抢分秘籍05 数列（5大题型5大易错）-2025年高考数学冲刺抢押秘籍（上海专用）

抢分秘籍05 数列 目录 【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】数列的概念与简单表示法 【题型二】 等差数列 【题型三】 等比数列 【题型四】 数列新定义 【题型五】数列与函数、不等式综合问题 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点一：忽视公式的适用条件而导致错误 易错点二： 求前项和时忽略对取值的讨论而致误 易错点三： 忽视对公比是否为1的讨论而致误 易错点四： 混淆等差数列单调性与最值的关系致误 易错点五：未对的奇偶性进行讨论而致误. 考点分布：等差数列和等比数列是考查的重点，涉及它们的性质、通项公式以及前n项和公式。同时，数列的递推公式、数列与函数的综合、数列极限的求法等也在考试中有所出现。例如，2023 年考查了等差数列和等比数列的性质、等比数列的前n项和公式；2022 年考查了等差数列与等比数列的前n项和、数列极限的求法、数列中的递推公式等。 题型特点：在填空题、选择题和解答题中均有出现。填空题和选择题通常以考查基础知识为主，如数列的基本量计算、性质的应用等。解答题则更注重综合能力的考查，可能会涉及到数列的通项公式推导、求和方法的运用，以及与其他知识（如函数、不等式、推理等）的综合应用，难度相对较大，对考生的逻辑推理和运算求解能力要求较高。 命题趋势：数列命题逐渐偏向综合能力的考察，涉及到与其他知识点的结合，如在数列题目中融入函数、图形、排列组合等概念。同时，推理与证明题的比例逐渐增加，应用题也逐渐增多，这些应用题可能涉及到经济学、物理学、化学等多个领域，对学生的跨学科应用能力提出了更高的要求。 深入理解数列的基本概念，如等差数列、等比数列的定义、通项公式、求和公式等，以及数列的递推关系、数列极限等概念。熟练掌握等差数列和等比数列的性质，如中项性质、下标和性质等，这些性质在解题中往往能起到简化计算的作用。 由于数列常与其他知识综合考查，所以要加强这方面的训练。比如数列与函数的综合，需要运用函数的观点和方法来分析数列问题；数列与不等式的综合，可能会涉及到不等式的证明、参数范围的求解等。 【题型一】数列的概念与简单表示法 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1>an 其中 n∈N* 递减数列 an＋1<an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 常用结论 1．已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)． 1．（2024·上海闵行·一模）已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（    ） A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】A 【分析】对于①，当时，，然后作差证明数列的单调性；对于②，当时，容易发现无论为何值，最终恒为常数. 【详解】对于①，时，，， 时，；时，，也有，故①为真命题. 对于②，时，，， 当时，，，不严格递减； 当时，，，不严格递减； 当时，， 若，则， 同理当时，， 则存在，使得， 则，，不严格递减. 综上所述，时，不可能是严格递减数列.故②为假命题. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题对①的分析得关键是对分类讨论，分和研究即可. 2．（2024·上海宝山·一模）设的三边长分别为、、，面积为（为正整数）．若，其中，，，，则（    ） A．为严格减数列 B．为严格增数列 C．为严格增数列，为严格减数列 D．为严格减数列，为严格增数列 【答案】B 【分析】由可知的边为定值，由，，可知为定值，结合双曲线定义可知动点在以，为焦点的双曲线上，再根据面积公式可得单调性. 【详解】    由已知，即的边为定值，不妨设，为定点，如图所示， 又，， 则， 即为定值， 又， 所以为定值， 即， 所以动点到定点，的距离之差的绝对值为定值， 满足双曲线定义， 所以动点的轨迹为以，为焦点的双曲线， 如图所示， 所以， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则数列为递增数列， 所以当增大时，变大，即变大， 此时向远离处运动，即变大， 所以变大， 即数列为严格增数列，且，均为严格增数列， 故选：B. 3．（2025·上海嘉定·二模）设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（    ） A．数列和数列均不是周期数列 B．数列是周期数列，数列不是周期数列 C．数列不是周期数列，数列是周期数列 D．数列和数列均为周期数列 【答案】B 【分析】令，可得数列的周期为6，令，可得数列的周期为8，进而依次得数列和数列的周期，又和判断数列的周期性. 【详解】令，则数列的一个周期为6， 又， 则， 令，则数列的一个周期为8， 又， 则， 所以数列的一个周期为24，且，所以，则的一个周期为24， 又，， 所以，故，所以不是周期数列. 故选：B. 4．（2025·上海杨浦·二模）由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为 .    【答案】 【分析】先计算点，再通过数列的增减性检验点列的变化趋势，则图形每次增加一个小三角形，设直线与直线的交点为，计算，此为增加的面积，再得出前个三角形的面积之和构成的数列的递推关系，即可利用累加法求出，再计算即可. 【详解】由题意可得，， 令，则， 当时，；当时，，即， 则随着三角形的个数增加，所有三角形围成的图形每次增加一个小三角形， 设直线与直线的交点为， 联立，解得，即， 则， 设前个三角形围成图形的面积为，则， 且， 则，，，，， 由累加法可得，， 则，而符合上式，则， 故， 则的并集，其面积为. 故答案为：.    5．无穷数列的前项和，存在正整数，使恒成立，则 . 【答案】或或 【分析】根据题意结合周期数列分析可得，即，分类讨论运算求解. 【详解】由题意可得：， 假设，则 ， 可得的可能取值不可能仅限三个，假设不成立， 故， 即，则有： 当，则，例如数列，符合题意； 当，即，则，例如数列，符合题意； 当，即，则，例如数列，符合题意； 综上所述：或或. 故答案为：或或. 6．已知数列满足，，，则数列的前项积的最大值为 ． 【答案】1 【分析】根据，判断出是一个周期数列，从而求前项积即可. 【详解】, ，两式相除得：， 所以数列是以3 为周期的周期数列,由，，得： 记数列的前n 项积为 ,结合数列的周期性，，当时, ， ， ， 所以数列的前项积的最大值为1. 故答案为：1 7．已知平面上有个点，，，，，，，，且，记的坐标为，将，，依次顺时针排列，求= 【答案】 【分析】利用向量的定义，推导知的向量坐标，然后求出，的表达式，根据等比数列求和公式以及数列极限的求解方法得到结果.． 【详解】因为，且顺时针排列，所以， 由题意得，，，，都是在上一个点的基础上横坐标增加，纵坐标不变. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标增加，纵坐标减小. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标减少，纵坐标减小. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标减少，纵坐标不变. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标减少，纵坐标增加. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标增加，纵坐标增加. 所以，因为，， 所以 ，， 所以. 所以 ，， 所以 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：需要分别找到横纵坐标的增减规律，然后结合等比数列和数列求极限从而求解. 8．已知数列满足，且． (1)求的值； (2)若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数运算性质可得，即可判断为等比数列，即可根据等比数列的通项求解， （2）利用作差法可得对正整数恒成立，即可求解. 【详解】（1）由，得，故，即. 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列. 从而，.所以. （2）设数列满足， 因为数列为严格增数列， 故对正整数恒成立，   即对正整数恒成立， 当时，取到最小值.所以. 【题型二】 等差数列 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)． (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*)． (2)等差数列{an}的单调性 当d>0时，{an}是递增数列； 当d<0时，{an}是递减数列； 当d＝0时，{an}是常数列． 4．等差数列前n项和的常用性质 (1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数． (2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 常用结论 1．等差数列通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． 2．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 3．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A. 4．若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝. 5．若等差数列{an}的项数为偶数2n，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； (2)S偶－S奇＝nd，＝. 6．若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则 (1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1； (2)＝. 1．已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下2023个方程中，有实数解的方程至少有（    ）个 A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【答案】D 【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到，要想无实根，要满足，结合根的判别式与基本不等式得到和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，……，和至多一个成立，且，从而得到结论. 【详解】由题意得：， 其中，， 代入上式得：， 要想方程无实数解，则， 显然第1012个方程有解， 设方程与方程的判别式分别为和， 则 ， 等号成立的条件是. 所以和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立， ……，和至多一个成立，且， 综上，在所给的2023个方程中，无实数根的方程最多1011个，有实数根的方程至少1012个. 故选：D. 2．已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法正确的是（    ） A．为等差数列，为等比数列 B．为等比数列，为等差数列 C．为等差数列，为等比数列 D．为等比数列，为等差数列 【答案】C 【分析】令(是等差数列的前n项和),由题意可得当时，单调递减，结合二次函数的性质和选项逐一判断即可. 【详解】解：令,由题意当时，单调递减， 对于首项为，公差为的等差数列， 则前n项和(不含常数项)， 此时， 由二次函数的性质知：当足够大时，不可能为单调递减函数， 所以，A中奇数项及B中偶数项为等差数列均不合题意； 对于C，当前2022项为等差数列，从第2022项开始为等比数列且公比时，满足，故符合题意； 对于D，当前2022项为等比数列，从第2022项为等差数列时，同A、B分析：当足够大时，不满足，即不可能为单调递减函数，故不合题意 故选：C. 【点睛】方法点睛：等差数列的前n项和是关于n的二次二项式(不含常数项)，在研究有关等差数列前n项和的有关性质性，从二次函数的性质出发，能使问题得到简化. 3．（2024·上海虹口·一模）设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（   ）． ①存在等比数列以及锐角α，使成立． ②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立． A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】假设，，成等比数列，可得，在同一坐标系内作和的图象可判断①；分，和，求出的最大值和最小值可知，判断该方程是否有解可判断②. 【详解】对于①，若，，成等比数列，即，， 则，即，得， 在同一坐标系内作和的图象：    可知方程，有且只有一解， 所以存在等比数列以及锐角α，使成立，①是真命题； 对于②，假设存在等差数列以及锐角α， 使成立，则必有， 当时，显然不成立； 当时，，， 所以，， 所以， 则， ，即，即， 因为，所以，， 不存在这样的使得等式成立； 当时，，， 所以，， 所以， 同理， 因为，所以，， 不存在这样的使得等式成立； 所以②是真命题. 故选：A. 【点睛】思路点睛：与三角有关的方程是否有解的问题，可根据代数式的特征选择合适的范围，再根据范围判断一些特定代数式的符号，从而可判断方程是否有解. 4．（2025·上海崇明·二模）数列是等差数列，周期数列满足，若集合，n是正整数中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】现根据等差数列的通项公式和周期数列的定义，得到，然后对选项逐一分析即可. 【详解】, 取，则公差， 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为，此时，三个元素合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为， 又，此时也是三个元素，合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为，此时也是三个元素，合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 由于是质数，角度间隔无法分解为更小的对称单元，余弦值的对称性不足以将个不同角度映射为个不同值， 故选：D. 5．（2024·上海宝山·二模）某区域的地形大致如图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设：警戒区域为空旷的扇环形平地；假设：视探照灯为点，且距离地面米；假设：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、、.第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为如图记，经测量知米，且是公差约为米的等差数列，则至少需要经过 次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.    【答案】 【分析】依题意，，，得到是以为首项，以为公差的等差数列，求出与比较得到答案. 【详解】因为在中， ，，    所以，， 故， 故是以为首项，以为公差的等差数列， 故， 而，， 故. 所以至少需要次才能将整个警戒区域扫描完毕. 故答案为：. 6．（2025·上海黄浦·二模）设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ． 【答案】15 【分析】由题意可得或，分类讨论可求得的值. 【详解】由，可得或， 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为负，从第项开始为正， 又，， 所以，所以； 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为正，从第项开始为负， 又，， 所以，所以； 综上所述：. 故答案为：. 7．（2024·上海杨浦·二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 .    【答案】134 【分析】由题设信息，第一层有根，共有层，利用等差数列前n项和公式列出关系式，再借助整除的思想分析计算得解. 【详解】设第一层有根，共有层，则， ，显然和中一个奇数一个偶数， 则或或，即或或， 显然每增加一层高度增加厘米， 当时，厘米厘米，此时最下层有根； 当时，厘米厘米，此时最下层有根； 当时，厘米，超过米， 所以堆放占用场地面积最小时，最下层圆钢根数为根. 故答案为：134 8．已知项数为m的有限数列是1，2，3，…，m的一个排列.若，且，则所有可能的m值之和为 . 【答案】9 【分析】首先通过试值法可知，当或3不满足题意，当或时满足题意，然后证明当，不满足题意即可. 【详解】当时，显然不合题意; 当时,因为, 所以,不符合题意; 当时,数列为，此时, 符合题意， 当时,数列为. 此时,符合题意; 下证当时,不存在满足题意. 令, 则,且, 所以有以下三种可能: ①； ②；  ③ 当时,因为, 即. 所以或. 因为数列的各项互不相同,所以. 所以数列是等差数列. 则是公差为1(或的等差数列. 当公差为1时,由得或, 所以或,与已知矛盾.当公差为时, 同理得出与已知矛盾. 所以当时,不存在满足题意. 其它情况同理可得. 综上，的所有取值为4或5，故所有可能的值之和为9. 故答案为：9. 【点睛】关键点睛：本题作为填空题易通过试值知或，但对于不合题意的证明是一个难点，我们通过找到的所有情况，选定一种情况，利用题意得到数列是等差数列，则有或，从而得到与已知条件相矛盾的结论. 9．（2024·上海杨浦·二模）已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据给定条件，结合三角恒等变换化简得，由正切函数性质可得随增大而增大，再由的临界值点得，代入利用二倍角的余弦求解即得. 【详解】设等差数列的公差为，，依题意，， 于是，整理得， 即，因此， 即有，则随增大而增大，而 当，时，到达时是临界值点，此时， 代入得，即，整理得， 而，解得，则，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换化简所列式子，借助函数单调性分析的临界值点是解决本问题的关键. 10．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由时函数取得最大值4，可知值及关于的方程，由其范围可求得值，得解； （2）由（1）求得，进而求得，得，由等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）已知当时函数取得最大值4， 因为，所以.此时， 又，解得， 所以函数的表达式为. （2）由（1）知，则，. 因为是等差数列，设公差为，则，解得，， 所以. 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， 可得. 11．令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在， 【分析】（1）由导数的几何意义得切线方程后证明， （2）构造函数后由导数证明不等式， （3）由等差数列的性质，根据导数判断单调性与方程根的个数后求解， 【详解】（1），则在处的切线为， 当时，，即， 所以当正整数时，； （2）作差得， 令，， 当时，，当时，， 故在单调递增，在上单调递减， ，故， 所以当正整数时，试比较； （3），令， 与单调性相同，由（2）得， 当时，，当时，， 故至多有两解， 若成等差数列，则， 故最多项成等差数列，此时，． 而，， 令，，显然时，， 故在上单调递增， 而，，，故有唯一解， 存在使得，此时，故存在最多项成等差数列， 12．（2024·上海·模拟预测）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围． 【详解】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去）， 而在上为增函数，故， 故即， 故的解集为. （2）因为存在使得成等差数列， 故有解，故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为， 故即. 13．已知数列是公差为2的等差数列，数列为等比数列． (1)若，，，求数列的通项公式： (2)设数列的前n项和为，若，，求． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由等差数列、等比数列的基本量关系即可列式求得，，进一步即可得解； （2）由等差数列基本量的关系即可列方程组求解. 【详解】（1）由题意得，，. 因为，所以， 解得，所以，， 所以数列的公比为3， 所以数列的通项公式为. （2）∵数列为等差数列，且公差为2， ，， ∴， 解得，故. 14．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元. (1)若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式； (2)若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，进而得年后燃油的总费用是，进而结合题意可得； （2）由题知从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为 ，公比为，进而得年后，养护保险费为，再求平均值即可得答案，最后利用计算器计算可得. 【详解】（1）解：根据题意，购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元， 所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为， 所以购买该种型号汽车第年的燃油费用为， 所以购买该种型号汽车年后燃油的总费用是， 因为每年养护保险费均为万元，所以购买该种型号汽车年后养护费用共万元， 所以. （2）解：当时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加， 所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为，公比为， 所以从第七年起，第年的养护保险费用为， 所以购买该种型号汽车年后，养护保险费为， 所以当时，使用年后，养护保险费的年平均费用为. 经计算器计算得时，最小. 【题型三】 等比数列 1．等比数列有关的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an＝a1qn－1. (2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m. (3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3．等比数列的常用性质 (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)． (4)若或则等比数列{an}递增． 若或则等比数列{an}递减． 4．等比数列前n项和的常用性质 若等比数列{an}的公比q≠－1, 前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. 常用结论 1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)． 3．设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn. (2)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． (3)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. 1．（2025·上海·模拟预测）已知为等比数列，其前项和为，若，则其公比 . 【答案】 【分析】由等比数列求和公式代入即可求解； 【详解】由， 当时，显然不成立； 当时，可得， 即， 所以， 故答案为： 2．各项都不为零的等差数列（）满足，数列是等比数列，且，则 . 【答案】8 【解析】由已知等式结合等差数列的通项公式求得，再由等比数列的通项公式结合求解的值． 【详解】解：各项均不为0的等差数列满足， ，化为：， 数列是等比数列，且， ． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．（2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先结合题意由等差和等比数列的基本量法求出两数列的通项进而求出，再构成函数，分析单调性和根即可. 【详解】由题意可得等差数列的公差为，所以，所以， 等比数列的公比为，则， 因为，即，即， 设， 由复合函数的单调性可得在上单调递增， 再由二分法确定当时，， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 4．设函数的零点为，若成等比数列，则 . 【答案】 【分析】将函数的零点转化为的交点横坐标，结合函数图像，列方程求出零点，进而可得的值. 【详解】令，得 则函数的零点 即为的交点横坐标，如图： 由图可知， 解得 故答案为：. 5．（2024·上海·三模）某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为万元． (1)判断是否为等比数列？并说明理由； (2)若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设，则该工厂在第几年转型升级？ 【答案】(1)答案见解析； (2)9. 【分析】（1）根据给定条件，可得，再利用构造法推理得解. （2）由（1）的结论，取，再结合已知利用单调性解指数不等式即得. 【详解】（1）依题意，，， ，即， 而当，即时，不是等比数列； 当且时，数列是一个以为公比，为首项的等比数列. （2）当时，由（1）知数列是一个以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 设第年转型升级，则，则， 数列是递增数列，，而，则， 所以该工厂在第9年转型升级. 6．（2024·上海·三模）如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点A处，记点移动次后仍在底面上的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列；若，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）每个顶点相邻的顶点有3个，其中2个在同一底面，据此计算概率即可； （2）根据题意先得出递推关系，再化简变形即可得数列是等比数列；求等比数列的通项，进而得到，再解不等式即可. 【详解】（1）依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面， 所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为， 当点在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为， 所以，. （2）， 所以， 又因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； ，， 若，则，所以， 又，，，所以，的最大值为. 7．已知数列和，其中，，数列的前项和为． (1)若，求； (2)若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先判定数列和分别为等差和等比数列，进而分别得到其通项公式，从而利用分组求和的方法得到数列的前项和． （2）利用数列的前项和列出方程组，解之即可求得、、、，进而求得数列和的通项公式． 【详解】（1）解：当时，，从而是等差数列，， ，所以是等比数列， 又，则， 所以． （2）解：是各项为正的等比数列，设其首项为，公比为， 由，可得，则，（定值） 则数列为等差数列，设其首项为，公差为， 由数列的前项和， 可得方程组，整理得， 解得：，，，且， 由，可得，则， 则数列的通项公式为；数列的通项公式为． 【点睛】本题考查数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式求出数列的通项公式，是难题． 8．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求当n为何值时，数列的前n项和取得最大值. 【答案】(1)； (2)或时，取得最大值. 【分析】（1）根据题意列出关于公差的方程，求得d，可得答案； （2） 等差数列的前n项和公式求，结合二次函数性质求最大值. 【详解】（1）设数列的公差为d，，由，，成等比数列，得，即，解得. 所以数列的通项公式为. （2）由 得，， 当或5时，取得最大值，最大值为10. 【题型四】 数列新定义 与数列的新概念有关的问题的求解策略 ①通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的． ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 以数列和项与通项关系定义新数列 解决此类问题，关键是根据题干中的新定义、新公式、新定理、新法则、新运算等，将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系进行求解． 数列新情景 对于新情景问题，关键是要从问题情境中寻找“重要信息”，即研究对象的本质特征、数量关系(数量化的特征)等，建立数学模型求解． 1．设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（    ） A．①和②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①和②都为假命题 【答案】C 【分析】根据给定的定义，按公差的取值情况分类探讨判断①；利用等比数列通项公式及前n项和公式，结合不等式恒成立即可推理作答. 【详解】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意， 当时，， 函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴， 存在，使得，取不小于的正整数，则有， 即，不符合题意，综上得①为假命题； 等比数列首项，因为数列为“K数列”，则有，即， ，于是， 依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是， 因此，所以是为“K数列”的充要条件，②是真命题， 判断正确的是①为假命题，②为真命题. 故选：C 【点睛】关键点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件. 2．若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（    ） A．存在等差数列，使得是的“M数列” B．存在等比数列，使得是的“M数列” C．存在等差数列，使得是的“M数列” D．存在等比数列，使得是的“M数列” 【答案】C 【分析】对于A：取，分析判断；对于B、D：取，分析判断；对于C：根据题意结合等差数列的性质分析判断. 【详解】对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故A为真命题； 对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故B为真命题； 对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”， 设等差数列的公差为， ∵、均为严格增数列，则，故， 取满足，可知必存在，使得成立， 当时，对任意正整数，则有； 对任意正整数，则有； 故不存在正整数，使得，故C为假命题； 对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列， 可得，则， 取，则，即成立， 所以是的“M数列”，故D为真命题； 故选：C. 【点睛】关键点睛：在说明选项C时，只需说明，故取即可. 3．设为无穷数列.若存在正整数，使得对任意正整数，均成立，则称为“-低调数列”.有以下两个命题：①是-低调数列当且仅当；②若存在，使得为2-低调数列，则.那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①､②都是真命题 D．①､②都是假命题 【答案】C 【分析】根据“-低调数列”的定义验证即可. 【详解】对于数列， 若该数列为-低调数列，因均小于，故. 反之，当时，， 即该数列为-低调数列.故①是真命题. 对于数列，显然. 若存在使得该数列为2-低调数列，则对一切正整数恒成立. 若，则当时，（*）不成立； 若，取即可； 若，则，取即可. 综上，②是真命题. 故选：C. 4．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（    ） A．若为等差数列，则为内和数列 B．若为等比数列，则为内和数列 C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 【答案】C 【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据题意分析可得，结合单调性可得，即可得结果. 【详解】对于选项AB：例题，可知即为等差数列也为等比数列， 则，但不存在，使得， 所以不为内和数列，故AB错误； 对于选项C：因为， 对任意，，可知存在， 使得， 则，即， 且内和数列为递增数列，可知， 所以其伴随数列为递增数列，故C正确； 对于选项D：例如， 显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列， 但不是递增数列，故D错误； 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，把定义转化为已经学过的内容，简化理解和运算. 5．（2025·上海普陀·二模）设，，、，是数列的前项和，且满足，数列是由个大于的整数组成的有穷数列，若，，则称数列是数列的“数列”.对于数列有如下两个命题：①若，则数列不是数列的“数列”；②若，则数列的“数列”至少有5个.则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 【答案】A 【分析】先根据与的关系求出数列的通项公式，再结合“数列”的概念判断①②的真假即可. 【详解】对数列：① ② ①－②得：， 所以是以3为公比的等比数列， 令， 对①：若，. 因为，且为整数，，其余. 以为例，. 若，则，这与矛盾. 所以不能恒成立.故①为真. 对②：以为例： 设， 令，则方程的解有，，，，5个满足. 即时，数列的“数列”有5个. 当时，， 令，则方程满足的解的个数更多. 即时，数列的“数列”多于5个. …… 依次类推：当数列至少5个，故②为真. 故选：A 6．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 【答案】A 【分析】对于①，根据数列的前项和得到，对，和两种情况分类讨论求解可判断；对于②设等差数列的首项为，公差为，对分类讨论求解判断. 【详解】对于①，数列的前项和（为正整数）， 当时，， 当时，不满足上式，所以， 当，时，， 所以数列与原数列相同，所以， 所以当时，数列为完全平方数列， 当时，不是“完全平方数， 所以当时，数列不是完全平方数列， 综上所述：数列为“完全平方数列”，故①是真命题； 对于②，因为为完全平方数，故， 若，则，若对任意的，均为完全平方数， 则，否则假设为的素因数，且恰好整除，为正整数， 若为奇数，则不是完全平方数，矛盾， 若为偶数，取，则不是完全平方数，矛盾， 若，则， 若，取，则或， 当为偶数时，此时，均不是完全平方数， 当为奇数时，取，，为奇数， 故此时不是完全平方数， 故，即，故，设，故， 当时，， 又适合上式，即. 故存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列，故②是真命题. 故选：A. 7．设､为常数，若存在大于1的整数，使得无穷数列满足，则称数列为“数列”. (1)设，若首项为1的数列为“（3）数列”，求； (2)若首项为1的等比数列为“数列”，求数列的通项公式，并指出相应的的值； (3)设，若首项为1的数列为“数列”，求数列的前项和. 【答案】(1)3； (2)①，此时，q＝1，k≥2，k∈；②，此时d＝－2，q＝－1，k≥2，k∈； (3). 【分析】（1），k＝3，写出此时的式子，根据规律求出即可求出； （2）根据题设条件，求出数列前三项，根据数列是等比数列即可求出通项公式； （3）根据题设条件，分析数列项的规律，从而求出其前10n项的和. 【详解】（1）由题知，， ∵， ∴， ∴； （2）①若，则， 由，得≠0，∴d≠－1； 由，得. 联立两式，得或，则或，经检验k≥3时也均合题意. ②若，则， 由，得，得，则，q＝1，经检验符合题意. 综上①②，满足条件的{}的通项公式为： ①，此时，q＝1，k≥2，k∈； ②，此时d＝－2，q＝－1，k≥2，k∈. （3）由题可知，, 数列项的规律为， ，从而求出其前10n项的和, , 即，. 8．设有数列，对于给定的，记满足不等式：的构成的集合为，并称数列具有性质. (1)若，数列： 具有性质 ， 求实数 的取值范围； (2)若，数列是各项均为正整数且公比大于1的等比数列，且数列不具有性质，设，试判断数列是否具有性质，并说明理由； (3)若数列具有性质，当 时， 都为单元素集合，求证：数列是等差数列. 【答案】(1) (2)数列不具有性质 (3)证明见解析 【分析】（1）由数列具有性质，建立不等式组求解即可； （2）根据数列是等比数列计算，利用不等式可得，由数列不具有性质可得存在使得，转化为，求出，即可判断； （3）根据数列具有性质，运用不等式可得对任意的都成立，先证明时，，同理可得，即可证明. 【详解】（1）由题意可得，即 解得； （2）设数列的通项为， ， 因为数列不具有性质， 所以存在使得， 所以， ， ， 不具备性质X； （3）因为数列具有性质， 所以 ， 对任意的都成立， 当时，需满足对任意的恒成立， 当时，有，即， 当时，有， 当时，， ， 所以只需 即可满足条件， 为单元素集合， 同理可证，对任意的时，都有， 所以数列是等差数列. 【点睛】本题的证明过程，采用了类比的方法，首先证明时，需满足，再由为单元素集可得，类似的可证得其他情况都有，由等差数列的定义知为等差数列. 9．已知数列． 若存在，使得为递减数列，则称为“型数列”． (1)是否存在使得有穷数列为型数列？若是，写出的一个值；否则，说明理由； (2)已知2022项的数列中，（）． 求使得为型数列的实数的取值范围； (3)已知存在唯一的，使得无穷数列是型数列． 证明：存在递增的无穷正整数列，使得为递增数列，为递减数列． 【答案】(1)存在； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）取，可得答案； （2）当（）时，由，解得，同理，当时得，从而得到的范围； （3） 首先证明：对任意，①存在，使得；②存在，使得． 用反证法证明①，②可同理得到答案；根据①、②可知，存在，使得，存在，使得，由①的证明知，如此递归选择的使得递增且递减即为所求． 【详解】（1）是，如：取，则为递减数列．（时均可）． （2）当（）时，，解得，同理，当（）时，，解得， 而此时确为型数列，故为所求． （3）首先证明：对任意，①存在，使得；②存在，使得． 用反证法证明①，②可同理得，   若存在，使得当时，均有，则由型数列定义，， 设，由题意，， 当时，， 而当时，，故． 因此，也是型数列，与的唯一性矛盾， 证毕．   根据①、②可知，存在，使得，存在，使得， 由此，若，则存在，使得，又存在， 使得，由①的证明知，如此递归选择的，使得递增且递减，即为所求． 【点睛】本题考查了数列新定义的问题，考查了数列的单调性及反证法。要求学生有较强的逻辑能力和计算能力. 10．设有数列，若存在唯一的正整数，使得，则称为“坠点数列”．记的前项和为． (1)判断：是否为“坠点数列”，并说明理由； (2)已知满足，，且是“5坠点数列”，若，求的值； (3)设数列共有2022项且．已知，．若为“坠点数列”且为“坠点数列”，试用，表示． 【答案】(1)不是坠点数列，是“3坠点数列”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）列出数列的前几项，再利用作差法判断数列的单调性，根据所给定义一一判断即可； （2）首先可得，再依题意中只存在，即可得到当且仅当时，，其余均为，从而求出，再利用数列极限的概念计算可得； （3）首先判断，利用反证法证明，即可得到，从而得解． 【详解】（1）解：对于，由于，，，，， 则存在，，不满足定义，故不是坠点数列． 对于，容易发现，，，， 即在前4项中只有．而对于起， 由于，即对于是恒成立的． 故是“3坠点数列”． （2）解：由绝对值定义，． 又因为是“5坠点数列”，则中只存在且． 则当且仅当时，，其余均为 故可分类列举： 当时，，，，， 当时，，，， 分组求和知： 当时，，则， 当时，， 则当时，， 则， （3）解：结论：，理由如下： 经过分析研究发现：， 下利用反证法予以证明．不妨设，首先研究． 由于为“坠点数列”，则只存在，即， 而对于且，则有，即， 故在中有且仅有一项，其余项均大于0， 又因为为“坠点数列”，则有且仅有， 同时，，， 这与是矛盾的，则且， 则， 故． 【点睛】本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于中档题． 11．已知数列，满足：存在，对于任意的，使得，则称数列与成“k级关联”．记与的前n项和分别为，． (1)已知，判断与是否成“4级关联”，并说明理由； (2)若数列与成“2级关联”，其中，且有，，求的值； (3)若数列与成“k级关联”且有，求证：为递增数列当且仅当． 【答案】(1){bn}与{an}不成“4级关联”，理由见解析 (2)2022 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“4级关联”的定义判断； （2）根据“4级关联”的可得，根据累加法即数列的周期性可求； （3）根据定义可得，再分别证明结论的充分性和必要性即可． 【详解】（1））由，可得， 显然，等式不恒成立，举反例：时，有：左右． ∴与不成“4级关联”． （2）由可得：， 利用累加法：， 整理得：， 由 可知：且第一周期内有， 所以， 而又因为，故； （3）证明：由已知可得， 所以， 所以， （a）先说明必要性． 由为递增数列可知： ， 当时，， 所以， 当时，， 由（*）式可知：，故，（必要性得证） （b）再说明充分性． 考虑反证法．假设数列中存在两项满足，得到， 由于结合，能够得到： ， 可知对于全体正整数都成立，这与存在一项矛盾！假设不成立，（充分性得证） 由（a）、（b），命题得证． 12．已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且，删除无穷数列、、、、、中的第项、第项、、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列前项和为. (1)求函数的解析式； (2)已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式； (3)设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有，设称为集合的一个“阈度”；记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由可求得、的值，进而可得出函数的解析式； （2）对分奇数和偶数两种情况讨论，求出的表达式，根据可得出的表达式； （3）分为奇数、偶数两种情况讨论，求出、关于的表达式，求出的取值范围，可得出的取值范围，即可得出集合“阈度”的取值范围. 【详解】（1）解：因为，则， 若，即，解得，则， 因为，可得，因此，. （2）解：当为奇数时，设，则， 此时，此时； 当为偶数时，设，则， 此时，，此时. 综上所述，. （3）解：， 因为，，其中， 所以，数列的奇数项构成以为首项，公比为的等比数列， 数列中的偶数项构成以为首项，公比为的等比数列， ①当为偶数时，， 则， 此时，随着的增大而增大，则； ②当为奇数时，， ， 此时，随着的增大而增大，则. 因此，当且，的值在区间内，则， 故集合“阈度”的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查集合“阈度”的取值范围，解题的关键在于对分奇数、偶数两种情况讨论，求出关于的表达式，结合数列的单调性求出的取值范围，进而根据题中定义求出集合“阈度”. 【题型五】 数列与函数、不等式综合问题 数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项公式或前n项和公式，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明． 1．已知等比数列的公比为，是的前项和.则“数列单调递减”是“，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据单调递减，可得或，由，可得，根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】因为是等比数列且公比为，可得 若数列单调递减，则或， 若可得，所以，或， 由可得，即，所以或， 所以由，可得， 若，可得为单调递减函数， 若是递减数列，则，或， 所以充分性不成立必要性成立， 所以“数列单调递减”是“，”的必要而不充分条件 故选：B. 2．设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；② ；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由题意可得，，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案． 【详解】，，， ，． ，故①正确； ，，故②不正确； ，是数列中的最大项，故③正确； ，， 使成立的最大自然数等于4038，故④不正确． 正确结论的序号是①③． 故选：B． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 3．已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为 【答案】 【分析】对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法求得的最小值. 【详解】取得最小值，则公差，或， （1）当 ， ， 所以的最小值为. （2）当，不合题意. 综上所述：的最小值为. 故答案为： 4．给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，当 时，取得最大值． 【答案】/1.5 【分析】，把代入得，代入得，根据二次函数配方可得答案. 【详解】， 把代入得， 又因为，代入得， 根据二次函数配方得： ，即当时，达到最大. 故答案为：1.5 . 5．已知各项均为正数的等比数列前项和为，对任意的，都满足，若对均成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】已知条件可知，利用等比数列的通项公式及前项和公式求出等比数列的公比，即可得，最后利用对勾函数的性质可求出实数的取值范围. 【详解】由题意得公比，又，所以恒成立，所以， 此时，所以， 即对任意恒成立， 若，因为，则足够大时，，不合题意， 所以， 此时，， 令，则原式化为恒成立， 所以恒成立，因为，所以． 故答案为：. 6．在等差数列中，，，、、成等比数列，的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值． 【答案】(1)； (2)169. 【分析】（1）由已知可知，公差.根据等比中项的性质，可得，解得，即得数列的通项公式； （2）经化简可求出，即可得到最大值. 【详解】（1）设公差为，因为，所以. 则由、、成等比数列可得，即， 整理可得，又，所以， 又，所以，. （2）由（1）知，，， 所以， 所以，当时，有最大值，为169. 7．为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是毫克，（即）. (1)已知，求､； (2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值. 【答案】(1)，； (2)20毫克 【分析】（1）由，计算可得． （2）由每次服药，药物在人体内的含量为本次服药量加上前次含量的可得递推关系式，变形后构造一个等比数列，求得通项公式后，由数列不等式恒成立及数列的单调性可得． 【详解】（1），； （2）依题意，， 所以，， 所以是等比数列，公比为， 所以，， ，， 数列是递增数列，且，所以， 即， 所以m的最大值是毫克． 8．设满足条件的数列组成的集合为，而满足条件的数列组成的集合为． (1)判断数列和数列是否为集合或中的元素？ (2)已知数列，研究是否为集合或中的元素；若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由． (3)已知(其中为常数)，若为集合中的元素，求满足不等式的的值组成的集合． 【答案】(1)，； (2)理由见解析. (3) 【分析】（1）根据，可得，从而，同理可知. （2）由可得，对进行分情况讨论即可. （3）由，令，判断的单调性，根据不等式的求解即可. 【详解】（1）， ∴ ∴为集合中的元素，即． ， ∴ ∴为集合中的元素，即． （2）， 当时，对恒成立，此时，； 当时，当，，； 设为不超过的最大整数，令，，，此时，，． （3）先由，得知， ，令， ，即； 当时，，于是， 当时，，于是； ∵，， ，，，， ∴有和项，共82项． 设满足不等式的的值组成的集合为,则 9． 对于数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”.已知为数列的“接近数列”，且，. (1)若（是正整数），求，，，的值； (2)若（是正整数），是否存在（是正整数），使得，如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由； (3)若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是. 【答案】(1)，，， (2)存在， (3)证明见解析 【分析】（1）由“接近数列”得定义可直接求出，，，的值； （2）分为奇数和偶数讨论，求出，在此基础上，分奇偶令，结合指数函数性质即可求解； （3）先证若时，则为等差数列，且公差也为，由去绝对值得，即，两式作差即可求证；再证若为等差数列，则，结合绝对值三角不等式得，，两式处理得，化简即可求证. 【详解】（1）因为，所以，又因为为数列的“接近数列”， ，所以，只能是，，，； （2）当为奇数时，，由函数的单调性可知， 即，得，进一步有， 当为偶数时，，由函数的单调性可知， 即，得，进一步有， 综上所述：， 由前项和公式化简得，， 当为偶数时，令无解； 当为奇数时，令， 所以，，即. 因此，存在（是正整数），使得，且； （3）充要条件为：. ①若时，由题意对于任意正整数均有恒成立，且， 则，， 从而，即. 因为，， 所以，即. 因此为等差数列，且公差也为； ②若为等差数列，设公差为， ， 又， 即，亦即对任意正整数都成立， 所以，，又，得. 因此，所求充要条件为. 【点睛】本题整体难度较大，处理第二小问时设计分类讨论思想，融合了数列，函数、不等式，对计算有较高要求；第三小问对充要条件的证明特别是绝对值三角不等式的应用，思维难度高，拼凑法不易想到. 对于绝对值三角不等式，我们应掌握：； 对于数列中含此类数列，我们要注意分奇偶对数列讨论. 10．若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质A”. ①()；②存在实数，使得对任意，有成立. (1)设，试判断是否具有“性质A”； (2)设递增的等比数列的前n项和为，若，证明：数列具有“性质A”，并求出A的取值范围； (3)设数列的通项公式，若数列具有“性质A”，其满足条件的A的最大值，求的值. 【答案】(1)数列具有“性质A”，数列不具有“性质A”； (2)证明见解析，； (3) 【分析】（1）结合二次函数的性质求出，结合即可得数列具有“性质A”；由可得数列不具有“性质A”； （2）先由条件解出首项和公比，写出等比数列的通项公式，求出，结合，即可证明并求出A的取值范围； （3）先由求得对成立，进而求得，又且当时，，可得，即可求解. 【详解】（1），所以当时，有成立；又， 所以，所以数列具有“性质A”； ，所以，所以数列不具有“性质A”； （2）设公比为，则，解得或，又等比数列递增，则， 则数列的通项公式，所以恒成立， 又，所以对成立， 所以数列具有“性质A”，且； （3），由于数列具有“性质A”，则，即， 整理得，得：，得对成立， 所以，得，又当时，，且当时，， 所以满足条件的的最大值，所以. 11．（2024·上海普陀·一模）设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”. (1)设，，若数列，，，，具有性质“”，求满足条件的的值； (2)设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明见解析，. 【分析】（1）根据条件数列，，，，具有性质“”，结合新定义列不等式求的取值； （2）假设存在，满足条件，根据定义列不等式，等价转化不等式可求结论； （3）先证明，再结合作差法和导数方法证明，，由此证明数列具有性质“”，再通过放缩求，比较其与的大小. 【详解】（1）已知数列具有性质， 则，，，， 由，可得， 由，可得， 综合可得，又因为，所以或； （2）假设存在使得数列具有性质“”， 则，即. 由可得：， 即， 所以， 因为，， 所以， 则，又，所以， 由，可得， 所以， 因为，，所以，且时，， 综上，， 所以存在使得数列具有性质“”，的取值范围是； （3）令，则， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以， 所以当时，，故， 所以，且函数的定义域为， 又，， 所以，， 因为， 所以， 令，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，，又， 故 所以， 因为， 所以 令， ， 令， 则， 令，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，， 故， 所以当时，， 又，所以， 所以， 综上，数列具有性质“”， 因为，所以， 所以当，时，， 所以，当时，， 当，时， ， 所以. 综上，数列具有性质“”，且. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 12．已知无穷实数列，，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界数列； 记，（，2，3…，），若存在，使得对任意，，恒成立，则称为有界变差数列. (1)已知无穷数列的通项公式为，，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由； (2)已知首项为，公比为实数q的等比数列为有界变差数列，求q的取值范围； (3)已知两个单调递增的无穷数列和都为有界数列，记，，证明：数列为有界变差数列. 【答案】(1)当时，为有界数列，理由见解析； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）由于，所以可得无穷数列为有界数列，由于，再由有界变差数列的定义进行判断即可； （2）由有界变差数列的定义可得，则为首相为，公比为的等比数列，从而可求得，然后分和进行讨论再结合有界变差数列的定义可得结果； （3）由题意可得则存在，使得对任意，恒成立，则存在，使得对任意，恒成立，由于和为单调递增数列的有界数列，所以可得，再求可得结论 【详解】（1）， 则即可，则为有界数列. 由，知， ，（，2，3…，）， ， 则即可，则为有界变差数列. （2）， 则， 当时，则，显然满足题意. 当时，则，则， 若，则，舍去，矛盾. 当时，则为首相为，公比为的等比数列， 则， 若时，，则符合题意. 若时，趋向于无穷大，与题意矛盾，舍去. 则q的取值范围为. （3）因为和为有界数列， 则存在，使得对任意，恒成立， 则存在，使得对任意，恒成立， ， 和为单调递增数列的有界数列， ， 则， 则 ， 存在即可，则数列为有界变差数列. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是理解有界数列和有界变差数列的定义，通过分析题设所给不等式进行判定；另一方面是解答第三问时绝对值的三角不等式的性质以及放缩法的应用，通过分析题设不等式找到的一个值即可证明. 易错点一：忽视公式的适用条件而导致错误 【典型例题】已知数列，为的前项和，，则= . 特别提醒：在由递推公式求通项公式时，要注意这个条件是对数列中的所有项都满足递推公式，一旦出现此时这个条件是对数列中从第二项开始满足递推公式，在求通项公式的时候一定要进行辨别. 【解析】① ② ①-②得又 所以 【答案】 【变式练习】已知数列的前项和为 ，且，，则（ ） 特别提醒：本题易忽视公式的适用条件而导致错误.利用此公式求得后，一定要验证时是否满足所求出的，若不满足，则要用分段形式来表示. 【解析】 令，可得，解得. ①， ②， 由①-②可得 【答案】 易错点二： 求前项和时忽略对取值的讨论而致误 【典型例题】在等差数列中，，与互为相反数，为的前 项和，，则的最小值是 . 特别提醒：分清楚取何值时或，当的各项都为非负数时，的前项和等于的前项和，当的各项都为非正数时，的前项和等于的前项和的相反数，当的某些项是正的，某些项是负的时，要对进行分类讨论，转化成的前项和求解. 【解析】设等差数列的公差为. 解得 由得，由得 当时， 当时， 当时， 对于函数，当时，在上单调递增 当时，为最小值 当时，，对于函数， 当时，，函数在上单调递增， 当时，为最小值. 综上所述，的最小值是6 易错点三： 忽视对公比是否为1的讨论而致误 【典型例题】已知等比数列，首项为，公比为，前项和为.若数列是等比数列，则（ ） 特别提醒：在利用等比数列的前项和公式时，若其公比不确定，则应对公比分和两种情况进行讨论.在解题时首先讨论公比这一特殊情况，再在的情况下，应用等比数列的前项和公式对式子进行整理变形，再进行研究. 【解析】设等比数列的公比为，则. 若，则，由题意可得， 即 所以不合题意， 若，则，则 由题意可得， 即 所以 可得，故选 易错点四： 混淆等差数列单调性与最值的关系致误 【典型例题】等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，则下列说法正确的是（ ） 特别提醒：（1）若公差，则是递增数列，有最小值， 此时若，则的最小值为，若，使成立的的最大正整数为，则的最小值为，若恰有，则的最小值为和 （2）若公差，则是常数列.此时若，则的最小值为；若，则的最大值为. （3）若公差，则是递减数列，有最大值， 此时若，使成立的最大正整数为，则的最大值为，若恰有，则的最大值为和；若，则的最大值为. 【解析】对于，由，得，即（关键：根据条件得到首项和公差之间的关系，由此可消去首项，只需借助的范围进行讨论即可）由于是递增数列，所以，故错误；对于， ，由于，故当，且时，当时，，当，时，因此当或时，最小，故错误，对于，令，由于，故解得，且，故当时，的最小值为8，故正确. 【答案】 易错点五：未对的奇偶性进行讨论而致误. 【典型例题】在数列中，，.，记数列的前项和为，则 . 特别提醒：（1）由，易得数列的符号规律为因此在求数列通项时需对的奇偶性分类讨论； （2）的通项公式应为，因此求和时也要对的奇偶性进行分类讨论. 【解析】因为 所以，所以. 在中，令，则 所以，则该数列奇数项是以为首项，公比为的等比数列，偶数项是以为首项，公比为的等比数列，故 【答案】 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抢分秘籍05 数列 目录 【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型） 【题型一】数列的概念与简单表示法 【题型二】 等差数列 【题型三】 等比数列 【题型四】 数列新定义 【题型五】数列与函数、不等式综合问题 【误区点拨】点拨常见的易错点 易错点一：忽视公式的适用条件而导致错误 易错点二： 求前项和时忽略对取值的讨论而致误 易错点三： 忽视对公比是否为1的讨论而致误 易错点四： 混淆等差数列单调性与最值的关系致误 易错点五：未对的奇偶性进行讨论而致误. 考点分布：等差数列和等比数列是考查的重点，涉及它们的性质、通项公式以及前n项和公式。同时，数列的递推公式、数列与函数的综合、数列极限的求法等也在考试中有所出现。例如，2023 年考查了等差数列和等比数列的性质、等比数列的前n项和公式；2022 年考查了等差数列与等比数列的前n项和、数列极限的求法、数列中的递推公式等。 题型特点：在填空题、选择题和解答题中均有出现。填空题和选择题通常以考查基础知识为主，如数列的基本量计算、性质的应用等。解答题则更注重综合能力的考查，可能会涉及到数列的通项公式推导、求和方法的运用，以及与其他知识（如函数、不等式、推理等）的综合应用，难度相对较大，对考生的逻辑推理和运算求解能力要求较高。 命题趋势：数列命题逐渐偏向综合能力的考察，涉及到与其他知识点的结合，如在数列题目中融入函数、图形、排列组合等概念。同时，推理与证明题的比例逐渐增加，应用题也逐渐增多，这些应用题可能涉及到经济学、物理学、化学等多个领域，对学生的跨学科应用能力提出了更高的要求。 深入理解数列的基本概念，如等差数列、等比数列的定义、通项公式、求和公式等，以及数列的递推关系、数列极限等概念。熟练掌握等差数列和等比数列的性质，如中项性质、下标和性质等，这些性质在解题中往往能起到简化计算的作用。 由于数列常与其他知识综合考查，所以要加强这方面的训练。比如数列与函数的综合，需要运用函数的观点和方法来分析数列问题；数列与不等式的综合，可能会涉及到不等式的证明、参数范围的求解等。 【题型一】数列的概念与简单表示法 1．数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1>an 其中 n∈N* 递减数列 an＋1<an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 常用结论 1．已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)． 1．（2024·上海闵行·一模）已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（    ） A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 2．（2024·上海宝山·一模）设的三边长分别为、、，面积为（为正整数）．若，其中，，，，则（    ） A．为严格减数列 B．为严格增数列 C．为严格增数列，为严格减数列 D．为严格减数列，为严格增数列 3．（2025·上海嘉定·二模）设数列满足，记其前n项和为，前n项积为．则下列结论正确的是（    ） A．数列和数列均不是周期数列 B．数列是周期数列，数列不是周期数列 C．数列不是周期数列，数列是周期数列 D．数列和数列均为周期数列 4．（2025·上海杨浦·二模）由若干个多边形所覆盖的区域，称为这些多边形的并集，例如图中，梯形是与矩形的并集.已知是正整数，在平面直角坐标系中，直线的方程为，若直线交轴于点，交轴于点，则的并集，其面积为 .    5．无穷数列的前项和，存在正整数，使恒成立，则 . 6．已知数列满足，，，则数列的前项积的最大值为 ． 7．已知平面上有个点，，，，，，，，且，记的坐标为，将，，依次顺时针排列，求= 8．已知数列满足，且． (1)求的值； (2)若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围． 【题型二】 等差数列 1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)． (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*)． (2)等差数列{an}的单调性 当d>0时，{an}是递增数列； 当d<0时，{an}是递减数列； 当d＝0时，{an}是常数列． 4．等差数列前n项和的常用性质 (1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数． (2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 常用结论 1．等差数列通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)． 2．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 3．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A. 4．若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝. 5．若等差数列{an}的项数为偶数2n，则 (1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； (2)S偶－S奇＝nd，＝. 6．若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则 (1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1； (2)＝. 1．已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下2023个方程中，有实数解的方程至少有（    ）个 A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 2．已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法正确的是（    ） A．为等差数列，为等比数列 B．为等比数列，为等差数列 C．为等差数列，为等比数列 D．为等比数列，为等差数列 3．（2024·上海虹口·一模）设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（   ）． ①存在等比数列以及锐角α，使成立． ②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立． A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 4．（2025·上海崇明·二模）数列是等差数列，周期数列满足，若集合，n是正整数中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2024·上海宝山·二模）某区域的地形大致如图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设：警戒区域为空旷的扇环形平地；假设：视探照灯为点，且距离地面米；假设：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、、.第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为如图记，经测量知米，且是公差约为米的等差数列，则至少需要经过 次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.    6．（2025·上海黄浦·二模）设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ． 7．（2024·上海杨浦·二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为 .    8．已知项数为m的有限数列是1，2，3，…，m的一个排列.若，且，则所有可能的m值之和为 . 9．（2024·上海杨浦·二模）已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是 . 10．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 11．令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 12．（2024·上海·模拟预测）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 13．已知数列是公差为2的等差数列，数列为等比数列． (1)若，，，求数列的通项公式： (2)设数列的前n项和为，若，，求． 14．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元. (1)若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式； (2)若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值） 【题型三】 等比数列 1．等比数列有关的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an＝a1qn－1. (2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m. (3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3．等比数列的常用性质 (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N*. (2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)． (4)若或则等比数列{an}递增． 若或则等比数列{an}递减． 4．等比数列前n项和的常用性质 若等比数列{an}的公比q≠－1, 前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. 常用结论 1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0. 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)． 3．设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn. (2)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． (3)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. 1．（2025·上海·模拟预测）已知为等比数列，其前项和为，若，则其公比 . 2．各项都不为零的等差数列（）满足，数列是等比数列，且，则 . 3．（2025·上海闵行·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，若，则实数的取值范围为 ． 4．设函数的零点为，若成等比数列，则 . 5．（2024·上海·三模）某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为万元． (1)判断是否为等比数列？并说明理由； (2)若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设，则该工厂在第几年转型升级？ 6．（2024·上海·三模）如图，已知正方体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点A处，记点移动次后仍在底面上的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列；若，求的最大值． 7．已知数列和，其中，，数列的前项和为． (1)若，求； (2)若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式． 8．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求当n为何值时，数列的前n项和取得最大值. 【题型四】 数列新定义 与数列的新概念有关的问题的求解策略 ①通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的． ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 以数列和项与通项关系定义新数列 解决此类问题，关键是根据题干中的新定义、新公式、新定理、新法则、新运算等，将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系进行求解． 数列新情景 对于新情景问题，关键是要从问题情境中寻找“重要信息”，即研究对象的本质特征、数量关系(数量化的特征)等，建立数学模型求解． 1．设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”．关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件．下列判断正确的是（    ） A．①和②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①和②都为假命题 2．若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（    ） A．存在等差数列，使得是的“M数列” B．存在等比数列，使得是的“M数列” C．存在等差数列，使得是的“M数列” D．存在等比数列，使得是的“M数列” 3．设为无穷数列.若存在正整数，使得对任意正整数，均成立，则称为“-低调数列”.有以下两个命题：①是-低调数列当且仅当；②若存在，使得为2-低调数列，则.那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①､②都是真命题 D．①､②都是假命题 4．设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（    ） A．若为等差数列，则为内和数列 B．若为等比数列，则为内和数列 C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 5．（2025·上海普陀·二模）设，，、，是数列的前项和，且满足，数列是由个大于的整数组成的有穷数列，若，，则称数列是数列的“数列”.对于数列有如下两个命题：①若，则数列不是数列的“数列”；②若，则数列的“数列”至少有5个.则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 6．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数，数列的前项和都是完全平方数，则称数列为“完全平方数列”.有如下两个命题：①若数列的前项和，（为正整数），则使得数列为“完全平方数列”的值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列.  则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题； C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 7．设､为常数，若存在大于1的整数，使得无穷数列满足，则称数列为“数列”. (1)设，若首项为1的数列为“（3）数列”，求； (2)若首项为1的等比数列为“数列”，求数列的通项公式，并指出相应的的值； (3)设，若首项为1的数列为“数列”，求数列的前项和. 8．设有数列，对于给定的，记满足不等式：的构成的集合为，并称数列具有性质. (1)若，数列： 具有性质 ， 求实数 的取值范围； (2)若，数列是各项均为正整数且公比大于1的等比数列，且数列不具有性质，设，试判断数列是否具有性质，并说明理由； (3)若数列具有性质，当 时， 都为单元素集合，求证：数列是等差数列. 9．已知数列． 若存在，使得为递减数列，则称为“型数列”． (1)是否存在使得有穷数列为型数列？若是，写出的一个值；否则，说明理由； (2)已知2022项的数列中，（）． 求使得为型数列的实数的取值范围； (3)已知存在唯一的，使得无穷数列是型数列． 证明：存在递增的无穷正整数列，使得为递增数列，为递减数列． 10．设有数列，若存在唯一的正整数，使得，则称为“坠点数列”．记的前项和为． (1)判断：是否为“坠点数列”，并说明理由； (2)已知满足，，且是“5坠点数列”，若，求的值； (3)设数列共有2022项且．已知，．若为“坠点数列”且为“坠点数列”，试用，表示． 11．已知数列，满足：存在，对于任意的，使得，则称数列与成“k级关联”．记与的前n项和分别为，． (1)已知，判断与是否成“4级关联”，并说明理由； (2)若数列与成“2级关联”，其中，且有，，求的值； (3)若数列与成“k级关联”且有，求证：为递增数列当且仅当． 12．已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且，删除无穷数列、、、、、中的第项、第项、、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列前项和为. (1)求函数的解析式； (2)已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式； (3)设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有，设称为集合的一个“阈度”；记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由； 【题型五】 数列与函数、不等式综合问题 数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项公式或前n项和公式，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明． 1．已知等比数列的公比为，是的前项和.则“数列单调递减”是“，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；② ；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 3．已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为 4．给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，当 时，取得最大值． 5．已知各项均为正数的等比数列前项和为，对任意的，都满足，若对均成立，则实数的取值范围是 ． 6．在等差数列中，，，、、成等比数列，的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值． 7．为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是毫克，（即）. (1)已知，求､； (2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值. 8．设满足条件的数列组成的集合为，而满足条件的数列组成的集合为． (1)判断数列和数列是否为集合或中的元素？ (2)已知数列，研究是否为集合或中的元素；若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由． (3)已知(其中为常数)，若为集合中的元素，求满足不等式的的值组成的集合． 9． 对于数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”.已知为数列的“接近数列”，且，. (1)若（是正整数），求，，，的值； (2)若（是正整数），是否存在（是正整数），使得，如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由； (3)若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是. 10．若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质A”. ①()；②存在实数，使得对任意，有成立. (1)设，试判断是否具有“性质A”； (2)设递增的等比数列的前n项和为，若，证明：数列具有“性质A”，并求出A的取值范围； (3)设数列的通项公式，若数列具有“性质A”，其满足条件的A的最大值，求的值. 11．（2024·上海普陀·一模）设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”. (1)设，，若数列，，，，具有性质“”，求满足条件的的值； (2)设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小. 12．已知无穷实数列，，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界数列； 记，（，2，3…，），若存在，使得对任意，，恒成立，则称为有界变差数列. (1)已知无穷数列的通项公式为，，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由； (2)已知首项为，公比为实数q的等比数列为有界变差数列，求q的取值范围； (3)已知两个单调递增的无穷数列和都为有界数列，记，，证明：数列为有界变差数列. 易错点一：忽视公式的适用条件而导致错误 【典型例题】已知数列，为的前项和，，则= . 【变式练习】已知数列的前项和为 ，且，，则（ ） 易错点二： 求前项和时忽略对取值的讨论而致误 【典型例题】在等差数列中，，与互为相反数，为的前 项和，，则的最小值是 . 易错点三： 忽视对公比是否为1的讨论而致误 【典型例题】已知等比数列，首项为，公比为，前项和为.若数列是等比数列，则（ ） 易错点四： 混淆等差数列单调性与最值的关系致误 【典型例题】等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，则下列说法正确的是（ ） 易错点五：未对的奇偶性进行讨论而致误. 【典型例题】在数列中，，.，记数列的前项和为，则 . 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$