第02讲：导数及其应用【十二大题型】-2025届高考数学考前核心考点题型三轮冲刺精讲精练（新高考地区）

第02讲：导数及其应用 【题型归纳】 · 题型1：导数的概念和几何意义 · 题型2：导数研究函数的单调性问题 · 题型3：利用导数研究函数的极值 · 题型4：利用导数研究函数的最值 · 题型5：导数和恒（能）成立问题 · 题型6：利用导数解决方程的根问题 · 题型7：利用导数解决零点问题 · 题型8：利用导数研究双变量问题 · 题型9：参数分离解决导数问题 · 题型10：构造函数法解决函数问题 · 题型11：利用二次求导解决函数问题 · 题型12：导数的不等式问题 【题型探究】 题型1：导数的概念和几何意义 1．（2025·四川·三模）已知直线是曲线的一条切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线在点处的切线与直线平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（   ） A． B． C． D． 题型2：导数研究函数的单调性问题 4．（2025·湖南永州·三模）若函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，，当时，，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型3：利用导数研究函数的极值 6．（24-25高三下·江苏南京）已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北·模拟预测）已知函数，，若函数在上有两个不同的极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为 . 9．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若在有唯一的极值点且为极大值点，则a的取值范围为 . 题型4：利用导数研究函数的最值 10．（2025·辽宁·二模）设函数．若在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 11．（2025·江西赣州·一模）若a，，自然对数的底数为e，则的最小值为 ． 12．（2025·天津·一模）已知，函数若关于的方程，恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 ． 题型5：导数和恒（能）成立问题 13．（2025·江西宜春·二模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·河南郑州·二模）已知函数，，有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型6：利用导数解决方程的根问题 16．（2025·甘肃白银·模拟预测）若为方程的根，则（   ） A． B． C．2 D．4 17．（2025·河北保定·一模）函数有且只有三个零点，则的取值可以是（   ） A．3 B． C．1 D． 18．（2025·江西萍乡·二模）已知函数． (1)证明：函数有且只有一个极值点； (2)若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围． 题型7：利用导数解决零点问题 19．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（2025·安徽马鞍山·二模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 21．（2025·山东济南·一模）已知，函数，. (1)当时，求的极值； (2)若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 题型8：利用导数研究双变量问题 22．（2024·广东·二模）已知. (1)求的单调区间； (2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由. 23．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． 24．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 题型9：参数分离解决导数问题 25．（2025高三·全国）若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 26．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围是 . 27．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围. 题型10：构造函数法解决函数问题 28．（2025·安徽·模拟预测）已知曲线在点处切线方程为，其中为常数． (1)①求的值；②证明：只有一个零点． (2)若函数，且存在正实数，使得成立，求实数的取值范围． 29．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有极小值，且极小值不大于0，求实数的取值范围． 30．（2025·山东·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数在上的单调区间； (2)关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 题型11：利用二次求导解决函数问题 31．（2025·浙江·三模）已知函数． (1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值； (2)当时，证明：． 32．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知函数. (1)证明曲线是轴对称图形； (2)设函数，解不等式（是自然对数的底数）. 33．（2024·陕西西安·二模）已知函数． (1)当时，，，求的取值范围； (2)证明：当时，在上单调递增． 题型12：导数的不等式问题 34．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)求证：对，使得. 35．（2025·山东济南·二模）已知函数． (1)当，求的取值范围； (2)当时． （ⅰ）设，讨论函数在上的单调性； （ⅱ）证明：对任意的，有． 36．（2025·四川·三模）已知函数． (1)若，试判断函数在区间内的极值点个数，并说明理由； (2)当，时，求证：．（参考数据：） 【高考达标】 一、单选题 1．（2025·安徽·模拟预测）已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（   ） A．-e B．-1 C． D． 2．（2025·山东济南·二模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·三模）已知函数，若对任意，有，则正整数的最小值为（参考值：）（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·浙江台州·二模）已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东泰安·二模）已知函数，若在时恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北·模拟预测）函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏南通·二模）已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江西·二模）已知，若在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·江西宜春·一模）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有3个零点 B．的图象关于点对称 C．既有极大值又有极小值 D．经过点且与的图象相切的直线有2条 10．（2025·河南南阳·一模）若函数是区间上的单调函数，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 11．（24-25高三下·海南）已知函数，其中，则下列关于的说法正确的是（   ） A．当时，有个零点 B．若在上单调递减，则的取值范围是 C．当时，在上有最小值 D．若有两个极值点，（），则 12．（2025·河北石家庄·一模）函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的极小值为0 B．若有3个零点，，，则 C．若，则为奇函数 D．当时，在区间上单调递增 13．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数为定义在上的连续函数，为的导函数，，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B． C．若，则 D． 三、填空题 14．（2025·山西晋城·二模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 15．（2025·湖南岳阳·二模）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则 . 16．（2025·四川达州·二模）已知函数在上存在零点，则实数的最小值为 ． 17．（2025·四川达州·模拟预测）记表示不小于的最小整数，例如.已知是大于1的正整数，设是函数的零点，记，则 . 四、解答题 18．（2025·浙江杭州·二模）已知函数（）. (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)当时，设的极大值为，求证：. 19．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 20．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 21．（2025·全国·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 22．（2025·江西宜春·一模）已知函数. (1)已知的导函数为，证明：有唯一实数解. (2)若函数，，，，求m的取值范围. 23．（2025·江西上饶·二模）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时成立． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲：导数及其应用 【题型归纳】 · 题型1：导数的概念和几何意义 · 题型2：导数研究函数的单调性问题 · 题型3：利用导数研究函数的极值 · 题型4：利用导数研究函数的最值 · 题型5：导数和恒（能）成立问题 · 题型6：利用导数解决方程的根问题 · 题型7：利用导数解决零点问题 · 题型8：利用导数研究双变量问题 · 题型9：参数分离解决导数问题 · 题型10：构造函数法解决函数问题 · 题型11：利用二次求导解决函数问题 · 题型12：导数的不等式问题 【题型探究】 题型1：导数的概念和几何意义 1．（2025·四川·三模）已知直线是曲线的一条切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】求导得，设切点为，根据，求出切点坐标，再代入原函数即可. 【详解】设，， 设切点为，根据切线斜率为1，则， 解得，则，则切点坐标为，则，解得. 故选：C. 2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线在点处的切线与直线平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知的斜率为，由得，进而可得直线的方程为：，进而由平行线间的距离公式可得. 【详解】由题意，切线的斜率为，则，得， 故，故切线的方程为：，即， 直线，即， 故两直线的距离为， 故选：B 3．（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合对称性可设，，结合导数的几何意义求得，即可得结果. 【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称， 且反比例函数的图象也关于直线对称， 可知点关于直线对称，设，则， 设，则， 由题意可得：，解得或（舍去）， 可得，则，所以. 故选：A. 题型2：导数研究函数的单调性问题 4．（2025·湖南永州·三模）若函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对函数求导，根据函数单调性与导数的关系得到的不等式，再通过构造函数求其最大值，进而得到的最小值． 【详解】已知，可得． 因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立． 移项可得在区间上恒成立，令，，则． 对求导，可得：． 令，即，因为恒成立，所以，解得或． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以在处取得极大值，也是最大值，． 因为，所以实数的最小值为． 故选：C． 5．（2025·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，，当时，，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数得到在各区间的符号，再分类讨论即可解出不等式. 【详解】构造，则， 因为当时，，则此时，单调递增， 则的正负符号由决定， 又因为，则，因为在上单调递增， 则当时，，所以此时， 当时，，所以此时， 又因为为上的奇函数，则当时，，则， 当时，，则， 且， 则若，则或 即或，解得或， 综上，的解集为. 故选：D. 题型3：利用导数研究函数的极值 6．（24-25高三下·江苏南京）已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变形为，构造函数，分析可知该函数为增函数，可得出，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，由可得，即函数的定义域为， 可得， 即， 构造函数，其中，则，故函数在上单调递增， 所以，可得，则， 即，其中，令，其中， 则，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，解得. 综上， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为，结合不等式的结果构造函数，转化为函数的单调性以及参变量分离法求解. 7．（2025·河北·模拟预测）已知函数，，若函数在上有两个不同的极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，根据题意，转化为有两个不同的正实数根，由及韦达定理，得到，再由，令，求得，利用导数，求得在单调递减，得到，即可得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，且， 令，即，可得， 因为函数在上有两个不同的极值点， 所以方程有两个不同的正实数根， 则满足，解得或，且， 则，所以， 又由 ，其中， 令，其中，可得， 再令，可得， 所以单调递减，因为，所以，即， 所以函数在单调递减，所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 8．（2025·湖北·模拟预测）已知函数恰有2个极值点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题可得有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需与有两个交点，利用导数研究的单调性与极值，利用数形结合即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 由，可得， 要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反， 由得，，所以， 由题意可知与有两个不同的交点， 令，则， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，当时，， 作出图形如图所示： 由图象可得实数a的取值范围为. 故答案为：. 9．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若在有唯一的极值点且为极大值点，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】先对函数进行求导，根据题意由零点的存在性定理得，再由对称轴 在区间右侧可推出，解不等式组即可求解. 【详解】解：函数，则， 因为在有唯一的极值点且为极大值点， 所以根据零点的存在性定理得， 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 ， 由于对称轴在区间 右侧， 要使在内有唯一的变号零点，则需满足 ， 而， ， 则不等式组可化为 ，解得， 综上,的取值范围为. 故答案为：. 题型4：利用导数研究函数的最值 10．（2025·辽宁·二模）设函数．若在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分类讨论，当时，，再讨论的范围得出；当时，讨论的范围，由导数求得，即可求解． 【详解】①当时，，对称轴为， 当时，，则； 当时，，符合题意； 所以当时，若在上恒成立，则； ②当时，，则， 当时，，则在上单调递增，当时，，不合题意； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，解得， 所以当时，若在上恒成立，则； 综上所述，， 故答案为：． 11．（2025·江西赣州·一模）若a，，自然对数的底数为e，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】将原式变形，再设函数，求导求得最小值，即可求得结果. 【详解】由， 设，求导，，令，解得：， 令，解得，令，解得， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，故， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：2 【点睛】思路点睛： （1）式子变形：将变形为， （2）构造函数：设，求导求得最小值； （3）得出结论：利用即可求得结果. 12．（2025·天津·一模）已知，函数若关于的方程，恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，则与有两个交点，利用导数求出的单调性，即可求出函数的取值范围，从而求出的取值范围； 【详解】由， 可得当时，即，所以； 当时，，所以， 令，，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以， 令，则与有两个交点， ①当时，，则在上单调递增，且； ②当时，则， 令，则， 所以当时，则在上单调递增， 当时，则在上单调递减， 所以，所以恒成立， 所以恒成立，所以在上单调递减， 又，因为，所以， 且当时，，所以； 所以，即的取值范围是. 故答案为： 题型5：导数和恒（能）成立问题 13．（2025·江西宜春·二模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式可化为，利用导数求函数，的单调性，由此可得恒成立，再利用导数求的最小值，由此可求结论. 【详解】不等式可化为，，又， 所以，故， 由已知不等式在上恒成立， 因为有意义，故，又，所以， 当时，不等式恒成立， 设，， 则， 因为，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，故， 令，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 故， 所以， 所以的取值范围为 故选：C. 14．（2025·河南郑州·二模）已知函数，，有恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由及得到和，讨论的范围：当时，在上恒成立，由函数和在存在交点，得到存在区间使得，不合题意；当时，由过点作曲线切线得到.再分类讨论：当时，由导数求得最小值，然后得到，由切线可知存在区间使得，不合题意；当时，，恒成立，满足题意；当时，，则需要成立，即得到的最小值大于0，然后得到的范围.综上所述得到结果. 【详解】∵，∴， 当时，则恒成立， 在上单调递减， 由一次函数与函数一定存在交点可知函数存在零点， 即存在，使得时，，时，， 不符合题意，舍去. 当时， 设直线为函数切线，设切点为 则，即，则，， ①当时，函数存在两个零点， 令，则， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故，∵， ∴，即恒成立. 此时无法满足题意，舍去； ②当时，由①可知，，满足， ③当时，恒成立，要使得恒成立，则需要恒成立，由①得，∴，即. 综上所述. 故选：D. 【点睛】思路点睛，要想得到，则需要函数在相同区间内同号. 然后借助直线与曲线的切线以及导函数等知识来找到函数在某些区间上的正负情况. 15．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论，通过同构可将问题转化为,构造，利用导数求解最值即可. 【详解】当时，，合题意. 当时，即 ， 为的增函数，，即， 由题意，只需, 记， 当在单调递减，在单调递增， 故，所以， 综上，的取值范围为， 故选：D 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 题型6：利用导数解决方程的根问题 16．（2025·甘肃白银·模拟预测）若为方程的根，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由题意确定满足方程，构造函数，由其单调性即可求解. 【详解】为方程的根，， ，． ，， 令，则， 在上单调递增． ， ， ． 故选：C. 17．（2025·河北保定·一模）函数有且只有三个零点，则的取值可以是（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】拆分绝对值后转变为方程根的个数问题，分离参数，利用导数分析单调性和极值，综合可得. 【详解】令得， 当时，，则，令， 所以当时，，为增函数；当时，，为减函数， 所以函数在处取得极大值，且，当时，； 当时，， 则，则时，，为减函数， 当时，； 综上，与函数图象有三个交点时，即函数有且只有三个零点时. 所以的取值可以是. 故选：D 18．（2025·江西萍乡·二模）已知函数． (1)证明：函数有且只有一个极值点； (2)若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）求导得，利用函数单调性和零点存在性定理即可证明； （2）求导得，设，再对分和讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 显然在上单调递增．且． 故根据零点存在性定理知在上有且仅有一个零点，且在上，，在上，， 则在上单调递减，在上单调递增，即在上有且只有一个极值点. （2）设，则，记， 当时，恒成立，则函数在上单调递增， 此时在上至多存在一个零点，不合题意， 当时，函数的对称轴为，则函数在上单调递减， （i）当时，恒成立，即恒成立， 则函数在上单调递增，此时函数在上至多存在一个零点，不合题意； （ii）当时，恒成立，即恒成立，则函数在上单调递减， 此时函数在上至多存在一个零点，不合题意； （iii）当时，，，故存在，使得，即， 则函数在上单调递增，在上单调递减，又由于， 则，若要满足题设，只需，解得, 又因为，所以取值范围是. 综上所述，实数的取值范围为. 题型7：利用导数解决零点问题 19．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】探讨给定函数的对称性及单调性，脱去法则“f”，构造函数，利用导数探讨函数的性质并作出图象，数形结合求得答案. 【详解】函数的定义域为R，且在R上单调递增， ，即， 方程，即，于是， 即，令，依题意，直线与函数的图象有三个不同的交点， 求导得，当时，， 当时，，函数在上递减，在上递增， 当时，取极小值；当时，取极大值为， 而当或时，恒有， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得，原方程有三个不同实根，所以实数的取值范围为， 故选：A 20．（2025·安徽马鞍山·二模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导，分，结合导数正负求单调性； （2）由（1）知时，在上单调递增，不符合题意，可知，若有两个零点，由（1）知，分别证明在有一个零点.，在有一个零点. 【详解】（1）的定义域为， 若，则，则在单调递减；             若，则由得.                            当时，；当时，，     所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）若，由（1）知，至多有一个零点.      若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点；      ②当时，因为单调递增，单调递增，所以单调递增， 所以，，故没有零点； ③当时，由于，即， 又， 故在有一个零点.    设正整数满足，则， 故在有一个零点.   综上，的取值范围为. 21．（2025·山东济南·一模）已知，函数，. (1)当时，求的极值； (2)若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）直接求导得，再分和讨论即可； （i）转化得有解，再设，求导后再对分类讨论，最后利用隐零点法即可得到其范围； （ⅱ）分析得表示原点与直线上的动点之间的距离，再等价转化为证明，再设新函数并多次求导即可证明. 【详解】（1）时，， 当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值. 当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增， 函数的极小值是，无极大值. （2）（ⅰ）当时，因为函数存在零点，故有解， 若，此时无解，所以，有解，， ①若单调递增，此时不存在零点； ②若，令，，， 由零点存在定理可知存在， 所以在上为减函数，在上为增函数， 故，解得，故. （ⅱ）因为函数存在零点，所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， ，所以， 时，要证，只需证， 即证. 令，则， 令，，故在上为增函数，故. 即在上为增函数， 故，故，即成立. 题型8：利用导数研究双变量问题 22．（2024·广东·二模）已知. (1)求的单调区间； (2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间； （2）求出直线的斜率，再求出，从而得到的等式，再进行换元和求导，即可解出答案. 【详解】（1）由题可得 因为，所以， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意得，斜率 ， , 由得， ，即，即 令，不妨设，则， 记 所以，所以在上是增函数，所以， 所以方程无解，则满足条件的两点不存在. 23．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）先对求导，得到.令为分子部分，求出零点.再根据正负，分析正负，进而确定正负，得出单调性. （2）把值代入，将不等式变形.令为变形后式子，由且，可知是最大值点，所以，求出.再验证值满足条件. （3）对已知等式取对数变形，令为变形后式子.根据单调性设.要证不等式，转化为证，令为对应式子，求导判断单调性证明. 【详解】（1）先确定定义域为， 对求导，则. 令，即，解得. 当时，在上，，即，所以在上单调递增； 在上，，即，所以在上单调递减. 当时，在上，，即，所以在上单调递减； 在上，，即，所以在上单调递增. 综上所得，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，. 因为恒成立，即恒成立，等价于恒成立. 令，. 对求导得. 因为恒成立且，所以是的最大值点，则. ，解得. 当时，，再令，对求导得，所以在上单调递减. 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减.所以，满足条件，故. （3）由得，两边取对数整理得， 令.则. ，在递增，递减，则 又，当， 不妨设，则. 记，，则， 在递增，则，即. 又 因为在递减，所以，则. 原命题得证. 24．（2025·安徽合肥·一模）已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分类讨论函数的单调性. （2）由函数有两个极值点，确定a的范围，代入函数值，构造函数，利用函数单调性求解. 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为，且，， 令， 当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减； 当，即时，函数有两个零点：，， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 综上，当时，在内单调递增， 在和上单调递减； 当时，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，有两个极值点，， 则，是方程的两个根，由韦达定理，得，， 所以， ， 令，，则， 当时，，则在区间上单调递减， 从而， 故 题型9：参数分离解决导数问题 25．（2025高三·全国）若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分离参数法得到，再合理构造函数，将合理拆分为两部分，利用导数得到两个部分取到最小值的条件一致，再求出整体函数的最值，得到取值范围即可. 【详解】由得， 当时，由题意知， 设函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则函数的最小值为． 当时，设函数，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以函数的最小值为， 此时，则，即实数的取值范围是． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解题关键是找到利用分离参数法得到，然后把拆分为两部分，判断它们取得最小值时的条件一致，得到整体的最值，最后求解所要求的参数范围即可． 26．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将原不等式做适当变形构造函数，利用函数单调性把参数分离出来，最后转化为求函数最值问题。 【详解】∵ ∴ 两边加上得 设，则在上单调递增， ∴，即 令，则 ∵的定义域是 ∴当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴当时，取得极大值即为最大值，且， ∴，∴即为所求. 故答案为： 27．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，即可求出函数的单调区间； （2）由题意可得函数在上为减函数， ，令，讨论 的性质可得实数的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数定义域为， 且， 因为，当时，为减函数； 当时，为增函数； 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为； （2）不防设， 由，可得， 即， 即函数在上为减函数， 由， 所以在上恒成立，也就是， 令， 恒成立， 所以当时，为减函数， 的最小值为，所以， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第（2）问，由，得，即转化为函数在上为减函数， 再利用分离参数和导数求范围. 题型10：构造函数法解决函数问题 28．（2025·安徽·模拟预测）已知曲线在点处切线方程为，其中为常数． (1)①求的值；②证明：只有一个零点． (2)若函数，且存在正实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)①，；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①由题意得，求函数的导数，由导数的几何意义即可求解；②由①知，，记，由导数研究函数的单调性进行求解； （2）因为存在正实数，使得成立，即存在正实数，使得成立．令，则，由单调性求出，即可求解． 【详解】（1）①由题意得，， 则，解得． 易得，则， 因为点在直线上， 所以，解得． ②由①知，， 记，则， 所以在上单调递增， 又， 所以由零点存在定理知，存在唯一零点，使得， 故函数只有一个零点． （2）因为存在正实数，使得成立， 所以存在正实数，使得成立， 即存在正实数，使得成立． 令，则， 由（1）②知，有唯一解在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以． 由，得，即， 即，亦即． 易得在上单调递增， 由，得，所以，即， 所以， 故，即的取值范围为. 29．（2025·贵州铜仁·三模）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有极小值，且极小值不大于0，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意计算，结合导数的几何意义求切线方程即可； （2）先求导得，分和讨论单调性，求出极小值为，再根据题意得，构造新函数，利用函数单调性确定的范围即可. 【详解】（1）求曲线在处的切线方程： 当时，． 对求导，可得． 把代入和． 切线方程的点斜式为（其中为切点坐标，为切线斜率）， 所以切线方程为，即． （2）对求导得． 当时，，则在上单调递增，无极值，不符合题意． 当时，令，即，解得． 当时，单调递减； 当时，，单调递增． 所以在处取得极小值，． 因为的极小值不大于0，即． 令，对求导得． 令，解得． 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以在处取得最大值． 且当或时，， 因此对于，均有 所以实数的取值范围是． 30．（2025·山东·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数在上的单调区间； (2)关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间； (2). 【分析】（1）构造函数，先利用导数判定其单调性及最值，再确定即可； （2）先化简不等式，构造函数求其导函数，利用分类讨论的思想结合常用的切线放缩判定得；再构造多次求导判定其最小值，结合隐零点验证不满足题意即可. 【详解】（1）易知函数的定义域为， ， 令，易知， 显然时，，即此时单调递增， 时，，此时单调递减，所以， 所以时，，所以函数在上单调递增， 递增区间为，无单调递减区间； （2）易知， 则， 令 再令，则， 易知时，单调递增，时，单调递减， 则，即，在时取得等号， 则， ①若，显然，即在定义域上单调递增， 即，符合题意； ②若，易知， 令， 令， 因为，显然， 则在上单调递增，， 则在上单调递增，，则此时，使得， 即上，则在此区间单调递减，，不符题意， 综上所述. 【点睛】思路点睛：对于不等式恒成立求参问题，有时可多次构造函数求导研究函数的单调性及最值，结合端点效应必要性先行，再判定充分性.有意识的多积累一些常用的切线放缩，可提供取参的端点值. 题型11：利用二次求导解决函数问题 31．（2025·浙江·三模）已知函数． (1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值； (2)当时，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义在某一点处的导数即为在这点处的切线斜率求解切线方程，再将代入方程，即可求出实数a的值. （2）二次求导，利用导数判断函数的单调性，写出函数的最小值，判断最小值大于即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为，，所以， 又， 所以在处的切线方程为， 将点代入得，解得． （2）证明：，设，则， 因为，所以当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 时，，即， ，， 所以当时，. ，， 所以存在唯一的，使得，即， 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，函数在处取得极小值，即为最小值， 所以， 因为，所以，故， 则，得证． 32．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知函数. (1)证明曲线是轴对称图形； (2)设函数，解不等式（是自然对数的底数）. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出的定义域，分别求出和即可证明； （2）写出函数并求导，令，，利用导数分别判断和的单调性，进而得到的单调性，再结合即可求解. 【详解】（1）由得或，所以函数的定义域为， 因为， ， 所以，所以关于对称， 即曲线是轴对称图形； （2）因为， 则， 令， 则， 令， 则，所以在单调递增， 所以，即，所以在单调递增， 所以，即，所以在单调递增， 又， 则，即，所以， 所以不等式的解集为. 33．（2024·陕西西安·二模）已知函数． (1)当时，，，求的取值范围； (2)证明：当时，在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 （1）根据三角函数的性质，利用导数研究函数的值域即可； （2）利用二次求导结合适当放缩判定的导函数符合即可. 【详解】（1）当时，， 令， 显然时，，则在上单调递减， 所以，即在上单调递减， 所以， 所以； （2）由， 令， 设，则，所以在上单调递增， 即， 若，则，即， 所以在上单调递增，则， 所以当时，在上单调递增. 题型12：导数的不等式问题 34．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)求证：对，使得. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性； （2）分析可知，构建函数，利用导数结合零点代换分析可得，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以. 令，则， 令，则， 可知单调递减，即单调递减. 且， 可知，使得，即， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 且，所以. 所以对，使得. 35．（2025·山东济南·二模）已知函数． (1)当，求的取值范围； (2)当时． （ⅰ）设，讨论函数在上的单调性； （ⅱ）证明：对任意的，有． 【答案】(1)； (2)（i）在上单调递增；（ii）证明见解析. 【分析】（1）问题化为恒成立，利用导数研究右侧的最值，即可得参数范围； （2）（i）利用导数研究函数的单调性即可；（ii）构造，利用导数及（i）结论有在上单调递增，即得，结合的单调性即可证. 【详解】（1）由，则， 令且，则， 令且，则，即在上单调递增， 所以，即，故在上单调递增，则， 综上，. （2）（i）时，且，则，故在上单调递增； （ii）令，则， 由，则， 由（i）知，，即在上恒成立， 所以在上单调递增，故， 因为，所以在上单调递增，则， 所以， 综上，对任意的，有. 36．（2025·四川·三模）已知函数． (1)若，试判断函数在区间内的极值点个数，并说明理由； (2)当，时，求证：．（参考数据：） 【答案】(1)个，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用二次函数的单调性判断出函数在区间内的单调性，结合零点存在定理可得结论； （2），其中，利用导数分析函数的单调性，证得即可证得结论成立. 【详解】（1）因为，则， 所以，函数在区间上单调递增， 因为，则，，则， 由零点存在定理可知，存在，使得， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 故函数函数在区间内的极值点个数为. （2）当，时，， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 故当时，，即， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，即， 故，时，. 【高考达标】 一、单选题 1．（2025·安徽·模拟预测）已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（   ） A．-e B．-1 C． D． 【答案】C 【分析】设，由，又在定义域上单调递增，则，于是．再利用导数求函数的最小值即可． 【详解】因为， 所以，而， 故，又在定义域上单调递增，则， 于是． 设，则， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 所以． 故选：C. 2．（2025·山东济南·二模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，令，利用导数讨论其单调性，进而可求解. 【详解】， 构造函数，，则， 当时，；当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 由于，，且， 则，即， 又， 所以. 故选：A. 3．（2025·安徽·三模）已知函数，若对任意，有，则正整数的最小值为（参考值：）（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意分析得，进而得，根据导数得出函数的单调性后，分，讨论即可求解. 【详解】由，知都不为零， 所以在和上都没有零点． 由于，故在上有零点， 二者结合，可知，而在和上分别取固定的符号，且符号相反． 所以，得，故， 则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 当时，对任意，恒成立； 当时，需满足，即，解得， 所以正整数的最小值为2． 故选：B． 4．（2025·浙江台州·二模）已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，分析可知，关于的方程有两个不等的正根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为， 所以， 因为函数既有极大值，又有极小值， 则关于的方程有两个不等的正根、， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 5．（2025·山东泰安·二模）已知函数，若在时恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，，求，确定极值点，结合单调性分析最小值，得出取值范围. 【详解】在时恒成立，， ，， ，， 设,,时，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增；是的极小值点， 的最小值是，，时恒成立， ，的取值范围为. 故选：B 6．（2025·湖北·模拟预测）函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简结合对数函数单调性得出，再构造，根据导函数得出函数单调性即可求解. 【详解】由题设在上恒成立， 知，此时在上都单调递增， 所以只需在上的零点相同， 即，所以， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以，即的取值范围是. 故选：D 7．（2025·江苏南通·二模）已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对求导，得出，再利用奇偶性构造关于和的方程组，进而求出的解析式，化简题中式子并参变分离得出，再构造函数，通过求导求其最小值即可. 【详解】因为偶函数，则①， 对两边求导得，②， 在③中，用代替得④， 由①②④可得，⑤， 联立③⑤得，， 则化简为，， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故， 则实数的取值范围是. 故选：A 8．（2025·江西·二模）已知，若在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数不等式恒成立问题转化为方程根的问题，以及利用韦达定理和对数运算性质得到相关等式，最后通过求函数最值来求解的最大值. 【详解】因为恒成立，所以和有两个相同正根.对于方程，两边同乘得. 由一元二次方程性质，有两个不同正根，则，且，.   由可得，可得. 根据对数运算法则，所以，即.   令，对求导，. 令，即，解得. 当时，，递增； 当时，，递减. 所以在处取最大值，.   综上， 的最大值为. 故选：B. 二、多选题 9．（2025·江西宜春·一模）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有3个零点 B．的图象关于点对称 C．既有极大值又有极小值 D．经过点且与的图象相切的直线有2条 【答案】ACD 【分析】对于A，因式分解解方程即可，对于B，由，可判断，对于C，求导确定单调性即可判断，对于D，设切点坐标，由导数的几何意义，列出等式求解即可判断. 【详解】，令，得，或， 所以有3个零点，A正确. 所以的图象关于点对称，B错误. ，令，，记方程的两个根为，（）， 易知在，上单调递增，在上单调递减， 所以既有极大值又有极小值，C正确. 设切线与的图象相切于点，， 所以切线方程为. 因为切线经过切点，所以， 整理得，该方程有两个解， 所以经过点且与的图象相切的直线有2条，D正确， 故选：ACD 10．（2025·河南南阳·一模）若函数是区间上的单调函数，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】ACD 【分析】对函数进行求导，得出函数的单调性，通过讨论函数在区间的单调性即可求解. 【详解】， 令,即，解得或， 当时，，函数单调递增； 当时，或,函数单调递减； 因为函数在区间上是单调函数，所以有以下两种情况： 当时, 则 ，解得；故A正确，B错误； 当时, 则，解得.故C、D正确； 故选：ACD. 11．（24-25高三下·海南）已知函数，其中，则下列关于的说法正确的是（   ） A．当时，有个零点 B．若在上单调递减，则的取值范围是 C．当时，在上有最小值 D．若有两个极值点，（），则 【答案】ABD 【分析】对于该分段函数需分别对不同区间内函数的单调性，极值，零点等性质进行分析，通过求导来判断确定函数特性，进而判断各选项正确性. 【详解】 对于：当时，；当时，，，因为，所以；故在上单调递减，且，所以是的一个零点；当时，，，令，解得，即在上单调递增，在上单调递减；则，所以是的一个零点，故当时，有两个零点，故A正确． 对于：当时，，则，依题意，当时，恒成立，即恒成立，又，所以，所以，故B正确． 对于：当时，，当时，，，令，得．当时，，f(x)在上单调递减；当时，，f(x)在上单调递增，所以f(x)在处取得极小值，也是在上的最小值，且，故C错误． 对于：，当时，，，当时，，，依题意，f(x)有两个极值点，（），则（），（），即，则，，因为，所以，又f(x)有两个极值点，所以，所以，所以（），令，则当时，，所以在上单调递减，则，即，故D正确． 故选：ABD. 12．（2025·河北石家庄·一模）函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，的极小值为0 B．若有3个零点，，，则 C．若，则为奇函数 D．当时，在区间上单调递增 【答案】BD 【分析】利用导数求出的极小值，即可判断A；利用韦达定理求出的零点之和判断B；利用奇函数的定义判断C；利用的导函数在区间上的正负判断D. 【详解】对于A，当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以为的极小值，故A错误； 对于B，由可知是其一个零点，令， 令，设是的两个根，由韦达定理得， 所以，若函数的3个零点为，，， 则，故B正确； 对于C，令，当时， ， 所以函数不是奇函数，故C错误； 对于D，， 因为当时，，当时，， 所以， 所以，当时，在区间上单调递增，故D正确. 故选：BD. 13．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数为定义在上的连续函数，为的导函数，，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B． C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】由，即，可知函数图象关于直线对称，在上单调递减，根据对称性可得在上单调递增.对于A选项：根据单调性分析，该选项正确.对于B选项：对求导后令，判断该选项错误.对于C选项：分、、三种情况讨论，得出，该选项正确.对于D选项：根据单调性判断导数正负，得出，该选项正确. 【详解】因为，所以的图象关于直线对称， 因为在上单调递减，所以在上单调递增，故A正确； 对两边求导得，令，得，故B错误； 对于，当时，因为在上单调递减，所以，不符合题意； 当2时，因为在上单调递增，所以，且； 当时，因为，所以，所以，所以，由，可得， 因为，所以，又在上单调递增，所以，所以，故C正确； 因为在上单调递减，在上单调递增，所以当时，， 当时，，且，所以，，所以对，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 14．（2025·山西晋城·二模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】构造函数，分应用导函数得出函数的单调性及最值计算求出恒成立问题. 【详解】由，得在上恒成立， 令，则，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增，所以， 则，所以在上恒成立． 当时，恒成立，则； 当时，由，得； 当时，由，得． 设，则，当或时，，在和上单调递减； 当时，，在上单调递增， 则在上的最大值为，在上的最小值为． 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为：. 15．（2025·湖南岳阳·二模）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则 . 【答案】0或2 【分析】求出曲线在点处的切线方程，再联立切线方程和抛物线方程并消去，利用判别式为零可求的值. 【详解】由得，当时，切线的斜率， 则曲线在点处的切线方程为， 因为它与只有一个公共点，所以有唯一解， 即有唯一解， 故或， 解得或， 故答案为：0或2 16．（2025·四川达州·二模）已知函数在上存在零点，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】由参变量分离法可得，其中，令，其中，则实数的最小值即为函数在上最小值，利用导数求出函数在上最小值即可. 【详解】由可得，其中， 令，其中， 所以，实数的取值范围即为函数在上的值域， 则实数的最小值即为函数在上最小值. 则 ， 当时，；当时，. 所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 因此，实数的最小值为. 故答案为：. 17．（2025·四川达州·模拟预测）记表示不小于的最小整数，例如.已知是大于1的正整数，设是函数的零点，记，则 . 【答案】228 【分析】因为，所以存在零点，所以，再构造新函数，利用导数求得函数单调递增，再利用函数零点定理即可得到 ，再利用等差数列求和公式即可求得结果. 【详解】因为，两式取等条件不同， 所以， 所以存在零点.所以， 令，则，所以. 设， 所以在上为增函数，且. 因为单调递增，所以， 所以， 所以，则. 故答案为： 四、解答题 18．（2025·浙江杭州·二模）已知函数（）. (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间； (3)当时，设的极大值为，求证：. 【答案】(1) (2)和 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性求解出函数的极值即可 （2）当时，利用导数求解函数的单调性求解出函数的单调递增区间 （3）分和讨论求解即可. 【详解】（1）由题意知. 若，则，所以. 令，得. 当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值等于. （2）因为，所以， 由，即，解得或， 所以在和单调递增， 由，即，解得， 所以在单调递减， 故的单调增区间为和. （3）当时，由（2）知，的极大值等于； 当时，，单调递增，无极大值； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的极大值等于， 令，所以， 在上在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以故， 综上所述，. 19．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数． (1)若存在，使成立，求k的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求k的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化为存在，使成立，令，利用导数求出的最大值可得答案； （2）转化为在上恒成立，令，利用导数求出可得答案． 【详解】（1）由得， 可得存在，使成立， 令，，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 若存在，使成立，则； （2）， 若在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令，则（舍）或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 则，则k的最小值为． 20．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分和两种情况分类讨论得出函数单调性； （2）先化简，再构造根据函数单调性得出最值即可求参. 【详解】（1）， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得， 所以在上单调递增， 在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）因为，所以， 所以，所以，所以， 令， ， 所以在上单调递增，即， 令，， 令，得，所以在上，单调递减， 在上，单调递增，所以， 所以. 21．（2025·全国·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求出导函数，再分，两种情况分类得出函数单调性； （2）构造函数，再根据导函数得出函数单调性分和两种情况求解即可. 【详解】（1）的定义域是. 若，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减. 若，令，得或， 令，得或， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）即， 则对任意的恒成立. 设， 则， 令，则. 当时，，所以在上单调递增， 又，且， 若，则，必存在，当时，在上单调递减，此时，不符合题意. 若，则在上恒成立，在上单调递增，此时，符合题意. 即的取值范围是. 22．（2025·江西宜春·一模）已知函数. (1)已知的导函数为，证明：有唯一实数解. (2)若函数，，，，求m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求导可得，将问题转化为在内存在唯一零点，结合函数的单调性以及零点存在定理即可证明； （2）根据题意，将问题转化为，结合导数分别求得函数与的最值，即可得到结果. 【详解】（1）证明：的定义域为. . 由可知，等价于. 设函数，，因为，在内单调递增， 所以在内单调递增. 因为，， 所以在内存在唯一零点， 所以有唯一实数解. （2）由（1）知，当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以. 因为，所以，，. ，即. ， 令，得，令，得，令，得， 所以. 因为，，，所以， 所以，解得，所以m的取值范围为. 23．（2025·江西上饶·二模）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时成立． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）等价变形不等式，利用不等式性质将问题转化为证在恒成立，结合导数分段推理证明. 【详解】（1）函数，求导得， 则，而，所以所求切线方程为. （2）函数的定义域为， 不等式，当时，， 则，令函数， 当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递减，，； 当时，，令， 求导得，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则存在，使得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 则当时，；当时， 函数在上单调递增，在上单调递减，又，则； 当时，， 函数在上单调递增，， 因此，，则， 所以当时，成立. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$