解答】解：++++=++=1=1.45 ≈0.857 1.45-0.857=0.593 +=0.7 +≈0.67 +≈0.583 +≈0.367 所以只有和的和最接近0.593，去掉和这两个数，剩下的三个数之和与最接近。 故选：C。 8．再加上（　　）后，结果就是1． A． B． C． 【答案】B 【分析】根据分数拆项公式拆项后，通过加减相互抵消即可简算，然后再与1作差。 【解答】解：+++++ =1-+-+-+-+-+- =1- 1-（1-）= 故选：B。 9．有三堆棋子，每堆棋子42枚，并且只有黑白两色棋子．第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占，把这三堆棋子集中在一起，白棋子占全部棋子的（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为每堆棋子的数量相等都是42个，第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多设为a个，那么第一堆的白子就是42-a个，第一堆和第二堆的白子数量就是42-a+a=42个； 根据第三堆黑子占，可知第三堆的白子就是42的（1-），由此用乘法求出第三堆的白子，然后把三堆的白子相加求出白子的总数量，再求出棋子的总数量，用白子的总数量除以棋子的总数量即可求解． 【解答】解：第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，那么这两堆中白子就是这两堆总数量的一半，是42个； 第三堆的白子： 42×（1-） =42× =24（个） （42+24）÷（42×3） =66÷126 = 答：白棋子占全部棋子的． 故选：A． 10．已知a、b、c三个数均大于0，且a＞b＞c,下列式子正确的是（　　） A．＞1 B．＞1 C．＜1 D．＜1 【答案】B 【分析】观察选项，发现是一些分数与1比较大小，如果是一个分子大于分母的假分数，那么这个数就大于1，如果是分子小于分母的真分数这个数就小于1，所以只要比较每个分数的分子与分母的大小关系即可判断． 【解答】解：因为只知道a＞b＞c, 所以无法比较a与b+c的大小； 即：选项A、D中与1的大小关系无法比较； 同理也无法得出a与b×c的大小关系； 选项C中与1的大小关系无法比较； a最大，那么a一定大于b-c的差； 即：的分子大于分母，＞1是正确的． 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．把下列分数按大小顺序排列：，，，，______． 【答案】见试题解答内容 【分析】把分数的分子都化为相同的数，而2，5，15，10，12的最小公倍数是60，根据分数的基本性质，分子扩大多少倍，分母就扩大多少倍，再利用分子相同时，分母大的分数反而小即可． 【解答】解：因为： == == == == == 且90＜92＜95＜96＜102 所以：＞＞＞＞ 故答案为：＞＞＞＞． 12．比较、、的大小（n＞0）：______． 【答案】见试题解答内容 【分析】把、、这三个分数转化成分子相同的分数，再根据同分子分数大小比较的方法进行比较．据此解答． 【解答】解：=， =， =， 因分子相同，18n+12＞16n+12＞15n+12， 所以＜＜． 故答案为：＜＜． 13．我们把分子为1的分数称为“单位分数”，一个单位分数可以分成两个单位分数之和，例如，请将分成两个分母不同的单位分数之和：=______． 【分析】先把的分子和分母同时乘3，变成，看能否分成两个不同的分数单位之和，如果不能，再同时乘4，化成分母是12的分数看能否分成两个不同的分数单位之和，如果不能再同时乘5……． 【解答】解：= 不能分成两个不同的分数单位之和； ==+=+ 所以：将分成两个分母不同的单位分数之和：=+． 故答案为：． 14．如果a和b都是非零自然数，并且满足，那么a+b=______． 【分析】由可变形为：7a+4b=27，因为a和b都是非零的自然数，这里只要求出这个二元一次方程的整数解即可． 【解答】解：可变形为：7a+4b=27，即b=， 因为a和b都是非零的自然数，所以a＞0，7a＜27， 即0＜a＜，那么a是1，2，3， 则a=1时，b=5， a+b=1+5=6； a=2时，b=（不合题意舍去）； a=3时，b=1.5（不合题意舍去）． 故a+b=6． 故答案为：6． 15．某校美术社团原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班。如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么新一班有 ______人。 【答案】22。 【分析】由题意可知，原一班的与原二班的+原一班的+与原二班的=总人数，所以余下的30人占总人数的1-=，所以总人数有30+=72（人）；72-30=42（人），即新一班与新二班的人数和为42人，新一班的人数比新二班的人数多10%，则新二班的人数是42÷（1+1+10%）=20（人），则新一班有42-20=22（人），据此解答。. 【解答】解：原一班和二班总人数： 30÷（1--） =30÷ =72（人） 新一班和二班总人数：72-30=42（人） 新二班的人数： 42÷（1+1+10%） =42÷2.1 =20（人） 新一班的人数：42-20=22（人） 答：新一班有22人。 故答案为：22。 三．应用题（共5小题） 16．在一次200米达标检测中，小丽用了分钟，小杰用了分钟，小峰用了0.6分钟。谁跑得最快？ 【答案】小峰。 【分析】根据题意，都是跑200米，比较三人跑的时间，时间越短，速度越快，由此求解。 【解答】解：= 0.6== ＜＜，所以：0.6分钟＜分钟＜分钟 小峰用的时间最短，所以小峰跑的最快。 17．明天就是我国的传统节日“端午节”，小卖部的王阿姨准备了一些红枣粽子和蛋黄粽子，如果红枣粽子增加，这时红枣粽子和蛋黄粽子的数量比是3：4；如果红枣粽子增加50%，蛋黄粽子减少5个，红枣粽子和蛋黄粽子的数量刚好相等。王阿姨一共准备了多少个红枣粽子？​ 【答案】30个。 【分析】读题发现一个很明显的等量关系，“红枣粽子和蛋黄粽子的数量刚好相等”可以根据这一等量关系列方程求解；设原来红枣粽子的数量是x个，它的数量增加后，就是（1+）x个，这时红枣粽子和蛋黄粽子的数量比是3：4，也就是这时蛋黄粽子的数量是红枣粽子的，用（1+）x乘就是蛋黄粽子的个数，再减去5个，就是后来蛋黄粽子的个数，后来红枣粽子增加50%，那么后来红枣粽子的个数就是（1+50%）x个，这与后来蛋黄粽子的个数相等，由此列出方程求解。 【解答】解：设王阿姨一共准备了x个红枣粽子。 （1+）x×-5=（1+50%）x           x×-5=1.5x           x-1.5x=5                  x=5                    x=30 答：王阿姨一共准备了30个红枣粽子。 18．甲、乙、丙、丁四人平均有36本课外书，甲的本数是乙的，乙的本数是丙的，丁比甲多3本。 （1）丙有多少本课外书？ （2）丙的课外书中，故事书占，科技书占除故事书外其他书的，绘画书占故事书与科技书总本数的一半，绘画书有多少本？ 【答案】（1）36本；（2）9本。 【分析】（1）由题意可知，丁比甲多3本，如果把丁和甲看成同样多，则新的总数就是36×4-3=141（本）；甲的本数是乙的，则甲与乙的本数比是2：3，乙的本数是丙的，乙与丙的本数比是5：4，3：2=10：15，5：4=15：12，甲、乙、丙的本数比是10：15：12，那么在新的总数中，甲，乙，丙、丁四人的课外书本数之比是10：15：12：10，丙占新总数的，用新总数乘这个分率即可求出丙的本数； （2）先把丙的课外书的本数看成单位“1”，故事书占，用总本数乘这个分率即可求出故事书的本数，再把除故事书外其他书的本数看成单位“1”，科技书占除故事书外其他书的，再用乘法求出科技书的本数，然后把科技书和故事书的本数相加，再乘，就是绘画书的本数。 【解答】解：（1）如果丁的本数和甲的本数同样多，总本数就是： 36×4-3 =144-3 =141（本） 甲：乙=2：3=10：15 乙：丙=5：4=15：12 甲：乙：丙：丁=10：15：12：10 141×=36（本） 答：丙有36本课外书。 （2）36×=9（本） （36-9）×=9（本） （9+9）×=9（本） 答：绘画书有9本。 19．因为1-=，，，所以=1-=，=1-= （1）依照这个规律，你能写出下一道这样的算式与计算过程吗？ （2）根据这个规律计算下面算式。 ++ 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）根据题干信息，前两个式子是+和++，且1-=，-=，-=，所以下一个式子的第三加数应等于-，即，下一个式子是：+++，根据规律计算即可； （2）因为=-，所以++=-+-+-，据此计算出结果即可。 【解答】解：（1）+++ =1-+-+-+- =1- = （2）++ =-+-+- =- = 20．某出租车公司有出租车100辆，平均每天每辆出租车消耗的汽油费为140元，为了充分利用当地丰富的天然气资源，该公司决定安装改烧汽油为天然气的装置。公司第一次改装部分出租车后核算，已改装的车辆每天的燃料费占剩下没有改装车辆每天燃料费的。 （1）设第一次改装的出租车为x辆，试用含x的代数式表示改装后的车辆每天的燃料费。 （2）若公司第二次改装同样多的出租车后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下没有改装车辆每天燃料费的，问：该公司两次共改装了多少辆出租车？ （3）若每辆车的改装费为8400元，公司全部车辆的改装费用向银行贷款，对银行实行分期还款形式，首次（第一年）还款为14万元，从第二年起，以后每年还款为5万元与上一年剩余欠款的利息之和。已知剩余款的贷款年利率为5%，问：第几年公司需还款6万元？​ 【答案】（1）2100-21x； （2）40辆； （3）6万元。 【分析】（1）未改装车辆每辆每天的燃料费×未改装车辆数量=未改装车辆总的燃油费，未改装车辆总的燃油费×=已改装车辆总的燃油费，据此表示出已改装车辆每辆每天的燃油费即可； （2）根据（1）中的结果列出方程求解即可； （3）第n年的还款额可以表示为5+[70-5（n-2）]×5%，据此列出方程求解即可。 【解答】解：（1）（100-x）×140× =（2100-21x）元 答：改装后的车辆每天燃料费为（2100-21x）元。 （2）设公司每次改装的车辆数为x辆。 2（2100-21x）=140×（100-2x）×          2100-21x=28（100-2x）          2100-21x=2800-56x                  35x=700                     x=20  20×2=40（辆） 答：两次共改装了40辆出租车。 （3）设第n年公司需还款6万元。 5+[70-5（n-2）]×5%=6 [70-5（n-2）]×5%=1              70-5（n-2）=20              70-5n+10=20                        5n=60                          n=12 答：第12年公司需要还款6万元。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 分数问题（一） 考点目录 1、分数的大小比较 2 2、分数的拆项 6 3、巧算分数和 10 4、分数和百分数应用题 14 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 分数的大小比较 ★★★ ★★ 分数的拆项 ★★ ★★★ 巧算分数和 ★★ ★★★★ 分数和百分数应用题 ★★★★ ★★★ 【考情分析】考查分数问题常以选择填空题和解答题的形式出现，其中选择题出现的比例又较高但是一般难度较低。主要命题点有：分数的大小比较、分数的拆项、巧算分数和、分数和百分数应用题问题等问题，同学们在复习时应以基础为主，像分数的拆项、巧算分数和这类问题较难理解和掌握，同学们应在掌握基础的前提下多做相关题目加强理解。 热点突破1 关键知识 分数的大小比较 分数的大小比较常用方法： （1）通分母：分子小的分数小． （2）通分子：分母小的分数大． （3）比倒数：倒数大的分数小． （4）与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．（适用于真分数） （5）重要结论： ①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大； ②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大． （6）放缩法． 典型例题 例1： 例1：在这四个数中，最大的数是（　　） A、        B、       C、       D、 【分析】首先观察这四个分数，排除掉分母比分子大的和，剩下和，它们的共同点在于都可以把它们看作“1+分数单位”的形式，如=1+，=1+，它们的不同点在于两者的分母一个大一个小，然后根据“分子相同，分母大的反而小，分母小的反而大”，做出判定． 【解答】因为＜1，＜1，＞1，＞1，因此和应排除； =1+， =1+， ＞， 因此＞． 最大数是． 故选：B． 【点评】此题属于分数的大小比较，分数的比较大小的方法很多，根据不同的题目，灵活解答． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024•天河区）（a,b,c都是不等于0的自然数），a,b,c中最小的是（　　） A．无法确定 B．a C．b D．c 【答案】D 【分析】根据分数加法的计算方法可知：+的和一定大于其中任意一个加数，也就是一定大于、，再根据分数比较大小的方法可知：分子相等的分数，分母大的反而小，从而找出a、b、c中最小的。 【解答】解：因为+=，所以＞、＞。 根据分子相等的分数，分母大的反而小，可知：＞，则c＜a,同理，因为＞，所以c＜b,所以a,b,c中最小的是c。 故选：D。 【跟踪训练2】（2024•云城区）若＜＜，式中A最多可能表示（　　）个不同的自然数． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】把＜＜，分成，两个不等式来解，据此解答． 【解答】解： 2A＜7×17 2A＜119 A＜59.5 A＞17×3 A＞51 所以51＜A＜59.5 在51和59.5之间的自然数有52、53、54、55、56、57、58、59共8个； 故选：C． 【跟踪训练3】在314%，，π，3.122这四个数中，最大的数是 ______，最小的数是 ______。 【答案】，3.122。 【分析】首先把、314%化成小数，再求出π的近似值，然后再根据小数的大小比较方法，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数大；如果十分位上的数也相同，百分位上的数大的那个数大，解答即可。 【解答】解：=3.4 π≈3.1416 314%=3.14 因为3.4＞3.1416＞3.14＞3.122 所以314%，，π，3.122这四个数中，最大的数是，最小的数是3.122。 故答案为：，3.122。 【跟踪训练4】把下列分数按大小顺序排列：，，，，______． 【答案】见试题解答内容 【分析】把分数的分子都化为相同的数，而2，5，15，10，12的最小公倍数是60，根据分数的基本性质，分子扩大多少倍，分母就扩大多少倍，再利用分子相同时，分母大的分数反而小即可． 【解答】解：因为： == == == == == 且90＜92＜95＜96＜102 所以：＞＞＞＞ 故答案为：＞＞＞＞． 【跟踪训练5】比较、、、的大小，你能发现什么？根据你发现的规律猜一下与哪个更大，并进行验证． 【答案】我发现分子比分母少1时，分母越大，分数值越大。 猜想＜，≈0.94，=0.95，0.94＜0.95猜想成立。 【分析】先化成小数来比较、、、的大小，再猜想并验证与哪个更大即可。 【解答】解：=0.5 ≈0.67 =0.75 ≈0.83 因此＞＞＞。 我发现分子比分母少1时，分母越大，分数值越大。 猜想＜。 ≈0.94 =0.95 0.94＜0.95 因此猜想成立。 【跟踪训练6】五（1）班有的同学看过《西游记》，有的同学看过《朝花夕拾》，有的同学看过《红楼梦》，还有的同学看过《钢铁是怎样炼成的》。看过哪本名著的同学最多？ 【答案】《红楼梦》。 【分析】根据分数的基本性质，将各分数都化为分母为8的分数；接着根据同分母分数比较大小的方法，即可解答。 【解答】解：= = ＞＞ 答：看过《红楼梦》的同学最多。 热点突破2 关键知识 分数的拆项 （1）分母为两个相邻自然数时：=- （2）分母为两个不相邻自然数时（差为a）：=-或=（+）×． 典型例题 例1： 例1：＝　　 ． 【分析】根据平方差公式：原式＝，再将括号里的数从第二个数开始进行计算，即可将括号中间的数消掉，再计算即可． 【解答】， ＝， ＝， ＝， ＝． 故答案为：． 【点评】解决本题的关键是利用平方差公式将分数分解再利用简便运算计算． 跟踪训练 【跟踪训练1】++++……++=（　　） A．1 B． C． 【答案】C 【分析】根据拆项公式拆项后通过加减相互抵消即可简算． 【解答】解：++++……++ =1-+-+-+-+……+-+- =1- = 故选：C． 【跟踪训练2】在算式=1中，字母a、b、c代表不同的整数，这三个数的和可以是（　　） A．12 B．24 C．14 D．15 【答案】C 【分析】把分子分解成3个数的和，并且这3个加数都是分母的因数，然后约分即可变成分子为1的分数；据此解答即可。 【解答】解：=1 所以= == 则a=9，b=3，c=2。 a+b+c=14 故选：C。 【跟踪训练3】计算：=______． 【分析】=×（-），=×（-），=×（-），=×（-），再根据乘法分配律简算． 【解答】解： =×（-）+×（-）+×（-）+×（-） =×（-+-+-+-） =×（-） =× = 故答案为：． 【跟踪训练4】（2024•晋州市）观察下列式子：，，，……请计算=______。 【答案】。 【分析】根据“”可得： …… 【解答】解： =（1-）+（-）+（-）+……+（-）+（-） =1-+-+-+……+-+- =1- = 故答案为：。 【跟踪训练5】（2023春•泰兴市期末）细心观察下面三道算式中的规律，把后一道算式补充完整。 你能用上面发现的规律计算下面的这道题吗？ =______=______ 【分析】观察可得规律，分母是两个连续自然数的乘积，分子是1的分数，可以化成分子是1，分母分别是两个连续自然数的分数的差。据此解答。 【解答】解：因为 则-= 由规律分母是两个连续自然数的乘积，分子是1的分数，可以化成分子是1，分母分别是两个连续自然数的分数的差可得， =-+-+-+-+-= 故答案为：-+-+-+-+-，。 【跟踪训练6】（2023秋•曾都区期末）先阅读，再计算： 因为，所以； 因为，所以； 因为，所以 根据以上材料，计算 =______ 【答案】。 【分析】根据分数裂项直接简便运算即可。 【解答】解： =1-+++……-+- =1- = 故答案为：。 热点突破3 关键知识 巧算分数和 1．凑整法 与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数…从而使运算得到简化． 2．约分法 3．裂项法 若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算． 4．代数法 5．分组法． 典型例题 例1： 例1：计算： 1+3+5+7+9+11+13+15+17= 81 ． 【分析】通过观察可知，式中加数的整数部分为等差数列，分数部分的分母都为n（n+1）形式，因此本题可将算式中带分数的整数部分与分数部分分别相加，整数部分可据高斯求公式巧算，分数部分可据=-进行巧算． 【解答】1+3+5+9+11+13+15+17 =（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+（++）， =， =81+（）， =81+， =81． 【点评】完成本题的过程中用了两个巧算公式，因此在学习的过程中要注意多了解一些关于数的巧算公式． 跟踪训练 【跟踪训练1】算式，再加上（　　）后，结果就是1。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察算式，发现前一项减后一项还等于后一项，根据此将每一项拆成两项，进行抵消计算即可。 【解答】解： =（1-）+（）+（）+（）+（）+（） =1- 所以 再加上后，结果就是1。 故选：A。 【跟踪训练2】计算+++++++……，照这样不断加下去，总和接近（　　） A．1 B．2 C．10 D．100 【答案】A 【分析】根据拆项公式：，拆项后通过加减相互抵消，根据分母越大分数值越小即可确定这个算式的和越来越接近1。 【解答】解：+++++…… =1-++-+++……+ =1- 当n的值越来越大，那么越接近0， 所以1-就越接近1， 所以照这样的规律加下去，这个算式的和越来越接近 1。 故选：A。 【跟踪训练2】一列数：1.64，1.64+，1.64+，……，，求整数部分之和是 ______。 【答案】49。 【分析】因为1-0.64=0.36，，，所以1.64+之前整数部分是1，之后整数部分是2，共有11个1，19个2，据此解答即可。 【解答】解：1-0.64=0.36 所以1.64、⋯⋯1.64+的整数部分是1，有11个；1.64+、⋯⋯1.64+的整数部分是2，有19个， 11×1+19×2=49 整数部分之和是49。 【跟踪训练4】如果a和b都是非零自然数，并且满足，那么a+b=______． 【分析】由可变形为：7a+4b=27，因为a和b都是非零的自然数，这里只要求出这个二元一次方程的整数解即可． 【解答】解：可变形为：7a+4b=27，即b=， 因为a和b都是非零的自然数，所以a＞0，7a＜27， 即0＜a＜，那么a是1，2，3， 则a=1时，b=5， a+b=1+5=6； a=2时，b=（不合题意舍去）； a=3时，b=1.5（不合题意舍去）． 故a+b=6． 故答案为：6． 【跟踪训练5】（2024秋•白云区校级期中）请用简便方法计算求和。 已知， 求： 【答案】。 【分析】把分数转化为两个相减的分数，再计算即可。 【解答】解：+++......++ =1-+-+-+......+-+- =1- = 【跟踪训练6】观察如图，通过计算验证，我们发现以下关系式： ++=1-= +++=1-= …… 由此我们可以推断：++++=1-= 【答案】。 【分析】观察如图，通过计算验证，我们发现以下关系式： ++=1-= +++=1-= …… 由此可以得出++++……+=1-，然后代入数据进行解答。 【解答】解：++++ =1- = 故答案为：。 热点突破4 关键知识 分数和百分数应用题 下列五种基本类型的解题方法： 1．求：一个数的百分之几是多少？ 方法：单位1×对应分率=比较量 2．已知一个数的百分之几是多少，求这个数． 方法：比较量÷对应分率=单位1； 或设这个数（单位1）为X，用方程解． 3．条件中有“比 多（少）百分之几（几分之几）”， 求：标准量（单位1）或比较量？ 方法：（1）单位1±单位1×n%=比较量 （2）单位1×（1±n%）=比较量 （3）比较量÷（1±n%）=单位1 找准单位一是关键．单位一是已经条件的用方法（1）（2），未知的用方法（3），设标准量为X． 4．求：“比 多（少）百分之几（几分之几）”？ 方法：相差数÷单位1 5．“是（占、相当于） 的百分之几（几分之几）” 方法：比较量÷单位1 （提示：在出油率、发芽率、正确率、成活率、出勤率、含盐率等题目中，单位“1”是总数，即整体量． 典型例题 例1： 例1：甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成了余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现在领工资共18000元，依工作量分配，甲、乙、丙应各得多少元？ 【分析】要求每人分得的钱数，因为按各人所完成的工作量的多少来合理分配工资，所以必须知道每人完成的工作量．要求每人完成的工作量，就要知道每人的工作效率；由题意得甲、乙、丙工作效率之和为：[1--（1-）×]÷5=，乙、丙合修2天修好余下的，乙、丙工作效率之和为：（1-）×÷2=，甲的工作效率为：，同理可求出乙、丙的工作效率．然后求出各自的工作量． 【解答】甲分得的钱为：18000×{[1--（1-）×]÷5-（1-）×÷2}×（6+5）， =18000×{[1--]÷5-÷2}×11， =18000×{}×11， =3300（元）； 丙分得的钱为：18000×{[1--（1-）×]÷5÷6}×（2+5）， =18000×{[1--]÷5-}×（2+5）， =18000×{-}×（2+5）， =18000××7， =5600（元）； 乙分得的钱为：18000-3300-5600=9100（元）． 答：甲、乙、丙分别应得3300元、9100元、5600元． 【点评】此题属于工程问题，解答此类题的关键是要知道工作量、工作时间、工作效率之间的关系．工作效率=工作量÷工作时间． 跟踪训练 【跟踪训练1】小明有红、蓝两色彩球共95个，红球的和蓝球的一样多。两种球相差（　　）个。 A．19 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【分析】红球的和蓝球的一样多，所以红球的个数×=蓝球的个数×，红球的个数：蓝球的个数：=2：3，把红球的个数和蓝球的个数分别看作2份和3份，它们的和是2+3=5（份），它们相差是3-2=1（份），用95除以一共的份数就是一份的个数，也就是相差的个数。 【解答】解：95÷（2+3） =95÷5 =19（个） 答：两种球相差19个。 故选：A。 【跟踪训练2】父亲把所有财物平均分成若干份后全部分给儿子们，其规则是长子拿一份财物和剩下的十分之一，次子拿两份财物和剩下的十分之一，三儿子拿三份财物和剩下的十分之一，以此类推，结果所有儿子拿到的财物都一样多，请问父亲一共有几个儿子？（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】考察分数应用题，解题思路是根据题意找到等量关系，然后设未知数进行求解。 【解答】解：设父亲一共有X份财产。则： 第一个儿子（长子）拿了：1+（份），第二个儿子（次子）拿了两份和剩下的，即2+份。 根据长子和次子拿到的财产一样多，可得：       1+=2+ 解得：X=81 则长子拿到：1+=9（份） 由于每个儿子拿到的财产一样多， 所以父亲一共有：81÷9=9（个） 答：父亲一共有9个儿子。 故选：C。 【跟踪训练3】（2024•渝北区）甲、乙、丙3根木棒竖直插入水池中，且与水底接触。3根木棒的长度之和是480厘米，甲木棒有露在水面外，乙木棒有露在水面外，丙木棒有露在水面外，则水深是 ______厘米。 【答案】60。 【分析】如图 把水深看成单位“1”，甲木棒有露出水面外，那么甲木棒是水深的1÷（1-）份，同理求出乙木棒，丙木各占水深的几分之几，480厘米除以对应分率就是水池的深度。 【解答】解：1÷（1-） =1÷ =4（份） 1÷（1-） =1÷ =（份） 1÷（1-） =1÷ =（份） 480÷（4++） =480÷8 =60（厘米） 答：水深是60厘米。 故答案为：60。 【跟踪训练4】（2024•苏州）瓶内装满一瓶水，倒出全部水的，然后再灌入同样多的酒精，又倒出全部溶液的，又用酒精灌满，然后再倒出全部溶液的，再用酒精灌满，那么这时的酒精占全部溶液的______%． 【分析】由题意知：把一瓶溶液看作单位“1”，倒出全部水的，然后再灌入同样多的酒精，此时瓶内水占溶液的； 又倒出全部溶液的，又用酒精灌满，此时瓶内水占溶液的×（1-）=； 然后再倒出全部溶液的，再用酒精灌满，此时瓶内水占溶液的×（1-）=； 这时的酒精占全部溶液的1-=． 【解答】解：1-=； ×（1-）=； ×（1-）=； 1-=． ×100%=75%． 答：这时的酒精占全部溶液的 75%． 【跟踪训练5】（2024•西平县）有甲、乙两筐水果，甲筐重96千克，从甲筐取出它的，从乙筐取出它的20%以后，此时甲乙两筐水果余下的重量比是4：3，乙筐水果原来有多少千克？ 【答案】60千克。 【分析】依据题意甲筐剩下的水果重量=原来重量×（1-），乙筐剩下的重量=甲筐剩下的重量×3÷4，乙筐原来的重量=乙筐剩下的重量÷（1-20%），由此列式计算即可。 【解答】解：96×（1-） =96× =64（千克） 64×3÷4=48（千克） 48÷（1-20%） =48÷0.8 =60（千克） 答：乙筐水果原来有60千克。 【跟踪训练6】（2023•临海市）明天就是我国的传统节日“端午节”，小卖部的王阿姨准备了一些红枣粽子和蛋黄粽子，如果红枣粽子增加，这时红枣粽子和蛋黄粽子的数量比是3：4；如果红枣粽子增加50%，蛋黄粽子减少5个，红枣粽子和蛋黄粽子的数量刚好相等。王阿姨一共准备了多少个红枣粽子？​ 【答案】30个。 【分析】读题发现一个很明显的等量关系，“红枣粽子和蛋黄粽子的数量刚好相等”可以根据这一等量关系列方程求解；设原来红枣粽子的数量是x个，它的数量增加后，就是（1+）x个，这时红枣粽子和蛋黄粽子的数量比是3：4，也就是这时蛋黄粽子的数量是红枣粽子的，用（1+）x乘就是蛋黄粽子的个数，再减去5个，就是后来蛋黄粽子的个数，后来红枣粽子增加50%，那么后来红枣粽子的个数就是（1+50%）x个，这与后来蛋黄粽子的个数相等，由此列出方程求解。 【解答】解：设王阿姨一共准备了x个红枣粽子。 （1+）x×-5=（1+50%）x    x×-5=1.5x   x-1.5x=5    x=5   x=30 答：王阿姨一共准备了30个红枣粽子。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 分数问题（一） 考点目录 1、分数的大小比较 2 2、分数的拆项 4 3、巧算分数和 7 4、分数和百分数应用题 9 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 分数的大小比较 ★★★ ★★ 分数的拆项 ★★ ★★★ 巧算分数和 ★★ ★★★★ 分数和百分数应用题 ★★★★ ★★★ 【考情分析】考查分数问题常以选择填空题和解答题的形式出现，其中选择题出现的比例又较高但是一般难度较低。主要命题点有：分数的大小比较、分数的拆项、巧算分数和、分数和百分数应用题问题等问题，同学们在复习时应以基础为主，像分数的拆项、巧算分数和这类问题较难理解和掌握，同学们应在掌握基础的前提下多做相关题目加强理解。 热点突破1 关键知识 分数的大小比较 分数的大小比较常用方法： （1）通分母：分子小的分数小． （2）通分子：分母小的分数大． （3）比倒数：倒数大的分数小． （4）与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．（适用于真分数） （5）重要结论： ①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大； ②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大． （6）放缩法． 典型例题 例1： 例1：在这四个数中，最大的数是（　　） A、        B、       C、       D、 【分析】首先观察这四个分数，排除掉分母比分子大的和，剩下和，它们的共同点在于都可以把它们看作“1+分数单位”的形式，如=1+，=1+，它们的不同点在于两者的分母一个大一个小，然后根据“分子相同，分母大的反而小，分母小的反而大”，做出判定． 【解答】因为＜1，＜1，＞1，＞1，因此和应排除； =1+， =1+， ＞， 因此＞． 最大数是． 故选：B． 【点评】此题属于分数的大小比较，分数的比较大小的方法很多，根据不同的题目，灵活解答． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024•天河区）（a,b,c都是不等于0的自然数），a,b,c中最小的是（　　） A．无法确定 B．a C．b D．c 【跟踪训练2】（2024•云城区）若＜＜，式中A最多可能表示（　　）个不同的自然数． A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪训练3】在314%，，π，3.122这四个数中，最大的数是 ______，最小的数是 ______。 【跟踪训练4】把下列分数按大小顺序排列：，，，，______． 【跟踪训练5】比较、、、的大小，你能发现什么？根据你发现的规律猜一下与哪个更大，并进行验证． 【跟踪训练6】五（1）班有的同学看过《西游记》，有的同学看过《朝花夕拾》，有的同学看过《红楼梦》，还有的同学看过《钢铁是怎样炼成的》。看过哪本名著的同学最多？ 热点突破2 关键知识 分数的拆项 （1）分母为两个相邻自然数时：=- （2）分母为两个不相邻自然数时（差为a）：=-或=（+）×． 典型例题 例1： 例1：＝　　 ． 【分析】根据平方差公式：原式＝，再将括号里的数从第二个数开始进行计算，即可将括号中间的数消掉，再计算即可． 【解答】， ＝， ＝， ＝， ＝． 故答案为：． 【点评】解决本题的关键是利用平方差公式将分数分解再利用简便运算计算． 跟踪训练 【跟踪训练1】++++……++=（　　） A．1 B． C． 【跟踪训练2】在算式=1中，字母a、b、c代表不同的整数，这三个数的和可以是（　　） A．12 B．24 C．14 D．15 【跟踪训练3】计算：=______． 【跟踪训练4】（2024•晋州市）观察下列式子：，，，……请计算=______。 【跟踪训练5】（2023春•泰兴市期末）细心观察下面三道算式中的规律，把后一道算式补充完整。 你能用上面发现的规律计算下面的这道题吗？ =______=______ 【跟踪训练6】（2023秋•曾都区期末）先阅读，再计算： 因为，所以； 因为，所以； 因为，所以 根据以上材料，计算 =______ 热点突破3 关键知识 巧算分数和 1．凑整法 与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数…从而使运算得到简化． 2．约分法 3．裂项法 若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算． 4．代数法 5．分组法． 典型例题 例1： 例1：计算： 1+3+5+7+9+11+13+15+17= 81 ． 【分析】通过观察可知，式中加数的整数部分为等差数列，分数部分的分母都为n（n+1）形式，因此本题可将算式中带分数的整数部分与分数部分分别相加，整数部分可据高斯求公式巧算，分数部分可据=-进行巧算． 【解答】1+3+5+9+11+13+15+17 =（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+（++）， =， =81+（）， =81+， =81． 【点评】完成本题的过程中用了两个巧算公式，因此在学习的过程中要注意多了解一些关于数的巧算公式． 跟踪训练 【跟踪训练1】算式，再加上（　　）后，结果就是1。 A． B． C． D． 【跟踪训练2】计算+++++++……，照这样不断加下去，总和接近（　　） A．1 B．2 C．10 D．100 【跟踪训练2】一列数：1.64，1.64+，1.64+，……，，求整数部分之和是 ______。 【跟踪训练4】如果a和b都是非零自然数，并且满足，那么a+b=______． 【跟踪训练5】（2024秋•白云区校级期中）请用简便方法计算求和。 已知， 求： 【跟踪训练6】观察如图，通过计算验证，我们发现以下关系式： ++=1-= +++=1-= …… 由此我们可以推断：++++=1-= 热点突破4 关键知识 分数和百分数应用题 下列五种基本类型的解题方法： 1．求：一个数的百分之几是多少？ 方法：单位1×对应分率=比较量 2．已知一个数的百分之几是多少，求这个数． 方法：比较量÷对应分率=单位1； 或设这个数（单位1）为X，用方程解． 3．条件中有“比 多（少）百分之几（几分之几）”， 求：标准量（单位1）或比较量？ 方法：（1）单位1±单位1×n%=比较量 （2）单位1×（1±n%）=比较量 （3）比较量÷（1±n%）=单位1 找准单位一是关键．单位一是已经条件的用方法（1）（2），未知的用方法（3），设标准量为X． 4．求：“比 多（少）百分之几（几分之几）”？ 方法：相差数÷单位1 5．“是（占、相当于） 的百分之几（几分之几）” 方法：比较量÷单位1 （提示：在出油率、发芽率、正确率、成活率、出勤率、含盐率等题目中，单位“1”是总数，即整体量． 典型例题 例1： 例1：甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成了余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现在领工资共18000元，依工作量分配，甲、乙、丙应各得多少元？ 【分析】要求每人分得的钱数，因为按各人所完成的工作量的多少来合理分配工资，所以必须知道每人完成的工作量．要求每人完成的工作量，就要知道每人的工作效率；由题意得甲、乙、丙工作效率之和为：[1--（1-）×]÷5=，乙、丙合修2天修好余下的，乙、丙工作效率之和为：（1-）×÷2=，甲的工作效率为：，同理可求出乙、丙的工作效率．然后求出各自的工作量． 【解答】甲分得的钱为：18000×{[1--（1-）×]÷5-（1-）×÷2}×（6+5）， =18000×{[1--]÷5-÷2}×11， =18000×{}×11， =3300（元）； 丙分得的钱为：18000×{[1--（1-）×]÷5÷6}×（2+5）， =18000×{[1--]÷5-}×（2+5）， =18000×{-}×（2+5）， =18000××7， =5600（元）； 乙分得的钱为：18000-3300-5600=9100（元）． 答：甲、乙、丙分别应得3300元、9100元、5600元． 【点评】此题属于工程问题，解答此类题的关键是要知道工作量、工作时间、工作效率之间的关系．工作效率=工作量÷工作时间． 跟踪训练 【跟踪训练1】小明有红、蓝两色彩球共95个，红球的和蓝球的一样多。两种球相差（　　）个。 A．19 B．20 C．25 D．30 【跟踪训练2】父亲把所有财物平均分成若干份后全部分给儿子们，其规则是长子拿一份财物和剩下的十分之一，次子拿两份财物和剩下的十分之一，三儿子拿三份财物和剩下的十分之一，以此类推，结果所有儿子拿到的财物都一样多，请问父亲一共有几个儿子？（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【跟踪训练3】（2024•渝北区）甲、乙、丙3根木棒竖直插入水池中，且与水底接触。3根木棒的长度之和是480厘米，甲木棒有露在水面外，乙木棒有露在水面外，丙木棒有露在水面外，则水深是 ______厘米。 【跟踪训练4】（2024•苏州）瓶内装满一瓶水，倒出全部水的，然后再灌入同样多的酒精，又倒出全部溶液的，又用酒精灌满，然后再倒出全部溶液的，再用酒精灌满，那么这时的酒精占全部溶液的______%． 【跟踪训练5】（2024•西平县）有甲、乙两筐水果，甲筐重96千克，从甲筐取出它的，从乙筐取出它的20%以后，此时甲乙两筐水果余下的重量比是4：3，乙筐水果原来有多少千克？ 【跟踪训练6】（2023•临海市）明天就是我国的传统节日“端午节”，小卖部的王阿姨准备了一些红枣粽子和蛋黄粽子，如果红枣粽子增加，这时红枣粽子和蛋黄粽子的数量比是3：4；如果红枣粽子增加50%，蛋黄粽子减少5个，红枣粽子和蛋黄粽子的数量刚好相等。王阿姨一共准备了多少个红枣粽子？​ 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 分数问题（一）强化训练 一．选择题（共10小题） 1．如图所示各图中的圆表示“1”，则的和最接近图（　　）中的阴影部分。 A． B． C． D． 2．计算+++++++……，照这样不断加下去，总和接近（　　） A．1 B．2 C．10 D．100 3．将2000减去它的，再减去余下的，又减去余下的，…最后减去余下的，结果是（　　） A．1 B．20 C．200 D．2000 4．将一根绳子截断，第一段占这根绳子的，第二段长米，这两段绳子相比（　　） A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．无法比较 5．甲、乙两人进行骑车比赛，同时出发，当甲骑到全程的，乙骑到全程的时，这时两人相距70米，如果继续按各人的速度骑下去，当甲到达终点时，两人最大距离是（　　） A．1600米 B．70米 C．80米 D．无法确定 6．在，，，这四个数中，最大的数是（　　） A． B． C． D． 7．从，，，，中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与最接近，去掉的两个数是（　　） A．， B．， C．， D．， 8．再加上（　　）后，结果就是1． A． B． C． 9．有三堆棋子，每堆棋子42枚，并且只有黑白两色棋子．第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占，把这三堆棋子集中在一起，白棋子占全部棋子的（　　） A． B． C． D． 10．已知a、b、c三个数均大于0，且a＞b＞c,下列式子正确的是（　　） A．＞1 B．＞1 C．＜1 D．＜1 二．填空题（共5小题） 11．把下列分数按大小顺序排列：，，，，______． 12．比较、、的大小（n＞0）：______． 13．我们把分子为1的分数称为“单位分数”，一个单位分数可以分成两个单位分数之和，例如，请将分成两个分母不同的单位分数之和：=______． 14．如果a和b都是非零自然数，并且满足，那么a+b=______． 15．某校美术社团原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班。如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么新一班有 ______人。 三．应用题（共5小题） 16．在一次200米达标检测中，小丽用了分钟，小杰用了分钟，小峰用了0.6分钟。谁跑得最快？ 17． 明天就是我国的传统节日“端午节”，小卖部的王阿姨准备了一些红枣粽子和蛋黄粽子，如果红枣粽子增加，这时红枣粽子和蛋黄粽子的数量比是3：4；如果红枣粽子增加50%，蛋黄粽子减少5个，红枣粽子和蛋黄粽子的数量刚好相等。王阿姨一共准备了多少个红枣粽子？​ 18． 甲、乙、丙、丁四人平均有36本课外书，甲的本数是乙的，乙的本数是丙的，丁比甲多3本。 （1）丙有多少本课外书？ （2）丙的课外书中，故事书占，科技书占除故事书外其他书的，绘画书占故事书与科技书总本数的一半，绘画书有多少本？ 19． 因为1-=，，，所以=1-=，=1-= （1）依照这个规律，你能写出下一道这样的算式与计算过程吗？ （2）根据这个规律计算下面算式。 ++ 20．某出租车公司有出租车100辆，平均每天每辆出租车消耗的汽油费为140元，为了充分利用当地丰富的天然气资源，该公司决定安装改烧汽油为天然气的装置。公司第一次改装部分出租车后核算，已改装的车辆每天的燃料费占剩下没有改装车辆每天燃料费的。 （1）设第一次改装的出租车为x辆，试用含x的代数式表示改装后的车辆每天的燃料费。 （2）若公司第二次改装同样多的出租车后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下没有改装车辆每天燃料费的，问：该公司两次共改装了多少辆出租车？ （3）若每辆车的改装费为8400元，公司全部车辆的改装费用向银行贷款，对银行实行分期还款形式，首次（第一年）还款为14万元，从第二年起，以后每年还款为5万元与上一年剩余欠款的利息之和。已知剩余款的贷款年利率为5%，问：第几年公司需还款6万元？​ 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 12 页 第 3 讲 分数问题（一） 1、分数的大小比较...................................................2 2、分数的拆项.......................................................4 3、巧算分数和.......................................................7 4、分数和百分数应用题...............................................9 热点考点 考查频率 考点难度 分数的大小比较 ★★★ ★★ 分数的拆项 ★★ ★★★ 巧算分数和 ★★ ★★★★ 分数和百分数应用题 ★★★★ ★★★ 【考情分析】考查分数问题常以选择填空题和解答题的形式出现，其中选择题出现的比例又较高但是一 般难度较低。主要命题点有：分数的大小比较、分数的拆项、巧算分数和、分数和百分数应用题问题等 考点目录 热点透析 考情透析 第 2 页 共 12 页 问题，同学们在复习时应以基础为主，像分数的拆项、巧算分数和这类问题较难理解和掌握，同学们应 在掌握基础的前提下多做相关题目加强理解。 分数的大小比较 分数的大小比较常用方法： （1）通分母：分子小的分数小． （2）通分子：分母小的分数大． （3）比倒数：倒数大的分数小． （4）与 1相减比较法：分别与 1相减，差大的分数小．（适用于真分数） （5）重要结论： ①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大； ②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大． （6）放缩法． 例 1： 例 1：在 2008 2007 ， 2007 2008 ， 2009 2008 ， 2008 2009 这四个数中，最大的数是（　　） A、 2007 2008 B、 2008 2007 C、 2009 2008 D、 2008 2009 【分析】首先观察这四个分数，排除掉分母比分子大的 2007 2008 和 2008 2009 ，剩下 2008 2007 和 2009 2008 ，它们的共 同点在于都可以把它们看作“1+分数单位”的形式，如 2008 2007 =1+ 1 2007 ， 2009 2008 =1+ 1 2008 ，它们的不同 点在于两者的分母一个大一个小，然后根据“分子相同，分母大的反而小，分母小的反而大”， 做出判定． 【解答】因为 2007 2008 ＜1， 2008 2009 ＜1， 2008 2007 ＞1， 2009 2008 ＞1，因此 2007 2008 和 2008 2009 应排除； 热点突破 1 关键知识 典型例题 第 3 页 共 12 页 2008 2007 =1+ 1 2007 ， 2009 2008 =1+ 1 2008 ， 1 2007 ＞ 1 2008 ， 因此 2008 2007 ＞ 2009 2008 ． 最大数是 2008 2007 ． 故选：B． 【点评】此题属于分数的大小比较，分数的比较大小的方法很多，根据不同的题目，灵活解 答． 【跟踪训练 1】（2024•天河区）2024a + 2024 b = 2024 c （a,b,c都是不等于 0的自然数），a,b,c 中最小的是（　　） A．无法确定 B．a C．b D．c 【跟踪训练 2】（2024•云城区）若2 7 ＜ 17 A＜ 1 3 ，式中 A最多可能表示（　　）个不同的自然 数． A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪训练 3】在 314%， 17 5 ，π，3.122这四个数中，最大的数是 ______，最小的数是 ______。 【跟踪训练 4】把下列分数按大小顺序排列： 2 3 ， 5 8 ， 15 23 ， 10 17 ， 12 19 ______． 【跟踪训练 5】比较 1 2 、 2 3 、 3 4 、 5 6 的大小，你能发现什么？根据你发现的规律猜一下 17 18 与 19 20 哪个 更大，并进行验证． 跟踪训练 第 4 页 共 12 页 【跟踪训练 6】五（1）班有 3 8 的同学看过《西游记》，有 2 8 的同学看过《朝花夕拾》，有 1 2 的同 学看过《红楼梦》，还有 1 4 的同学看过《钢铁是怎样炼成的》。看过哪本名著的同学最多？ 分数的拆项 （1）分母为两个相邻自然数时： 1 n（n + 1） = 1 n - 1 n + 1 （2）分母为两个不相邻自然数时（差为 a）： a n（n + a） = 1 n - 1 n + a 或 1 n（n + a） =（ 1 n + 1 n + a ）× 1 a ． 例 1： 例 1： ＝　 　 ． 【分析】根据平方差公式：原式＝ ，再将括号里的数 热点突破 2 关键知识 典型例题 第 5 页 共 12 页 从第二个数开始进行计算，即可将括号中间的数消掉，再计算即可． 【解答】 ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ． 故答案为： ． 【点评】解决本题的关键是利用平方差公式将分数分解再利用简便运算计算． 【跟踪训练 1】 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 +……+ 1 128 + 1 256 =（　　） A．1 B． 127 128 C． 255 256 【跟踪训练 2】在算式 1 18 + 1 a + 1 b + 1 c=1中，字母 a、b、c代表不同的整数，这三个数的和可 以是（　　） A．12 B．24 C．14 D．15 【跟踪训练 3】计算： 1 2 × 4 + 1 4 × 6 + 1 6 × 8 + 1 8 × 10 =______． 【跟踪训练 4】（2024•晋州市）观察下列式子：1 2 = 1 1 − 1 2 ， 1 6 = 1 2 − 1 3 ， 1 12 = 1 3 − 1 4 ， 1 20 = 1 4 − 1 5 …… 请计算 1 2 + 1 6 + 1 12 + 1 20 + 1 30 + 1 42 + 1 56 + 1 72 + 1 90 =______。 【跟踪训练 5】（2023春•泰兴市期末）细心观察下面三道算式中的规律，把后一道算式补充 完整。 1 2 − 1 3 = 1 6 1 3 − 1 4 = 1 12 1 4 − 1 5 = 1 20 1 5 − 1 6 = （） 跟踪训练 第 6 页 共 12 页 你能用上面发现的规律计算下面的这道题吗？ 1 6 + 1 12 + 1 20 + 1 30 + 1 42 =______=______ 【跟踪训练 6】（2023秋•曾都区期末）先阅读，再计算： 因为1− 1 2 = 2 1 × 2 − 1 2 × 1 = 1 1 × 2 ，所以 1 1 × 2 = 1− 1 2 ； 因为 1 2 − 1 3 = 3 2 × 3 − 2 3 × 2 = 1 2 × 3 ，所以 1 2 × 3 = 1 2 − 1 3 ； 因为 1 3 − 1 4 = 4 3 × 4 − 3 4 × 3 = 1 3 × 4 ，所以 1 3 × 4 = 1 3 − 1 4 ⋯⋯ 根据以上材料，计算 1 1 × 2 + 1 2 × 3 + 1 3 × 4 + 1 4 × 5 + 1 5 × 6 + 1 6 × 7 + 1 7 × 8 + 1 8 × 9 =______ 第 7 页 共 12 页 巧算分数和 1．凑整法 与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、 结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数…从而使运算得到简化． 2．约分法 3．裂项法 若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算． 4．代数法 5．分组法． 例 1： 例 1：计算： 1+3 1 6 +5 1 12 +7 1 20 +9 1 30 +11 1 42 +13 1 56 +15 1 72 +17 1 90 = 81 2 5 ． 【分析】通过观察可知，式中加数的整数部分为等差数列，分数部分的分母都为 n（n+1）形 式，因此本题可将算式中带分数的整数部分与分数部分分别相加，整数部分可据高斯求公式 巧算，分数部分可据 1 n（n + 1） = 1 n - 1 n + 1 进行巧算． 【解答】1+3 1 6 +5 1 12 +7 1 20 +9 1 30 +11 1 42 +13 1 56 +15 1 72 +17 1 90 =（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+（ 1 2 × 3 + 1 3 × 4 + 1 4 × 5 + 1 5 × 6 + 1 6 × 7 + 1 7 × 8 + 1 8 × 9 + 热点突破 3 关键知识 典型例题 第 8 页 共 12 页 1 9 × 10 ）， = 1 + 17 2 × 9 + [（ 1 2 − 1 3 ） + （ 1 3 − 1 4 ） + （ 1 4 − 1 5 ） + +（ 1 9 − 1 10 ）]， =81+（ 1 2 − 1 10 ）， =81+ 2 5 ， =81 2 5 ． 【点评】完成本题的过程中用了两个巧算公式，因此在学习的过程中要注意多了解一些关于 数的巧算公式． 【跟踪训练 1】算式 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 + 1 128 ，再加上（　　）后，结果就是 1。 A． 1 128 B． 1 64 C． 127 128 D． 1 256 【跟踪训练 2】计算 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 + 1 128 +……，照这样不断加下去，总和接近（　　） A．1 B．2 C．10 D．100 【跟踪训练 2】一列数：1.64，1.64+ 1 30 ，1.64+ 2 30 ，……，1.64 + 29 30 ，求整数部分之和是 ______。 【跟踪训练 4】如果 a和 b都是非零自然数，并且满足 a 4 + b 7 = 27 28 ，那么 a+b=______． 【跟踪训练 5】（2024秋•白云区校级期中）请用简便方法计算求和。 已知 1 4 − 1 7 = 7−4 7 × 4 = 3 7 × 4 ， 1 7 − 1 10 = 10−7 10 × 7 = 3 10 × 7 ⋯⋯ 求： 3 1 × 4 + 3 4 × 7 + 3 7 × 10 +..... + 3 22 × 25 + 3 25 × 28 跟踪训练 第 9 页 共 12 页 【跟踪训练 6】观察如图，通过计算验证，我们发现以下关系式： 1 2 + 1 4 + 1 8 =1- 1 8 = 7 8 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 =1- 1 16 = 15 16 …… 由此我们可以推断： 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 =1- 1 32 = （） （） 第 10 页 共 12 页 分数和百分数应用题 下列五种基本类型的解题方法： 1．求：一个数的百分之几是多少？ 方法：单位 1×对应分率=比较量 2．已知一个数的百分之几是多少，求这个数． 方法：比较量÷对应分率=单位 1； 或设这个数（单位 1）为 X，用方程解． 3．条件中有“比 多（少）百分之几（几分之几）”， 求：标准量（单位 1）或比较量？ 方法：（1）单位 1±单位 1×n%=比较量 （2）单位 1×（1±n%）=比较量 （3）比较量÷（1±n%）=单位 1 找准单位一是关键．单位一是已经条件的用方法（1）（2），未知的用方法（3），设标准量 为 X． 4．求：“比 多（少）百分之几（几分之几）”？ 方法：相差数÷单位 1 5．“是（占、相当于） 的百分之几（几分之几）” 方法：比较量÷单位 1 （提示：在出油率、发芽率、正确率、成活率、出勤率、含盐率等题目中，单位“1”是总 数，即整体量． 例 1： 例 1：甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修 6天完成了 1 3 ，乙、丙合修 2天完成了余下 工程的 1 4 ，剩下的再由甲、乙、丙三人合修 5天完成，现在领工资共 18000元，依工作量分 热点突破 4 关键知识 典型例题 第 11 页 共 12 页 配，甲、乙、丙应各得多少元？ 【分析】要求每人分得的钱数，因为按各人所完成的工作量的多少来合理分配工资，所以必 须知道每人完成的工作量．要求每人完成的工作量，就要知道每人的工作效率；由题意得 甲、乙、丙工作效率之和为：[1- 1 3 -（1- 1 3 ）× 1 4 ]÷5= 1 10 ，乙、丙合修 2天修好余下的 1 4 ，乙、 丙工作效率之和为：（1- 1 3 ）× 1 4 ÷2= 1 12 ，甲的工作效率为： 1 10 − 1 12 = 1 60 ，同理可求出乙、丙的 工作效率．然后求出各自的工作量． 【解答】甲分得的钱为：18000×{[1- 1 3 -（1- 1 3 ）× 1 4 ]÷5-（1- 1 3 ）× 1 4 ÷2}×（6+5）， =18000×{[1- 1 3 - 1 6 ]÷5- 1 6 ÷2}×11， =18000×{ 1 10 − 1 12 }×11， =3300（元）； 丙分得的钱为：18000×{[1- 1 3 -（1- 1 3 ）× 1 4 ]÷5− 1 3 ÷6}×（2+5）， =18000×{[1- 1 3 - 1 6 ]÷5- 1 18 }×（2+5）， =18000×{ 1 10 - 1 18 }×（2+5）， =18000× 2 45 ×7， =5600（元）； 乙分得的钱为：18000-3300-5600=9100（元）． 答：甲、乙、丙分别应得 3300元、9100元、5600元． 【点评】此题属于工程问题，解答此类题的关键是要知道工作量、工作时间、工作效率之间 的关系．工作效率=工作量÷工作时间． 【跟踪训练 1】小明有红、蓝两色彩球共 95个，红球的 1 2 和蓝球的 1 3 一样多。两种球相差 （　　）个。 A．19 B．20 C．25 D．30 【跟踪训练 2】父亲把所有财物平均分成若干份后全部分给儿子们，其规则是长子拿一份财 物和剩下的十分之一，次子拿两份财物和剩下的十分之一，三儿子拿三份财物和剩下的十分 跟踪训练 第 12 页 共 12 页 之一，以此类推，结果所有儿子拿到的财物都一样多，请问父亲一共有几个儿子？（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【跟踪训练 3】（2024•渝北区）甲、乙、丙 3根木棒竖直插入水池中，且与水底接触。3根 木棒的长度之和是 480厘米，甲木棒有 3 4 露在水面外，乙木棒有 4 7 露在水面外，丙木棒有 2 5 露在 水面外，则水深是 ______厘米。 【跟踪训练 4】（2024•苏州）瓶内装满一瓶水，倒出全部水的1 2 ，然后再灌入同样多的酒精， 又倒出全部溶液的 1 3 ，又用酒精灌满，然后再倒出全部溶液的 1 4 ，再用酒精灌满，那么这时的 酒精占全部溶液的______%． 【跟踪训练 5】（2024•西平县）有甲、乙两筐水果，甲筐重 96千克，从甲筐取出它的1 3 ，从 乙筐取出它的 20%以后，此时甲乙两筐水果余下的重量比是 4：3，乙筐水果原来有多少千 克？ 【跟踪训练 6】（2023•临海市）明天就是我国的传统节日“端午节”，小卖部的王阿姨准备 了一些红枣粽子和蛋黄粽子，如果红枣粽子增加 1 4 ，这时红枣粽子和蛋黄粽子的数量比是 3： 4；如果红枣粽子增加 50%，蛋黄粽子减少 5个，红枣粽子和蛋黄粽子的数量刚好相等。王阿 姨一共准备了多少个红枣粽子？