安徽省八下数学第三次月考卷(考试范围：二次根式、一元二次方程、 勾股定理、四边形）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪科版）

2024-2025学年度沪科八年级数学下册第三次月考试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 考试范围：二次根式、一元二次方程、 勾股定理、四边形； 注意事项： 1．本试卷共23题，选择10题，填空4题，解答9题 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 4．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（本题3分）已知，则的值为（    ） A． B． C．2025 D．4050 3．（本题3分）如图，已知钓竿的长为5m，露在水面上的鱼线的长为，某钓鱼人想看看鱼钩上的情况，把钓竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长为，则的长为（    ） A．1m B．2m C．3m D．4m 4．（本题3分）若的三边分别为，，，且满足，则是（    ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 5．（本题3分）如图，是正六边形，，分别是，上的点，且，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（本题3分）若一元二次方程的一个根为，则的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 7．（本题3分）若等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长为（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．12 8．（本题3分）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 9．（本题3分）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若r是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（本题3分）如图，在矩形中，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 11．（本题3分）若二次根式有意义，则的取值范围是 　　． 12．（本题3分）把方程用配方法化为的形式，则的值是 　　． 13．（本题3分）如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度 ． 14．（本题3分）在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置两个大小不同的小正方形，其中较小正方形的面积为8，重叠部分的面积为3． （1）较小正方形的边长为 ． （2）设两处空白部分的面积分别为，若，则阴影部分的面积为 ． 三、解答题（共78分） 15.（本题8分）计算或解方程： (1) (2) 16．（本题8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，满足，求的值． 17．（本题8分）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：    (1)墙的高度； (2)竹竿的长度． 18．（本题8分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，小格的顶点叫做格点，其中格点 A已在网格中标出，以格点为顶点按下列要求画图． (1)在网格中画，使 ， ，； (2)请你用所学的知识验证（1）中所画的是不是直角三角形． 19．（本题8分）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 20．（本题8分）有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． (1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 21．（本题10分）若三个实数x，y，z满足，且，则有：． 例如：．请解决下列问题： (1)求的值． (2)设，求的整数部分． (3)已知（，），且，当取得最小值时，求的取值． 22．（本题10分）综合与探究 某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 操作发现： (1)已知，，如图1，分别以和为边向外侧作等边和等边，连接．，请你完成作图，并猜想与的数量关系是 ．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹） (2)类比探究：如图2，分别以和为边向外侧作正方形和正方形，连接．，试猜想与之间的数量关系，并证明你的结论． (3)拓展运用：如图3，已知中，，，，过点作，垂足为，且满足，求的长． 23．（本题10分）［经典回顾］ 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证． 解：取的中点G，连接． ∴． ∵点E为的中点， ∴． ∴．…… ［拓展思考］ （1）如图1，若点E是边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点E作，垂足为P．设，当k为何值时，四边形是平行四边形，并给予证明． （3）如图3，在平面直角坐标系中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在函数的图象上，请求出此时点E的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度沪科八年级数学下册第三次月考试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 考试范围：二次根式、一元二次方程、 勾股定理、四边形； 注意事项： 1．本试卷共23题，选择10题，填空4题，解答9题 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 4．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：二次根式有意义的条件是， 解得， 故选：B． 2．（本题3分）已知，则的值为（    ） A． B． C．2025 D．4050 【答案】B 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得，则，代入求值即可． 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 【详解】解：由题意，得， 解得． ∴， ∴． 故选：B． 3．（本题3分）如图，已知钓竿的长为5m，露在水面上的鱼线的长为，某钓鱼人想看看鱼钩上的情况，把钓竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长为，则的长为（    ） A．1m B．2m C．3m D．4m 【答案】A 【分析】利用勾股定理分别求出和的长，再根据即可得出答案． 本题考查了勾股定理，解题关键是根据已知条件求出和的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（本题3分）若的三边分别为，，，且满足，则是（    ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查非负性，勾股定理逆定理．根据，得到，进而得到，再根据勾股定理逆定理，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形； 故选B． 5．（本题3分）如图，是正六边形，，分别是，上的点，且，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用多边形的内角和定理求得，再利用平行线的性质及角的和差即可得解． 【详解】解：∵是正六边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 6．（本题3分）若一元二次方程的一个根为，则的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键； 根据m是方程的一个根，可得，再代入代数式计算即可求 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．（本题3分）若等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长为（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，一元二次方程的解法；先解方程可得，，再根据等腰三角形的定义分类讨论，结合三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：，． 当腰长为2时，则，此时不符合题意，舍去． 当腰长为4时，则，符合题意． 该三角形的周长为． 故选B． 8．（本题3分）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型． 根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：设运动时间为t秒，则有，， ， ， ， 解得或5， 或时，的面积为． 故选：D． 9．（本题3分）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若r是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，，所以方程必有一个根为，故①正确． ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确． ③由是方程的一个根，得． 当，则；当，则不一定等于，故③不一定正确． 综上所述：正确的有2个； 故选：C． 10．（本题3分）如图，在矩形中，是边上一动点，是对角线上一动点，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，从而，，，，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解． 【详解】解：延长到，使，连接，， 四边形是矩形， ，，，． ． ，， ． ， ， 当点、、共线时，最小，最小值为． 最小值为． ， ． 在中，，， ． 最小值为． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 11．（本题3分）若二次根式有意义，则的取值范围是 　　． 【分析】直接利用二次根式的性质得出的取值范围，进而求出答案． 【解答】解：二次根式有意义， ， 解得：． 故答案为：． 12．（本题3分）把方程用配方法化为的形式，则的值是 　　． 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值． 【解答】解：， ， ， ． 所以，， 所以． 13．（本题3分）如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度 ． 【答案】/210米 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据已知条件在中，利用勾股定理求得的长，用减去、求得即可． 【详解】解：在中， 所以， 池塘的宽度为210米． 故答案为：． 14．（本题3分）在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置两个大小不同的小正方形，其中较小正方形的面积为8，重叠部分的面积为3． （1）较小正方形的边长为 ． （2）设两处空白部分的面积分别为，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了正方形和长方形．熟练掌握正方形面积公式，长方形面积公式，求一个数的算术平方根，是解题的关键． （1）根据较小正方形的面积为8，根据正方形面积公式直接开方求出边长； （2）先根据两个空白部分的对称性得出它们面积相等，进而推出重叠部分是正方形，求出其边长。再通过空白部分面积和较小正方形边长求出空白长方形的宽和长，从而得到较大正方形边长和面积，最后用大正方形面积减去重叠部分面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）∵较小的正方形面积为8， ∴较小正方形的边长为， 故答案为：； （2）①∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴； ②由①得，重叠部分也为正方形， ∵重叠部分的面积为3， ∴重叠部分的边长为， ∴一个空白长方形的宽为：， ∵两处空白部分的面积为：， ∴一个空白长方形面积为： ， ∴一个空白长方形的长为：， ∴较大正方形边长为：， ∴大正方形面积， ∴阴影部分的面积为 故答案为：；9． 三、解答题（共78分） 15.（本题8分）计算或解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】公式法解一元二次方程、二次根式的乘除混合运算 【分析】（1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， 即方程的解为：． 16．（本题8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，韦达定理，熟悉掌握此公式是解题的关键． （1）利用根的判别式进行运算求解即可； （2）利用韦达定理表示出，，化简后，代入运算即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 即的取值范围为； （2）∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 17．（本题8分）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：    (1)墙的高度； (2)竹竿的长度． 【答案】(1)4米 (2)米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算． （1）设墙高x米，则米，米，在和中，根据勾股定理可列出关于x的方程，再求解即可； （2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）解：设墙高x米，则米，米， 在中，， 在中，， 由题意可知， ∴， 解得：， 答：墙的高度为4米； （2）解：米． 答：竹竿的长度为米． 18．（本题8分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，小格的顶点叫做格点，其中格点 A已在网格中标出，以格点为顶点按下列要求画图． (1)在网格中画，使 ， ，； (2)请你用所学的知识验证（1）中所画的是不是直角三角形． 【答案】(1)图见详解； (2)证明见详解 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，画格点图形： （1）根据， ，结合勾股定理画图即可得到答案； （2）根据逆定理直接判断即可得到答案 【详解】（1）解：∵， ∴由3个小正方形组成的长方形的对角线即可得到B点， ∵ ， ∴点C与A相差4格， ∵， ∴是3横3纵的正方形的对角线， ∴如图所示， （2）证明：∵， ∴（1）中所画的是不是直角三角形． 19．（本题8分）【观察思考】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 【规律发现】 （1）①直接写出第4个等式： ； ②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． 【规律证明】 （2）证明②中的运算规律． 【规律应用】 （3）根据上述规律，化简：． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； ②利用前面规律写出第个等式， （2）根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② 故答案为：． （2）证明：等式左边 又， 右边， 等式成立 （3）原式 20．（本题8分）有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． (1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【答案】(1)2cm (2)不能，详见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖收纳盒的底面为长，宽为的长方形，根据该无盖收纳盒的底面积为，可列出关于的一元二次方程求解； （2）设剪去小长方形的宽为，则折成的有盖的长方体收纳盒的底面为长，宽为，根据盒子的底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出值，将其符合题意的值代入及中，可得出折成的有盖的长方体收纳盒的长、宽、高，再结合玩具机械狗的尺寸大小，即可得出玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，则该收纳盒的底面是长为，宽为的长方形， 根据题意得， 整理得：， 解得（不合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为． （2）（2）不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 理由如下： 设剪去的小长方形的宽为，则该收纳盒的底面是长为，宽为， 根据题意得， 整理得， 解得（不合题意，舍去）， ， 折成的有盖的长方体收纳盒的长为，宽为，高为， ， 不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 21．（本题10分）若三个实数x，y，z满足，且，则有：． 例如：．请解决下列问题： (1)求的值． (2)设，求的整数部分． (3)已知（，），且，当取得最小值时，求的取值． 【答案】(1)； (2)整数部分为2019； (3)． 【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2）将原式进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为，再根据取最小值时，确定的取值范围． 【详解】（1）解：； （2）解： ， 故整数部分为2019； （3）解：由题意得， ， ， 又， 原式， 因为取最小值， 所以，而， 因此，， 答：的取值范围为． 22．（本题10分）综合与探究 某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 操作发现： (1)已知，，如图1，分别以和为边向外侧作等边和等边，连接．，请你完成作图，并猜想与的数量关系是 ．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹） (2)类比探究：如图2，分别以和为边向外侧作正方形和正方形，连接．，试猜想与之间的数量关系，并证明你的结论． (3)拓展运用：如图3，已知中，，，，过点作，垂足为，且满足，求的长． 【答案】(1)作图见解析；； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】(1）如图所示，结论： BE = CD ．只要证明△DAC≌△EAB 即可； (2）结论：CE = BG．在正方形ABDE和正方形ACFG中，只要证明△ACE≌△AGB即可解决问题； (3）以AB为腰向外作等腰直角三角形Rt△ABG ，连接CG ．首先求出 CG ，再证明△ AGC≌△ABE ，即可推出 CG = BE； 【详解】（1）解：作图如下， 猜想：． （2）猜想： 证明：∵，， ∴ 既 在和中， ， ∴， ∴， （3）以为腰向外作等腰直角三角形，连接． 在中，∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（本题10分）［经典回顾］ 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证． 解：取的中点G，连接． ∴． ∵点E为的中点， ∴． ∴．…… ［拓展思考］ （1）如图1，若点E是边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点E作，垂足为P．设，当k为何值时，四边形是平行四边形，并给予证明． （3）如图3，在平面直角坐标系中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在函数的图象上，请求出此时点E的坐标． 【答案】（1）证明见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）在边上取，连接，证明是等腰直角三角形，得出，证明，得出即可； （2）设，则，得出，，证明是等腰直角三角形，得出，，证明，根据当时，四边形是平行四边形，得出，求出； （3）在上截取，连接，过点F作轴于M，设点，求出，得出，求出，得出点，根据点F恰好落在直线上，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，在边上取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：时，四边形是平行四边形，如图2， 由（1）知，， ∴， 设，则， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得； （3）解：在上截取，连接，过点F作轴于M， 设点， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵点F恰好落在直线上， ∴， ∴， ∴点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$