第04讲：数列【十五大题型】-2025届高考数学考前核心考点题型三轮冲刺精讲精练（新高考地区）

第04讲：数列 【题型归纳】 · 题型1：Sn和an关系求通项公式 · 题型2：累加法求通项公式 · 题型3：累乘法求通项公式 · 题型4：构造法求通项公式 · 题型5：单调性求数列最值问题 · 题型6：不等式求数量最值问题 · 题型7：等差数列问题 · 题型8：等比数列问题 · 题型9：数列的实际应用问题 · 题型10：倒叙相加法求和 · 题型11：裂项相加法求和 · 题型12：错位相减法求和 · 题型13：分组（并项）求和法 · 题型14:数列与不等式交汇问题 · 题型15：数列新定义问题 【题型探究】 题型1：Sn和an关系求通项公式 1．（2025·重庆·二模）设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024高三下·四川内江·专题练习）数列为正项数列，为数列的前项和，且，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国）已知数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．2024 题型2：累加法求通项公式 4．（2025·湖南永州·三模）如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（   ） A．62 B．63 C．64 D．65 5．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·云南·一模）已知数列的前项和满足，若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 题型3：累乘法求通项公式 7．（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 8．（23-24高三上·湖北·阶段练习）定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列．已知“等比差”数列中，，，则（    ） A．1763 B．1935 C．2125 D．2303 9．（2024高三下·全国）在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 （   ） A． B． C． D． 题型4：构造法求通项公式 10．（24-25高三下·重庆北碚）数列 对任意的有成立，若，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2025·四川成都·二模）已知正项等差数列满足，则（    ） A．4050 B．2025 C．4048 D．2024 12．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型5：单调性求数列最值问题 13．（2025·北京西城·一模）设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（   ） A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 14．（2025·北京平谷·一模）在等比数列中，，记，则数列（    ） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 15．（2024·北京平谷·模拟预测）已知等差数列和等比数列，，则满足的数值m（   ） A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多个值 题型6：不等式求数量最值问题 16．（24-25高三上·黑龙江）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高三上·广东·开学考试）设数列的前项和为．对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D． 18．（2023·湖南永州·二模）已知数列，若对任意的，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7：等差数列问题 19．（2024·河北石家庄·模拟预测）若数列为等差数列，为数列的前项和，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 20．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知各项都是正数的数列的前n项和为，且，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 21．（2025高三·全国）已知数列的前项和为，，且，则下列不正确的是（ ） A． B．是等比数列 C．是等差数列 D．存在，，且，使得，，成等差数列 题型8：等比数列问题 22．（2025·河北保定·模拟预测）记是正项数列的前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 23．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足对任意正整数恒有，且，，则的前30项的和为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·陕西商洛·模拟预测）设等比数列的前项和为，前项积为，若，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．对任意正整数， C． D．数列一定是等比数列 题型9：数列的实际应用问题 25．（2025·河南·二模）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球．若鬼工球最内层的空心球上有2个雕孔，且向外每层雕孔依次增加d个（d为常数）．现制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球共多出30个雕孔，三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36，则（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 26．（2025·吉林·三模）以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大开幕，场馆上方悬挂的120万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1的正三角形，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，形成雪花曲线，记雪花曲线的周长为，则数列的最大项为（   ） A． B． C． D． 27．（2025·河南·二模）张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（   ） A． B． C． D． 题型10：倒叙相加法求和 28．（2025高三·全国）已知函数，利用教材中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高三上·广东·开学考试）若，数列的前项和为，且，，则（    ） A．76 B．38 C．19 D．0 30．（2024·四川成都·模拟预测）已知，则（    ） A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094 题型11：裂项相加法求和 31．（2025·河北·模拟预测）已知数列满足，． (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 32．（2025·山东聊城·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，数列的前项和为．正项等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，证明：． 33．（2025·广东湛江·二模）已知，若正项数列满足，则称为“上界m数列”． (1)若，判断数列是否为“上界1数列”，并说明理由； (2)若数列是“上界m数列”，求m的最小值； (3)若，且．证明：数列是“上界1数列”． 题型12：错位相减法求和 34．（2025·天津河东·二模）设是公差d为的等差数列，是公比为q的等比数列，，，，，. (1)求数列与的通项公式及； (2)落在区间之内的项的个数为，. （ⅰ）求，及数列的通项公式； （ⅱ）求. 35．（2025·宁夏·一模）已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 36．（2025·甘肃白银·二模）已知数列的前n项和为，且，． (1)证明：数列是等比数列． (2)设，求数列的前n项和． (3)设，证明：． 题型13：分组（并项）求和法 37．（2025·河南·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 38．（2025·四川泸州·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，若. (1)求数列的通项公式； (2)设， （ⅰ）试比较与的大小，并说明理由； （ⅱ）若数列的前项和为，求证：. 39．（2025·江西·模拟预测）已知数列分别是等比数列和等差数列，是数列的前项和.若. (1)求和及； (2)设是等比数列，对任意的，当时，有恒成立. （i）当时，求证：； （ii）设数列，求数列的前项和. 题型14:数列与不等式交汇问题 40．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 41．（2025·天津南开·一模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是的等比中项． (1)求的通项公式及； (2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和． （i）若，求的最大值； （ii）设，证明：． 42．（2025·安徽黄山·二模）若数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知为数列的“接近数列”，且数列，的前项和分别为，． (1)若（是正整数），求，，的值； (2)若数列是公差为的等差数列，且，求证：数列是等差数列； (3)若（是正整数），判断是否存在正整数，使得？如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由．（参考数据：，） 题型15：数列新定义问题 43．（2025·江西鹰潭·二模）对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列． (1)已知，，求，，，； (2)已知，若，且对恒成立，求的取值范围； (3)已知数列满足，且，数列，的前项和为，证明：． 44．（2025·山东济南·二模）若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）． (1)判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由； ①；②． (2)过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组； (3)从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率． 45．（2025·江苏泰州·二模）设数列和都有无穷项，已知存在非零常数，使得，此时称数列是由“-生成”的． (1)如果是等比数列，满足的，若数列是由“-生成”，求的值； (2)已知数列是由“-生成”的，如果存在非零常数，使得是由“-生成”的，求数列的通项； (3)设，且数列，，分别是由数列，，“-生成”的，表示数列的前n项和．已知，求的最小值． 【高考达标】 一、单选题 1．（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 2．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知：数列满足：对任意的，，，都有，：数列是等差数列.则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·重庆·模拟预测）已知等差数列、的前项和分别为、，若，对，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（     ） A．510 B．514 C．1022 D．1026 5．（2025·陕西宝鸡·三模）已知数列满足给出下列三个命题 ①数列为等比数列； ②数列为等差数列； ③当时，. 其中真命题的个数为（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2025·湖北·模拟预测）已知的面积为1，取各边的中点作，然后再取各边的中点作依此方法一直继续下去.记的面积为，数列的前项和为，则（    ） A．数列为常数列 B．数列为递增数列 C．数列为递减数列 D．数列为递增数列 7．（2025·山东青岛·一模）已知数列，，且，将与的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则的前10项和为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知数列满足，若，则数列的前15项和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·四川眉山·三模）已知数列满足，，给出下列结论正确的是（    ） A．存在，使得为常数列 B．对任意的，为递增数列 C．对任意的，既不是等差数列也不是等比数列 D．对于任意的，都有 10．（2025·江西宜春·一模）数列满足，，，…，，依此类推，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B． C．若，则 D．若，则 11．（2025·全国·模拟预测）已知均为等差数列，设分别为的前项和，若，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和小于 12．（2025·广西·三模）已知首项为1的正项数列满足，若数列前项和为，且，则下列结论正确的有（   ） A．是等差数列 B． C． D． 13．（2025·贵州贵阳·模拟预测）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果．从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A．第2025行共有2025个数 B．从第0行到第10行的所有数之和为2047 C．第21行中，从左到右的第3个数是210 D．第3斜列为：，则该数列的前项和为 14．（2025·山西临汾·二模）已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．是单调递增数列 C．若为数列的前项和，则 D．若对任意，都有，则 三、填空题 15．（2025·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则 16．（2025·北京丰台·一模）已知，，是公比不为1的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为 . 17．（2025·北京朝阳·一模）干支纪年法是我国古代一种纪年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的组合来表示年份，循环纪年．比如某一年为甲子年‘，则下一年为乙丑年，再下一年为丙寅年，以此类推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年为乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此类推．已知2025年是乙巳年，则2025年之后的首个己巳年是 年．（用数字作答） 18．（2025·云南·一模）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） . ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 19．（2025·河南安阳·二模）记表示不超过的最大整数．若正项数列满足，则数列的前101项和为 ． 四、解答题 20．（2025·四川绵阳·三模）已知等比数列满足，且成等差数列. (1)求数列的通项公式： (2)求. 21．（2025·天津·一模）已知为等差数列，其前项和为，满足，且． (1)求的通项公式； (2)设数列满足其中． （i）记，．证明：是等差数列； （ii）求． 22．（2025·内蒙古包头·二模）已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， (1)证明：数列是等差数列； (2)设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由． 23．（2025·甘肃·模拟预测）已知无穷数列满足：对于 .（为常数）. (1)若，设，求数列的前项和； (2)若，求证：. 24．（2025·青海西宁·二模）设为数列的前n项和，时，，已知． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值． 25．（2025·贵州·二模）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列． (1)若数列为数列的偶数列，求． (2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列． (3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和． 26．（2025·广东广州·一模）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． (1)求； (2)求； (3)比较与的大小，并说明理由． 27．（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 28．（2025·河北邯郸·二模）已知离心率且焦点在轴上的序列椭圆，其中的一个焦点为．过上一点作的两条弦，交于另两点，且的内心在垂直于轴的一条直线上． (1)求数列的通项公式； (2)求直线的斜率； (3)若为坐标原点，当的面积为时，直线交轴于，证明：. 29．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知一个袋子中有x个红球，y个黑球，，这些球除颜色外完全相同. (1)当，时，甲乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束. ①求第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率； ②若规定甲乙摸球次数的总和达到时也停止比赛，设随机变量X为比赛结束时的摸球次数，写出随机变量X的分布列，并求. (2)将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子，随机变量X表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，是X的数学期望，求证：当时，. 30．（2025·四川·三模）已知双曲线的右焦点为，且点到双曲线的渐近线的距离为．过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点；再过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点、、、、． (1)求双曲线的方程； (2)求点的坐标； (3)若、，记的面积为，证明：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲：数列 【题型归纳】 · 题型1：Sn和an关系求通项公式 · 题型2：累加法求通项公式 · 题型3：累乘法求通项公式 · 题型4：构造法求通项公式 · 题型5：单调性求数列最值问题 · 题型6：不等式求数量最值问题 · 题型7：等差数列问题 · 题型8：等比数列问题 · 题型9：数列的实际应用问题 · 题型10：倒叙相加法求和 · 题型11：裂项相加法求和 · 题型12：错位相减法求和 · 题型13：分组（并项）求和法 · 题型14:数列与不等式交汇问题 · 题型15：数列新定义问题 【题型探究】 题型1：Sn和an关系求通项公式 1．（2025·重庆·二模）设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据与之间的关系求得，可得，则，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】因为， 当时，则， 两式相减得， 整理可得， 且，则，可得，即， 可知等差数列的公差， 当时，则，解得； 所以，可知数列为正奇数列， 对于数列， 当时，可得为偶数； 当时，可得为奇数； 所以数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为， 则， 所以. 故选：A. 2．（2024高三下·四川内江·专题练习）数列为正项数列，为数列的前项和，且，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题设等式作差推得，再由和的关系推出，结合条件得到为公差是2的等差数列，利用通项公式计算即得. 【详解】由题知 ①， 则 ②， 由①－②，可得：，即，，， 在已知等式中令，得，则，显然满足上式， 故有③，则④． 由③－④，可得：，即， 即，∵，∴， 故为公差是2的等差数列，又由可解得， ∴． 故选：A. 3．（2025高三·全国）已知数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．2024 【答案】A 【分析】根据与的关系可得的表达式，再据此求出的表达式，最后将代入表达式求出结果. 【详解】因为，即． 当 时，，即； 当时，， 所以， 所以，又， 所以数列是等比数列，且首项为，公比为， 所以，所以， 所以． 故选：A． 题型2：累加法求通项公式 4．（2025·湖南永州·三模）如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（   ） A．62 B．63 C．64 D．65 【答案】B 【分析】由题意可知数列的相邻两项之差严格递增，要使得正整数最大，则需要让相邻两项差值尽可能小，即相邻两项差值构成公差为1的等差数列，由此得到构造的增长最缓慢的“速增数列”的递推关系，利用累加法可求得其通项公式，令，解出代入验证即可得出答案. 【详解】由题干条件，即， 也即数列的相邻两项之差严格递增，要使得正整数最大，则数列增长尽可能缓慢， 需要让相邻两项差值尽可能小，即相邻两项差值构成公差为1的等差数列， 因为，则， ，，所以， 采用累加法， 令，即，解得， 当时，，符合题意； 当时，，无法构造“速增数列”满足题意， 故选：B. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用递推关系式由累加法计算可求得. 【详解】因为，所以， 所以当时，，，…，， 累加可得， 因为，所以，当时，，满足上式， 所以， 故选：B． 6．（2025·云南·一模）已知数列的前项和满足，若数列满足，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用累加法，即可求解. 【详解】因为，当时，， 两式相减得到，即， 又，得到，所以数列是以，的等比数列， 所以，则， 当时，， 所以，又时，满足， 故选：A. 题型3：累乘法求通项公式 7．（2025·浙江宁波·三模）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】根据题意，利用与的关系，推得，结合累乘法，即可求得的值，得到答案. 【详解】数列中，满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又由，则. 故选：B. 8．（23-24高三上·湖北·阶段练习）定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列．已知“等比差”数列中，，，则（    ） A．1763 B．1935 C．2125 D．2303 【答案】B 【分析】运用累和法和累积法进行求解即可． 【详解】因为数列是“等比差”数列，所以， 因为，，所以， 所以有，，…，， 累和，得， 因此有，，…，， 累积，得， 所以. 故选：B. 9．（2024高三下·全国）在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列递推式，得，两式相减，可得，利用累乘法，即可得到结论 【详解】由于数列中，，前项和， ∴当时，， 两式相减可得： ∴， 所以， 因此， 故选：A. 题型4：构造法求通项公式 10．（24-25高三下·重庆北碚）数列 对任意的有成立，若，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】变形给定的递推公式，利用构造法，结合等差数列通项公式求解. 【详解】依题意，， 则，数列是公差为1的等差数列， 于是，而所以. 故选：C 11．（2025·四川成都·二模）已知正项等差数列满足，则（    ） A．4050 B．2025 C．4048 D．2024 【答案】B 【分析】利用等差数列性质及前项和公式变形给定等式得，再构造常数列求出目标值. 【详解】在等差数列中，， 则，即，因此， 数列是常数列，则，即，所以. 故选：B 12．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，递推关系可化为，证明，证明数列为等比数列，由此可求数列的通项公式，再分别在，，条件下判断函数的单调性可得结论. 【详解】因为，， 所以， 设，则， 所以 若，则,，矛盾， 所以，故， 所以数列为以为首项，公比为的等比数列， 所以， 故， 若，则， 数列为递增数列，且， 所以数列为递减数列，与已知矛盾； 若，则， 所以数列为递减数列，且， 所以数列为递增数列，满足条件； 当时， ，故， 所以数列为递减数列， 令，可得， 所以当，且时，， 当，且时，， 与条件矛盾， 所以的取值范围是， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过对递推式的变形，并设，换元可得，再证明数列为等比数列，由此求出数列的通项公式. 题型5：单调性求数列最值问题 13．（2025·北京西城·一模）设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（   ） A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 【答案】D 【分析】利用基本量法，可求出公比满足，根据前项和与前项积的定义进行讨论计算，可以得出有最小值，而有最大值. 【详解】由已知，是等比数列，，即，可得， 若，则，可计算当时，， 结合，可得即为的最小值， 同理，当，，当，，可知的最小值为， 综上可得，有最小值. 由可得，， 根据等比数列的性质，，必有满足对于所有，， 因为一定是正负交替出现，可得一定存在最大值. 综上，对于满足已知条件的等比数列，满足有最小值，有最大值. 故选：D 14．（2025·北京平谷·一模）在等比数列中，，记，则数列（    ） A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式求出，进而结合等差数列的求和公式可得，设，分析可得，进而求解判断即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由， 则，解得，， 则， 则 ， 设，则， 所以， 则时，，即， 当时，，即， 则，则为最大项， 此时为正数项，且在正数项中最大； 再由,，，因此为最小项. 故选：C. 15．（2024·北京平谷·模拟预测）已知等差数列和等比数列，，则满足的数值m（   ） A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多个值 【答案】A 【分析】根据题意求公差和公比，令，分情况讨论，结合数列单调性分析即可判断. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因， 则有，解得， 令， 可得，此时满足的只有成立； 当时，显然， ①若是奇数，则，显然不满足； ②若是偶数，则，且， 即，可得即不成立； 综上所述：满足的数值有且仅有1个值，即. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查摆动数列的单调性应用，属于难题. 对于摆动数列通项的处理，一般考虑对负底数的幂指数按照为奇为偶进行分类讨论，有时还需得对个别项赋值求值判断，再综合考虑即可. 题型6：不等式求数量最值问题 16．（24-25高三上·黑龙江）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求基本量公比，求出的通项公式，进而构造数列，构造函数，，研究函数的单调性证明，从而证明当时，成立，进而得到数列的最大项，由此可得的范围. 【详解】由等比数列的各项均为正数，可知公比. 成等差数列，. ，，即， 解得（舍），或，则的通项公式， .构造数列，设. 当时，；当时，； 当时，，故. 下面证明当时，. 构造函数， 则，且在单调递增； 则， 故在上单调递增， 则， 所以当，成立，即， 故当时，，则，， 则当时，. 综上可知，数列的最大项为，即. 要使恒成立，即恒成立，则. 故选：C. 17．（24-25高三上·广东·开学考试）设数列的前项和为．对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据递推关系可得为等比数列，即可结合累加法求解，由等比求和公式得，即可代入不等式化简得，构造，作差得数列单调性，即可求解. 【详解】由，得，又， 所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列，所以， 则， 进而数列是以2为公比，1为首项的等比数列，可得， 不等式恒成立， 即． 设，则， 当时，，为递减数列， 所以， 所以，解得． 故选：D． 18．（2023·湖南永州·二模）已知数列，若对任意的，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的最值，由不等式恒成立，求出实数的取值范围. 【详解】当，有，由，解得； 当，有，由，解得， ，，，所以的最小值为. 当，有，由，解得； 当，有，由，解得， ，，，所以的最大值为. 所以的最小值大于的最大值，即恒成立， 所以解得，对任意的，恒成立，则有，即实数的取值范围是. 故选：B 题型7：等差数列问题 19．（2024·河北石家庄·模拟预测）若数列为等差数列，为数列的前项和，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质由得，由得，可求出数列前6项均为负值，可得结论. 【详解】由等差数列性质可得，即； 又，所以, 因此数列的公差，且前6项均为负值， 所以的最小值为前6项和，即为. 故选：B. 20．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知各项都是正数的数列的前n项和为，且，则下列说法中正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】C 【分析】由题目条件推出，再得到，即，利用与的关系计算出，即可判断A；由即可判断B，利用基本不等式即可判断C、D. 【详解】由题意知，且， 当时，，解得， 当时，， 整理可得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则. 对于选项A，因为，故A错误； 对于选项B，因为是等差数列，故B错误； 对于选项C，因为，故C正确； 对于选项D，因为， ，故D错误. 故选：C. 21．（2025高三·全国）已知数列的前项和为，，且，则下列不正确的是（ ） A． B．是等比数列 C．是等差数列 D．存在，，且，使得，，成等差数列 【答案】D 【分析】由递推关系取，结合，解方程求，判断A；结合等比数列定义判断B；结合等差数列定义判断C；假设结论正确，可得，结合整除性判断D. 【详解】已知，，则，， 则，，A选项正确； 由可得，又， 所以，所以是首项为，公比为的等比数列，B选项正确； ， 所以是等差数列，C选项正确； 假设存在，，且，使得，，成等差数列， 则，又， 所以， ，两边同时除以得， 因为，，故左边是的倍数，右边不是的倍数，等式不成立，D选项错误. 故选：D. 题型8：等比数列问题 22．（2025·河北保定·模拟预测）记是正项数列的前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数运算可得是以为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由得，， 所以，即，且，所以是以为公比的等比数列. 由得，，解得， 所以. 故选：C. 23．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足对任意正整数恒有，且，，则的前30项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，令，可得，结合求得，可得是等比数列，求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】由，得， 令，，得，可得， 所以，得， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 故，，所以， 所以的前30项的和为. 故选：D. 24．（2024·陕西商洛·模拟预测）设等比数列的前项和为，前项积为，若，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．对任意正整数， C． D．数列一定是等比数列 【答案】C 【分析】利用前项积与通项的关系，可以求出通项公式，进而可以判断A、B、C，对于D只需要利用等比数列的前项和公式即可证明. 【详解】由得，各项均为正数，且， 由得，所以选项A是正确的； 由上可知：等比数列的公比，， 所以等比数列是递减数列，由等比数列性质可得： ，所以选项B是正确的； 由，又由，即选项C是错误的； 由， 由，所以选项D是正确的. 故选：C. 题型9：数列的实际应用问题 25．（2025·河南·二模）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球．若鬼工球最内层的空心球上有2个雕孔，且向外每层雕孔依次增加d个（d为常数）．现制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球共多出30个雕孔，三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36，则（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设从内向外第n层鬼工球上的雕孔数量为，根据等差数列的通项公式及求和公式计算求解即可. 【详解】记从内向外第n层鬼工球上的雕孔数量为， 由题意知，，故对于一个n层的鬼工球，其雕孔数为， 所以3层和6层的鬼工球的雕孔数分别为，，差值， 解得，故， 由于三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36， 若m在3，6之间，则相差最多者即层数为3，6的鬼工球，不符合题意； 若m大于6，则相差最多者即层数为3，m的鬼工球，而即使m取最小值7，其雕孔数为56，而，不符合题意； 若m小于3，则相差最多者即层数为m，6的鬼工球， 由层数为6的鬼工球雕孔数为42知，层数为m的鬼工球雕孔数为6，故，解得（负值舍去）. 故选：A． 26．（2025·吉林·三模）以“冰雪同梦亚洲同心”为主题的第九届亚冬会于2025年2月7日在哈尔滨盛大开幕，场馆上方悬挂的120万朵小雪花片装置，让观众仿佛置身于冰雪童话之中．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”．它可以这样画：如图，画一个边长为1的正三角形，第一步，把每一边三等分；第二步，取三等分后的一边中间的一段，以此为边向外作正三角形，并把这中间的一段擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，形成雪花曲线，记雪花曲线的周长为，则数列的最大项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先需要根据雪花曲线的构造规律求出其周长的通项公式，再据此得出数列的通项公式，最后通过分析该数列的单调性来确定最大项. 【详解】对于初始的正三角形，边长，周长, 由构造规则可知，从到，每一条边都变为原来的倍. 因为有3条边，的边数是条，且每条边长度为，所以. 从到，同样每一条边变为原来的倍，的边数是条，每条边长度为，所以. 以此类推，可得,代入可得： , 令,则, 则, 令，解得, 令，解得. 所以，. 故选：B 27．（2025·河南·二模）张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据全概率公式得到数列的递推公式，再根据递推公式求通项公式，可求. 【详解】设表示第个月去公司，则，， 根据题意，得，， 由全概率公式，得 ， 即，整理得， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则. 故选：A 题型10：倒叙相加法求和 28．（2025高三·全国）已知函数，利用教材中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出的值，再利用倒序相加法可求得所求代数式的值. 【详解】， 设， 则， ，所以， 故选：B． 29．（24-25高三上·广东·开学考试）若，数列的前项和为，且，，则（    ） A．76 B．38 C．19 D．0 【答案】A 【分析】由题意可知函数关于对称，然后再通过，求解数列的通项，进而求解. 【详解】因为， 所以 所以的图象关于点对称， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 又，， 所以，， 所以，所以， 所以，， 所以. 故选:A. 30．（2024·四川成都·模拟预测）已知，则（    ） A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094 【答案】D 【分析】先得到，然后利用倒序相加来求和即可. 【详解】， 即 设①， 则② ①+②得 ， 所以， 又， 所以. 故选：D. 题型11：裂项相加法求和 31．（2025·河北·模拟预测）已知数列满足，． (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）变形给定等式，利用等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）数列中，，，则，， 所以数列是以为首项，公差为2的等差数列. （2）由（1）知，，则，， 所以数列的前项和. 32．（2025·山东聊城·模拟预测）已知各项均为正数的数列满足，数列的前项和为．正项等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据数列的通项与求和公式的关系，可得数列的递推公式，根据等比数列的概念，可得答案； （2）根据裂项相消求和，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，所以 因为，所以， 即，所以， ， 设等比数列的公比为， 则，，. （2） 所以 33．（2025·广东湛江·二模）已知，若正项数列满足，则称为“上界m数列”． (1)若，判断数列是否为“上界1数列”，并说明理由； (2)若数列是“上界m数列”，求m的最小值； (3)若，且．证明：数列是“上界1数列”． 【答案】(1)不是“上界1数列”，理由见解析 (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）求出，再根据新定义判断即可； （2）根据为“上界m数列”的定义判断即可； （3）由已知可得，则再证明即可，当时成立，当时，由可得，由裂项相消法求和可得，可得，得证. 【详解】（1）由题可知，， 因为，所以， 则，则，从而不是“上界1数列”． （2）因为， 又数列是“上界m数列”，所以恒成立． 又， 所以，即m的最小值为2． （3）因为，所以， ，则，从而． 要证数列是“上界1数列”，需证， 当时，由，得． 当时，由，得，则， 整理得， 则， 则，即． 因为，所以，则， 则，从而， 所以数列是“上界1数列”． 题型12：错位相减法求和 34．（2025·天津河东·二模）设是公差d为的等差数列，是公比为q的等比数列，，，，，. (1)求数列与的通项公式及； (2)落在区间之内的项的个数为，. （ⅰ）求，及数列的通项公式； （ⅱ）求. 【答案】(1)，， (2)（i），，；（ii） 【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式及等差数列求和公式计算即可； （2）（ⅰ）根据第一问结论依次表示，即可，利用数字的规律找出区间中整除3余1的个数即可；（ii）利用错位相减法计算求和即可. 【详解】（1）设，，，， 由已知，， 所以， 所以， 所以，，所以， 又因为， 所以，所以， 所以，， 所以； （2）（ⅰ）由已知，在此区间内，∴， 因为， 所以即为， ∴. ， 所以即为， 所以，所以， 所以数列的通项公式为. （ⅱ）记， ①， ②， ①-②为， ， . 35．（2025·宁夏·一模）已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【详解】（1）因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 36．（2025·甘肃白银·二模）已知数列的前n项和为，且，． (1)证明：数列是等比数列． (2)设，求数列的前n项和． (3)设，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用前n项和与通项公式的关系得到，再利用等比数列的定义证明即可. （2）利用给定条件求出，再利用错位相减法结合公式法求和即可. （3）先表示出，再分析得到，再对分奇偶数讨论证明不等式即可. 【详解】（1）当时，，得． 当时，，结合题设式可得， 即，当时也成立，， 则数列是首项为2、公比为2的等比数列． （2）由（1）知，则，， 设记为①， 记为②， ①－②得，， 设，则． （3）由（1）知，， ， 欲证，即证， 即证，即证，该式显然成立， 即恒成立． 当n为奇数， ， 当n为偶数时， ． 综上，． 题型13：分组（并项）求和法 37．（2025·河南·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据等差中项列式，再根据完全平方公式计算化简，由定义得出等差数列； （2）先写出等差数列的通项公式，再应用的分组求和得出即可. 【详解】（1）因为是与的等差中项，所以， 所以， 因为数列的各项均为正数，所以， 所以，所以， 所以数列是公差为1，首项为的等差数列； （2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列， 所以， 所以，当时，， 当时，， 所以, 所以， 38．（2025·四川泸州·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，若. (1)求数列的通项公式； (2)设， （ⅰ）试比较与的大小，并说明理由； （ⅱ）若数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用的关系可求的通项公式； （1）（ⅰ）求出，结合不等式可判断大小； （iⅰ）利用分组求和的方法求出，结合不等式放缩可证结论. 【详解】（1）当时，由题意，； 当时，，两式相减可得， 所以，即， 因为，所以. （2）因为，所以； 当为奇数时，；当为偶数时，； 令，则，即为增函数，则当时，； （ⅰ）因为，所以； （iⅰ）当为奇数时， ， 因为，所以 ， 因为，所以； 当为偶数时， ， 因为，所以 ， 因为，所以； 综上，. 39．（2025·江西·模拟预测）已知数列分别是等比数列和等差数列，是数列的前项和.若. (1)求和及； (2)设是等比数列，对任意的，当时，有恒成立. （i）当时，求证：； （ii）设数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由等差数列与等比数列的基本公式求解即可； （2）（i）由题意对任意时恒成立，进行赋值即可证明； （ii）由（i）可猜想，然后论证猜想，最后分组求和即可解出． 【详解】（1）因为，则，所以公比为，从而， 故； 又，则，公差为， 从而. （2）（i）由题意对任意时恒成立， 则； 又对任意时恒成立， 则， 综上，. （ii）由（i）知，， 猜想，否则，若数列的公比，当足够大时，无法保证恒成立； 若数列的公比，当足够大时，无法保证恒成立，所以， . 题型14:数列与不等式交汇问题 40．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明为常数即可证明为等比数列，根据等比数列通项公式即可求通项公式，从而得证； （2）先求出，根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，题设化简为，通过讨论为奇数或偶数，即可求λ的范围. 【详解】（1）由已知，， ，，， 又, ， 数列中任意一项不为0, ， 数列是首项为2, 公比为2的等比数列，. （2）由第（1）问知， ， 则，设数列的前项和为, 所以①， ②， 所以①-②可得： ， 所以. 由，得， 化简得. 当 为奇数时，有，即， 而，所以； 当为偶数时，有， 而，所以. 综上，的取值范围为. 41．（2025·天津南开·一模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是的等比中项． (1)求的通项公式及； (2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和． （i）若，求的最大值； （ii）设，证明：． 【答案】(1)； (2)（i）5；（ii）证明见解析.. 【分析】（1）应用等差数列前n项和公式及等差中项的性质、通项公式求基本量，进而得到的通项公式及； （2）（i）根据已知得，即得，应用等差、等比前n项和公式及分组求和得，再由能成立求的最大值； （ii）由（i）得，判断其单调性即可得，应用基本不等式及放缩有，应用错位相减法求右侧的前n项和，即可证. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意，，即①， ，即②， 将①代入②得，因为，解得， 所以． （2）（i）令，即，解得， 所以，即的通项公式为 所以． 又，所以． 由，得， 因为， 所以的最大值为5． （ii）由（i）知，则，所以． 设①， 则②， ①②得， 所以． 因为， 所以． 综上，． 42．（2025·安徽黄山·二模）若数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知为数列的“接近数列”，且数列，的前项和分别为，． (1)若（是正整数），求，，的值； (2)若数列是公差为的等差数列，且，求证：数列是等差数列； (3)若（是正整数），判断是否存在正整数，使得？如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)，，； (2)证明见解析； (3)存在，最小k为7. 【分析】（1）根据定义有且，将代入依次求出； （2）根据已知有，得，进而有，，，即可证； （3）根据题设定义得到且，进而有且，结合及不等式能成立求n的范围，即可得. 【详解】（1）由题设，且， 所以，即，， ，即，， ，即，， 所以，，； （2）由题设，则， 所以，，则， 所以，，， 所以，故，即数列是等差数列； （3）当为奇数时，，则， 由，即，，则； 当为偶数时，，则， 由，即，，则； 所以且，则且， 而， 要使，则， 当且，则， 所以，则，可得； 当且，则， 所以，则，显然不成立； 综上，时的最小值为7. 题型15：数列新定义问题 43．（2025·江西鹰潭·二模）对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列． (1)已知，，求，，，； (2)已知，若，且对恒成立，求的取值范围； (3)已知数列满足，且，数列，的前项和为，证明：． 【答案】(1)，，，． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由数列新定义计算可得； （2）由等比数列的求和公式求出数列的前项和，再由累加法求出，判断数列递增，对恒成立，从而得出，解出结果后再证明充分性即可； （3）先求出数列的通项公式，然后写出，再由两角和与差的余弦公式结合拆角得到，把改写后结合余弦函数的值域和放缩证明即可. 【详解】（1）因为，， 所以，； 由题意，则， 又因为，所以． 综上可知，，，，． （2）若，则 ． ， 因为，所以，即，故数列递增， 所以要使对恒成立， 则必有，即， 所以，解得； 故是对恒成立的必要条件． 下面证明充分性：若，即，又，即， 又，故成立； 由，又递增，， 则，故； 故满足对恒成立，即是对恒成立的充分条件． 综上所述，要使对恒成立， 则的取值范围为． （3）由，即则为等差数列，又得． 所以， 因为， 且， 可得 ． 由，得，则，，则 ，即，且， 得，所以． 44．（2025·山东济南·二模）若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）． (1)判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由； ①；②． (2)过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组； (3)从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率． 【答案】(1)①不是，②是； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据有趣数组的定义判断即可； （2）联立直线与圆，应用韦达定理有，，代入圆的方程得，取，其中，应用反证思想，假设存在正整数i和j且i，，使得到矛盾，即可证明结论并确定2的一列有趣数组； （3）由（1）（2）结论，只需讨论，结合新定义及反证思想判断是否为有趣数组，即可得. 【详解】（1）①不是，因为数组中的任何两个都是比例关系； ②是，因为数组中的任何两个都不是比例关系. （2）直线AB的方程为，联立圆的方程， 整理得， 由韦达定理得，即， 于是，又点B的坐标满足圆的方程， 于是，即． 取，其中， 若存在正整数i和j且i，，使，那么． 因为，则有比例性质， 于是， ， 故，则，矛盾！ 故对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则2是有趣数， 所以2的一列有趣数组为． （3）由（1）可知1是有趣数；由（2）可知2是有趣数； 当时，假设方程有正整数解， 设是所有正整数解中使x最小的一组解，由，故是3的倍数， 若，k，l为非负整数，则不可能是3的倍数，矛盾！ 同理，或，或也不成立． 若为3的倍数，则也为3的倍数， 设，则，即，故为3的倍数． 设，则有，所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾． 因此方程没有正整数解，则3不是有趣数， 当时，由（1）知，则， 此时取，其中，…， 由比例性质同理可知对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则4是有趣数， 当时，过点作斜率为的直线交圆于另一点D， 则直线CD的方程为，联立圆的方程， 整理得， 由韦达定理可得，即， 于是，又点D的坐标满足圆的方程， 于是，即． 取，其中，…， 由比例性质同理知：对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则5是有趣数．         当时，假设方程有正整数解， 设是所有正整数解中使x最小的一组解． 由于，故是3的倍数， 由时的分析可知和都是3的倍数， 设，则，即， 故：为3的倍数． 设，则有． 所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾． 因此方程也没有正整数解，则6不是有趣数．            因此1，2，…，6中的有趣数为1，2，4，5，所求概率为． 45．（2025·江苏泰州·二模）设数列和都有无穷项，已知存在非零常数，使得，此时称数列是由“-生成”的． (1)如果是等比数列，满足的，若数列是由“-生成”，求的值； (2)已知数列是由“-生成”的，如果存在非零常数，使得是由“-生成”的，求数列的通项； (3)设，且数列，，分别是由数列，，“-生成”的，表示数列的前n项和．已知，求的最小值． 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）设，利用定义推理可得，求解方程并验证即得. （2）利用定义求出首项，结合递推公式求解，并借助反证法推理求得通项公式. （3）设分别表示的前项和，利用给定的定义，结合前和与第的关系推理求出最小值. 【详解】（1）设， 则由，解得， 又， 而，因此，解得. 当时，； 当时，， 当时，， 即，符合题意， 所以或. （2）由是由“生成”的，是由“生成”的， 得，则， 于是或，而，因此， 若，则，， 若，且， 假设是第一个使不同时为0的整数，则， 此时，而，则，矛盾， 从而不存在使不同时为0的整数， 所以. （3）设分别表示的前项和， 即分别是由-生成"的， 由，得； 当时，. 于是，同理， 而，则， ，， . 所以，， 令，则， ，， 因此， 所以取到最小值. 【高考达标】 一、单选题 1．（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和性质，即可求解. 【详解】由题可知，，成等比数列， 所以，即，得， 则此等比数列的首项是1，公比是，那么， ， 所以. 故选：C 2．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知：数列满足：对任意的，，，都有，：数列是等差数列.则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的概念，结合等差数列的通项公式可得答案. 【详解】当成立时，对任意的正整数，对任意的，，都有，则， 所以当时，，对任意的，都成立，所以是等差数列，故. 当成立时，即数列是等差数列，设等差数列的公差为， 则，，， ∴， 即恒成立， ∴. 综上得，是的充要条件. 故选：C. 3．（2025·重庆·模拟预测）已知等差数列、的前项和分别为、，若，对，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得出，即可得出实数的取值范围. 【详解】等差数列、的前项和分别为、，且， 则， 且当时，， 因为，，，则，即的最小值为. 故选：C. 4．（2025·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（     ） A．510 B．514 C．1022 D．1026 【答案】B 【分析】先设第次构造后得的数列为1，，3，求出此时所有项之和，接着得到第次构造后得到的数列，并求出，观察与的关系，结合等比数列定义得到数列是等比数列即可求解. 【详解】设第次构造后得的数列为1，，3，则， 则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，3， 于是，， 显然，而， 因此数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B 5．（2025·陕西宝鸡·三模）已知数列满足给出下列三个命题 ①数列为等比数列； ②数列为等差数列； ③当时，. 其中真命题的个数为（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据等差数列及等比数列的定义计算判断①②，再根据解析式计算判断③. 【详解】数列满足， 当为偶数时，，所以，， 所以，所以，所以，所以数列为等比数列，①正确； 当为奇数时，，所以， 所以，所以，所以，所以数列为等差数列，②正确； 因为时，. 数列为等差数列，所以,③正确； 故选：D. 6．（2025·湖北·模拟预测）已知的面积为1，取各边的中点作，然后再取各边的中点作依此方法一直继续下去.记的面积为，数列的前项和为，则（    ） A．数列为常数列 B．数列为递增数列 C．数列为递减数列 D．数列为递增数列 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合相似三角形性质求出及，再利用数列单调性定义逐项分析判断. 【详解】依题意，各次作得的三角形都相似，相邻两次作得的三角形相似比为，则，， 因此数列是首项、公比都为的等比数列，，， 对于AB，，数列是递减的等比数列，AB错误； 对于CD，，， ， 即，，因此， 数列为递减数列，C正确，D错误. 故选：C 7．（2025·山东青岛·一模）已知数列，，且，将与的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对n分奇数与偶数讨论，求出数列与数列的公共项，利用裂项相消法求和. 【详解】因为数列是正奇数数列， 对于数列，当为奇数时，设，则，为奇数； 当为偶数时，设，则，为偶数， 所以，由数列的函数特性知为递减数列， 又， 所以， 故选：C． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知数列满足，若，则数列的前15项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的关系求出，然后使用裂项相消法可得. 【详解】①， 当时，， 当时，②， ①-②得，所以， 显然也满足上式，所以， 所以， 记数列的前项和为， 则. 故选：A 二、多选题 9．（2025·四川眉山·三模）已知数列满足，，给出下列结论正确的是（    ） A．存在，使得为常数列 B．对任意的，为递增数列 C．对任意的，既不是等差数列也不是等比数列 D．对于任意的，都有 【答案】BCD 【分析】A项，根据为常数列得出的值，即可得出结论；B项，利用得出，即可证明结论；C项，分别假设是等差数列和等比数列，通过等式变化，即可得出结论；D项，对两边平方，利用放缩法即可得出结论. 【详解】由题意， 在数列中，，， 对于A， 若为常数列，则，根据递推公式， 可得，进而可得，解得，又， 故不存在，使得为常数列，故A错误； 对于B， 对于，由递推公式，， 可得，所以，，所以， 所以数列是递增数列，结论B正确； 对于C， 若是等差数列，则为常数，可得常数， 则可得是常数数列，则，与矛盾， 故对任意的，不是等差数列， 若是等比数列，则为常数.根据递推公式， 即为常数，则为常数数列，则可得，这与矛盾， 所以对任意的，不是等比数列； 综上所述：对任意的，既不是等差数列也不是等比数列，故C正确； 对于D， 由，两边平方得： ， 故D正确. 故选：BCD. 10．（2025·江西宜春·一模）数列满足，，，…，，依此类推，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据通项公式的规律，分析各项表达式，结合不等式判断选项. 【详解】根据规律可得，，； 当m的值每增加1时，的变化在内，所以的值单调递增. 当时，取最小值，最小值为，正确. 易得，所以，即，所以，错误. 若，则，，，，； 记数列为1，2，3，5，…，则，. 记，则； 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. ，正确. ，要使得取最小值； 则n为奇数，此时，正确. 故选：. 11．（2025·全国·模拟预测）已知均为等差数列，设分别为的前项和，若，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和小于 【答案】ACD 【分析】由，当时，，A正确；设的首项为，公差为的首项为，公差为，可得，，，计算可得，B错误；代入计算解得 C正确；，利用裂项相消求和可得，D正确. 【详解】因为，当时，， 设的首项为，公差为的首项为，公差为， 因为，所以， 即， 展开并整理多项式，比较系数可得. 故， ，. 对于A，由上面的分析可知A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为， 所以，故C正确； 对于D，， 所以的前项和为，故D正确. 故选：ACD. 12．（2025·广西·三模）已知首项为1的正项数列满足，若数列前项和为，且，则下列结论正确的有（   ） A．是等差数列 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用递推公式可判断AB选项，由的表达式可判断C，利用不等式放缩可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，即是等差数列，A正确； 对于B，设的公差为，则，即， ， 所以， 因为，所以，解得，所以，，B不正确； 对于C，由B可知，C正确； 对于D，令，则， 即为增函数，所以，即， 所以， 又，所以，D正确. 故选：ACD 13．（2025·贵州贵阳·模拟预测）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果．从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A．第2025行共有2025个数 B．从第0行到第10行的所有数之和为2047 C．第21行中，从左到右的第3个数是210 D．第3斜列为：，则该数列的前项和为 【答案】BCD 【分析】可以得出每行的数字之和形成一个首项为1，公比为2的等比数列可判断AB；根据二项式系数性质可判断C；由公式可判断D. 【详解】对于A：行数比每行的个数少1，所以第2025行共有2026个数，所以A错误； 对于B：可以得出每行的数字之和形成一个首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以B正确； 对于C：第21行的二项式系数为且， 所以从左到右第三个数是，所以C正确； 对于D：由公式得： ，所以D正确. 故选：BCD． 14．（2025·山西临汾·二模）已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．是单调递增数列 C．若为数列的前项和，则 D．若对任意，都有，则 【答案】ABC 【分析】根据累乘法可得，即可判断A,根据即可求解B，根据裂项相消法即可求解C，根据单调性，对分奇偶即可求解D. 【详解】由，可得， 故, 也符合， 故，，A正确， 由于，故，因此是单调递增数列，B正确， ， 故，C正确， 由可定， 当为偶数时，则恒成立，由于单调递增，故， 当为奇数时，则恒成立，由于单调递增，故， 故对任意，都有，则，故D错误， 故选：ABC 三、填空题 15．（2025·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则 【答案】 【分析】根据等差数列的定义有，即，利用关系求通项公式. 【详解】由题设，数列是首项、公差均为1的等差数列， 则，所以， 当，则，显然满足上式， 所以. 故答案为： 16．（2025·北京丰台·一模）已知，，是公比不为1的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式表示各项，调整顺序后借助等差中项的概念建立等量关系求得的值，令可得结果. 【详解】设等比数列，，的公比为，则等比数列为， 不妨设调整顺序后的等差数列为，则， ∵，∴，解得或（舍）， 令，则，， ∴满足条件的一组，，的值依次为. 故答案为：（答案不唯一）. 17．（2025·北京朝阳·一模）干支纪年法是我国古代一种纪年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的组合来表示年份，循环纪年．比如某一年为甲子年‘，则下一年为乙丑年，再下一年为丙寅年，以此类推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年为乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此类推．已知2025年是乙巳年，则2025年之后的首个己巳年是 年．（用数字作答） 【答案】2049 【分析】天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，分析计算可得解. 【详解】天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列， 从2025年是乙巳年，以2025年的天干和地支分别为首项， 因为地支为巳，则经过的年数为12的倍数， 又因为2025年为天干为乙，到天干为已，需经过丙、丁、戊、己， 故经过年数除以10的余数为4，故需经过24年，所以2025年之后的首个已巳年是2049. 故答案为：2049. 18．（2025·云南·一模）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（填序号） . ① ② ③的最大值为 ④的最大值为 【答案】①②③ 【分析】根据题意，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为，，， 所以，所以，故①正确. ，故②正确； 又，所以的最大值为，故③正确. 因为，，所以恒有，所以无最大值，故④错误； 故答案为：①②③ 19．（2025·河南安阳·二模）记表示不超过的最大整数．若正项数列满足，则数列的前101项和为 ． 【答案】10101 【分析】解方程得，用放缩法和裂项相消法求出，得到，从而求出前101项的和． 【详解】因为，所以， 因为为正项数列，所以，则， 当时，， 故， 又对于，都有， 故， 所以， 故当时，，又， 所以的前101项和为． 故答案为：10101． 四、解答题 20．（2025·四川绵阳·三模）已知等比数列满足，且成等差数列. (1)求数列的通项公式： (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意列方程即可求出公比，进而得到数列的通项； （2）利用等比数列的前n项和求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 成等差数列， ， 即， 即， 解得或（舍）， （2） . 21．（2025·天津·一模）已知为等差数列，其前项和为，满足，且． (1)求的通项公式； (2)设数列满足其中． （i）记，．证明：是等差数列； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据所给条件求出，即可求出通项公式； （2）（i）由（1）可得其中，当为奇数时，，即可求出的通项公式，即可得证；（ii）令，则，利用分组求和法与裂项相消法计算可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，且， 所以，解得， 所以； （2）（i）由（1）可知，又其中， 所以其中， 当为奇数时，， 所以， 所以，则， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （ii）令， 而， ， 所以. 22．（2025·内蒙古包头·二模）已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， (1)证明：数列是等差数列； (2)设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；或或或或或 【分析】（1）化简题干信息即可求得，结合等差数列的定义即可判断； （2）求出数列的通项公式，再利用等比数列化简得出，结合均为正整数的条件即可求出所有值. 【详解】（1）由，得， 又数列的各项均为正数，则，所以， 又，所以数列是以3为首项，以3为公差的等差数列． （2）由（1）得，于是， 假设存在正整数，使得成等比数列，则， 即， 即，整理得， 因为均为正整数且， 所以的正整数解为： 或或或或或 所以存在正整数，使得成等比数列． 23．（2025·甘肃·模拟预测）已知无穷数列满足：对于 .（为常数）. (1)若，设，求数列的前项和； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式求出，进而，然后利用裂项相消法求出数列的前项和； （2）根据等差数列的定义及通项公式求出，进而，先证明和不等式成立，当时，，然后求和化简即可证明. 【详解】（1）由题意得，数列是首项为，公差为的等差数列. 当时，等差数列的首项为1，公差为2， 所以，所以. 所以， 所以 . （2）当时，等差数列的首项为1，公差为1， 所以，所以. 因为，所以当时，； 当时，； 当时，， 可得. 综上， . 24．（2025·青海西宁·二模）设为数列的前n项和，时，，已知． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合变形给定等式，再利用构造法推理得证. （2）由（1）求出，再利用构造法求出通项公式. （3）利用错位相减法求和，再借助恒成立的不等式求出的范围即可. 【详解】（1）当时，，即， 则，而，则， 于是时，，整理得，又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列. （2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，则， 因此，数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列的通项公式. （3）由（2）知，， ， 两式相减得，， 则．不等式， 当时，为任意实数；当时，恒成立，而，因此， 所以实数的取值范围是，的最小值为. 25．（2025·贵州·二模）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列． (1)若数列为数列的偶数列，求． (2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列． (3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）列出在区间内的偶数，再利用偶数列的定义求出. （2）求出在区间内的偶数个数，进而求出数列的通项公式，再利用等比数列的定义证明. （3）利用等差数列的通项公式，进而求出，再利用分组求和法及错位相减法求解. 【详解】（1）在区间内的偶数为，共13个， 所以. （2）在区间内的偶数为，则． 于是，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列. （3）依题意，等差数列的公差， 则，， 由（2）知，，则， 令数列的前项和为，则， 于是， 两式相减得：， ， 因此，而数列前项和为， 所以. 26．（2025·广东广州·一模）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． (1)求； (2)求； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）列出5人传球三次的树状图，根据概率乘法公式和加法公式得解； （2）由题意知，，根据数列的构造法求通项公式； （3）由题意知，作差法比大小. 【详解】（1）由题意知， ， 所以； （2）由题意知，， 所以， 所以， 则； （3）由题意知， 则， 所以，（当时取等号） 所以. 27．（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，再利用数列通项公式与前项和的关系得到递推关系，因为，可求得数列为等差数列，由此可写出数列的通项公式； （2）先写出数列的通项公式，再求出数列的前项和为，解法一是分部求和，解法二是分组求和，解法三直接从问题入手，构造新数列，求其最小值，则不大于其最小值，此即为恒成立，由此可得实数的取值范围. 【详解】（1）时，，解得或，因为，所以， 时，，得， 因为，所以，又， 故数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为； （2）解法一：由，所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以， 因为对任意的，成立， 所以，当为奇数时，即，所以， 不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为， 因为为奇数，所以时，，则 当为偶数时，，所以， 同理可得，因为为偶数，所以时，，则， 综上，. 解法二：由， 当为偶数时， . 当为奇数时， ， 所以（下同解法一） 解法三：因为对任意的，成立， 则，即求的最小值，令， 当为奇数时， 则，所以最小值一定在为奇数时取到， 当为奇数时， ， 当时，，当时，， 所以当为奇数时，， 则的最小值为， 所以. 28．（2025·河北邯郸·二模）已知离心率且焦点在轴上的序列椭圆，其中的一个焦点为．过上一点作的两条弦，交于另两点，且的内心在垂直于轴的一条直线上． (1)求数列的通项公式； (2)求直线的斜率； (3)若为坐标原点，当的面积为时，直线交轴于，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由已知可得，进而可得，可求数列的通项公式； （2）设的方程为．联立直线与椭圆方程，由根与系数的关系可得，由已知可得，进而可得，计算可求直线的斜率； （3）求得，结合三角形的面积可得，可得，可证明结论. 【详解】（1）由，解得． 的一个焦点为， ， ． （2）由（1）知． 的内心在垂直于轴的一条直线上， ． 设的方程为． 代入中整理得：． ，即， ， ， 由得， 即， 代入与整理得， 当时，过点，舍去． ． （3）由（2）知的方程为，此时， ， ， 到直线的距离， 的面积， 解得满足， ． ， ， 则， ． 29．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知一个袋子中有x个红球，y个黑球，，这些球除颜色外完全相同. (1)当，时，甲乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球，某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束. ①求第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率； ②若规定甲乙摸球次数的总和达到时也停止比赛，设随机变量X为比赛结束时的摸球次数，写出随机变量X的分布列，并求. (2)将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子，随机变量X表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，是X的数学期望，求证：当时，. 【答案】(1)①；②； (2)证明见解析. 【分析】（1）①利用独立事件的乘法公式计算即可； ②分析出的可能取值，再计算分布列和数学期望即可； （2）先写出的可能取值，再计算分布列和均值，最后合理放缩即可. 【详解】（1）①设事件为第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球， 则. 答：第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率为. ②由题意知的可能取值为，， 则，，， ，. 其概率分布如下： 2 4 6 所以， 设， ， 所以， 所以， 所以 （2）由题意知的可能取值为，， 则，，， 则其概率分布如下： ， 因为， 所以 ， 又因为所以. 30．（2025·四川·三模）已知双曲线的右焦点为，且点到双曲线的渐近线的距离为．过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点；再过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点、、、、． (1)求双曲线的方程； (2)求点的坐标； (3)若、，记的面积为，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，结合的值可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析额可直线经过的定点也在轴上，设点设点，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线得出联立，列出韦达定理，求出点、的坐标，由此可得出点的坐标； （3）分析可知，点均在轴上，考虑一般情况，假设点，设点，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理求出点的坐标，同理得出点的坐标，利用、、三点共线，结合斜率公式可得出，由此可归纳得出的坐标，由此可得出的表达式，利用放缩法结合等比数列的求和公式可证得所证不等式成立. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，即， 则点到渐近线的距离为， 又因为，所以， 因此，双曲线的方程为. （2）当轴，必然与轴重合，由曲线的对称性知的中点在轴上， 的中点也在轴，故经过的定点也在轴上， 设点，设直线的方程为，设点、， 联立得， 所以，，， 由韦达定理可得，， 故线段的中点， 同理可知，直线的方程为，的中点为，即点， 当时， 由、、三点共线可得，得， 解得，因此，. 当时，，此时过， 故. （3）由（2）可知，当时，定点，同理可知，也一定在轴上， 考虑一般情况，假设点，设点， 设直线的方程为，设点、， 联立得， 所以，，， 由韦达定理可得，， 故线段的中点为， 同理，直线的方程为， 线段的中点为，即点， 当时， 由、、三点共线可知，，即， 整理可得，即当点时，， 当时，，此时过， 综上，. 故当点时，、、、， 由题意可知，的面积为， 所以， 所以. 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