2026年中考数学一轮复习等腰等边三角形“三线合一”提升训练

**基本信息** 以“三线合一”为核心，通过基础应用、综合变换、创新拓展三级递进，系统整合等腰（边）三角形性质与几何变换，提炼可迁移的解题方法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|第1-2题|三线合一+中位线/勾股定理|从等腰三角形核心性质出发，构建“性质直接应用-数量关系推导”基础逻辑| |综合变换|第4-6、11题|折叠旋转性质+全等/方程思想|结合图形变换，形成“性质迁移-动态问题建模”进阶链条| |创新拓展|第3、7题|新定义转化+性质迁移|通过新情境（勾股高三角形），实现“概念生成-原理拓展”思维提升|

2026年中考数学一轮复习等腰等边三角形“三线合一”提升训 练 1,(24-25辽宁葫芦岛月考)ABC为等边三角形，延长直线BC使BD=AB,CE=AC, BF、CG平分∠ABD和∠ACE,连接FG,则 D B E (I)FG与BC的位置关系为-；数量关系为_ (②)如图，若ABC改为等腰直角三角形其他条件不变试探究FG与BC的数量关系和位置关 系，并加以证明 D B (3)若(2)中AB=2cm,请直接写出FG=-· 2.(25-26八年级下·浙江温州期中)已知：如图：在ABC中，AB=AC=5,BC=6, AD垂直BC于D,P是AB上的一个动点，以PD,DC为边作PDCO,连接AQ,设 BP=t, (I)探究SPDCQ与S,PD的数量关系，并说明理由. (2)设S。ppco=S,求S关于t的关系式： (3)0在4BC内部，当Sc=)S。pcg时，求t的值. 2 3.(25-26江西上饶期中)我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于 第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点。 试卷第1页，共3页 B 图1 图2 (1)等腰直角三角形_（请填写“是”或“不是”）勾股高三角形： (2)如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中点C为勾股顶点，CD是AB边上的高.若 BD=2AD=4,试求CD的值； (3)如图2，等腰三角形ABC为勾股高三角形，其中AB=AC>BC,CD为AB边上的高， 过点D作DE‖BC交AC边于点E.若CE=x,试求线段DE的长度. 4.(25-26浙江宁波期末)如图1，在等腰ABC中，AB=AC=8,∠ABC=30°，点P是 AC边上的一个动点（与点A、C不重合），直线I是经过点P的一条直线，与边BC交于点D ，把△PDC沿直线I翻折，点C的对应点是点C, B 图1 图2 D 图3 备用图 (1)如图2，若直线1∥AB,求∠CDC'的度数； (2)如图3，当PC=5时，若点C恰好落在直线AB边上，求AC'的长度： (3)在点P和直线1变化的过程中，若点C恰好落在AB边的中点上，求此时DC的长度， 5.(2025山东临沂模拟预测)如图1，在正方形ABCD中，AF平分∠CAB,交BC于点F, 过点C作CE⊥AF,交AF的延长线于点G,交AB的延长线于点E. 试卷第1页，共3页 F G G B B 图1 图2 图3 (I)求证：BE=BF: (②)如图2，连接BG、BD,求证：BG平分∠DBE; ③)如图3，连接DG交4C于点M,求C的值. DM 6.(2024江苏泰州月考)正方形ABCD中，点E是对角线BD上一动点，过点E作 EF⊥AE交射线CD于点F,以AE、EF为邻边作矩形AEFG,连接DG. D R (备用图) (备用图) (1)求证：矩形AEFG是正方形； (2)若AB=3,DE=2BE,求DG的长； (3)当AE与正方形ABCD的某条边的夹角为20°时，直接写出∠EFD的度数； (4)若点E为BD中点，连接EG,试判断EG和AD的位置关系，并说明理由 7.(2026陕西西安·三模)问题探究 D D 图① 图② 图③ (1)如图①，已知ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD平分∠BAC,若P为AB上一动 点，连接PD,则PD的最小值为； (2)如图②，己知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=8,D为BC中点，作∠MDN=90 ,分别交边AB、AC于M、N两点，四边形AMDN的面积是否发生变化？若不变化请求 出这个面积；若发生变化，请求出四边形AMDN的面积的最小值： 试卷第1页，共3页 问题解决 (3)如图③，某公园中有一块四边形空地ABCD,经测量AB=DC=AD=40米，∠A=120°， AD∥BC.现计划对该空地进行重新规划，分别在边AB、BC上选取点E、F,并沿DE, DF修两条休闲通道（通道的宽度忽略不计），设计要求四边形DEBF的面积为500√5平方 米，该区域将用于种植观赏花卉.为保障施工的安全，需在四边形DEBF的四周修建护栏.为 了节约修建成本，四边形DEBF的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不 存在，请说明理由。 8.(2025贵州遵义一模)如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=10,∠ACB=90°，点D为 AB的中点，点F是BC边上一点，四边形DEFG为正方形. (I)求证：CE=BG; (2)当点F在BC边上运动时，ADE的面积是否变化？若不变，请你求出ADE的面积；若 变化，请你说明理由； (3)当点F在BC边上运动时，求△ABE的周长的最小值 9.(2026浙江丽水一模)如图，在ABC中，AB=AC,D,P分别为AC,BC的中点， 连接BD,E为BD的中点，过点D作DM⊥BC,垂足为点M,交EP的延长线于点N, 连接AE,AN. (I)若AB=8,求EP的长； (2)证明：CD=PN; ③)当4E⊥EN时，求A的值， SAABC 10.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试)在ABC中，CM⊥AB于点M,且点M为 AB的中点，LACM=30°。 试卷第1页，共3页 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：ABC为等边三角形： (②)如图2，点D、E分别在AC、BC上，连接AE、BD相交于点F,AD=CE,求证： ∠AFB=120°； (3)如图3，在(2)的条件下，EG⊥BD于点G,连接AG,AF=GF,点H为ABC外 点，连接EH、GH,点I为△EGH内一点，连接EI、HI,EI=HI=HG,LGHI=2LGEI ,若CD=8√2，EH=12,求△EGH的面积， 11.(2025辽宁辽阳一模)如图，四边形ABCD是矩形，连接AC,BD,将△ABD绕点D 逆时针旋转得到△EFD. B 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点E在AC上时，连接CF.请直接写出线段CF和CB的数量关系： (2)如图2，当点E不在AC上时，AE,BF相交于点O,请写出线段OB,OF的数量关系， 并证明你的结论： (3)若AB=√5，AD=2,在△DEF旋转过程中，当点A、D、F在同一条直线上时，请直接写 出线段AE的长， 4 12.(25-26吉林月考)如图在A8C中，AB=AC=5,cosB=亏，点D在边BC上，满足 BD=3DC,点P是折线AB-AC上任意一点，且不与ABC的顶点重合.将△BPD沿PD翻 折，得到△B'PD. 试卷第1页，共3页 B D (1)BC的长为 (2)当点P是AB中点时，求PD的值. (3)当B'D⊥BC时，求AP的值 (4)当点B在直线BC上方时，若ABC与△B'PD重叠部分为钝角三角形时，直接写出BP的 取值范围。 13.(25-26重庆·月考)如图，ABC为等腰三角形，AB=AC,延长CB到点D,使得 BD=AB,连接AD,点E、F分别为BC、AD中点，连接EF, M B E B E D E 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠DAC=90°，请你求出∠ACB的度数； (2)如图2，过点E作EM⊥AD于M,延长FE、AC交于点N,求证：EF=AM+EN; (③)如图3，若点H、P分别为直线BF、直线AE上的动点，点K为AP中点，连接AH、 HP、FK,在(I)问的条件下，若4D=5,请直接写出片AH+HP+FK的最小值. 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(FG ②FG/BC,FG=2+lBC 2 (3)(2+V2)cm 【分析】(1)根据等腰三角形三线合一可得AF=DF,AG=EG,根据中位线的性质可得 FG∥DE,FG=DE,即可求解， (2)同1)可得FG∥DE,G=号DE,根据勾股定连可得4B=AC=9BC,即可球解： 2 (3)由AB=2cm,可得BC=2√2cm,根据(2)中的结论即可求解. 【详解】(1)解：：BD=AB,BF平分∠ABD, :AF =DF. :CE=AC,CG平分∠ACE, :AG=EG. FGDE.FG-DE :△ABC为等边三角形， :AB=BC=AC :BD BC CE :DE =3BC. :FG∥BC,FG=3BC. 2 (2)解：FG∥BC,FG=5+1BC. 2 证明：：BD=AB,BF平分∠ABD, :AF DF. :CE=AC,CG平分∠ACE, :AG=EG. :FG∥DE,FG=DE. :△ABC为等腰直角三角形， 答案第1页，共2页 AB-ACBC BD-CE-BC. DE-BD+BC+CE-BC+BCBC-)BC. 2 2 FG-IDE-+BC. 2 :FG∥BC,FG= 2+BC· 2 (3)解：：AB=2cm, .BC 2v2cm. :.FG-+Bc-(2+)cm. 2 2.(1)S.PDce=2SP, 理由见解析 号 9r- 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定 理是解题的关键。 (1)根据等腰三角形的性质得到BD-BC,设点P到BC的距商为，利用三角形面积公 式和平行四边形面积公式求出S。PD和SPco,进而探究二者的数量关系即可； (2)过点D作DE⊥AB于点E,根据勾股定理求出AD长，利用等面积法”求出DE长， 进而求出SPD,由(1)知，SPDCQ=2S△PBD,据此解答即可； (3)根据平行四边形的性质得到PQ=DC、PQ∥DC,进而得到AD⊥P),利用SPco求 出DM,进而求出AM长，利用SAQc=SABc-S.APe-S.PBD-S。PDcQ,列方程求解即可. 【详解】(1)解：SaPDCQ=2 SAPBD,理由如下： :AB=AC,AD垂直BC于D, BD =CD=BC=3 设点P到BC的距离为h, .5.mBD=h S.roce=DC.h-3h 3 2 答案第1页，共2页 SPce=2S.PD: (2)解：如图，过点D作DE⊥AB于点E, :AD⊥BC, B D ∠ADB=90°， 在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD=√AB2-BD2=V52-32=4, S4BD=BD·AD=AB·DE ..DE= BD·AD3×412 AB-5-51 1126 SapBP.DE)X5方 由(1)知，S,Pnc0=2SAP8D, :S=256m=2× 125 (3)解：设AD交PO于点M, 四边形PDCQ是平行四边形， B D PQ=DC=3、PQ∥DC, :AD⊥BC, AD⊥PQ, 12 由(2)知，Smc0= , t4 ÷DM=Sme=5 t P35 4 .AM AD-DM=4--t, 5 答案第1页，共2页 1 SA40C=SPDCO 2 112.6 sc-2x51=5 -t=-t, :Q在ABC内部， S.AoC SABC -S.APO -S.PBD-SoPDCO 646到号 整理得：181=30， 解得1=3 3.(1)是 (2)12 (3)2x 【分析】(1)根据勾股高三角形的定义即可判断； (2)根据勾股定理得到BC2-AC2=CD2.,再由AC2-AD2=CD2,BC2-BD2=CD2,可得 AC=BD=4最后由CD2=AC2-AD2.,计算即可得到答案； (3)过点A作AG⊥ED于G,证明ADE为等腰三角形，△AGD≌△CDB(AAS),即可解决 问题 【详解】(1)解：等腰直角三角形是勾股高三角形. 设等腰直角三角形的直角边长为a, 则斜边长为Va2+a2=√2a, :(N2a)2-a2=a2, :等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高， :等腰直角三角形是勾股高三角形； (2)解：：ABC为勾股高三角形，点C为勾股顶点，AC<BC, .BC2-AC2 CD2 .AC2-AD2=CD2,BC2-BD2 CD2, .BC2-BD2 AC2-AD2, BD=2AD=4, :AC=BD=4,AD=2, 答案第1页，共2页 CD2=AC2-AD2=16-4=12; (3)解：如图，过点A作AG⊥ED,垂足为点G, D B :等腰三角形ABC为勾股高三角形， 且AB=AC>BC, :只能是AC2-BC2=CD2,由(1)②知AD=BC. 又：ED∥BC, ∠ADE=∠B,LAED=∠ACB, 而∠AGD=∠CDB=90°， △AGD≌△CDB(AAS), :DG=BD AB=AC, .∠B=∠ACB, .∠ADE=∠AED, :AD=AE, .ADE为等腰三角形， DE =2DG=2BD. 又：AB=AC,AD=AE, :BD CE =x, :DE 2x. 4.(1)60 (②)4C=V73 224C=733 22 (3)CD=2 9 【分析】本题考查等腰三角形的性质，折叠问题，勾股定理，含30度角的直角三角形，熟 答案第1页，共2页 练掌握相关知识点是解题的关键： (1)平行线的性质，结合折叠的性质，即可得出结果： (2)过点P作PH⊥AB,分C在AB边上和当C在AB延长线上，两种情况进行讨论求解 即可； (3)过点C作C'E⊥BC,作AF⊥BC,等腰三角形的性质，结合勾股定理求出BC的长， 设CD=C'D=x,进而求出BE的长，进而求出ED=BC-BE-CD=6√3-x,在Rt△C'DE中 利用勾股定理进行求解即可。 【详解】(1)解：：∠ABC=30°，直线l∥AB, LPDC=LABC=30°， :折叠， :∠CDP=∠PDC=30°， ∠CDC=60°： (2)证明：过点P作PH⊥AB, ①C在AB边上时， :AB=AC=8,∠ABC=30°， ∠BAC=120°， :∠HAP=180°-∠BAC=60°， :PC=5, ·AP=AC-PC=3, AH-AP-3.PH=4H= 2 2 2 折叠， .PC'=PC=5, 7 2 答案第1页，共2页 :AC'=CH-AH=厉3。 22 ②当C在AB延长线上， =C 35i 同理得CH=-2) √73 :4C'=CH+AH=3+3 22 (3)解：过点C作CE⊥BC,作AF⊥BC, A B :AB=AC=8,∠ABC=30°， 1 4F-4B=4CF-BF-V34F-43, :BC=83, ·折叠， :CD =C'D, 设CD=CD=x, :C是AB的中点 :BC'=-AB=4, 2 :∠ABC=30°， &c-8c=2BE=5EC-25. .ED BC-BE-CD=63-x, 在Rt△CDE中，由勾股定理，得：x2=22+(63-x, x=285 9 答案第1页，共2页 CD=28/3 9 5.(1)证明见解析 (2)证明见解析 品-5 【分析】(1)先运用CE⊥AF以及正方形的性质，证明∠FCG=∠FAB,再运用正方形的性 质，推导出AB=BC,最后通过证明△AFB≌△CEB,证得BE=BF; (2)先运用正方形的性质以及AF平分∠CAB,求得LACG=67.5°，再在△ACE中，运用 三角形内角和定理证得∠E=∠ACG,从而得到AE=AC,运用“三线合一”定理，证得 CG=GE,结合“斜中半”定理，证得LGBE=∠E=67.5°，最后运用正方形的性质，推导出 LDBG=LGBE,从而证得BG平分∠DBE: (3)先证aABG≌aDCG,再证CDMCAF,从而可得AE-CA-5. DM CD 【详解】(1)证明：：过点C作CE⊥AF,交AF的延长线于点G, .∠AGC=90°， :四边形ABCD是正方形， .LABC=90°， 在△FGC中， LAGC+∠FCG+LCFG=180°，∠AGC=90°， .∠FCG+∠CFG=180°-∠AGC=90°， 同理，在△ABF中， :∠ABC+∠FAB+LAFB=180°，∠ABC=90°， .∠FAB+∠AFB=180°-∠ABC=90°， .∠FCG+LCFG=∠FAB+∠AFB, :∠CFG=LAFB, :ZFCG=Z FAB :四边形ABCD是正方形， .AB BC, :在△AFB和△CEB中， 答案第1页，共2页 ∠BAF=∠BCE AB=BC, ∠ABF=∠CBE △AFB≌△CEB(ASA, :BE =BF (2)证明：：四边形ABCD是正方形， AB=BC,∠ABC=90°，∠CAB=∠ACB=45°， :AF平分∠CAB, :∠CAG=∠GAE=∠CAB=22.5°， 由(1)可知，∠FCG=∠FAB, 即∠FCG=∠GAE=22.5°， :∠ACB=45°，∠FCG=22.5°， .∠ACG=∠ACB+∠FCG=45°+22.5°=67.5°， :∠CAB=45°，∠ACG=67.5°， .∠E=180°-∠CAB-∠ACG=67.5°， .∠E=∠ACG, .AC AE CE⊥AG, ..CG=GE, :四边形ABCD是正方形， .∠ABC=∠CBE=90°， BG-GE--CE, LGBE=LE=67.5° :在正方形ABCD中，∠ADB=∠ABD=;∠ABC=45, .∠DBE=180°-∠ABD=135°， .∠DBG=LDBE-∠GBE=135°-67.5°=67.5°， :ZDBG ZGBE .BG平分∠DBE; (3)解：如图，连接BG, 答案第1页，共2页 D E B 由(2)可知，CG=GE,∠ABC=∠CBE=90°， ..CG=GE=GB, 由(2)可知，∠GBE=LE=67.5°， LCBG=LCBE-∠GBE=90°-67.5°=22.5°， CG=GB, LCBG=∠BCG=22.5°， :四边形ABCD是正方形， .∠ABC=LDCB=90°， .LABC+∠CBG=∠DCB+∠BCG=90°+22.5°=112.5°， 即∠ABG=∠DCG, :四边形ABCD是正方形， :CD=AB, :在△ABG和△DCG中， AB=DC ∠ABG=∠DCG, BG=CG .△ABG≌△DCG(SAS, .∠CDM=∠GAB, :AF平分∠CAB, .∠CAF=∠GAB, .∠CDM=∠CAF, :∠DCM=∠ACB=45°， △CDM∽△CAF, 、AFCA DMCD :正方形ABCD中，∠CDA=90°，CD=DA, 答案第1页，共2页 CA=V√AD2+CD2=V2CD, 小%-5 6.(1)见解析 (②)√2 (3)110°或20° (4)EG⊥AD,理由见解析 【分析】(I)过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥CD于点N,然后证明 △AME≌△FNE(ASA,即可得到AE=FE,即可证明； (2)先由勾股定理求解BD=A8+4D=32,则8E=8D=V2,再证明 △GAD≌△EAB(SAS),即可得到DG=BE=√2； (3)分两种情况讨论，即AE与AB的夹角为20°或AE与AD的夹角为20°，根据正方形的 性质以及四边形内角和定理求解即可； (4)可得此时D,F重合，由四边形AEFG是正方形，得到EG⊥AD. 【详解】(I)证明：过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥CD于点N,则 ∠AME=∠FNE=∠EMD=90°， D B :四边形ABCD是正方形， .∠ADC=90°，DA平分∠ADC, .∠MEN=360°-90°-90°-90°=90°，EM=EN :四边形AEFG是矩形， .∠AEF=90 .LAEM=∠FEN=90°-∠MEF △AME≌△FNE(ASA, :AE FE, 答案第1页，共2页 矩形AEFG是正方形： (2)解：在正方形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD=3 .BD=√AB2+AD2=3√2 DE =2BE :BE=;BD=2, 3 在正方形AEFG中，AE=AG,LGAE=90 LGAD=LEAB=90°-∠DAE △GAD≌△EAB(SAS, DG=BE=√2； (3)解：当AE与AB的夹角为20°时，即∠BAE=20°，如图， G D :四边形ABCD是正方形， .∠BAD=∠ADF=90°， .∠DAE=90°-∠BAE=70°， :在四边形AEFD中，∠DAE+∠AEF+LEFD+∠ADF=360°，而∠AEF=90 .∠EFD=360°-90°-90°-70°=110°； 当AE与AD的夹角为20°时，即∠DAE=20°，如图，设EF,AD交于点H, G 由题意得，∠AEF=∠FDH=90 答案第1页，共2页 :∠AHE=∠FHD .∠EFD=∠DAE=20° 综上：∠EFD的度数为110°或20°： (4)解：EG⊥AD,理由如下： 如图， G D(E B C :在正方形ABCD中，AB=AD, 又：点E为BD的中点， .AE⊥BD,即∠AED=90°， :∠AEF=90°，点F在射线CD上， 此时D,F重合， :四边形AEFG是正方形， .EG⊥AD. 7.0)PD=24 (2)四边形AMDN的面积不会变化，面积的最小值为16平方米 (3)存在，四边形DEBF的周长的最小值为50+1097米 【分析】(I)根据三线合一得到AD1BC,BD=CD=BC=6,当PD⊥AB时，PD的值 2 最小，由等面积法即可求解； (2)根据题意，ABC是等腰直角三角形，证明△ADM≌△CDN(ASA,得到SADM=ScDN ，结合图形，面积的计算及等量代换即可求解； (3)如图所示，过点A作AG⊥BC于点G,过点D作DH⊥BC于点H,可算出 S。ADE+S.cDF=700N5(平方米)，如图所示，过点E作EK⊥AD于点K,设AE=x米， CF=y米，得到x+y=70,则DE+DF最小即可，点E,A重合，点F,H重合，此时 DE,DF的值最小，由此即可求解 答案第1页，共2页 【详解】(1)解：：AB=AC=10,BC=12,AD平分∠BAC, AD 1 BC.BD=CD=2BC=6 .在Rt ABD中，AD=VAB2-BD2=V102-62=8, P为AB上一动点，连接PD, 当PD⊥AB时，PD的值最小， S.-7ADBD--4RPD: :PD=ADBD_6x8 24 AB 105 (2)解：四边形AMDN的面积不会变化，面积为16平方米，理由如下， 如图所示，连接AD, D :已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=8,D为BC中点， .ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°，BC=√2AB=8V2 :AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=45°，AD=BD=CD=BC=4V2, ∴.∠ADN+∠CDN=90°， :∠MDN=90°， .∠ADM+∠ADN=90°， .LADM=∠CDN, 在△ADM,△CDN中， ∠C=∠BAD=45° CD=AD ∠CDN=∠ADM △ADM≌△CDN(ASA, .S。ADM=S.CDN, :S四边形AMDN=S。DM+S.HDN, .S四边形AMDN=S,cDN+S.ADN=SACD, 答案第1页，共2页 .四边形AMDN的面积不会发生变化， :Smc40-ix45=16, 四边形AMDN的面积为16： (3)解：存在，四边形DEBF的周长的最小值为50+10√97米，理由如下， AB=DC=AD=40米，∠A=120°，AD∥BC, :四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC=180°-LA=60°=∠DCB, 如图所示，过点A作AG⊥BC于点G,过点D作DH⊥BC于点H, B AG=DH,LAGB=LAGC=LDHB=∠DHC=90°， .AG∥DH, 四边形ADHG是矩形，则AD=GH=40米， 在Rt△ABG中，AB=40米，∠ABG=60°， :BG=AB=20米，4G=V5BG=20N5米， 2 :∠DHC=90°，∠C=60°，CD=40米， 同理，CH=20米，DH=20V5米 .BC=BG+GH+CH=20+40+20=80米， ·S梯形ABCD= (AD+BC)×AG(40+80)×20W3 2 2 =12005(平方米)， :四边形DEBF的面积为500√5平方米， SDE+S,cDr=S形BCD-S边形DEBr=1200V5-500V3=700W3(平方米)， 如图所示，过点E作EK⊥AD于点K,设AE=x米，CF=y米， ∠EAK=60°，∠K=90°，则∠AEK=30°， K=46=米，K=5k= 2 x米， 2 )×40×3x=103x(平方米)， 2 S=cFDH=)yx20w5=10N5y平方米 2 2 答案第1页，共2页 10V5x+10V3y=700V3, 化简得，x+y=70, .AE+CF=70米，则BE+BF=AB+BC-(AE+CF)=40+80-70=50米， :当DE+DF值最小时，四边形DEBF的周长存在最小值， 把ADE绕点D逆时针旋转120°，得到aCDG,作点F关于射线AD的对称点L,FL交 AD于点O,连接DL,如图所示， G 由旋转可得，CG=AE,DG=DE,∠DCG=∠BAD=120°， :∠BCG=∠BCD+∠DCG=60°+120°=180°， .B、C、G共线，FG=CF+CG=CF+AE=70米， LF=20F=40V5米， ∴LG=VFL+FG2=V(40N3)2+702=10V97米， DE+DF=DG+DF=DG+DL2GL, 当G、D、L共线时，DE+DF取得最小值，最小值为GL的长，即10√⑨7米， :四边形DEBF的周长的最小值为BE+BF+DE+DF=50+10√97（米）. 8.(1)见解析 (2)ADE的面积不变，SADE= 25 (3)510+10√2 【分析】(I)连接CD,利用SAS证明△CDE≌aBDG,得CE=BG; (②)作DH⊥AC于点H,连接DF,HE,利用△HDE∽aCDF,得LDHE=LDCF=45°，则 HE‖AD,从而说明ADE的面积不变，即可解决问题 (3)由(2)知，点E在直线HE上运动，作点B关于直线HE的对称点B,则AE+BE的最小 值为AB的长，利用勾股定理求出AB'的长，进而解决问题 答案第1页，共2页 【详解】(1)证明：连接CD, D :ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点， .CD=BD,∠CDB=90 :四边形DEFG是正方形， .DE=DG,∠EDG=90°， ∠CDB=∠EDG, .∠CDE=∠BDG, .△CDE≌△BDG(SAS), .CE =BG (2)解：ADE的面积不变，作DH⊥AC于点H,连接DF,HE G D :△CDH是等腰直角三角形， CD=V2DH,∠CDH=45, :△EDF是等腰直角三角形， .∠EDF=45°，DF=V2DE, CD DF ·DHDE' ∠HDE=∠CDF, .△HDE∽ACDF, .∠DHE=∠DCF=45°， :HE‖AD, 1 SADE =S.ADH= 4×2×10x10=25 42 答案第1页，共2页 (3)解：由(2)知，点E在直线HE上运动，CH=DH,作点B关于直线HE的对称点B, 则AE+BE的最小值为AB的长， .HE垂直平分CD, ·BB'=CD=5√2， H D :AC=BC=10, ·AB=10W2, 由勾股定理得，AB'=√AB2+BB2=5V10, △ABE的周长最小值为5√10+10√2 9.(1)PE=2 (2)见解析 器 4 【分析】(I)根据题意可得PE是△BCD的中位线，推出PE=CD=AC,结合 4 AB=AC=8,即可求解； ②)连接PD,很据题意可得PD是BC的中位线，CD三AC,推出PD=)AB,进而 得到PD=CD,结合DM⊥BC推出PM=CM,由PE是△BCD的中位线，推出 ∠PNM=∠CDM,证明△PNM≌△CDM,根据全等三角形的性质即可得证； 1 (3)根据D为AC的中点，得到Sm=亏SC,再根据E为BD的中点，得到 2 5m-8m耳可求解 【详解】(I)解：：P为BC的中点，E为BD的中点，D为AC的中点， :PE是ABCD的中位线，CD号4C, PE-ICD-LAC, 41 AB=AC=8, 答案第1页，共2页 1 :.PE=AC=2; 4 (2)证明：连接PD, :P为BC的中点，D为AC的中点， :PD是ABC的中位线，CD=AC, PD=1AB, 2 AB=AC, :PD=CD, :DM⊥BC, :PM =CM :PE是△BCD的中位线， :PE∥CD, :∠PNM=∠CDM, 在△PNM和CDM中， '∠PNM=∠CDM ∠PMN=∠CMD=90°， PM=CM ·△PNM≌aCDM(AAS), :CD=PN D E M (3)解：：D为AC的中点， 1 :.S. :E为BD的中点， 1 11 。1 5×)SBc=4SBc, 22 4 S.anc 4' 10.(1)见解析 答案第1页，共2页 (2)见解析 (3)24 【分析】(1)证明△ACM≌aBCM(SAS),即可证明ABC为等边三角形； (2)根据等边三角形的性质证明△ABD≌△CAE(SAS),得到∠ABD=∠CAE,再结合三角 形内角和定理求解即可： (3)连接CG,过点G作AC、BC的垂线，垂足分别为P、Q,连接G,过点H作G的 垂线，垂足为S,过点I作EG的垂线，垂足为K,连接KS,由等腰三角形的性质，推出 AG=EG,再通过证明全等三角形，从而得出EG=BG,得出EG=GB=8,设 ∠GHS=LSHI=∠GE1=a,求出LGEH=30°，过点G作EH的垂线，垂足为M,利用30 度角所对的直角边等于斜边一半，得出GM=4,即可计算出△EGH的面积. 【详解】(1)证明：：CM⊥AB于点M,且点M为AB的中点， ∠CMA=∠CMB=90°，BM=AM, MC=CM, △ACM≌aBCM(SAS, ∠ACM=LBCM=30°，AC=BC, .∠ACB=60°， ·ABC为等边三角形； （2)证明：：ABC为等边三角形， .AB=AC=BC,∠BAD=∠ACE=60°， AD=CE, .△ABD≌ACAE (SAS), .LABD=∠CAE, :∠CAE+∠EAB=∠CAB=60°， .∠ABD+∠EAB=60°， .∠AFB=180°-60°=120°； (3)解：如图，连接CG,过点G作AC、BC的垂线，垂足分别为P、Q,连接G,过点 H作G的垂线，垂足为S,过点I作EG的垂线，垂足为K,连接KS, 答案第1页，共2页 LAFB=120°，AF=FG, ∠FAG=∠AGF=30°， :EG⊥BD, LEGD=90°， .∠AGE=120°， :∠EAG=30°， .LAEG=30°=∠EAG, .AG=EG, 在四边形AGEC中，∠AGE+∠ACE+∠CAG+∠CEG=360°， :∠AGE+LACE=180°， ∠CAG+∠CEG=180°， :∠GEQ+∠CEG=180°， :∠CAG=∠GEQ, 又：∠APG=∠EQG=90°， :△APG≌△EOG(AAS, .PG=GO, 又：CG=CG, △CPG≌△CQG(HL), .∠PCG=∠QCG=30°， 又：AC=AB,CG=CG, .△ACG≌△BCG(SAS), .AG=BG, 答案第1页，共2页 EG=BG, .AD=EC,AC=BC, :CD=BE=82, :在等腰直角形aBEG,EG=GB=Y5BE=8, 2 :GH=IH,HS⊥G1, .GS-SI-GI ZGHI-22GHS-228m1 :∠GH1=2∠GE1 :ZGHS ZSHI=ZGEI, :∠EKI=∠ISH=90°，EI=IH, △EKI≌△HISI(AAS, :I=S=G,∠KIE=∠SIH, 在RtAGKI中，点S是GI的中点， :.KS=GI=SI=KI, △KSI是等边三角形， LK1G=60°， 设∠GHS=LSHI=∠GEI=a, .∠KIE=∠SIH=90°-a, ∠EIH=360°-60°-290°-a=120°+2a, ：∠EH=∠1EH-180°-120°+2a-30°-a, 2 .LGEH=30°-a+a=30°， 过点G作EH的垂线，垂足为M, 在Rt△EGM中，EG=8,∠GEM=30°， :.GM=EG=4, 2 :△EGH的面积=EH.GM=x12x4=24. 2 11.(1)CF=CB (2)0B=OF,证明见解析 答案第1页，共2页 6)26或230 3 3 【分析】(I)如图：设CD与EF交于点N,AC与BD交于点O,证明△ENC∽aDNF,得 到DN-Fw ENCW,再证明：DNEFNC,得到∠DCF=90,又由aBFD是等腰三角形，根据 三线合一的性质即可解答； (2)如图2：连接BD、OD,延长AD与BF交于点G,证明aADE∽△BDF,得到 ∠DAE=∠BGD,再证明a4G0oBGD得到OC-D AG BG ,接着证明aDG0 BGA,得到 LDOG=90°，再由BDF是等腰三角形，可知O是BF的中点，即可得到B0=FO; (3)分两种情况讨论：当F点在AD的延长线上时，过点E作EH⊥AF交于点H,根据三 角形面织相等，求出EH-DE-F_25,在R1△DHE中，用勾股定理求出DH-号则 3 AH-号，在R164EH中，用勾股定毛求出4E=2D；当P点在D1的延长线上时，过 3 点E作EK1DF交于点K,同理可得EK=2V5, -子AK-子在RaBx中，用勾最 3 定理求出4E=2V6 【详解】(I)解：如图：设CD与EF交于点N,AC与BD交于点O, B 图1 :四边形ABCD是矩形， OA=OB=OC=OD,∠ACD=∠ABD :将△ABD绕点D逆时针旋转得到△EFD. .∠ABD=∠DFE,BD=DF, :∠ACD=∠ABD, :ZDFE ZACD :∠CNE=∠DNF, .aENC∽aDNF, 答案第1页，共2页 DN FN ENCN' .:∠END=∠CNF, .△DNE∽△FNC, :ZNCF ZDEN, :∠DEF=∠BAD=90°， .∠DCF=90°， BD=DF, .△BFD是等腰三角形， .BC=CF. (2)证明：如图2：连接BD、OD,延长AD与BF交于点G, B 图2 由旋转可知，BD=DF,AD=DE,∠ADE=∠BDF, AD DE BD-DF ∠ADE=∠BDF, .△ADE∽△BDF, .∠DAE=∠DBG, :∠AG0=LBGD, ∴.△AGOn△BGD, AG OG ·BGDG OG DG ·MGG LDG0=∠BGA, .aDG0m△BGA, 答案第1页，共2页 :LDOG=∠BAG, :∠BAG=90°， .∠D0G=90°， BD⊥DF, △BDF是等腰三角形， .O是BF的中点， B0=F0: (3)解：如图3：当点F在AD的延长线上时，过点E作EH⊥AF交于点H, D H E 8 图3 AB=√5，AD=2, BD=AD2+AB2=3, 由旋转可知DF=BD=3,∠DEF=∠BAD=90°， ·EH=DE·EF2W5 DE 3 在Rt△AEH中，DE=AD=2, 204 DH=4-9=3 .AH=2+ 410 33 在R△AEH中，AE=VAH+HE=2530 3 如图4：当F点在DA的延长线上时，过点E作EK⊥FD交于点K, 答案第1页，共2页 D 图4 同理可得EK=2 3,KD=4 AK=2-4= 在R1MEK中，AE=VaK+EK-26 综上，AE的长为230或26 3 3 12.(1)8 2 2 国月该号 (④0<BP<3或5<BP<125 5 分)过点A作8C,结合等胺三角形的性质，很活cosB作求溜 BE=CE=4,即可求解； @过点P作POLBC,很燕cOsB光-求得BP=2,限彩勾脱定盥求得/PQ-3 根据BD=3DC,求得BD的长，即可求得QD的长，再根据勾股定理即可求出PD的值； (3)分两种情况：当点P在AB边上时，当点P在AC边上时，分别求解即可； (4)当B'D⊥AB于点O时，为临界情况，计算出此时BP的长，即可求出BP的取值范围. 【详解】(1)解：如图1，过点A作AE⊥BC, B P 4 .cos B=- B E 图1 答案第1页，共2页 BE 4 ·AB5 色BE=4AB=4 :AB=AC,AE⊥BC, :BE CE=4, BC=8. (2)解：如图2，过点P作PQ⊥BC, B' B Q D 图2 :点P是AB中点， BP=AB=§ 2 2 cos B=- BO 4 “BPS' ..BO=BP=2. PO=BP-BO-3 BD=3DC, BD=3BC=6」 ∴.QD=BD-BQ=4. PD=VPg+QD-万 2 (3)解，①如图，当点P在AB边上时，过点P作PM⊥BC于点M, B P :B'D⊥BC, M C D 答案第1页，共2页 ·∠BDP=∠B'DP=45°. :PM⊥BC, :∠BDP=∠DPM=45°. :PM DM cosB=BM、4 BP5 :设BP=5x,则BM=4x, PM=VBP2-BM2=3x· :DM PM =3x. 6 BD=4x+3x=6,解得x= 71 BP=5x=30 :.AP=4B-BP-7 5 ②如图，当点P在AC边上时，过点P作PN⊥BC于点N, B'D⊥BC, B ∠BDP=∠BDP=360°-90 =135°. 2 .∠PDC=135°-90°=45°. PN⊥BC, :∠PDC=∠DPN=45°. :PN =DN cosC=CosB=CN_4 CP5' 设CP=5y,则CN=4y, .PN=CP2-CN2 =3y. 答案第1页，共2页 ∴.DN=PN=3y. BC=8,BD=6, CD=2. 2 :CD=4y+3y=2,解得y= CP=5y=10 AP=AC-CP=25 综上所述：护的值为或 (4)①当点P在AB边上时， 如图，当BD'⊥AB于点O时，过点P作PH⊥BC于点H, B .cos B= H D C BH 4 BP-5 :设BP=51,则BH=41. PH=VBP2-BH2=3t· 由折叠可知，BD=B'D=6,∠BDP=∠B'DP,LB=∠B', :PH PO =3t. .OB 8t. ..BD= OB 3 cosB =10r=6,解得1= BP=5t=3. 0<BP<3. ②当点P在AC边上时， 如图，当BD'⊥AC于点O时，过点P作PG⊥BC于点G, 答案第1页，共2页 B P :cosC=cos∠ABC=CG=4 CP 5' 0 B GD c .设CP=5m,则CG=4m, PG=VCp2-CG2=3m· 由折叠可知，BD=B'D=6,∠BDP=∠B'DP, PG=PO =3m. 0C=CP-P0=5m-3m=2m. .cos C=cos B= 0C4 CD 5' :2m4 4 25解得m=5 ,CG=16 PG=12 ·BG=BC-CG=24 BP=BG+PG7125 5 5<BP12V5 5 综上所述：0<BP<3或5<BP125 5 13.(1)∠ACB=60 (2)见解析 Qi 【分析】(1)设LD=x,利用等边对等角得出LDAB=∠D=x,LC=∠ABC=2x,再利 用三角形内角和定理求解即可； (2)连接AE,在AD上取点Q,使MQ=MA,连接EQ,利用三线合一得∠AED=90°， 利用直角三角形斜边中线性质可得EF=4D=D=A,证明 ∠CEN=∠FED=∠FDE=∠DAB=号∠ABC=∠ACB,再证明∠N=∠D,得出 2 CN=CE=BE,可得DE=AN,再证明∠DQE=∠AEN,则可证明△DQE≌△NEA,得 答案第1页，共2页 DQ=EN,即可证明； (3)延长DE到点R，使得RE=DE,连接DP,RP,DH,证明利用等腰三角形的性质 和线段垂直平分线的性质证明PD=PR,DH=AH,再利用中位线的性质证明PD=2FK, 则 n+p+K-+P+2F-4+Pm-4H:p+R-Da+P-期 ,由两点之间线段最短，可知当D、H、P、R四点共线时DH+HP+RP取得最小值DR, 则4H+P+FK的最小值为DR=DE,求解即可。 【详解】(1)解：设∠D=x, AB=BD .∠DAB=∠D=x, :ZABC ZD ZDAB 2x, 又：AB=AC, :ZC=ZABC =2x, 又：∠DAC=90°， .∠D+∠C=90°， .x+2x=90°， .x=30°， .∠ACB=2x=60°； (2)解：如图，连接AE,在AD上取点Q,使MQ=MA,连接EQ, M :AB=AC,E为BC中点， .BE=CE,AE⊥BC, .∠AED=90°， :F为AD中点， 答案第1页，共2页 EF=1AD=FD=AF, 2 .∠FED=∠FDE, AB=BD, .∠DAB=∠D, :∠CEN=∠FED, AB=AC, .∠ACB=∠ABC=2LDAB, :∠CEN=∠FED=∠FDE=∠DAB=∠ABC=∠ACB, ∠N=∠ACB=LCEN=LACB)∠ACB)∠ACB=∠CEN .CN=CE=BE, 又：DB=AB=AC, .DE AN, 设∠BAC=2B, ∠ABC=∠ACB=18029=90°-B, 2 :MQ=MA,EM⊥AD, .AE=OE, ∠40E=∠04=90-D=0-ABc=45°+5B. a∠D0E=13s0-n. :∠CEN=D-5Ac=45-B. ZAEN-ZAEC+ZCEN45-3 2 ∠DQE=∠AEN, :∠D=∠N,∠DQE=∠AEN,DE=AN, △DQE≌△NEA(AAS), .DO=EN 在R4ED中，EF=4D=DQ+AQ=EN+2MM)=4M+号EN, (3)解：如图，延长DE到点R,使得RE=DE,连接DP,RP,DH, 答案第1页，共2页 D B E C R :AB=AC,E为BC中点， .AE⊥BC, .RE DE, :PD=PR, :点K为AP中点，F为AD中点， .PD =2FK :BD=AB,F为AD中点， .BF⊥AD, .DH AH, 2F)(HPRP)HHPRP) 由两点之间线段最短，可知当D、H、P、R四点共线时DH+HP+RP取得最小值DR, ÷4H+号P+fFK的最小值为DR=DE, 由(1)可知∠ADB=x=30°， :AE⊥BC, AE=AD=3 2 2’ DE =VAD2-AE7-53 2 即；4钮+P+FPK的最小值为5. 2 2 答案第1页，共2页