专题4.9 三角形压轴题综合测试卷-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（北师大版2024）

第4章 三角形压轴题综合测试卷 【北师大版2024】 考试时间：120分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级上·北京昌平·期末）用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 2．（3分）（24-25七年级·广东珠海·期中）如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（    ）    A．14 B．15 C．16 D．28 3．（3分）（24-25七年级·湖北武汉·期末）已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 4．（3分）（24-25七年级·云南红河·期末）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25七年级·湖北荆州·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25七年级·辽宁·期末）如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（3分）（24-25七年级·福建福州·期末）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B，C，D，E，F，G都在格点上，图中不与全等的三角形是（   ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25七年级·福建福州·期末）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　） A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．无法确定 9．（3分）（24-25七年级·贵州铜仁·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 10．（3分）（24-25七年级·四川绵阳·阶段练习）在中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是（  ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级·浙江金华·期末）已知一个等腰三角形其中一边长为4，另一边长为8，则它的周长为 ． 12．（3分）（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，是边上的高，，分别平分和，则 °． 13．（3分）（24-25七年级·江苏扬州·期末）如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点P的运动时间为t秒，当为锐角三角形时，t的取值范围是 ． 14．（3分）如图，，，分别为，上的点，与交于点，连接．要，还须添加一个条件，如添加，可运用，证得．请写出添加的其它一个条件，仍能证得： ．（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能） 15．（3分）（24-25七年级·福建泉州·期末）如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是 ． 16．（3分）（24-25七年级·河北保定·期末）将两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示的方式摆放，将这两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点，，依次在同一条直线上，连接．若，，则的面积是 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级·山东淄博·期末）如图，线段与相交于点，且是由平移所得，试确定与的大小关系，并说明理由． 18．（6分）（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， (1)若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 19．（8分）（24-25七年级·内蒙古乌海·期末）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，，求的度数． 20．（8分）（24-25七年级·浙江金华·期末）如图，在中，，点，分别是上两点，连接，，且．求证：． 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明得到．” 小华：“可以通过证明得到．” 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 21．（10分）（24-25七年级·浙江台州·期末）如图1，，要求用尺规在上取一点，使得平分，下面是两位同学的做法． 小明：如图，以点为圆心，适当长度为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧交于点，连接并延长交于点． 小红：你的作图是正确的，我的做法和你不一样，如图，以为圆心为半径画弧，与的交点就是点． (1)请证明小明的做法是正确的； (2)小红的做法正确吗，请说明理由． 22．（10分）（24-25七年级·安徽合肥·期末）如图1，在中，为上一点，且和的平分线、交于点与交于点． (1)求的度数； (2)连接，交于点，若，如图2．求证：． 23．（12分）（24-25七年级上·山东东营·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，是边上的中线，若，，求边的取值范围．小琪同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，请根据小琪的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________． A．SSS    B．SAS    C．AAS （2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是_____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【感悟方法】 （3）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，．试说明：． 24．（12分）（24-25七年级下·河南郑州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 三角形压轴题综合测试卷 【北师大版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级上·北京昌平·期末）用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】D 【分析】要先根据题意，画出图形，通过对图形观察，思考，得出需要小木棍的根数，然后图形对比，选出最少需要小木棍的根数． 【详解】图1没有共用部分，要6根小木棍， 图2有共用部分，可以减少小木棍根数， 仿照图2得到图3，要7根小木棍， 同法搭建的图4，要9根小木棍， 如按图5摆放，外围大的等边三角形，可以得到5个等边三角形，要9根小木棍， 如按图6摆成三棱锥(西面体)就可以得到4个等边三角形， ∴搭建4个等边三角形最少需要小木棍6根． 故选：D 【点睛】此题考查的是组成图形的边的条数，解答此题需要灵活利用立体空间思维解答． 2．（3分）（24-25七年级·广东珠海·期中）如图，已知P是△ABC内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC的值一定大于（    ）    A．14 B．15 C．16 D．28 【答案】A 【分析】在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后根据不等式的性质即可得到正确的结论. 【详解】解：如图所示，在△ABP中，AP+ BP> AB， 同理: BP + PC > BC，AP+ PC > AC， 以上三式左右两边分别相加得到: 2(PA+ PB+ PC)> AB+ BC+ AC, 即PA+ PB+ PC>(AB+ BC+ AC)， ∴PA+ PB+ PC>×（12+10+6）=14， 即PA+ PB+ PC>14 故选A. 【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论 3．（3分）（24-25七年级·湖北武汉·期末）已知的三条高的比是，且三条边的长均为整数，则的边长可能是（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】此题考查了三角形面积的求解方法．解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条高的比是，求得三条边的比，设三边为，， 三条对应的高为，，，根据的面积的求解方法即可求得，由的三条高的比是，易得，又由三条边的长均为整数，观察4个选项，即可求得答案． 【详解】解：设三边为，， 三条对应的高为，，， 可得：， 已知， 可得， 三边均为整数． 又个答案分别是10，12，14，16． 的边长可能是12． 故选：B． 4．（3分）（24-25七年级·云南红河·期末）如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，D，E分别是，的中点，是连接弹簧M和伞骨的支架，且，在弹簧M向上滑动的过程中，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，由线段中点定义得到，又，，因此，得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵D，E分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（3分）（24-25七年级·湖北荆州·期末）如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点以的速度向点运动．则能够使与全等的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质．设能够使与全等的时间为，则，，，分两种情况分别讨论即可得解：①；②． 【详解】解：，， ， 设能够使与全等的时间为， 则，，， 分两种情况考虑： ①时， ， 即， 解得， 此时， 时能够使与全等； ②， ， 即， 解得， 此时，， 即，与矛盾（舍去）； 综上，能够使与全等的时间为． 故选：． 6．（3分）（24-25七年级·辽宁·期末）如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长交于点，证明，得出，即可推出结果． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， 又平分， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 7．（3分）（24-25七年级·福建福州·期末）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B，C，D，E，F，G都在格点上，图中不与全等的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据网格特点，利用全等三角形的判定去判断即可． 【详解】解：如图： 由网格可知， ∴， 由网格可知均是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，故A可以证明全等，不符合题意； 如图： 同理可得， ∴，故B可以证明全等，不符合题意； 如图： 同理可得， ∴，故D可以证明全等，不符合题意； 如图： 由上可得，而是钝角三角形， 故与不可能全等，故C符合题意， 故选：C． 8．（3分）（24-25七年级·福建福州·期末）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　） A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．无法确定 【答案】A 【详解】延长BA至E点，使得AE=AC，连结ED、EP， ∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD=∠CAD， ∵AC=AE，AP=AP， ∴△APC≌△APE（SAS）， ∴PC=PE=n， 在△BPE中，PB+PE＞AB+AE=AB+AC，即m+n＞b+c， 故选：A． 9．（3分）（24-25七年级·贵州铜仁·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 10．（3分）（24-25七年级·四川绵阳·阶段练习）在中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是（  ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形高线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和是解题关键．由同角的余角相等得出，故①正确；根据角平分线的定义得出，再根据三角形外角的性质得出，，从而即可求出，故②正确；由三角形内角和定理可得出，结合角平分线的定义可得出，又可知，结合和，即可求出，故③正确；由题意易求得，根据同角的余角相等得出，由对顶角相等得出，从而可求出，故④错误． 【详解】解：∵是高线， ∴． ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵是角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵，即， ∴，即， ∴，故②正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，故④错误． 综上可知正确的是①②③． 故选A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级·浙江金华·期末）已知一个等腰三角形其中一边长为4，另一边长为8，则它的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知长度为4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，能够分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①当4为底时，其它两边都为8， 4、8、8可以构成三角形， 故周长为20； ②当4为腰时， 其它两边为4和8， ， 不能构成三角形，故舍去， 故答案为：20． 12．（3分）（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，是边上的高，，分别平分和，则 °． 【答案】或/125或110 【分析】分两种情形：当高在内部时，由的度数，再由角平分线的性质得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论，当高在外部时，同法可得可求． 【详解】解：当高在内部时，如图所示： ，， ， 和的平分线交于点， ， ； 当高在外部时，如图所示： ，， ， 和的平分线交于点， ， ； 故答案为：或． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及三角形高的特征、三角形角平分线定义及三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 13．（3分）（24-25七年级·江苏扬州·期末）如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点P的运动时间为t秒，当为锐角三角形时，t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，分两种情况：当时，当时，根据三角形内角和定理并结合直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：当时，如图： ， ∵， ∴， ∴； 当时，如图： ， ∵， ∴， ∴； ∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点P的运动时间为t秒，为锐角三角形时， ∴， 故答案为：． 14．（3分）如图，，，分别为，上的点，与交于点，连接．要，还须添加一个条件，如添加，可运用，证得．请写出添加的其它一个条件，仍能证得： ．（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能） 【答案】，，，，，， 【分析】本题考查全等三角形的性质和判断，掌握判断定理是解题关键；要，已知一组对应边相等和一个公共角，再添加一个条件可以是角相等，或、，依据是或，也可以是间接条件，得出，如，能间接证出和再有一组角相等或一组边相等即可 【详解】解：添加，依据是， 添加，依据是， 添加，可先得出，从而得出，然后依据可证； 添加可得，则依据证明； 添加可得，则依据可证； 添加，先证，从而得出，进而得出，依据是， 添加，可得出，进而，依据， 故答案为：，，，，，，． 15．（3分）（24-25七年级·福建泉州·期末）如图，在中，，AD是中线，若，于点F，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．过点B作于H，延长至E，使，连接，利用AAS证明，，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：过点B作于H，延长至E，使，连接， ， ，， ， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 16．（3分）（24-25七年级·河北保定·期末）将两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示的方式摆放，将这两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点，，依次在同一条直线上，连接．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形， ∴， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：24． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级·山东淄博·期末）如图，线段与相交于点，且是由平移所得，试确定与的大小关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的基本性质得出与平行且相等，再根据三角形的三边关系得出解答即可． 【详解】解：由平移的性质知，与平行且相等，， ∵， ∴， 当B、D、E不共线时， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 根据三角形的三边关系知， 即． 当D、B、E共线时，， 综上，． 18．（6分）（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， (1)若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，等量代换思想解答即可； （2）根据，，得到，根据，得到，计算的度数． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（8分）（24-25七年级·内蒙古乌海·期末）如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的中线、高、角平分线、外角等知识点，熟练掌握相关概念是解题的关键． （1）由三角形中线的概念可得，再根据三角形的周长公式进行计算，即可得出答案； （2）由三角形的高的概念可得，由三角形角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，于是得解． 【详解】（1）解：是的中线， ， ，， 与的周长差 ， 故答案为：； （2）解：， ， 是的角平分线，， ， ． 20．（8分）（24-25七年级·浙江金华·期末）如图，在中，，点，分别是上两点，连接，，且．求证：． 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明得到．” 小华：“可以通过证明得到．” 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 【答案】证明见解析 【分析】小明的方法：由等腰三角形的性质得，，即得，进而可得，即可求证； 小华的方法证：由等腰三角形的性质得，，即得，即可求证； 小聪的方法：过点作于，由等腰三角形的性质可得，，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】小明的方法证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 小华的方法证明： ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； 小聪的方法证明： 如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， 即． 21．（10分）（24-25七年级·浙江台州·期末）如图1，，要求用尺规在上取一点，使得平分，下面是两位同学的做法． 小明：如图，以点为圆心，适当长度为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧交于点，连接并延长交于点． 小红：你的作图是正确的，我的做法和你不一样，如图，以为圆心为半径画弧，与的交点就是点． (1)请证明小明的做法是正确的； (2)小红的做法正确吗，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)正确，理由见解析． 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明可得结论； （）利用等边对等角，平行线的性质证明即可. 【详解】（1）证明：如图中，连接，， 由作图可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：正确，理由如下： 如图中，连接， 由作图可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 22．（10分）（24-25七年级·安徽合肥·期末）如图1，在中，为上一点，且和的平分线、交于点与交于点． (1)求的度数； (2)连接，交于点，若，如图2．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，根据 ，得出，根据 求出结果即可； （2）先证明 ，得出，再根据证明即可． 【详解】（1）解： 分别是 和 的平分线， ， 又 ， ， ． （2）证明： ， ， 由 （1）知 ， ， 平分 ， 在 和 中， ∴ ， ∴， 又 平分， ， 在 和中， ． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 23．（12分）（24-25七年级上·山东东营·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，是边上的中线，若，，求边的取值范围．小琪同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，请根据小琪的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________． A．SSS    B．SAS    C．AAS （2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是_____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【感悟方法】 （3）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，．试说明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据题意，运用边角边的方法证明； （2）由（1）中三角形全等可得，在中根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，由此即可求解； （3）如图所示，延长至点，使得，连接，可证，可得，，，由此即可求解． 【详解】解：（1）延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴，且（对顶角相等）， 在中， ， ∴， 故选：； （2）由（1）可得， ∴，，则， 在中，， ∴， 故答案为：； （3）如图所示，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴，且， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形中线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等边对等角，等角对等边等知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 24．（12分）（24-25七年级下·河南郑州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【详解】（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． 故答案为：，； （2）解：答案不唯一． 选甲：在和中， ， ∴， ； 选乙：，， ， 在和中， ， ∴， ； 选丙： 在和中， ， ∴， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$