数学（北京专用）-2025年中考终极押题猜想

2025年中考数学终极押题猜想（北京专用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 一元二次方程根与系数的关系 1 押题猜想二 反比例函数的性质 4 押题猜想三 实数的混合运算 7 押题猜想四 解不等式组 9 押题猜想五 求代数式的值 12 押题猜想六 数据分析 14 押题猜想七 一次函数的相关知识 20 押题猜想八 平行四边形的性质与判定 24 押题猜想九 二次函数的性质 32 押题猜想十 圆的相关知识 36 押题猜想十一 三角形的旋转相关问题 47 押题猜想十二 圆的综合题 63 押题猜想一 一元二次方程根与系数的关系 限时：2min （原创）1．已知关于x的方程有两个不同号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系，理解“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键． 首先根据有两个实数根得到，求出，然后由两根不同号得到x1.x2=k<0，求出k<0，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∵两个不同号的实数根， ∴x1x2=k<0， ∴k<0， 故选：A． 押题解读 一元二次方程根与系数关系是重要考点，常以选择题形式出现。题目通常给出一元二次方程，要求判断根与系数的关系或利用该关系求解特定问题。这类题目注重基础知识的直接应用，选项设计简洁明了，旨在快速筛选出对核心概念掌握扎实的学生。 【北京热考点】1．已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式和根与系数的关系，理解“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根”并灵活运用是解题的关键．首先根据有两个实数根得到，求出，然后由两根同号得到，求出，即可求解． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程有两个同号的实数根， ∴， ∴， 故选：C． 2．已知，是方程的两个根，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． 根据，是方程的两根，得出，，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， 故选：B． 3．已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、相反数的定义，根据一元二次方程的两根互为相反数，可得：，根据一元二次方程根与系数的关系可得，解一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：设、是一元二次方程的两根， 根据一元二次方程的两根互为相反数， 可得：， ， 解得：． 故选：B ． 4．关于x的一元二次方程中，，则方程的根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为－2 D．两根之和为 【答案】D 【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解答本题的关键要明确：若二次项系数不为1，则常用以下关系：，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】化简，得， ∴． ∵， ∴，故有两个不相等的实数根，但无法判断实数根的正负． ，． 故选D． 押题猜想二 反比例函数的性质 限时：2min （改编）1．已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而较小，则的取值范围是 ． 【答案】k>-1 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例函数的增减性可得k+1>0，由此即可得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内，都随的增大而减小， ∴k+1>0， 解得k>-1， 故答案为：k>-1. 押题解读 反比例函数的性质是重要考点。它是函数知识体系的关键部分，能考查学生对函数概念、图像及性质的综合理解，多以选择题、填空题考查基础性质，难度不大，但是历年中考频繁出现，故需重点关注。 【北京热考点】1．若点和点都在反比例函数的图象上，且，则的值可以是 ． 【答案】（小于负2均可） 【分析】本题主要考查了根据反比例函数的增减性求参数，根据题意可得在同一象限内，y随x增大而增大，则，由此可得答案． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，且， ∴在同一象限内，y随x增大而增大， ∴， ∴， ∴符合题意的k的值可以是， 故答案为：（小于负2均可）． 2．已知点，在反比例函数的图象上，且，则，的大小关系是 ．（填“＞”或“＜”） 【答案】＜ 【分析】本题考查了反比例函数值的大小比较，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的性质即可解答． 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内随增大而增大， 点，在反比例函数的图象上，且， ， 故答案为：＜． 3．已知点都在反比例函数（a为常数）的图象上，且，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，先判断，可知反比例函数的图象在一、三象限，再利用图象法可得答案，理解“在每个象限内，随的增大而减小”以及图象法是解决问题的关键． 【详解】解：， 反比例函数是常数）的图象在一、三象限， 如图所示，当时，， 即 故答案为：． 【多结论问题】4．关于反比例函数的下列说法：①若，两点在该函数图象上，且，则：②当时，或；③当时，；④若反比例函数与一次函数的图象无交点，则的范围是．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数、二次函数与不等式、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．根据这个反比例函数的图象位于第二、四象限，与0的大小关系不能确定，由此即可判断①错误；求出当时，，再结合函数图象即可判断②正确；求出当时，，再结合函数图象即可判断③正确；联立反比例函数与一次函数的解析式可得方程，根据这个一元二次方程根的判别式小于0可得，再利用二次函数的性质解不等式，由此即可判断④正确． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴这个反比例函数的图象位于第二、四象限， ∵与0的大小关系不能确定， ∴不能判断，则说法①错误； 当时，， 如图，由函数图象可知，当时，或，则说法②正确； 当时，， 由函数图象可知，当时，，则说法③正确； 联立得：， 整理得：， ∵反比例函数与一次函数的图象无交点， ∴一元二次方程没有实数根， ∴这个方程根的判别式，即， 令， 当时，，解得或， ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴的两个交点坐标为和， ∴由二次函数的性质得：当时，， 即的解集为， ∴反比例函数与一次函数的图象无交点，则的范围是，说法④正确； 综上，正确的是②③④， 故答案为：②③④． 押题猜想三 实数的混合运算 限时：2min 1．计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零次幂是解题的关键．根据负整数指数幂，绝对值、特殊角的三角函数值、零次幂计算即可． 【详解】解： ． 押题解读 本考点为中考必考点，难度较低，解题时要注意解答步骤的书写及运算顺序，避免小错误失分，此题属于易得分题，确保拿下。 【北京热考点】1．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 2．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值的混合运算，掌握实数的混合运算法则是关键． 分别算出绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值，负指数幂的结果，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 3.计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据算术平方根，特殊三角函数值，零指数幂将式子化简，再算乘法，最后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 4．计算：． 【答案】5 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先化简各数，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解：原式． 押题猜想四 解不等式组 限时：3min 1．解不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分即可得到不等式组的解． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 押题解读 本考点为近些年中考的必考点，难度较低，解题时要注意解不等式组的步骤书写，在最后求结果时注意范围的选取：口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，避免小错误失分，此题亦属于易得分题，考生要确保拿下。 【北京热考点】1.解不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找（空集）”确定出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以，不等式组的解集为：． 2.解不等式组 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 3.解不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解不等式组，熟练掌握解不等式组是解题的关键．根据运算法则进行求解即可． 【详解】解：解不等式， 得， 解不等式，得， 4. 解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 5.解不等式组：． 【答案】不等式组的解集为． 【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组． 根据一元一次不等式组的解法求解即可． 【详解】解：解不等式①，， ， 得； 解不等式②，， ， 得， 原不等式组的解集为． 押题猜想五 求代数式的值 限时：5min （改编）1．先化简，再求值：，其中m+n=1． 【答案】，3 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则，熟练运用整体思想是解题关键． 根据分式的混合运算法则化简分式，然后整体代入条件求解即可． 【详解】解： ， ∵m+n=1， ∴原式=3． 押题解读 一元二次方程根与系数关系是重要考点，常以选择题形式出现。题目通常给出一元二次方程，要求判断根与系数的关系或利用该关系求解特定问题。这类题目注重基础知识的直接应用，选项设计简洁明了，旨在快速筛选出对核心概念掌握扎实的学生。 【北京热考点】1.先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式化简求值，已知式子的值求代数式的值，先通分括号内，再运算除法，化简得整理，得，然后代入计算，即可作答． 【详解】解： ∵， ∴， 则． 2.已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，利用整体代入法解答是解题的关键．先化简原式，再将变形为，最后将以整体的形式代入原式，即得答案． 【详解】解： ∵ ∴ ∴原式 3.先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 先根据整式乘法运算法则计算，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 因为， 所以， 所以原式． 押题猜想六 数据分析 限时：6min （改编）1．某中学的篮球队队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员参加篮球比赛，两队每个队员的身高（单位：cm）如下： 甲队 177 179 178 179 177 178 178 179 178 177 平均数 中位数 众数 方差 甲队 178 a 178 c 乙队 177.1 177 b 0.89 两组样本数据的平均数，中位数，众数，方差如表中数据所示： (1)表中________，________． (2)请计算甲队的方差c，并判断哪队队员身高更整齐． 【答案】(1)     (2)　　甲队队员身高更整齐 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可直接求得答案． （2）根据方差的定义可直接求得甲队的方差，方差越小，数据的波动越小，即可判断哪队队员身高更整齐． 【详解】（1）将甲队身高数据按从小到大的顺序排列，且数据个数为偶数，则中间两个数和的平均数为这组数据的中位数，即中位数． 乙队身高数据中，出现次数最多的数据为，所以这组数据的众数． 故答案为：     （2） ，所以甲队队员身高更整齐． 【点睛】本题主要考查中位数、众数、方差的定义，牢记中位数、众数、方差的定义是解题的关键． 押题解读 本考查题型基本属于必考题型，以解答题的形式考查，从近些年的考查来看，属于较易题，但在试题阅读理解上要稍加注意，以免由于理解错误导致出现解答错误。要掌握数据分析的相关知识，例如平均数，加权平均数，中位数，众数，方差等相关概念，同时使用数据进行分析解答，此类型试题考查在北京中考中属于较易拿分题，各位考生在答题的时候要仔细、认真，分析说明时一定要确保完整。 1.为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．    小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲    (1)在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； (2)请你计算小涵的总评成绩； (3)学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 【答案】(1)69，69，70 (2)82分 (3)小涵能入选，小悦不一定能入选，见解析 【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数． （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可． （3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【详解】（1）从小到大排序， 67，68，69，69，71，72， 74， ∴中位数是69， 众数是69， 平均数： 69，69，70 （2）解：（分）． 答：小涵的总评成绩为82分． （3）结论：小涵能入选，小悦不一定能入选 理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念． 2.垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人10次垫球测试的成绩，测试规则为连续垫球10个为一次，每垫球到位1次记1分． 运动员甲的测试成绩统计如下表所示： 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7 (1)运动员甲的测试成绩的众数是______分，中位数是______分； (2)已知运动员甲的成绩的平均数是7分，请计算运动员丙的测试成绩的平均数； (3)已知甲、乙两运动员成绩的方差分别为0.8和0.4，试对甲、乙、丙三人的成绩作出合理的评价． 【答案】(1)7，7 (2)分 (3)乙的成绩最好，甲的成绩次之，丙的成绩最差． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据求平均数的计算公式进行计算即可； （3）计算出丙的方差，根据平均成绩、众数、中位数和方差等角度综合评价即可得出结论． 【详解】（1）解：把运动员甲的成绩按大小顺序排列为：5，6，7，7，7，7，7，8，8，8； 7分出现次数最多，出现了5次，故众数为：7分； 最中间的两个数据分别是7分，7分，故中位数为（分）， 故答案为：7；7； （2）解：（分） （3）解：， （分）； ①从平均成绩看，甲、乙的成绩都相同，他们都优于丙的成绩； ②从众数看，甲、乙的成绩的众数都是7，而丙成绩的众数是6，所以他们优于丙的成绩； ③从中位数看，甲、乙成绩的中位数都是7，而丙成绩的中位数是6，所以他们优于丙的成绩； ④从方差看乙的成绩最稳定，其次是甲，最不稳定的是丙． 综上，乙的成绩最好，甲的成绩次之，丙的成绩最差． 【点睛】本题侧重考查方差、众数和中位数，掌握其运算方法是解决此题的关键． 3.甲、乙两名队员参加射击训练，各自射击10次的成绩分别被制成下列统计图． 根据以上信息，整理分析数据如下： 队员 平均/环 中位数/环 众数/环 甲 7 b 7 乙 a 7.5 c (1)a＝ ； ；_ ； (2)已知乙队员射击成绩的方差为环2，计算出甲队员射击成绩的方差，并判断哪个队员的射击成绩较稳定； (3)若甲再试一次，第11次的测试成绩为7环，与前10次成绩相比，甲第11次射击后成绩的方差将 （填“变大”、“变小”、“不变”）． 【答案】(1)7,7,8 (2)甲队的方差为环2，甲队员的射击成绩较稳定； (3)变小 【分析】（1）列出乙队员10次射击的成绩，分别求出平均数a和众数c，找出甲的成绩从小到大排列后处在中间位置的两个数，求出中位数b即可； （2）计算出甲的方差，然后进行比较得出结论； （3）计算出甲第11次射击后的方差，与原来的方差比较即可得到结论． 【详解】（1）解：乙队员射击成绩为：， 则平均数，众数， 甲队员射击成绩的中位数， 故答案为：7,7,8 （2）甲队员射击成绩的方差（环2）， ∵乙队员的方差为4.2环2， ∴甲队员的方差小于乙队员的方差，即甲队员的射击成绩较稳定； （3）甲再试一次，第11次的测试成绩为7环，此时的平均数仍然为7环， 此时的方差为： ， 即甲第11次射击后成绩的方差将变小． 故答案为：变小 【点睛】此题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟练掌握各个量的求法及意义是解题的关键． 押题猜想七 一次函数的相关知识 限时：5min (改编）1.已知y是x的一次函数，且当x=5时，y=7；当x=-2时，y=0． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在该一次函数的图象上，求a的值． 【答案】(1)该一次函数的解析式为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征； （1）设一次函数解析式为，再把两组对应值代入得到的方程组，然后解方程组即可；（2）把代入（1）中的解析式得到的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为， 分别把x=5,y=7;x=-2，y=0代入得： 5k+b=7 -2k+b=0 解得： 所以，该一次函数的解析式为． （2）把代入， 得：， 解得： a的值： 押题解读 本考查题型在往年北京中考基本属于必考题型，难度属于较基础偏中等类型，在初中的函数里面，一次函数的性质是属于比较好掌握，比较容易理解的函数知识，考生不光要熟悉一次函数的相关知识，更要会运用，解答上方能应对自如。此类型试题考查难度可大可小，但作为中间稍偏前面的解答题，难度设置不会过大，也可以作为考生较易得分的题，细心很重要。 【北京热考点】1.在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)求该函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求点的坐标； (3)当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数值，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)一次函数的表达式为； (2)点坐标为； (3)． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握不等式的解法是解答本题的关键． （1）将点坐标代入解析式解出值即可得到解析式； （2）将点坐标代入一次函数解析式求出值，即可得到点的坐标； （3）当时，求出一次函数值，利用不等式得到值的范围即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， ， 解得， 一次函数解析式为：； （2）解：点在一次函数图象上， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：当时，一次函数的值都大于一次函数， 两个一次函数的交点坐标为：， 即， ． 2.直线：过点和，直线：和y轴交于点B和直线交于C点． (1)求两条直线交点C的坐标及的面积； (2)x取何值时，． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数与一元一次方程组，一次函数与一元一次不等式组． （1）把点A，D的坐标代入直线：，求出k和b的值，从而得到直线的解析式．解直线和直线的解析式组成的方程组，即可得到交点C的坐标．根据三角形的面积公式即可求的的面积． （2）由得，求解即可． 【详解】（1）∵直线：过点和， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得， ∴点C的坐标为， 把代入直线：，得， ∴点B的坐标为， 如图所示，过点C作轴于点N， ∵，，， ∴，， ∴． （2）∵，， ∴当时，， 解得：． 3.已知是关于的一次函数，且点，在此函数图象上． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)这个函数表达式为： (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元一次不等式； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）依题意，，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设 把，代入得： 把，代入得： ∴这个函数表达式为：． （2） 押题猜想八 平行四边形的性质与判定 限时：7min （改编）1.如图，在中，是边上的中线，是的中点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质． （1）根据证，利用全等三角形的对应边相等得到．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论； （2）根据勾股定理求得，根据直角三角形斜边上中线性质得出，得出四边形是菱形，再利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 是边上的中线， ， ． ∵， 四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形， 押题解读 本题型是北京中考近些年的必考题型之一，难度不高，大多数是以基础+中等难度的题型，涉及到的知识比较多有平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质，锐角三角函数及三角形相关知识等；考查时一般设置2问，分别为图形的判定，数量关系的证明、线段的长度或面积的求解等问题。 1.点是的中点，过点作，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质，结合勾股定理得出，解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ． 点是的中点， 是的中位线． ． 又， 四边形是平行四边形． ， ， ． 四边形是矩形． （2）解：在平行四边形中，，，， ， ， ， 2.如图，在中，，相交于点O，E，F分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，结合题意得出，即可得证； （2）由题意结合平行四边形的性质可得，结合当时，四边形是矩形，得出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， 理由如下： ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵当时，四边形是矩形， ∴， ∴． 3.如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，； (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，点在上且平分，求出线段的长度． 【答案】(1)平行四边形是矩形；理由见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形是矩形即可； （2）由平分得，由得，所以，由等角对等边得，根据勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：平行四边形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 3.如图，在中，F是的中点，延长到点E，使，连结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，平行线的性质以及勾股定理解三角形等知识点．熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知，且；再证，然后根据平行四边形的判定定理即可得出结论； （2）如图，过点C作于点H．解直角三角形得到，再根据勾股定理即可得出结论； 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，且， 是的中点， ． 又， ， ， 四边形是平行四边形 （2）如图，过点C作于点H． 在中，， ， 在中， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 则 在中，根据勾股定理得： 4.如图，在四边形中，，，相交于点O，O是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知E、F是对角线上的点，且四边形是菱形，若，，求点D到的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）利用全等三角形的判定和性质证明即可解决问题； （2）证明四边形是菱形，由勾股定理求出，利用菱形的面积公式计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ，， O是的中点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是菱形， 即：， ∵四边形是平行四边形 ∴四边形是菱形 设点D到的距离为h ，，四边形是菱形 ， ， ， 由得， 解得． 5.如图，在中，对角线与相交于点，，点，，分别为的中点，连结． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，再利用等腰三角形的三线合一即可得出结论； （2）利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质得出且，再根据中点的性质得出且，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵是中点， ∴； （2）解：∵点、是、的中点， ∴且， ∵中，， ∴且， ∵点是的中点， ∴且， ∴四边形为平行四边形． 押题猜想九 二次函数的性质 限时：12min （改编）1.已知二次函数（为常数） (1)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点． (2)若函数图象在时，总有随着的增大而先减小后增大，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可解答； （2）利用二次函数的对称轴，且图象开口向上，即可求解； 【详解】（1）解：， 该二次函数图象与轴总有两个公共点； （2）函数图象的对称轴为直线，图像开口向上， 根据题意，得， 解得； 押题解读 本题型属于北京市中考的必考题型之一，也是重点考查中等难度题的重要题型，难度系数一般，重点复习函数的性质相关知识点；常见考查有确定二次函数的解析式，分析求解二次函数的图象与性质、探讨二次函数图象与系数的关系等。 1.已知抛物线与x轴交于两点，其中一点坐标为． (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)若抛物线，当时，有最大值为8，求m的值； 【答案】(1)抛物线的表达式为，该抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把代入求出a值，即得解析式，把解析式配方即得顶点坐标； （2）根据，得对称轴为直线，根据，知当时，有最大值，，解得m的值为． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，有最大值， 即， 整理得， 解得，， ∵， ∴m的值为． 2.已知函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式． (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把代入函数解析式求出b的值，即可确定出解析式； （2）利用二次函数的性质求出满足题意x的范围即可． 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【详解】（1）将代入， 得， 解得. ∴. （2）解：令，则， 解得：，， ∵， ∴开口向上， ∴当或时，． 3.已知二次函数． (1)若二次函数的图象经过点，求t的值； (2)当时，求y的最小值（用含t的代数式表示）； (3)若x可取全体实数，当时，y的最小值为．设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为，求线段的长度． 【答案】(1) (2)若，y的最小值为3；若，y的最小值为；若，y的最小值为 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握二次函数对称性和增减性，一元二次方程的根与系数的关系，用分类讨论的数学思想，是解答本题的关键． （1）把代入二次函数解析式，解方程即得； （2）根据图象开口向上，对称轴是直线和，分，，三种情况解答； （3）根据，结合（2）的后两种情况，运用一元二次方程根与系数的关系解答并验证即得． 【详解】（1）∵经过点， ∴， 解得，； （2）∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ①若， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值，为3； ②若， ∴当时，y取得最小值，为;    ③若， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，即． 综上可知，若，y的最小值为3；若，y的最小值为；若，y的最小值为． （3）由（2）知，当时，y取最小值，解得，． ， ． 由题意，可知为一元二次方程的两个根． 由韦达定理，得， ． 当时，y取得最小值，即，解得，，不合． 综上，． 押题猜想十 圆的相关知识 限时：10min （改编）1.中，，经过点B，C分别交于点D，E，过点C作交于点F，垂足为G，连接，且． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求CG的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用圆周角定理求得，利用垂直的定义求得，推出，即可证明； （2）连接，利用圆周角定理求得是的直径，证明是等腰直角三角形，求得，在和中，利用勾股定理结合面积法即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， ， 是的直径， 的半径为4， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ， ， 押题解读 该考点是高频考点，难度中等，考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点。 1.如图，在中，是直径，是弦，点是弧上一点，弧弧，，交于点，点为延长线上一点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）圆周角定理推出，根据，结合三角形的内角和定理，推出，即可证明是的切线； （2）连接，易得，根据直径所对的圆周角为直角，得到，勾股定理求出的长，再结合三角函数求出的长，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， 即， ， 是直径， 是的切线； （2）解：连接， ，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， 解得， 的半径为． 2.如图，是的直径．四边形内接于，，对角线与交于点E，在的延长线上取一点F，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）由，，证明得，然后求出即可证明是的切线； （2）连接，，先证明得，，证明是等边三角形得，再证明是等边三角形得，然后证明，再根据相似三角形的性质即可得出的值． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴，． 又∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接，． 由（1）可知，． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，理解圆周角定理，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 3.如图，是圆内接四边形的对角线，M是延长线上一点，连接，． (1)求证：是圆的直径； (2)若，，，求此圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． （1）证明即可得到结论； （2）证明，得到，则，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴，     ∵， ∴， ∵， ∴，     ∵， ∴，     ∴是圆的直径． （2）解：由（1）知， ∵， ∴，即， ∵， ∴，         ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此圆的半径为3. 4.如图，在△ABC中，，点D在AB上，以AD为直径作与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)5 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，平行线的判定和性质，三角函数比，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，并准确构造辅助线． （1）利用圆的切线的性质得出，再结合条件得出，根据平行线的性质和等边对等角即可得出； （2）连接，则，利用三角函数比和勾股定依次求出的长即可求得半径． 【详解】（1）证明:∵是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，连接，则， 由（1）得， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ， 在中，， ， 在中，由勾股定理得：， 的半径长为5． 5.如图1，在中，，以为直径作交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)如图2，在上取一点，连接，，．若，． ①求的长； ②求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了圆的几何性质、切线的判定定理、勾股定理和三角形面积计算公式，熟练掌握是解题的关键． （1）即证明，方法一：连接，则，得为的垂直平分线，，根据等腰三角形性质可得，，即．方法二：连接，则，，再证明为的中位线，得，即可得证． （2）①先求出的长，因为为直径，所以是直角三角形，根据勾股定理即可求出的长；②过点作与点，根据圆周角性质得，易得，再根据勾股定理求出，得、的长，即可求出的面积． 【详解】（1）解：方法一：连接， 是的直径，． ，为的垂直平分线． ，， ，即． 又为的半径，是的切线． 方法二：连接． ，． ． 又，， 为的中位线． ，，即． 又为的半径，是的切线． （2）解：①方法一：在中，， ，则， 是的直径，． 在中，，， ． 方法二：在中，， ， ， ， 是的直径，． 在中，，， ． ②过点作与点． ， 又，， ， 在和中， ，． ． 的面积为：． 的面积为3． 押题猜想十一 三角形的旋转相关问题 限时：2min （改编）1.【问题背景】如图，等腰中，，点为的中点，过点作，交于，将绕点顺时针旋转，连结，如图①． 【基本感受】 （1）当时，判断与的数量关系，并说明理由； 【深入研究】 （2）当时，如图②，与满足怎样的数量关系？请给出证明； 【答案】（1）．理由见解析；（2）；理由见解析； 【分析】（1）证明，均为等边三角形，证明，即可得； （2）证明，均是等腰直角三角形，证明，即可得； 【详解】解：（1）．理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴为等边三角形， ∴； ∵点为的中点，过点作，交于， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）；理由如下： 作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 同理，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 押题解读 本题型为近几年热门考查题型，以解答题形式考查，从近些年的考查来看，难度属于较难，旋转类问题要能够认识图形的旋转变换，掌握添加辅助线的方法，常考的添加辅助线的方式有半角模型、手拉手模型和费马点问题等，基本上这种题型若不知道如何去添加辅助线的话是很难解决问题的，辅助线添加上去整个题就能一目了然，所以重点是加强训练，掌握方法，积累经验。 【北京热考点】1.在中，，，． (1)问题发现：如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，交于点．请猜想：① ．②锐角的度数 ． (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，若直线与直线相交于点，当锐角存在时，（1）中的两个结论是否还成立？若成立，请结合图2说明理由； (3)迁移应用：如图3是将绕点按顺时针方向旋转到一定角度得到，当点在直线上方，且时，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2)成立，见详解 (3) 【分析】此题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）①根据旋转的性质和勾股定理即可解答； ②证明，并根据8字形即可解答； （2）同理可知：当锐角存在时，（1）中的两个结论还成立； （3）过点作于，过点作，交的延长线于，证明，则，设，，则，由勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：①由旋转得：，，， ，， ； 故答案为：； ②如图 1，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：当锐角存在时，（1）中的两个结论仍成立，理由如下： 如图 2，由旋转得：， 由（1）同理得：， ，， ， ； （3）解： 如图 3，过点作于，过点作，交的延长线于 ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则， ， ， ， ，， ， ， ， ． 2.在直角三角形纸片中，，， 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到．点，的对应点分别是点，，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点． 【数学思考】 如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为______； （2）在绕点旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论； 【数学探究】 如图2， （3）①当直线经过点时，的长为______； ②如图3，当直线时，求的长； 【问题延伸】 （4）在绕点旋转的过程中，连接，请求出的最小值． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）， ；（4）1 【分析】（）证明，得到，即可求解； （）．连接，证明即可求证； （）由旋转和等腰三角形的性质得，设，由勾股定理可得 ，求出即可求解； 过作于，交于，则四边形是矩形，得，利用三角形面积可得，进而得到，证明，得到，即可求解； （）连接，则，当三点共线时，，此时的值最小，最小，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），证明如下： 如图，连接， 由旋转的性质得，，， 在和中， ， ∴， ∴； （3）由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，过作于，交于，则四边形是矩形， ∴， ∵ ，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； （4）如图，连接，则， 当、、三点共线时，，此时的值最小，最小， ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值． 【点睛】本题考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 3.如图-1，在中，平分，点在边上，点在线段上，，将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为秒，旋转角度为，直线分别与线段交于点．    (1)如图-2，当秒时，判断直线与之间的位置关系，并说明理由； (2)如果，求出此时的值； (3)如果中有两个内角相等，请直接写出此时旋转角的度数． 【答案】(1)直线与的位置关系是垂直．理由见解析 (2)当时，使得． (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质等知识点，是掌握数形结合以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据题中条件，求得，由此可求得，即即可解答； （2）先根据画出图形，根据平行线的性质、旋转的性质解答即可； （3）分和两种情况，分别根据三角形内角和定理、旋转的性质求解即可． 【详解】（1）解：直线与的位置关系是垂直．理由如下： 如图所示，与交于点O，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， 当时，根据由旋转可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线与的位置关系是垂直． （2）解：如图，延长交于点G，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上分析可知：时，使得． （3）解：由题意可知，， ①如图：当， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴，即当旋转时，中有两个角相等．    ②当时， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即当旋转时，中有两个角相等；    综上所述：中有两个内角相等，此时旋转角的度数为或． 4.【知识技能】（1）如图1，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线，延长至点M，使得，连接．求证：． 【数学理解】（2）如图2，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线，将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接．求证： 【拓展探索】（3）如图3，在（2）的条件下，点D在以点A为圆心，的长为半径的圆上运动，直线与直线交于点G，连接，在点D的运动过程中，的长度存在最大值．若，求的长度的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）先证明，由全等三角形的性质得出，最后根据平行线的性质即可得出． （2）延长至点，使得，连接．由旋转的性质可知，．证明，由全等三角形的性质进一步即可证明． （3）延长至点，使，连接．先证明，再证明，根据得出点在以为直径的上运动，当且仅当三点共线时，的长度取得最大值，此时．然后利用勾股定理以及直角三角形斜线的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：（1）证明：为的中线， ． 在和中， ． ． ． ． （2）证明：如答题图，延长至点，使得，连接． 由旋转的性质可知，． ， ． 由（1）得， ． 在和中， ． ． ， ． （3）解：如答题图，延长至点，使，连接． 在和中， ． ． ． ． ， ． ． ， ． 在和中， ． ． ， ． ． ． 点在以为直径的上运动，当且仅当三点共线时，的长度取得最大值，此时． 为的中点，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，为斜边的中点， ． 的长度的最大值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合问题，直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 5.在中，，．将绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为，线段与相交于点，线段分别交于点． (1)如图1，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，始终为等腰三角形，请你证明这一结论； (2)如图2，当时，求的长； (3)如图3，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意证明，得到，即可求解； （2）根据题意得到，可证，，，则，则，在中由勾股定理即可求解； （3）根据题意可证四边形是平行四边形，得到，，再证，得到，即，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，将绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点）， ∴，， ∴， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：，， ， 由（1）知， ， 又， ，， 在中，，， ，则， ； （3）解：， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ，即， ． 押题猜想十二 圆的综合题 限时：12min 1.在平面直角坐标系中，对于图形M和点P，若图形M上存在不同的两个点E、F，使得，则称点P为图形M的“距离2点”，设，，的半径为r，（自行画坐标图） (1)①点，中，是线段的“距离2点”是 ②是的距离2点”，求r的取值范围； (2)设的半径为2，圆心M是x轴上动点，，若折线上存在点的“距离2点”，直接写出圆心M的坐标取值范围． 【答案】(1)①，；②； (2)或 【分析】（1）①到和的距离之和是2，，到轴的距离是，从而得出结果； ②从，进而求得； （2），，，，，，进而求得． 本题考查了新定义的阅读理解，坐标与图形，勾股定理，解决问题的关键是数形结合观察． 【详解】（1）解：（1）①如图1， 到和的距离之和是2， 是线段的“距离2点”， ，且 ∴到的距离是1， ∵存在不同的两个点 ∴找不到线段上的其他点与的距离是1的 不是线段的“距离2点”， 到轴的距离是， 是线段的“距离2点”， 故答案是和； ②如图2， ， ， 即； （2）解：依题意，如图3， 设圆心的横坐标为， ，， ， ， ， ，， ， ， 综上所述：圆心横坐标的取值范围是或． 押题解读 本考查题型以压轴题的形式出现，难度比较大，年年都有考查，综合性强。在备考中，熟练掌握图形的基本性质及平面直角坐标系、函数等知识是解题的关键。复习时需加强压轴题型的总结和归纳，平时做题要深入理解，挖掘此类题型的解答方法，积累做题经验，争取拿到尽可能多的分数。 1.【阅读与探究】 我们定义：如果两个三角形有一条公共边，且这条公共边所对的同侧的角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆（如图1），简记为：共边同侧对角等，四点共圆． 几何语言：如图1．． 、B、C、D四点共圆 【定义运用】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，对角线，交于点F，且． 求证：A、B、C、D四点共圆； （2）在（1）的条件下，如图3，作四边形的外接圆，延长交x轴于点E，若，设，，求y关于x的函数关系式； 【深入探究】 （3）如图4，在平面直角坐标系中，以x轴上的线段为直径作，且的半径为，点，点G是x轴上方劣弧上的一个动点，连接，点N在上，点H在上，且，，连接，，反比例函数的图象经过点G，若，当的值最小时，求k的值． 【答案】（1）见详解；（2）；（3） 【分析】（1）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可得证； （2）过作交于，由余弦函数得，由三角形的外角性质得，由等腰三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； （3）延长至，使得，连接、，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，作轴交于，轴交于，当、、三点共线时，的值最小，此时，由三角函数及勾股定理，，，由相似三角形的判定方法，由勾股定理得，，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， A、B、C、D四点共圆； （2）如图，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， y关于x的函数关系式； （3）延长至，使得，连接、， ， , ， ， ， ， ， ， ， 如图，作轴交于，轴交于， 当、、三点共线时，的值最小， 此时， 即， ， ， ， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ； 故k的值为． 2.圆与反演点 已知的半径为，在从出发的同一条射线上有两点和，若，则称为关于的反演点，反之亦然． 【概念理解】 （1）下列对反演的描述： ①若点在圆外，则它的反演点可能在圆内，也可能在圆外； ②圆的整个内部与其外部是一一对应彼此反演的； ③圆上的点的反演点是圆自身． 其中，所有正确的序号是___________． 【掌握应用】 （2）若是关于的反演点，且，求的长． （3）半径为，若，是关于的反演点，，且，直接写出与的数量关系． 【探索确定】 （4）如图，四边形是菱形，在的延长线上．若和是关于的反演点，在图中用尺规作出． 【答案】（1）②③；（2）；（3）；（4）图形见解析 【分析】本题考查圆的综合，解一元二次方程，菱形的性质等知识点，理解反演点的定义是解题的关键； （1）由反演点的定义得到，再根据题意判断之间的关系，即可判断3个选项； （2）根据反演点定义得到，，或，分别代入解方程即可； （3）由，且可得，，代入计算即可； （4）由四边形是菱形可得，，得到，再根据反演点定义得到，，推出，得到，， 则的半径为，，以为圆心，为半径画弧与的交点即为圆心，再以为圆心，为半径画出． 【详解】解：（1）①若点在圆外，则，由可得，即它的反演点在圆内，故说法错误； ②由可得，若点在圆内，则每一个值都有一个圆外对应的值，反之也成立，即圆的整个内部与其外部是一一对应彼此反演的，故说法正确； ③圆上的点到圆心的距离，即它们的反演点是圆自身，故说法正确， 故答案为：②③． （2）∵是关于的反演点，且， ∴，或， 当时，由可得，解得（负值已舍去）； 当时，由可得，解得（负值已舍去）； 综上所述，； （3）∵，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）； （4）∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵在的延长线上．若和是关于的反演点， ∴， ∴，即， 整理得， ∴，， ∴的半径为，， 以为圆心，为半径画弧与的交点即为圆心，再以为圆心，为半径画出，图形如下： 3．在平面直角坐标系中，已知点，点，动点在以原点为圆心，半径为的上，连接，过点作，与相交于点（其中点，，按逆时针方向排列），连接． (1)当时，的度数为______； (2)连接，，当点在上运动到什么位置时，的面积最大？并求出面积的最大值． (3)连接，当，点位于第二象限时， 求出点的坐标； 直线是否为的切线？并说明理由． 【答案】(1)或 (2)点在上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，的面积最大，最大值为 (3)①；②是，理由见解析 【分析】（1）证明为等腰直角三角形，则，由，当点在轴左侧时，有；当点在轴右侧时，有； （2）先由等腰直角三角形的性质得，再由三角形面积公式得到当点到的距离最大时，的面积最大，过点作于，的反向延长线交于，此时点到的距离的最大值为的长，然后利用等腰直角三角形的性质求出，计算的面积； （3）①6过点作轴于，先证∽，则，解得，再利用勾股定理计算出的长，则可得到点坐标； ②先证，则可得到，，再证≌，得，然后由切线的判定定理可确定直线为的切线． 【详解】（1）解：∵点，点， ， 为等腰直角三角形， ， ， 当点在轴左侧时，； 当点在轴右侧时，； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或； （2）为等腰直角三角形， ， 当点到的距离最大时，的面积最大， 过点作于，的反向延长线交于，如图： 此时点到的距离的最大值为的长， ， ， 的面积； 即当点在上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，的面积最大，最大值为； （3）①过点作轴于，如图： ， ， 又， ∽， ，即， 解得：， 在中，， 点坐标为； ②直线是的切线．理由如下： 由得：， 在中，，， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 直线为的切线． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了掌握切线的判定定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定和直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 4.给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)、，（答案不唯一） (2)点的坐标为或 (3) 【分析】本题考查圆的综合应用，解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合． （1）根据定义通过计算求解即可得到答案； （2）设，由根据“斜关点”定义列方程求解即可得到答案； （3）作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆，则两圆分别与直线和相切，利用勾股定理求出，再设，利用列出方程，求出，即可求解； 【详解】（1）解：满足的为正数， ，， ，， 点、、、， 只能是与或与形成“斜关点”， 当与形成“斜关点”时，， ， 故答案为：、，（答案不唯一）； （2）设点， 点，，点、是一对“斜关点”， 点、也是一对“斜关点”，且， ，， ， 解得：， ， ， 点的坐标为或； （3）如图即为，作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆， 两圆分别与直线和相切， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 点需在直线的右侧（可以在直线上）， ， 点需在的左侧，则满足题意得点的横坐标应在点和点之间（不与点重合）， ，， ， 设， ， ， ， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学终极押题猜想（北京专用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 一元二次方程根与系数的关系 1 押题猜想二 反比例函数的性质 2 押题猜想三 实数的混合运算 3 押题猜想四 解不等式组 4 押题猜想五 求代数式的值 5 押题猜想六 数据分析 5 押题猜想七 一次函数的相关知识 9 押题猜想八 平行四边形的性质与判定 10 押题猜想九 二次函数的性质 12 押题猜想十 圆的相关知识 13 押题猜想十一 三角形的旋转相关问题 15 押题猜想十二 圆的综合题 18 押题猜想一 一元二次方程根与系数的关系 限时：2min （原创）1．已知关于x的方程有两个不同号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 押题解读 一元二次方程根与系数关系是重要考点，常以选择题形式出现。题目通常给出一元二次方程，要求判断根与系数的关系或利用该关系求解特定问题。这类题目注重基础知识的直接应用，选项设计简洁明了，旨在快速筛选出对核心概念掌握扎实的学生。 【北京热考点】1．已知关于x的方程有两个同号的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知，是方程的两个根，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 3．已知关于的一元二次方程的两根互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程中，，则方程的根的情况为（   ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为－2 D．两根之和为 押题猜想二 反比例函数的性质 限时：2min （改编）1．已知反比例函数，其图象在所在的每一个象限内都随的增大而较小，则的取值范围是 ． 押题解读 反比例函数的性质是重要考点。它是函数知识体系的关键部分，能考查学生对函数概念、图像及性质的综合理解，多以选择题、填空题考查基础性质，难度不大，但是历年中考频繁出现，故需重点关注。 【北京热考点】1．若点和点都在反比例函数的图象上，且，则的值可以是 ． 2．已知点，在反比例函数的图象上，且，则，的大小关系是 ．（填“＞”或“＜”） 3．已知点都在反比例函数（a为常数）的图象上，且，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【多结论问题】4．关于反比例函数的下列说法：①若，两点在该函数图象上，且，则：②当时，或；③当时，；④若反比例函数与一次函数的图象无交点，则的范围是．其中正确的是 （填序号）． 押题猜想三 实数的混合运算 限时：2min 1．计算：． 押题解读 本考点为中考必考点，难度较低，解题时要注意解答步骤的书写及运算顺序，避免小错误失分，此题属于易得分题，确保拿下。 【北京热考点】1．计算：． 2．计算：． 3.计算：． 4．计算：． 押题猜想四 解不等式组 限时：3min 1．解不等式组：． 押题解读 本考点为近些年中考的必考点，难度较低，解题时要注意解不等式组的步骤书写，在最后求结果时注意范围的选取：口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，避免小错误失分，此题亦属于易得分题，考生要确保拿下。 【北京热考点】1.解不等式组：． 2. 解不等式组 3.解不等式组：． 4. 解不等式组： 5.解不等式组：． 押题猜想五 求代数式的值 限时：5min 1．先化简，再求值：，其中m+n=1． 押题解读 一元二次方程根与系数关系是重要考点，常以选择题形式出现。题目通常给出一元二次方程，要求判断根与系数的关系或利用该关系求解特定问题。这类题目注重基础知识的直接应用，选项设计简洁明了，旨在快速筛选出对核心概念掌握扎实的学生。 【北京热考点】1.先化简，再求值：已知，求的值． 2.已知，求代数式的值． 3.先化简，再求值：已知，求代数式的值． 押题猜想六 数据分析 限时：6min 1．某中学的篮球队队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员参加篮球比赛，两队每个队员的身高（单位：cm）如下： 甲队 177 179 178 179 177 178 178 179 178 177 平均数 中位数 众数 方差 甲队 178 a 178 c 乙队 177.1 177 b 0.89 两组样本数据的平均数，中位数，众数，方差如表中数据所示： (1)表中________，________． (2)请计算甲队的方差c，并判断哪队队员身高更整齐． 押题解读 本考查题型基本属于必考题型，以解答题的形式考查，从近些年的考查来看，属于较易题，但在试题阅读理解上要稍加注意，以免由于理解错误导致出现解答错误。要掌握数据分析的相关知识，例如平均数，加权平均数，中位数，众数，方差等相关概念，同时使用数据进行分析解答，此类型试题考查在北京中考中属于较易拿分题，各位考生在答题的时候要仔细、认真，分析说明时一定要确保完整。 1.为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．    小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲    (1)在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； (2)请你计算小涵的总评成绩； (3)学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 2.垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人10次垫球测试的成绩，测试规则为连续垫球10个为一次，每垫球到位1次记1分． 运动员甲的测试成绩统计如下表所示： 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7 (1)运动员甲的测试成绩的众数是______分，中位数是______分； (2)已知运动员甲的成绩的平均数是7分，请计算运动员丙的测试成绩的平均数； (3)已知甲、乙两运动员成绩的方差分别为0.8和0.4，试对甲、乙、丙三人的成绩作出合理的评价． 3.甲、乙两名队员参加射击训练，各自射击10次的成绩分别被制成下列统计图． 根据以上信息，整理分析数据如下： 队员 平均/环 中位数/环 众数/环 甲 7 b 7 乙 a 7.5 c (1)a＝ ； ；_ ； (2)已知乙队员射击成绩的方差为环2，计算出甲队员射击成绩的方差，并判断哪个队员的射击成绩较稳定； (3)若甲再试一次，第11次的测试成绩为7环，与前10次成绩相比，甲第11次射击后成绩的方差将 （填“变大”、“变小”、“不变”）． 押题猜想七 一次函数的相关知识 限时：5min 1.已知y是x的一次函数，且当x=5时，y=7；当x=-2时，y=0． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在该一次函数的图象上，求a的值． 押题解读 本考查题型在往年北京中考基本属于必考题型，难度属于较基础偏中等类型，在初中的函数里面，一次函数的性质是属于比较好掌握，比较容易理解的函数知识，考生不光要熟悉一次函数的相关知识，更要会运用，解答上方能应对自如。此类型试题考查难度可大可小，但作为中间稍偏前面的解答题，难度设置不会过大，也可以作为考生较易得分的题，细心很重要。 【北京热考点】1.在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)求该函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求点的坐标； (3)当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数值，请直接写出的取值范围． 2.直线：过点和，直线：和y轴交于点B和直线交于C点． (1)求两条直线交点C的坐标及的面积； (2)x取何值时，． 3.已知是关于的一次函数，且点，在此函数图象上． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，求的取值范围． 押题猜想八 平行四边形的性质与判定 限时：7min 1.如图，在中，是边上的中线，是的中点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形是菱形． 押题解读 本题型是北京中考近些年的必考题型之一，难度不高，大多数是以基础+中等难度的题型，涉及到的知识比较多有平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质，锐角三角函数及三角形相关知识等；考查时一般设置2问，分别为图形的判定，数量关系的证明、线段的长度或面积的求解等问题。 1.点是的中点，过点作，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 2.如图，在中，，相交于点O，E，F分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 3.如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，； (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，点在上且平分，求出线段的长度． 3.如图，在中，F是的中点，延长到点E，使，连结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 4.如图，在四边形中，，，相交于点O，O是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知E、F是对角线上的点，且四边形是菱形，若，，求点D到的距离． 5.如图，在中，对角线与相交于点，，点，，分别为的中点，连结． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． 押题猜想九 二次函数的性质 限时：12min 1.已知二次函数（为常数） (1)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点． (2)若函数图象在时，总有随着的增大而先减小后增大，求的取值范围． 押题解读 本题型属于北京市中考的必考题型之一，也是重点考查中等难度题的重要题型，难度系数一般，重点复习函数的性质相关知识点；常见考查有确定二次函数的解析式，分析求解二次函数的图象与性质、探讨二次函数图象与系数的关系等。 1.已知抛物线与x轴交于两点，其中一点坐标为． (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)若抛物线，当时，有最大值为8，求m的值； 2.已知函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式． (2)当时，求x的取值范围． 3.已知二次函数． (1)若二次函数的图象经过点，求t的值； (2)当时，求y的最小值（用含t的代数式表示）； (3)若x可取全体实数，当时，y的最小值为．设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为，求线段的长度． 押题猜想十 圆的相关知识 限时：10min 1.中，，经过点B，C分别交于点D，E，过点C作交于点F，垂足为G，连接，且． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求CG的长． 押题解读 该考点是高频考点，难度中等，考查切线的性质与判定、圆中求线段长度问题和圆中最值问题，一般会用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理、图形变换等相关知识点。 1.如图，在中，是直径，是弦，点是弧上一点，弧弧，，交于点，点为延长线上一点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径长． 2.如图，是的直径．四边形内接于，，对角线与交于点E，在的延长线上取一点F，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 3.如图，是圆内接四边形的对角线，M是延长线上一点，连接，． (1)求证：是圆的直径； (2)若，，，求此圆的半径．                  4.如图，在△ABC中，，点D在AB上，以AD为直径作与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径的长． 5.如图1，在中，，以为直径作交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)如图2，在上取一点，连接，，．若，． ①求的长； ②求的面积． 押题猜想十一 三角形的旋转相关问题 限时：2min 1.【问题背景】如图，等腰中，，点为的中点，过点作，交于，将绕点顺时针旋转，连结，如图①． 【基本感受】 （1）当时，判断与的数量关系，并说明理由； 【深入研究】 （2）当时，如图②，与满足怎样的数量关系？请给出证明； 押题解读 本题型为近几年热门考查题型，以解答题形式考查，从近些年的考查来看，难度属于较难，旋转类问题要能够认识图形的旋转变换，掌握添加辅助线的方法，常考的添加辅助线的方式有半角模型、手拉手模型和费马点问题等，基本上这种题型若不知道如何去添加辅助线的话是很难解决问题的，辅助线添加上去整个题就能一目了然，所以重点是加强训练，掌握方法，积累经验。 【北京热考点】1.在中，，，． (1)问题发现：如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，交于点．请猜想：① ．②锐角的度数 ． (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，若直线与直线相交于点，当锐角存在时，（1）中的两个结论是否还成立？若成立，请结合图2说明理由； (3)迁移应用：如图3是将绕点按顺时针方向旋转到一定角度得到，当点在直线上方，且时，求线段的长． 2.在直角三角形纸片中，，， 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到．点，的对应点分别是点，，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点． 【数学思考】 如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为______； （2）在绕点旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论； 【数学探究】 如图2， （3）①当直线经过点时，的长为______； ②如图3，当直线时，求的长； 【问题延伸】 （4）在绕点旋转的过程中，连接，请求出的最小值． 3.如图-1，在中，平分，点在边上，点在线段上，，将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转时间为秒，旋转角度为，直线分别与线段交于点．    (1)如图-2，当秒时，判断直线与之间的位置关系，并说明理由； (2)如果，求出此时的值； (3)如果中有两个内角相等，请直接写出此时旋转角的度数． 4.【知识技能】（1）如图1，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线，延长至点M，使得，连接．求证：． 【数学理解】（2）如图2，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线，将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接．求证： 【拓展探索】（3）如图3，在（2）的条件下，点D在以点A为圆心，的长为半径的圆上运动，直线与直线交于点G，连接，在点D的运动过程中，的长度存在最大值．若，求的长度的最大值． 5.在中，，．将绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为，线段与相交于点，线段分别交于点． (1)如图1，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，始终为等腰三角形，请你证明这一结论； (2)如图2，当时，求的长； (3)如图3，当时，求的长． 押题猜想十二 圆的综合题 限时：12min 1.在平面直角坐标系中，对于图形M和点P，若图形M上存在不同的两个点E、F，使得，则称点P为图形M的“距离2点”，设，，的半径为r，（自行画坐标图） (1)①点，中，是线段的“距离2点”是 ②是的距离2点”，求r的取值范围； (2)设的半径为2，圆心M是x轴上动点，，若折线上存在点的“距离2点”，直接写出圆心M的坐标取值范围． 押题解读 本考查题型以压轴题的形式出现，难度比较大，年年都有考查，综合性强。在备考中，熟练掌握图形的基本性质及平面直角坐标系、函数等知识是解题的关键。复习时需加强压轴题型的总结和归纳，平时做题要深入理解，挖掘此类题型的解答方法，积累做题经验，争取拿到尽可能多的分数。 1.【阅读与探究】 我们定义：如果两个三角形有一条公共边，且这条公共边所对的同侧的角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆（如图1），简记为：共边同侧对角等，四点共圆． 几何语言：如图1．． 、B、C、D四点共圆 【定义运用】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，对角线，交于点F，且． 求证：A、B、C、D四点共圆； （2）在（1）的条件下，如图3，作四边形的外接圆，延长交x轴于点E，若，设，，求y关于x的函数关系式； 【深入探究】 （3）如图4，在平面直角坐标系中，以x轴上的线段为直径作，且的半径为，点，点G是x轴上方劣弧上的一个动点，连接，点N在上，点H在上，且，，连接，，反比例函数的图象经过点G，若，当的值最小时，求k的值． 2.圆与反演点 已知的半径为，在从出发的同一条射线上有两点和，若，则称为关于的反演点，反之亦然． 【概念理解】 （1）下列对反演的描述： ①若点在圆外，则它的反演点可能在圆内，也可能在圆外； ②圆的整个内部与其外部是一一对应彼此反演的； ③圆上的点的反演点是圆自身． 其中，所有正确的序号是___________． 【掌握应用】 （2）若是关于的反演点，且，求的长． （3）半径为，若，是关于的反演点，，且，直接写出与的数量关系． 【探索确定】 （4）如图，四边形是菱形，在的延长线上．若和是关于的反演点，在图中用尺规作出． 3．在平面直角坐标系中，已知点，点，动点在以原点为圆心，半径为的上，连接，过点作，与相交于点（其中点，，按逆时针方向排列），连接． (1)当时，的度数为______； (2)连接，，当点在上运动到什么位置时，的面积最大？并求出面积的最大值． (3)连接，当，点位于第二象限时， 求出点的坐标； 直线是否为的切线？并说明理由． 4.给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$