第03讲：三角函数和解三角形【十六大题型】-2025届高考数学考前核心考点题型三轮冲刺精讲精练（新高考地区）

第03讲：三角函数和解三角形 【题型归纳】 · 题型1：三角函数定义的应用 · 题型2：商数关系和平方关系求值 · 题型3：齐次化求值 · 题型4：弦切互化法求值 · 题型5：整体代入化求三角函数的单调性、对称轴等问题 · 题型6：代入法妙解三角函数性质问题 · 题型7：图像化或换元法求三角函数最值问题 · 题型8：三角函数的参数问题 · 题型9：三角函数的平移变换问题 · 题型10：三角恒等式变换 · 题型11：三角恒等式变换与平面向量问题 · 题型12：：边角互化 · 题型13:判断三角形的形状问题 · 题型14：利用基本不等式求范围问题 · 题型15：利用三角函数值域求范围问题 · 题型16：三角函数和解三角的综合性问题 【题型归纳】 题型1：三角函数定义的应用 1．（2025高三·全国）已知角的终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点．若点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，为角的终边上一点，将角的终边绕原点按顺时针方向旋转后得到角，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型2：商数关系和平方关系求值 4．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知为第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江西鹰潭·二模）若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 题型3：齐次化求值 7．（2025·云南昭通·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山东·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·安徽六安）已知，则（   ） A． B． C． D．2 题型4：弦切互化法求值 10．（2025高三·全国）已知，且，则（    ） A． B． C． D．1 11．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型5：整体代入化求三角函数的单调性、对称轴等问题 13．（2025·天津河北·二模）已知函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列结论： ①；    ②当时，； ③函数的单调递减区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2025·宁夏·一模）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·新疆·二模）已知函数，若方程在的解为，且，则（   ） A． B． C． D． 题型6：代入法妙解三角函数性质问题 16．（24-25高三下·天津和平）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则以下结论错误的是（    ） A．为奇函数 B．的图象关于点对称 C．在上单调递减 D．在上恰有50个零点 17．（2025·天津和平·一模）关于函数，下面结论成立的是（    ） A．在区间上的最大值为 B．在区间上单调递增 C． D．的图象关于点对称 18．（2025·天津·模拟预测）已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（   ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 题型7：图像化或换元法求三角函数最值问题 19．（2025·河北·三模）若函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高三下·河北石家庄）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（2024·天津·二模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若相邻两条对称轴的距离为，则； B．若，则时，的值域为； C．若在上单调递增，则； D．若在上恰有2个零点，则. 题型8：三角函数的参数问题 22．（2025·广东清远·二模）已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·天津河西·一模）已知函数图象的一条对称轴是，且在上有且仅有两个对称中心，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 24．（2025·江苏·模拟预测）设函数（，）的最小正周期为，将的图象向左平移个单位后关于原点对称，且在区间内的零点与极值点恰好共有4个，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型9：三角函数的平移变换问题 25．（2025·辽宁·二模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数，将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高三下·湖北武汉·阶段练习）将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（    ） A． B． C． D． 题型10：三角恒等式变换 28．（2025·河北沧州·模拟预测）的值为（   ） A． B． C． D． 29．（2025·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且，，则（   ） A． B． C． D． 30．（2025·安徽·一模）如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端恰好可以围成一个正八边形，设，则（    ） A．-3 B． C． D． 题型11：三角恒等式变换与平面向量问题 31．（2025高三·全国）已知 ， 其中 ， 设 与 的夹角为 .与 的夹角为 ，若， 则 =（    ）. A． B． C． D． 32．（2024·江西·模拟预测）已知向量，其中，，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高三上·江西赣州·期中）已知，若函数在区间上恰好有2025个最大值，2025个最小值，则实数的取值范围是（    ） A．B． C． D． 题型12：：边角互化 34．（2025·江西鹰潭·二模）在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（2025·江西宜春·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 36．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型13:判断三角形的形状问题 37．（24-25高三上·江苏扬州）在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 38．（2024·山东·二模）在中，设内角的对边分别为，设甲：，设乙：是直角三角形，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 39．（2024·四川成都·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出以下4个命题： （1）若，则； （2）若，则一定为直角三角形； （3）若，，，则外接圆半径为； （4）若，则一定是等边三角形. 则其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型14：利用基本不等式求范围问题 40．（24-25高三下·湖南长沙）在中，，，分别是角，，的对边，若且． (1)求； (2)设角的平分线交边于点，求长度最大值． 41．（2025·山东·模拟预测）已知向量，向量，与垂直，，B，C为的内角，且A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)求A； (2)若角A的平分线交BC于点D，，求AD的最大值. 42．（2025·贵州铜仁·三模）已知在中，，其中内角的对边分别为． (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的最大值． 题型15：利用三角函数值域求范围问题 43．（2025·河南新乡·二模）的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，求内切圆的半径； (3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值. 44．（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，求周长的取值范围． 45．（2025·新疆喀什·模拟预测）的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 题型16：三角函数和解三角的综合性问题 46．（2025·河北秦皇岛·二模）已知锐角三角形的内角所对的边分别为，且满足． (1)求； (2)若，求的取值范围． 47．（2025·安徽安庆·模拟预测）在中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点在边上，且，. (1)求； (2)若，点在线段上，当为锐角三角形，求的取值范围. 48．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为. (1)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. (2)对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 【高考达标】 一、单选题 1．（2025·浙江·二模）在中，角所对的边分别为．已知成等差数列，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江金华·二模）某美妙音乐的模型函数为，则关于该函数下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．最大值为 3．（2025·湖南常德·一模）已知，则（    ） A． B．7 C． D． 4．（2025·河北石家庄·一模）如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·二模）在等边三角形中，D、E、F分别在边上，且．则三角形面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽安庆·模拟预测）下列关于函数说法正确的是（    ） A．是函数图象的一个对称中心 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．直线是函数图象的一条对称轴 7．（2025·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知，边上一点使得，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 8．（2025·天津·一模）函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·安徽·三模）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上仅有2个零点 10．（2025·吉林·三模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．在上恰有3个零点 D．若在上单调递增，则的最大值为 11．（2025·黑龙江大庆·三模）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位 B．函数的图象关于对称 C．函数在区间上单调递减 D．若，且，则 12．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的有（     ） A．为函数的最小正周期 B．函数的图象关于对称 C．函数的值域为 D．当时，函数有5个零点 13．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的图象与轴正半轴的交点的横坐标从左到右构成一个公差为的等差数列，且（ 是的导函数），若关于的不等式在上恒成立，则实数的值可能是（    ） A．0 B． C． D． 14．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数，其最小值为，，，且的最小值为，则（   ） A． B．的图象在区间内只有2个对称中心 C．的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 三、填空题 15．（2025·河南·二模）已知是第三象限角，，则 . 16．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，，则的最大值为 . 17．（2025·山东济南·二模）已知的内角的对边分别为，已知，则 ；若，则面积的最大值为 ． 18．（2025·山西晋城·二模）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是 ． 19．（2025·浙江台州·二模）如图，已知在中，，，，是线段上的动点，、是线段上的动点（在的右侧），且四边形是正方形，则线段长度的最小值是 ． 四、解答题 20．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平面四边形ABCD中，． (1)若，求CD的长； (2)设，将表示成的函数，并求的取值范围． 21．（2025·山东·模拟预测）如图，在中，，点是边上的两点，点在之间，． (1)求的值； (2)若，，求的值． 22．（2025·四川达州·二模）已知的内角的对边分别为为中点，． (1)证明：为等腰三角形； (2)若的面积，求； (3)若，求周长的最小值． 23．（2025·四川达州·模拟预测）已知函数，其中，若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，且是偶函数. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)在中，角所对的边分别为，已知且，若是的中点，求的最大值. 24．（2025·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且满足. (1)求； (2)若是边上一点，且满足，，求的最大值. 25．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求； (2)已知是边上的点，，，求的最小值. 26．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图，在中，，，点E，F在边上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且，. (1)若，求的值； (2)试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲：三角函数和解三角形 【题型归纳】 · 题型1：三角函数定义的应用 · 题型2：商数关系和平方关系求值 · 题型3：齐次化求值 · 题型4：弦切互化法求值 · 题型5：整体代入化求三角函数的单调性、对称轴等问题 · 题型6：代入法妙解三角函数性质问题 · 题型7：图像化或换元法求三角函数最值问题 · 题型8：三角函数的参数问题 · 题型9：三角函数的平移变换问题 · 题型10：三角恒等式变换 · 题型11：三角恒等式变换与平面向量问题 · 题型12：：边角互化 · 题型13:判断三角形的形状问题 · 题型14：利用基本不等式求范围问题 · 题型15：利用三角函数值域求范围问题 · 题型16：三角函数和解三角的综合性问题 【题型归纳】 题型1：三角函数定义的应用 1．（2025高三·全国）已知角的终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义可得，进而由商数关系可求． 【详解】∵角的终边与单位圆交于点， ∴， 则. 故选：B． 2．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点．若点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的坐标可求出圆的半径和，再根据点在圆上移动的距离可求出的大小，然后由结合两角和的余弦公式可求得结果. 【详解】因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点， 所以圆半径， 所以， 因为点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点， 所以， 所以 . 故选：B 3．（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，为角的终边上一点，将角的终边绕原点按顺时针方向旋转后得到角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义，结合弦切互化和诱导公式即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以 故选：D 题型2：商数关系和平方关系求值 4．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知为第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设结合求出，，将化简代入即可. 【详解】因为，，所以， 因为为第四象限角，所以， 所以 . 故选：B. 5．（2025·江西鹰潭·二模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角的三角函数关系结合已知建立方程，解出的正余弦，再由两角和的正弦公式求解即可. 【详解】，即， 整理可得， 因为，，所以， 所以. 故选：A 6．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和与差的正、余弦公式化简可得，再由同角三角函数的基本关系和两角和的正切公式可求出，两式联立即可得出答案. 【详解】因为， 所以，分子分母同时除以，得①， 由于，所以所以, 所以，所以， 即，分子分母同时除以得， ， 代入①得：，解得. 故选：D. 题型3：齐次化求值 7．（2025·云南昭通·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得. 【详解】因为， 所以 ． 故选：C． 8．（2025·山东·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合诱导公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系化简，再代值计算即可求解. 【详解】 . 故选：C. 9．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简条件等式可求，再利用齐次化方法求结论. 【详解】， 所以， 所以， 又， 所以. 故选：A. 题型4：弦切互化法求值 10．（2025高三·全国）已知，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系计算即可得解. 【详解】方法一：因为， 所以， 解得或． 因为，所以， 所以． 方法二：因为，所以， ， ， 所以，， 解得，， 所以． 故选：A． 11．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数之间的关系得到，再利用二倍角公式得到以及的值，最后根据两角差的余弦公式得到结果. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以，， 即． 故选：B． 12．（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角差的正弦公式同角关系将条件转化为关于，的方程组，解方程求，，再结合两角和正弦公式求结论. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：D. 题型5：整体代入化求三角函数的单调性、对称轴等问题 13．（2025·天津河北·二模）已知函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列结论： ①；    ②当时，； ③函数的单调递减区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据图象，求出函数的解析式，在结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案. 【详解】由图象可知：，. 由，又，所以. 所以. 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②正确； 由，，， 所以函数的单调递减区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到的图象，故④错误. 故选：C 14．（2025·宁夏·一模）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换得，再求出其单调区间即可. 【详解】， 令， 解得，所以其单调递增区间为. 故选：A. 15．（2025·新疆·二模）已知函数，若方程在的解为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的图像和性质，先求出在的一条对称轴及与轴的两个交点，再由图像的对称性得到的关系及的范围，利用，把转化成即可求解. 【详解】因为，所以， 所以当时，解得即为在的一条对称轴, 当时，解得或， 即或为在与轴的两个交点， 又因为是方程在的解， 所以由图像的对称性可知，， 且，所以， 所以. 又因为，， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题有两个关键点： 关键一：由图像的对称性得到， 关键二：利用，把转化成. 题型6：代入法妙解三角函数性质问题 16．（24-25高三下·天津和平）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则以下结论错误的是（    ） A．为奇函数 B．的图象关于点对称 C．在上单调递减 D．在上恰有50个零点 【答案】C 【分析】根据图象变换求得的解析式，再根据三角函数奇偶性、对称性、单调性以及零点个数的判断方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变， 得到函数的图象. 对A：，函数定义域为， 又，故为奇函数，A正确； 对B：，故关于对称，B正确； 对C：当时，，因为函数在单调递增， 所以在单调递增，C错误； 对D： ，当时，则， 故只需考虑，在上的零点个数， 又，结合正弦函数的图象， 可知在上共有个零点，D正确. 故选：C. 17．（2025·天津和平·一模）关于函数，下面结论成立的是（    ） A．在区间上的最大值为 B．在区间上单调递增 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】根据的范围计算的整体范围，求出函数的最大值，从而判断A；将变换为，根据所给范围以及复合函数单调性可判断B；化简可判断C选项；根据正弦函数的对称性求出函数的对称中心可判断D. 【详解】解：A选项：因为，所以，则， 即在区间上的最大值为.故A不正确； B选项：因为，则，所以在上单调递增， ，所以在上单调递减，故B不正确； C选项：，故C不正确； D选项：当时，，所以为的图象的对称中心，故D正确. 故选：D 18．（2025·天津·模拟预测）已知函数和的图象的对称轴完全相同，令，则下列结论错误的是（   ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 【答案】D 【分析】根据已知及正余弦函数的对称性得到、，进而有，再由正弦型函数的性质依次判断各项的正误，即可得答案. 【详解】令，则为的对称轴方程， 令，则为的对称轴方程， 由与的对称轴完全相同，则，即对称轴为， 所以且，则， 所以，其最小正周期，故也是一个周期，A对； ，故的图象关于直线对称，B对； ，当有， 所以的一个零点为，C对； ，则，显然在给定区间内不单调，D错. 故选：D 题型7：图像化或换元法求三角函数最值问题 19．（2025·河北·三模）若函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式化简，结合的范围，求在轴右侧的相邻三根，根据题意可得的不等关系，求解的范围，从而求出的范围，根据正弦函数的单调性即可求出结果. 【详解】， 令得：， 因为，所以， 则在轴右侧方程的相邻三根依次为，解得， 由题意可知，即， 故得，即的取值范围是. 故选：B. 20．（24-25高三下·河北石家庄）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相位整体思想来解决三角函数单调性问题和三角函数值非负问题，可得到相位的范围，结合不等式来求解，再利用分类讨论可求出交集即可. 【详解】由已知可知， 由，解得， 因为在上单调递增，所以， 即，解得①， 此时，解得； 又因为在上，恒成立，所以， 解得，由于， 所以，解得②， 此时，解得，又因为，所以 当时，由①②可知，解得； 当时，由①②可知解得， 所以的取值范围为. 故选:B. 21．（2024·天津·二模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若相邻两条对称轴的距离为，则； B．若，则时，的值域为； C．若在上单调递增，则； D．若在上恰有2个零点，则. 【答案】D 【分析】将化简为，再根据选项逐一判断即可. 【详解】 ， 对于A：若相邻两条对称轴的距离为，则最小正周期为，故，选项A不正确； 对于B， 若，则， 当时，的值域为，选项B不正确； 对于C：若在上单调递增，则，选项C不正确； 对于D：，则，若在上恰有2个零点， 则，则，选项D正确. 故选：D. 题型8：三角函数的参数问题 22．（2025·广东清远·二模）已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简后，根据正弦函数的图象与性质列出不等式求解即可. 【详解】因为， 且当时，， 因为函数在内恰有3个最值点和3个零点， 所以，解得， 故选：D． 23．（2025·天津河西·一模）已知函数图象的一条对称轴是，且在上有且仅有两个对称中心，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的对称性可得出，解出的表达式，由可求出的取值范围，结合题意可得出关于的不等式，解出的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式. 【详解】因为函数图象的一条对称轴是， 则，解得， 当时，， 因为函数在上有且仅有两个对称中心，则，解得， 故，所以， . 故选：B. 24．（2025·江苏·模拟预测）设函数（，）的最小正周期为，将的图象向左平移个单位后关于原点对称，且在区间内的零点与极值点恰好共有4个，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据图象变换结合对称性可得，以为整体，结合正弦函数性质分析求解即可. 【详解】因为，则， 将的图象向左平移个单位，可得， 若的图象关于原点对称， 则，即， 且，可得，所以， 又因为，则， 由题意可得：，解得， 且，所以. 故选：C. 题型9：三角函数的平移变换问题 25．（2025·辽宁·二模）将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据在上有两个零点列出不等式组，解出取值范围即可． 【详解】由题可知，， 当时，， 因为函数在上有两个零点， 所以，解得， 故选：A． 26．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数，将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移变换求出的解析式，再利用对称性求出. 【详解】依题意，， 由的图象与的图象关于轴对称，得对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因此，解得，而， 则. 故选：B 27．（24-25高三下·湖北武汉·阶段练习）将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的平移变换求解即可. 【详解】函数向左平移个单位长度， 得到， 横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 向上平移1个单位长度，得到， 纵坐标变为原来的3倍，得到， 则，又， 解得， 则. 故选：A. 题型10：三角恒等式变换 28．（2025·河北沧州·模拟预测）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式即可求解. 【详解】． 故选：A． 29．（2025·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用以及两角和差的余弦公式化简即可求得，再根据角的范围求得，进而求出角. 【详解】 ， 则 ， 则， 因，则，则，则，得，，故. 故选：A. 30．（2025·安徽·一模）如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端恰好可以围成一个正八边形，设，则（    ） A．-3 B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件，解三角形求，，再结合两角和正切公式求结论. 【详解】连接， 设线段与的交点为，线段与线段的交点为， 因为，所以，又， 所以， 设，则， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：D. 题型11：三角恒等式变换与平面向量问题 31．（2025高三·全国）已知 ， 其中 ， 设 与 的夹角为 .与 的夹角为 ，若， 则 =（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积结合角的范围可得和，再根据求出即可求解. 【详解】由题知， ，，，. 又，. 同理，， ，，，. 又，. .，，. . 故选：A. 32．（2024·江西·模拟预测）已知向量，其中，，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直，可得数量积为零，然后结合二倍角公式、弦化切、正切的两角和公式化简，再用换元，结合基本不等式即可求出结果. 【详解】由题知，， 则， 即， 因为，所以，则， 所以，则， 整理得， 令，因为，所以，，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题决的关键是利用三角恒等变换将转化为关于的表达式，从而得解. 33．（24-25高三上·江西赣州·期中）已知，若函数在区间上恰好有2025个最大值，2025个最小值，则实数的取值范围是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据向量数量积的坐标公式得到函数的解析式，再将函数的解析式化简为，最后由计算出的取值范围，根据题意可得出关于实数的不等式组，进而可解得实数的取值范围. 【详解】根据题意可得： 由于，可得：， 由于函数恰好有2025个最大值，2025个最小值， 则，解得. 故选：A 题型12：：边角互化 34．（2025·江西鹰潭·二模）在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合两角差的余弦公式化简，应用锐角三角形得出角的范围，再应用正切的值域求出高的范围. 【详解】在中，由正弦定理，可得， 由可得：，所以，所以， 又因为，所以，所以，， 又因为三角形为锐角三角形，所以，所以， 在中，由正弦定理可得：，即，故有， 因为，所以，，所以， 所以，又因为边上的高，所以． 故选：B. 35．（2025·江西宜春·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正、余弦定理和三角的恒等变换的化简计算即可求解. 【详解】由题意知，， 由余弦定理得， 由正弦定理得， 即， .又， 所以，得，所以， 所以. 故选：A 36．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得；利用正弦定理边化角整理可求得，利用二倍角正切公式化简所求，可得关于的函数的形式，结合的范围可求得结果. 【详解】，由正弦定理得：，即， 由余弦定理知：，， ，即， 由正弦定理得：， ， 整理可得：， 为锐角三角形，，，， ，即， ， ， ，，，， ，，， 即的取值范围为. 故选：C. 题型13:判断三角形的形状问题 37．（24-25高三上·江苏扬州）在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（    ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【分析】先化简应用两角和差的正弦公式，再应用正弦定理结合余弦定理得出，最后得出边长关系即可判断三角形形状. 【详解】由得：，且， ，且， ， ， 化简整理得：，即， 或，又， 是直角三角形但一定不是等腰三角形． 故选：． 38．（2024·山东·二模）在中，设内角的对边分别为，设甲：，设乙：是直角三角形，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】D 【分析】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化简命题甲，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】在中，由正弦定理及，得， 即，整理得， 由正弦定理得，则或，即或， 因此甲：或，显然甲不能推乙； 乙：是直角三角形，当角或是直角时，乙不能推甲， 所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 故选：D 39．（2024·四川成都·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出以下4个命题： （1）若，则； （2）若，则一定为直角三角形； （3）若，，，则外接圆半径为； （4）若，则一定是等边三角形. 则其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用正弦定理得到和的大小关系，再利用倍角公式可以比较和，进而判断（1）；利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式求角，判断（2）；利用余弦定理求出，再利用同角三角函数关系得，由正弦定理可以得到外接圆半径；根据三角形内角的范围和余弦值的范围可以对（4）进行判断. 【详解】（1）若，则，则， 则，即，故（1）是真命题； （2）若，由正弦定理得， 又因为，所以， 即整理可得， 因为，所以，所以，因为，故， 所以一定为直角三角形，故（2）是真命题； （3）若，，，由余弦定理得，则， 由正弦定理得，故外接圆半径，故（3）是假命题； （4）若，则， 则，从而，则一定是等边三角形，故（4）是真命题； 综上，真命题有3个. 故选：C. 题型14：利用基本不等式求范围问题 40．（24-25高三下·湖南长沙）在中，，，分别是角，，的对边，若且． (1)求； (2)设角的平分线交边于点，求长度最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简等式，结合正弦定理即可求出； （2）利用角平分线得出面积关系，结合余弦定理求出的表达式，利用基本不等式即可求出长度最大值. 【详解】（1）由题意，∵， ∴， 整理得：， ∵，∴，∴，又，∴， 由正弦定理得：，∴， ∵，∴，即， ∵，∴. （2）由题意及（1）得， 由几何知识得，， ∵， ， ∴，解得：， 由余弦定理得：， 即，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴（当且仅当时取等号） ∴， ∴的最大值是． 41．（2025·山东·模拟预测）已知向量，向量，与垂直，，B，C为的内角，且A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)求A； (2)若角A的平分线交BC于点D，，求AD的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，再结合余弦定理可得，即可得结果； （2）根据题意结合面积关系可得，再利用基本不等式分析求解. 【详解】（1）因为与垂直，所以， 由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得， 且，所以. （2）因为为的角平分线，则， 由可得 整理得，又因为， 可得 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 42．（2025·贵州铜仁·三模）已知在中，，其中内角的对边分别为． (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为18 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，故； （2）由余弦定理得，由基本不等式求出最大值 【详解】（1）由正弦定理（为外接圆半径）， 将，代入， 可得， 化简后得到，即． 根据余弦定理，把代入可得． 因为，所以； （2）在中，根据余弦定理． 因为为中点，设，已知， 则，即． 根据基本不等式（当且仅当时取等号）． 所以，即，当且仅当时取等号． 将代入，可得， 解得，，满足条件，所以的最大值为18． 题型15：利用三角函数值域求范围问题 43．（2025·河南新乡·二模）的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，求内切圆的半径； (3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知及正弦边角关系得，再由余弦定理求角的大小； （2）由及面积公式得、，再由内切圆半径即可得； （3）设，，进而得到、，最后有即可求最大值. 【详解】（1）因为， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以. （2）由（1）知，代入数据得. 因为的面积， 所以内切圆的半径. （3）如图，设，，则，且. 因为，所以. 由正弦定理得，所以， 所以，其中， 故的最大值为. 44．（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，整理成余弦定理的推论，求出的值即可求解； （2）利用正弦定理表示出，再利用辅助角公式结合正弦型三角函数的性质求范围即可． 【详解】（1）在锐角三角形中，因为， 所以由正弦定理得， 故，即，即，即， 所以，即， 由余弦定理得，因为，所以． （2）因为，由正弦定理， 所以，， 设的周长为， 则 ， 因为在锐角三角形中，所以，， 所以，解得， 所以，所以， 故，则，即， 故周长的取值范围为． 45．（2025·新疆喀什·模拟预测）的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理，边化角结合二倍角公式求出，得解； （2）根据三角形面积公式，正弦定理可得，结合，进而求出面积的取值范围. 【详解】（1）因为，则，又， 所以，则， 又，所以， 因为，解得． （2）因为是锐角三角形，又， 所以， 所以 ， 因为，所以，则， 从而， 故面积的取值范围是. 题型16：三角函数和解三角的综合性问题 46．（2025·河北秦皇岛·二模）已知锐角三角形的内角所对的边分别为，且满足． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理整理得等式，根据同角三角函数的商式关系，结合正弦函数，可得答案； （2）由正弦定理以及三角函数恒等式，整理函数解析式，换元，结合二次函数性质，可得答案. 【详解】（1）由， 根据正弦定理，得， 由，，则， 即，而，故, 又，所以. （2）由正弦定理，且，则，， 由， 则 ， 由，则，即， 可得， 令，则， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， ，，，所以. 47．（2025·安徽安庆·模拟预测）在中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，点在边上，且，. (1)求； (2)若，点在线段上，当为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面积公式得到，再由求出，即可得解； （2）首先求出，设，在中利用正弦定理将，转化为关于的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出的范围，再求出函数的值域，即可得解. 【详解】（1）∵， ∴记点到的距离为，则， ∴，，， ∴． ∴，又，∴． （2）由（1）知，，，∴． 设． 在中，由正弦定理可得， ∴，则，， ∴ ∵为锐角三角形，，解得， 又，在均为递增函数，且函数值均为正数， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 当时， 当时，所以， 故． 48．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为. (1)若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. (2)对任意的，皆有成立，且该函数在区间上不存在最小值，求函数在的单调区间. 【答案】(1) (2)函数在单调递减，在单调递增 【分析】（1）由已知可得，由此解得的值，通过验证可得，然后根据余弦定理和面积公式即可求解； （2）由已知可得，又函数在无最小值，可得，再根据三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得或， 所以或， 若，则，不符；所以， 所以，所以， 由， 得，所以， ； （2）由，得，所以，， 令，因为，所以， 又函数在无最小值，所以函数的最小正周期,所以， 所以，则，此时，符合题意， 所以， 令，所以， 当时，， 因为， 所以在单调递减，在单调递增. 【高考达标】 一、单选题 1．（2025·浙江·二模）在中，角所对的边分别为．已知成等差数列，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，可求得，设所成等比数列得公比为，则，，由正弦定理可得，，结合平方关系，解得，即可求解角A，从而得解. 【详解】因为在中，成等差数列，所以， 又，所以， 设所成等比数列得公比为，则 ，， 由正弦定理可得， 整理可得，， 又，即， 整理可得， 所以解得，故，于是，所以， 故选：D. 2．（2025·浙江金华·二模）某美妙音乐的模型函数为，则关于该函数下列说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．最大值为 【答案】C 【分析】应用周期的定义可判断A；用奇函数和偶函数的定义可判断B；应用求导判断C；特值分析判断D. 【详解】A选项：，A选项错误； B选项：，B选项错误； C选项：，当时，，，，函数单调递增，C选项正确； D选项：，当时，，此时，，，即三项无法同时取到最大值，D选项错误. 故选：C. 3．（2025·湖南常德·一模）已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【分析】先利用条件求出，然后可得答案. 【详解】因为，所以， 由和差化积公式可得， 因为，所以， 由， 可得，所以. 故选：C 4．（2025·河北石家庄·一模）如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先在中应用余弦定理求出再根据同角关系求出，然后在中应用正弦定理即可求出的值. 【详解】在中，由余弦定理得：， 又因为，所以， 在中，由正弦定理得：，即，解得. 故选：D 5．（2025·辽宁·二模）在等边三角形中，D、E、F分别在边上，且．则三角形面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知，引入来表达，且据勾股定理可求出，则在和中，分别用正弦定理可表达，即可表达面积，从而分析最值. 【详解】设， ， ， ， 在中，，即， ， 同理，在中，， 的边长， 其中， 时，取得最大值为， . 故选：A. 6．（2025·安徽安庆·模拟预测）下列关于函数说法正确的是（    ） A．是函数图象的一个对称中心 B．的值域为 C．在区间上单调递减 D．直线是函数图象的一条对称轴 【答案】B 【分析】令，求出相应的的取值范围，即可化简的解析式，从而求出的取值范围，类似的求出时的取值范围，即可求出的值域，画出函数图象，结合图象判断即可. 【详解】令，即，解得； 所以当时， 由，所以， 所以； 令，即，解得； 所以当时， 由，所以， 所以； 综上可得， 且的值域为，故B正确； 作出函数的大致图象： 由图可知不是中心对称图形，即没有对称中心，故A错误； 因为，，， 由图可知在上单调递减，在上单调递增， 则在上不单调，故C错误； 的对称轴为，故D错误； 故选：B 7．（2025·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知，边上一点使得，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】先根据建立等式，再结合基本等式计算即可求解. 【详解】因为，所以， 因为， 即，即， 所以， 故，当且仅当时，等号成立. 故选：C. 8．（2025·天津·一模）函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，令，则与在上有两个交点，分析的单调性，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为 ， 令，依题意与在上有两个交点， 由，则， 令，解得，所以在上单调递减， 且，； 令，解得，所以在上单调递增，且； 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：C 二、多选题 9．（2025·安徽·三模）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上仅有2个零点 【答案】ABD 【分析】根据正弦函数和余弦函数的特殊值、周期性、单调性、值域，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为，所以且，所以， 故的定义域为，故A正确； 对于B，因为函数和的最小正周期均为， 所以的最小正周期为，故B正确； 对于C，因为函数在区间，上单调递减， 函数在区间上均单调递减，且值域为； 函数在区间上均单调递减，且值域为. 所以函数与在区间上均单调递增， 则在区间上单调递增，故C项错误； 对于D，令，则，解得， 在区间上有2个解，故D项正确． 故选：ABD． 10．（2025·吉林·三模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．在上恰有3个零点 D．若在上单调递增，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据周期函数的定义判断即可；对于B，通过计算判断方程是否成立即可；对于C，根据的函数解析式以及函数图象即可判断；对于D，根据的图象和单调性可求的最大值. 【详解】①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， 因此，，. 所以函数的图象，如图所示： A选项：因为 ，所以的周期为，故A正确； B选项：因为 ， 所以的图象关于对称，故B正确； C选项：由的函数解析式以及函数图像可知： 当时，，当时，，当时，， 所以在上有无数个零点，故C错误； D选项：由，，得， 因为在上单调递增，所以由的图象可知， 解得，则的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 11．（2025·黑龙江大庆·三模）下列关于函数的说法正确的是（    ） A．要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位 B．函数的图象关于对称 C．函数在区间上单调递减 D．若，且，则 【答案】BD 【分析】根据三角函数的图象变换、对称轴、单调性以及周期的相关知识，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A选项，函数图象平移遵循“左加右减”原则.右移个单位，变为，得到，与选项描述不符，所以A错误. 对于B选项，若函数图象关于对称，则取最值.，，是函数最大值，所以函数图象关于对称，B正确. 对于C选项，已知，则.正弦函数在包含的区间不单调，此区间含，所以函数在该区间不单调，C错误. 对于D选项，正弦函数周期，中，. ，即取最小值，相邻最小值间距离是一个周期，所以，D正确. 故选：BD. 12．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的有（     ） A．为函数的最小正周期 B．函数的图象关于对称 C．函数的值域为 D．当时，函数有5个零点 【答案】ABD 【分析】由代入检验，根据正弦函数的对称性与周期性，可得AB的正误；由升幂公式与绝对值定义，化简函数解析式，结合正弦与余弦的函数性质，可得C的正误；由方程与函数的关系，结合三角函数的图象，作图，可得D的正误. 【详解】因为，故B正确； 因为， 因为， 所以为函数的一个周期， 又， 因为， 当时，单调递增，当时，单调递减，结合选项B可得函数的大致图象，结合图象故A正确； 经分析可知，，所以，故C错误； 结合和图象易知两个图象有5个交点，故D正确.    故选：ABD. 13．（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的图象与轴正半轴的交点的横坐标从左到右构成一个公差为的等差数列，且（ 是的导函数），若关于的不等式在上恒成立，则实数的值可能是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】AD 【分析】先根据三角函数的图象和性质求出的解析式，令，问题转化为二次函数的恒成立问题，求解得的范围. 【详解】由题意可得的周期，即，所以， 由，得， 又，解得，，所以. 当时，，则，故， 令，则在上恒成立，即， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 而，所以，所以. 故选：AD. 14．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数，其最小值为，，，且的最小值为，则（   ） A． B．的图象在区间内只有2个对称中心 C．的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．当时，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据的最小值求出，再根据对称中心求出初相位，结合代入检验法判断A，求出零点后判断B，利用图象平移求出平移后函数的图象后可判断C的正误，求出的值域后可判断D的正误. 【详解】依题意，，因为，所以的图象关于直线对称， 又因为，所以的图像关于点对称， 又的最小值为，所以的周期为，所以， 又，所以， 令满足，所以， 对于A选项，因为， 即当时，取得最小值，所以A选项正确； 对于B选项，令，则， 当时，， 当时，， 当时，，所以B选项正确； 对于C选项，， 所以C选项不正确； 对于D选项，因为，所以， 所以，不等式等价于， 即，所以，所以D选项正确， 故选：ABD 三、填空题 15．（2025·河南·二模）已知是第三象限角，，则 . 【答案】 【分析】先根据条件求出，的值.法1：根据求值； 法2：根据求出的值，再求的值. 【详解】法1：因为，所以，因为是第三象限角，所以，则. 法2：因为，所以，因为是第三象限角，所以，则，所以 16．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据两角和的正弦公式结合同角三角函数关系得出，再应用两角差的正切公式结合基本不等式得出最大值. 【详解】因为， 所以， 即， 即，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，取得最大值. 故答案为：. 17．（2025·山东济南·二模）已知的内角的对边分别为，已知，则 ；若，则面积的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】（1）法一：利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；法二：利用正、余弦定理边角转化分析求解； （2）法一：利用余弦定理结合三角形面积公式可得，结合同角三角函数的基本关系可得，最后利用换元法结合二次函数求最值求解即可；法二：建立平面直角坐标系，设，根据题设可得建立的关系式，从而求出点 的轨迹为一个圆，从而可分析求解. 【详解】（1）法一：因为， 可得， 由正弦定理可得： 所以； 法二：因为，由正弦定理可得， 由余弦定理得： 化简得：，即，所以. （2）方法一：可得， 由余弦定理可得， 且， 所以 所以，即时，的最大值为3，所以面积的最大值为． 方法二：以AB边所在直线为x轴，以边AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 则，设， 因为，所以，化简得：， 即顶点C在以为圆心，以为半径的圆（除去与x轴的交点）上， 所以的AB边上的高最大值为， 所以面积的最大值为． 故答案为：2； 18．（2025·山西晋城·二模）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用整体代换可得，再利用数形结合将零点个数转化为函数图象交点个数，解不等式可得结果. 【详解】令，得． 又，则． 令，因为函数在区间上有且仅有4个零点， 所以的图象与直线在上有且仅有4个交点， 如下图所示： 由图可知，解得， 即的取值范围是． 故答案为： 19．（2025·浙江台州·二模）如图，已知在中，，，，是线段上的动点，、是线段上的动点（在的右侧），且四边形是正方形，则线段长度的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】利用余弦定理可求得，设，则，，，然后在中，利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，则， 设，则，，， 由题意可得，即，可得， 因为，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即，当且仅当时，等号成立，即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 20．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平面四边形ABCD中，． (1)若，求CD的长； (2)设，将表示成的函数，并求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用余弦定理可得，求解即可； （2）在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，进而可得，可求的取值范围． 【详解】（1）由余弦定理， 即， 或． （2）， ． 在中，由正弦定理得， 即． 在中，， 即， ， 即， ． 21．（2025·山东·模拟预测）如图，在中，，点是边上的两点，点在之间，． (1)求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，得到，求得，进而求得的值； （2）由余弦定理，求得，得到，再由，求得，利用余弦定理求得，得到，结合，即可求解． 【详解】（1）解：因为，且， 所以，可得， 即，所以． （2）解：因为，，， 所以， 又因为，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以． 22．（2025·四川达州·二模）已知的内角的对边分别为为中点，． (1)证明：为等腰三角形； (2)若的面积，求； (3)若，求周长的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）根据正弦定理：. 再由余弦定理：， 所以， 所以或即. 因为不成立，所以只有.所以为等腰三角形. （2）如图： 设，则， 所以， 又， 所以，又为锐角，所以. 所以. （3）由题意，. 所以的周长为：， 因为，在上均为增函数， 所以， 即周长的最小值为：. 23．（2025·四川达州·模拟预测）已知函数，其中，若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，且是偶函数. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)在中，角所对的边分别为，已知且，若是的中点，求的最大值. 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）先由二倍角的正弦，降幂公式，辅助角公式，以及图象平移的性质得到，再由偶函数的性质求出表达式，然后整体代入求解正弦函数的单调递减区间即可； （2）先由正弦函数的最值求出，然后由余弦定理得到，最后再由向量的数量积和模长的计算求出. 【详解】（1）因为， 所以. 因为是偶函数， 所以. 又，所以， 所以. 因为， 所以的单调递减区间是. （2）因为， 所以，即. 又，所以， 所以，解得. 由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以，则的最大值是. 24．（2025·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且满足. (1)求； (2)若是边上一点，且满足，，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角及两角和的正弦公式可得，根据辅助角公式结合角的范围可得结果. （2）根据条件可得，两边同时平方结合基本不等式可得结果. 【详解】（1）∵，∴， ∵， ∴， ∴. ∵，∴， ∴，即，故. ∵，∴， ∴，故. （2） ∵，∴， ∴，即. ∵，， ∴，即. ∴，即， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最大值为. 25．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求； (2)已知是边上的点，，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解即可； （2）先根据面积公式列式得出，最后应用基本不等式计算求解最小值即可. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 整理得，由余弦定理得， 而，所以. （2）如图： 由，得，则，即， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 26．（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图，在中，，，点E，F在边上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且，. (1)若，求的值； (2)试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先由余弦定理求出，再由正弦定理求出，继而在中，利用正弦定理即可求得； （2）利用正弦定理求出，代入三角形面积公式，经三角恒等变形得，根据正弦函数的图象性质即可求得面积的最小值. 【详解】（1）由题意可得，， 在中，由余弦定理 ，即， 又由正弦定理，，则， 因，所以. 在中，，由正弦定理，，所以. （2）在中，由正弦定理，， 则， 在中，由正弦定理，， 则， 故的面积 . 因为，所以，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以时，的面积最小，且最小值为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$