第01讲：函数【十二大题型】-2025届高考数学考前核心考点题型三轮冲刺精讲精练（新高考地区）

第01讲：函数 【题型归纳】 · 题型1：函数的值域问题 · 题型2：分段函数问题 · 题型3：函数的基本性质问题 · 题型4：对指幂函数比较大小问题 · 题型5：：对指幂函数性质的应用 · 题型6：函数的求参问题 · 题型7：函数的图像问题 · 题型8:函数模型及其应用 · 题型9：函数的零点问题 · 题型10：函数与方程的综合问题 · 题型11：函数的新定义问题 · 题型12：函数的不等式问题 【题型过关】 题型1：函数的值域问题 1．（2025·黑龙江大庆·三模）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 2．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数.若任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（2024·上海黄浦·二模）设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型2：分段函数问题 4．（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江·二模）已知函数（其中且），若对，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型3：函数的基本性质问题 7．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·山东·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·山东泰安·二模）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型4：对指幂函数比较大小问题 10．（2025·河南·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·陕西咸阳·二模）下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·湖北·一模）已知奇函数在上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型5：：对指幂函数性质的应用 13．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数（，）．若存在使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·北京顺义·一模）在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025·陕西榆林·二模）已知函数，.若存在，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型6：函数的求参问题 16．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数，对任意实数，存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·贵州六盘水·一模）函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型7：函数的图像问题 19．（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 20．（2025·天津河北·二模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·安徽合肥·一模）函数 的图象大致为（     ） A． B． C． D． 题型8:函数模型及其应用 22．（2025·甘肃平凉·模拟预测）我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（    ） （参考数据：） A．2292年 B．2456年 C．2674年 D．2838年 23．（2025·甘肃·一模）某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为（单位：），测得污水通过长度为（单位：）的净化装置后污染物的含量如下表： 0 1 2 3 研究小组的同学根据表格数据建立了关于的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是（    ） A． B． C． D． 24．（2025·贵州·模拟预测）2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（   ） （参考数据：，，） A．年 B．年 C．年 D．年 题型9：函数的零点问题 25．（2025·重庆·二模）若函数 在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（2025·云南·一模）已知函数，其导函数的图象关于直线对称，且.若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·四川成都·二模）已知函数若方程在上恰有4个不同实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型10：函数与方程的综合问题 28．（2025·河北·二模）已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（   ）    A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 29．（2025·河南·二模）已知函数若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 30．（2025·河南安阳·一模）已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（   ） A． B． C． D． 题型11：函数的新定义问题 31．（2025·湖南·模拟预测）对于满足一定条件的连续函数，若存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数.若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高三下·重庆·阶段练习）对，设是关于的方程的实数根，，其中符号表示不超过的最大整数，则（   ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2025 33．（2025高三·全国）定义在上的函数单调递增，，若对任意存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”已知，下列四个函数：①；②；③；④．其中是在上的“追逐函数”的个数是（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 题型12：函数的不等式问题 34．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，对于任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 35．（2025·全国·模拟预测）若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 36．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【高考达标】 一、单选题 1．（2025·辽宁·二模）已知函数.则为（   ） A．偶函数且为增函数 B．偶函数且为减函数 C．奇函数且为增函数 D．奇函数且为减函数 2．（2025·上海金山·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（    ） ①；②；③函数有最小值. A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·云南大理·模拟预测）已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东清远·二模）设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．1 5．（2025·河南焦作·二模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·全国·模拟预测）若函数（）为奇函数，则（   ） A． B．1 C． D．2 7．（2025·江苏淮安·模拟预测）若函数，存在两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·陕西咸阳·二模）已知是定义在上的函数，且为奇函数，若函数的图象与函数的图象有个交点，…，，且，则的值为（   ） A．1010 B．1012 C．1014 D．1016 二、多选题 9．（2025·河北·二模）设函数的定义域为，且，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 10．（2025·江西鹰潭·二模）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的均满足：，，记，则（    ） A． B．是偶函数 C． D． 11．（2025·山东济南·二模）设函数，则（   ） A．一定有两个极值点 B．若，则或 C．过点作曲线的切线有且仅有一条 D．当时， 12．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，则（   ） A．的零点个数为2 B．当时，有2个不同的零点 C．当时，有4个不同的零点 D．是有1个零点的充要条件 13．（2025·辽宁·模拟预测）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量（单位：焦耳）与里氏震级的对应关系为，则（    ） A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于焦耳 C．5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D．3级地震的能量是7级地震的能量的 14．（2025·江苏泰州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（） A．当时，若有三个零点，则的取值范围是（0，1） B．当且时， C．， D．若存在极值点，且，其中，则 15．（2025·吉林·三模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．在上恰有3个零点 D．若在上单调递增，则的最大值为 三、填空题 16．（2025·全国·模拟预测）已知函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围为 . 17．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 18．（2025·山东·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 ． 19．（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ． 20．（2025·陕西西安·二模）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是 ． 21．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知定义在上的函数满足：，则 ；若，对任意的，都有，则当时，不等式的解集为 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲：函数 【题型归纳】 · 题型1：函数的值域问题 · 题型2：分段函数问题 · 题型3：函数的基本性质问题 · 题型4：对指幂函数比较大小问题 · 题型5：：对指幂函数性质的应用 · 题型6：函数的求参问题 · 题型7：函数的图像问题 · 题型8:函数模型及其应用 · 题型9：函数的零点问题 · 题型10：函数与方程的综合问题 · 题型11：函数的新定义问题 · 题型12：函数的不等式问题 【题型过关】 题型1：函数的值域问题 1．（2025·黑龙江大庆·三模）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值. 【详解】由函数的值域为，得， 由是定义在上的奇函数，得，由是定义在上的偶函数，得， 则，则，而函数与的值域相同， 所以函数的最大值为3. 故选：B 2．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数.若任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】去绝对值利用一次函数的单调性求出函数的值域为，利用对勾函数的单调性求出的值域，由题意函数的值域为函数的值域的子集，根据集合关系列不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的值域为， ，当时，由对勾函数的性质得在上单调递减， 在上单调递增，当时，取得最小值， 当无限趋向于0且大于0时，无限趋向于正无穷， 所以的值域为. 若任意，存在，使成立， 则函数的值域为函数的值域的子集， 所以，解得. 故选：B 3．（2024·上海黄浦·二模）设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可. 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 当时，上式成立； 当，，明显函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 又开口向下，对称轴为， 所以的最大值为， 所以， 综上：实数a的取值范围是. 故选：D. 题型2：分段函数问题 4．（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可. 【详解】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A 5．（2025·安徽·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，分类讨论，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】①当时，； 若，则，当时，； 若，当时，取得最小值－3，即； 若，，，，在时单调递增，； ②当时，函数的图象是一个二次函数，其对称轴为； 若，则在上单调递减，； 若，； 若，则在上单调递增，； 因为函数的值域为， 当时，在时最小值为，在时，不满足值域为； 当时，，，，不满足值域为； 当时，在时，在时； 为使值域为，需满足，解得. 综上，. 故选：D. 6．（2025·黑龙江·二模）已知函数（其中且），若对，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简不等式，得到函数单调性，再根据分段函数单调性性质求结果. 【详解】不妨设，则由得， 令，则在上单调递增， 因为 所以， 故选：A 题型3：函数的基本性质问题 7．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数奇偶性与图象变换，可得函数的对称性，根据题意可得函数的单调性，化简不等式，结合一元二次不等式的解法，可得答案. 【详解】依题意，因为为奇函数，所以函数的图像关于对称， 又当时，，易知函数在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增， 又，可知在上单调递增， 所以可化为， 即，即，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C． 8．（2025·山东·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题设结合函数单调性定义求得函数在上单调递增，接着研究函数的奇偶性和函数值，再将不等式等价变形为或即可求解. 【详解】因为当时，都有成立， 不妨令，则都有成立， 即对任意，且，都有成立， 所以函数在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数， 所以，所以函数是偶函数， 所以函数在上单调递减， 又，则， 所以不等式或或， 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B 9．（2025·山东泰安·二模）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质，可得函数的单调性与函数值为零的点，从而可得函数值与零的大小关系，结合不等式，可得答案. 【详解】由函数奇函数，且在上单调递增，则函数在上单调递增， 且，， 当时，；当时，， 由当时，，当时，， 则不等式的解集为. 故选：D. 题型4：对指幂函数比较大小问题 10．（2025·河南·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据指数运算的性质比较的大小，再根据对数函数和指数函数的性质比较的大小，从而可比较出这三个数的大小. 【详解】由题可知，， 所以， 因为，，所以， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 故． 故选：A 11．（2025·陕西咸阳·二模）下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性，可判定A错误；根据对数函数的单调性，可判定B错误；由指数和对数的运算性质，得到，且，可得判定C正确；由指数和对数的运算性质，得到，且，，可得判定D错误. 【详解】对于A中，由函数在上单调递减，可得，所以A错误； 对于B中，由函数在上单调递增， 可得，所以B错误； 对于C中，由，且， 所以，所以C正确； 对于D中，由，且， 所以，所以D错误. 故选：C. 12．（2025·湖北·一模）已知奇函数在上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用奇函数的性质及单调性推出在上的单调性，再判断的奇偶性，然后比较，，的大小关系，最后根据的单调性得出，，的大小关系. 【详解】已知奇函数在上是增函数，根据奇函数性质，，所以当时，. 又因为在上是增函数，所以.对于， . 所以当时，，这就表明在区间内单调递增. 对于，在上，.因为是奇函数，即， 所以，所以是偶函数. 根据对数函数性质，在上单调递增，因为，，且，所以. 又根据指数函数性质，在上单调递增，因为，，且，所以. 因为是偶函数，所以. 由在内单调递增，且，可得，即. 故选：C. 题型5：：对指幂函数性质的应用 13．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数（，）．若存在使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意化简整理，将问题转化成讨论一元二次方程有正根，利用根的判别式以及韦达定理讨论根的情况即可求出的取值范围. 【详解】由题意，，即， 则，整理可得. 根据函数定义域可知，，且，所以一元二次方程至少有一个正根. 因为，所以方程有两个不相等的实数根，设为， 则 当时，则一正一负，满足题意； 当时，则都是负数，不满足题意. 所以. 故选：C. 14．（2025·北京顺义·一模）在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，，相减即可求解； 【详解】由题意， ， 两式相减可得：， 又， 所以， 所以， 故选：C 15．（2025·陕西榆林·二模）已知函数，.若存在，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上有解，转化为函数与的图象在上有交点，然后结合图象求解即可. 【详解】根据题意知在上有解，因此在上有解， 故函数与的图象在上有交点， 函数的图象过点， 将点代入得，， 令得，，由图象可知，解得， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查指数函数和对数函数的图象的应用，解题的关键是将问题转化为两函数图象有交点，结合图象求解，考查数形结合的思想和转化思想，属于中档题. 题型6：函数的求参问题 16．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数奇偶性求的解析式，再由转化为，设，由在上单调递增求参数的取值范围. 【详解】由题意，， 因为，所以，即有， 两式相加可得，. 因为，，所以， 设，所以在上单调递增， 所以或或，解得或或， 所以， 故选：C. 17．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数，对任意实数，存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求出在上的最大值，问题转化为存在，使得成立，分离参数求解. 【详解】， 当时，，所以，所以， 所以存在，使得，即成立， 所以，，所以， 故实数的取值范围为. 故选：C. 18．（2025·贵州六盘水·一模）函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用奇函数定义及单调性判断，再转化恒成立问题为最值问题，最后应用基本不等式求最小值，计算一元二次不等式即可. 【详解】因为函数，为减函数； 又因为所以为奇函数， 若，不等式恒成立， 则不等式，因为为奇函数，所以， 因为为减函数，所以恒成立， 所以恒成立，所以， ， 当且仅当时取最小值3，所以， 所以，所以实数m的取值范围是. 故选：B. 题型7：函数的图像问题 19．（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式化简，应用奇函数定义及特殊值法分别判断各个选项. 【详解】由，可得的定义域为， 且，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B项； ，排除C项； 当时，，排除A项. 故选：D. 20．（2025·天津河北·二模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性的定义判断为奇函数，再结合的符合及排除法，即可得. 【详解】由，且定义域为R， 所以为奇函数，排除A、B； ，排除D. 故选：C 21．（2025·安徽合肥·一模）函数 的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性排除A，再由时函数的符号排除CD，即可得解. 【详解】由知，，即，所以函数定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为奇函数，故排除A； 当时，，时，， 所以当，时，，排除C； 当时，符号可正可负，所以可正可负，故可排除D； 故选：B 题型8:函数模型及其应用 22．（2025·甘肃平凉·模拟预测）我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（    ） （参考数据：） A．2292年 B．2456年 C．2674年 D．2838年 【答案】B 【分析】利用半衰期的意义求出，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得. 【详解】依题意，当时，，即，解得， 设经过年碳14含量衰减为原来的，经过年碳14含量衰减为原来的， 则，即，所以 . 故选：B 23．（2025·甘肃·一模）某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为（单位：），测得污水通过长度为（单位：）的净化装置后污染物的含量如下表： 0 1 2 3 研究小组的同学根据表格数据建立了关于的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析表中数据根据单调性和过点即可判断出最符合实际的函数模型． 【详解】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递减且单位减少率变慢；第三，函数图象过. 函数和图象不过，不符合条件，故BC错误； 函数单调递增，故A错误； D选项：满足上述条件，故D正确. 故选：D. 24．（2025·贵州·模拟预测）2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（   ） （参考数据：，，） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【分析】利用归纳可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，解不等式，即可得出结论. 【详解】由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS， 到年，其算力提升至PetaFLOPS，， 以此类推可知，从年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS， 由，可得， 所以，， 所以，DeepSeek的算力预计在年首次突破PetaFLOPS， 故选：C. 题型9：函数的零点问题 25．（2025·重庆·二模）若函数 在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点，则 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出整体角的范围，根据题意，结合函数的图象，即可确定的范围，继而求出的取值范围. 【详解】 对于，因，则， 作出函数在上的图象， 要使原函数在 上有且仅有 1 个零点和 1 个极值点，需使， 解得. 故选：A. 26．（2025·云南·一模）已知函数，其导函数的图象关于直线对称，且.若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，再借助已知代入即可解出，利用导数可求函数单调性，再求出极值，据题意列出不等式组，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为， 所以， 因为的图象关于直线对称， 所以，所以， 又， 解得， 所以， 所以， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，取到极大值， 当时，取到极小值， 函数有三个零点， 所以，解得. 故选：C 27．（2025·四川成都·二模）已知函数若方程在上恰有4个不同实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解出方程的根，然后结合根的个数列不等式求解即可. 【详解】因为函数 所以当时，方程可化为，解得， 则当时， 当时，方程可化为， 解得， 则当时， 因为方程在上恰有4个不同实根， 所以这4个不同实根为，则. 故选：A 题型10：函数与方程的综合问题 28．（2025·河北·二模）已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（   ）    A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】由指数型函数的性质图象求得参数，根据二次函数的性质，结合相关函数的单调性，逐项检验即得. 【详解】因，函数的图象在上为减函数，则，即得，又图象经过点，即，故得，解得， 于是，，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为， 对于A，因函数在上单调递增， 则，即的图象与轴没有交点， 又的图象与轴有唯一交点，即的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误； 对于C，关于的方程的实根个数，等于直线与曲线的交点个数， 由A项，因，则直线与曲线的交点个数为0，故C错误； 对于B，的图象的对称轴是直线，在轴右侧，故B错误； 对于D，因的图象对称轴：，在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 29．（2025·河南·二模）已知函数若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先画出的图象，不妨令，数形结合可知且，即可求出的取值范围. 【详解】因为，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且； 当时，所以在上单调递增，且， 所以的图象如下所示： 又，且，不妨令， 结合图象可知且，即， 所以，即的取值范围为. 故选：A 30．（2025·河南安阳·一模）已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，根据恒成立，得到，不妨取，画出图象，数形结合，利用对称性得到，求出答案. 【详解】时，， 令，则当时，， 故要想在时满足恒成立， 需满足，不妨取， ，， 画出在上的图象，如下： 由图象可知，，， 则， 故， 两式相加得， 所以. 故选：C 题型11：函数的新定义问题 31．（2025·湖南·模拟预测）对于满足一定条件的连续函数，若存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数.若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合“不动点”函数的概念，转化为方程有根或对应函数有零点的问题，依次求解判断各个选项. 【详解】对于A，令，即． 因为均为的单调递增函数，所以在区间上单调递增，所以不可能为“3型不动点”函数，故A错误； 对于B，令，即． 由于均为的单调递增函数，所以在区间上单调递增，所以不可能为“3型不动点”函数，故B错误； 对于C，由，得， 易知当时，单调递减，且，所以当时，的图象与直线有且只有一个交点； 当时，单调递减，且； 当时，单调递增．令，得，解得，此时，所以直线与曲线相切于点． 所以直线与曲线共有两个交点，所以为“2型不动点”函数，故C错误； 对于D，，作出的图象，如图所示．易知其与直线有且只有三个不同的交点， 即有三个不同的解，所以为“3型不动点”函数，故D正确． 故选：D. 【点睛】方法点睛：根据“不动点”函数的定义，转化为方程有解问题，可直接求方程的根，或者利用零点存在性定理判断，也可构造新函数，把问题转化为研究新函数的零点问题，有时还可以转化为两函数交点问题. 32．（24-25高三下·重庆·阶段练习）对，设是关于的方程的实数根，，其中符号表示不超过的最大整数，则（   ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2025 【答案】A 【分析】先构造函数，利用函数单调性确定方程实数根的范围，进而得到的表达式，最后根据的表达式计算的值. 【详解】设，对其求导可得. 因为，所以，这表明在上单调递增. . 当时，，所以，. 根据零点存在定理，因为在上单调递增且，，所以. 由可得，即. 因为，所以. ，根据等差数列求和公式可得： . 则. 故选：A. 33．（2025高三·全国）定义在上的函数单调递增，，若对任意存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”已知，下列四个函数：①；②；③；④．其中是在上的“追逐函数”的个数是（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据新定义进行判断，可作出函数图象，数形结合可判断②；利用“追逐函数”的定义可判断①③④． 【详解】在上的值域为． 若对任意，存在，使得成立， 则与在上的值域相同， 又在上单调递增，则， 则对任意，有． 对于① ：在上单调递增且值域为， 且恒成立． 即在上恒成立，符合题意； 对于②，当时，，即函数在上的值域为， 作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，当时，的增长速度显然快于函数的增长速度， 则对任意的，，符合题意；    对于③，函数在上递增，且值域为， 且，不符合题意； 对于④，对于函数，该函数在上为增函数， 且当时，，则，不符合题意． 所以，①②是“追逐函数”． 故选：C． 题型12：函数的不等式问题 34．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，对于任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，构造函数，探讨的奇偶性及单调性，再求解不等式. 【详解】设，由函数是上的奇函数，得的定义域为， 且，函数也是上的奇函数， 对于任意的，都有， 得，即， 函数在上单调递增，又为奇函数，因此在上单调递增， 由，得， 由不等式，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 35．（2025·全国·模拟预测）若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性结合题意分析解不等式得，再利用基本不等式常数代换的方法即可求解. 【详解】由，得或， 由为增函数，解得或， 当时，则有或， 则存在，使得不等式，不符合； 当时，则有或， 则存在，使得不等式，不符合； 当时，则不等式解为R，即不等式在上恒成立， 因此，即. 因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 36．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件分析函数的单调性和奇偶性，不等式等价变形可得，解不等式可得结果. 【详解】由题意得，的定义域为， ∵，∴为奇函数， ∵，且在上为减函数， ∴在上为增函数. ∵，∴， ∴，解得，即的取值范围为. 故选：B. 【高考达标】 一、单选题 1．（2025·辽宁·二模）已知函数.则为（   ） A．偶函数且为增函数 B．偶函数且为减函数 C．奇函数且为增函数 D．奇函数且为减函数 【答案】C 【分析】先检验与的关系，判断奇偶性，然后对求导，判断的正负性，从而得到函数的单调性. 【详解】由题意得，定义域为， 则， 则函数为奇函数； ， 因为，且对成立，故，即函数为增函数， 综上，函数为奇函数且为增函数. 故选：C. 2．（2025·上海金山·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（    ） ①；②；③函数有最小值. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】通过赋值法判断①②，举反例判断③. 【详解】由任意，都有， 令，可得，因为，解得，故①正确； 令，，可得， 整理得，又，得，故②正确； 对于③举反例，如， 满足条件（1），又，， 则，满足条件（2）， 而没有最小值，故③错误. 所以正确的有2个. 故选：C. 3．（2025·云南大理·模拟预测）已知，是定义域为的函数，且是偶函数，是奇函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，的奇偶性联立方程组得，则根据题意可得成立，构造，按的不同取值分类讨论在的单调性即可. 【详解】由题意可得， 因为是偶函数，是奇函数，所以， 联立，解得， 又对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造，则， 所以在上单调递增， ①若，则对称轴，解得； ②若，则在单调递增，满足题意； ③若，则对称轴恒成立； 综上，, 故选：D 4．（2025·广东清远·二模）设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】求导，由导数的几何意义求出切线方程，故，结合对数运算法则得到答案. 【详解】由，可得， 所以曲线在处的切线方程是， 令得，所以 . 故选：A． 5．（2025·河南焦作·二模）已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换底公式得，然后利用对数函数的性质即可求解；对求导，利用导数和指数函数的性质即可判定. 【详解】由题可知， 因为在区间上单调递增，所以，即， 当时，有，即，不成立， 当时，有，则成立，所以； 又在区间上都单调递增， 所以在，时恒成立， 所以在时恒成立， 因为，所以， 所以或， 又，所以， 故选：D. 6．（2025·全国·模拟预测）若函数（）为奇函数，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得，然后由可得即可， 【详解】由奇函数性质可得，（）的定义域关于原点对称，由，即且， 故，解得. 又，故， 此时，满足，函数为奇函数， 故， 故选：A. 7．（2025·江苏淮安·模拟预测）若函数，存在两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用导数的几何意义求出与相切时的a的值，根据a的值分段讨论,利用指数函数的增长速度判断交点个数. 【详解】函数，存在两个不同的零点， 令， 即与有两个不同的交点， 又， 令，即， 此时与相切于点， 又，所以既是与交点又是切点， 当时， 当时，从递减到， 函数从递减到， 由于递减较快，在处与相交一次， 当时，当 ， 但的增长速度比 快，因此两者会在 处相交一次， 所以在 和 各有一个交点，加上固定零点，总共有两个不同的零点， 当时， 当时，的递减速度比慢， 因此始终位于上方，所以无交点， 当时，， 但的增长速度比 慢，因此两者会在 处相交一次， 所以在处有一个交点，加上固定零点，总共有两个不同的零点. 当时， 令，即仅在相交， 当时， 当时，的递减速度比慢， 因此始终位于上方，所以无交点， 当时，的增长速度进一步降低，无法与交， 所以仅有一个零点，不满足题目要求， 数的取值范围为， 故选;A 8．（2025·陕西咸阳·二模）已知是定义在上的函数，且为奇函数，若函数的图象与函数的图象有个交点，…，，且，则的值为（   ） A．1010 B．1012 C．1014 D．1016 【答案】B 【分析】由为奇函数，得到，求得的图象关于点对称，再由，根据奇偶性，得到为奇函数，且的关于对称，当为偶数时，根成对出现，每对和为；当为奇数时，中间根为，其余根成对出现，每对和为，得到，求得的值，得到答案. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称， 函数， 对于函数， 可得， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 所以的图象关于对称， 所以当为偶数时，这些根成对出现，每对和为， 当为奇数时，中间根为，其余根成对出现，每对和为， 所以设，则，所以，解得. 故选：B. 二、多选题 9．（2025·河北·二模）设函数的定义域为，且，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用赋值法推导可得数列的特性，计算判断AB；取，再取，结合奇函数定义判断C；由选项C的结论，结合等差数列求和判断D. 【详解】函数的定义域为，且， 对于AB，取，则， 因此数列是以为首项，公差为1的等差数列，， 则，，AB正确； 对于C，由，得，取，得， 取，得，即，因此，是奇函数，C正确； 对于D，，D错误. 故选：ABC 10．（2025·江西鹰潭·二模）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的均满足：，，记，则（    ） A． B．是偶函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】赋值法计算判断A，应用偶函数定义计算判断B，应用赋值法结合累加法计算判断C，应用错位相减法计算判断D. 【详解】令，得，即，故A正确； 对于选项B：令，可得，解得， 令，，可得，所以的图象不是偶函数，故B错误； 令，所以，所以，所以， 所以，则，所以，， ，累加得：，所以选项C正确； 对于选项D，， 又，所以， 设， 则， 所以， 所以 即，故D正确． 故选：ACD． 11．（2025·山东济南·二模）设函数，则（   ） A．一定有两个极值点 B．若，则或 C．过点作曲线的切线有且仅有一条 D．当时， 【答案】AB 【分析】利用导数研究函数的极值点判断A；由求判断B；利用导数几何意义得到处的切线也过，结合处切线判断C；根据解析式得，利用对称性求函数值判断D. 【详解】由题设， 当或时，，则在、上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以分别为极大值点、极小值点，A对； 由，令，则， 所以或，故对于，则或，B对； 由且，则处的切线为，过， 由，则处的切线过， 所以过的切线至少有两条，C错； 由，， 所以，故，D错. 故选：AB 12．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，则（   ） A．的零点个数为2 B．当时，有2个不同的零点 C．当时，有4个不同的零点 D．是有1个零点的充要条件 【答案】BC 【分析】求出零点判断AB；令，利用韦达定理确定方程根的范围，结合函数图象判断CD. 【详解】对于A，当时，，当且仅当取等号， 当时，由，，解得，因此的零点个数为1，A错误； 对于B，当时，由，得或， 当时，在上单调递增，，， ，则由，得；由，得，有2个不同的零点，B正确； 对于C，令，由，得，， 当时，方程有两个不等实根，则， ，，因此，函数的图象，如图： 直线与的图象有两个交点，则方程有两个不等的负根， 直线与的图象有两个交点，则方程有两个不等的正根， 因此有4个不同的零点，C正确； 对于D，当时，由选项C知，方程有两个不等实根， 则，，，因此， 观察图象知，直线、与的图象没有交点，即无零点，D错误. 故选：BC 13．（2025·辽宁·模拟预测）震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量（单位：焦耳）与里氏震级的对应关系为，则（    ） A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于焦耳 C．5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D．3级地震的能量是7级地震的能量的 【答案】ABD 【分析】借助能量E与里氏震级M的对应关系计算即可判断各选项. 【详解】记表示震级为级地震的能量， 对于项，若，则，所以，故A项正确； 对于B项，若，则，所以，故B项正确； 对于C项，，则，故C项错误； 对于C项，，则，故D项正确. 故选：ABD. 14．（2025·江苏泰州·二模）已知函数，则下列结论正确的是（） A．当时，若有三个零点，则的取值范围是（0，1） B．当且时， C．， D．若存在极值点，且，其中，则 【答案】ABD 【分析】对于A，B，求导确定函数单调性，求得极值，构造不等式即可判断；对于C，代入解析式化简即可；对于D，由推理得到，又由函数极值点定义，由得到代入化简即得． 【详解】对于A，当时，， 由，可得或，由，可得， 故函数在和上单调递增；在上单调递减． 则函数在处取得极大值，在处取得极小值， 若有三个零点，则，解得，故A正确； 对于B，当且时，， 因为，所以， 由A函数在上单调递减，故，故B正确； 对于C，因为 ，故C错误； 对于D，由求导得，， 依题意，，可得① 由，可得， 由于，化简得② 将①代入②式，可化简得：， 即，因，故得，即D正确． 故选：ABD． 15．（2025·吉林·三模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的周期为 B．的图象关于对称 C．在上恰有3个零点 D．若在上单调递增，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据周期函数的定义判断即可；对于B，通过计算判断方程是否成立即可；对于C，根据的函数解析式以及函数图象即可判断；对于D，根据的图象和单调性可求的最大值. 【详解】①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， 因此，，. 所以函数的图象，如图所示： A选项：因为 ，所以的周期为，故A正确； B选项：因为 ， 所以的图象关于对称，故B正确； C选项：由的函数解析式以及函数图像可知： 当时，，当时，，当时，， 所以在上有无数个零点，故C错误； D选项：由，，得， 因为在上单调递增，所以由的图象可知， 解得，则的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 16．（2025·全国·模拟预测）已知函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据，求得相位，结合正弦曲线的图象和题目要求即可得出区间端点的取值范围，解不等式即可得解. 【详解】当时，，    由图可知，. 故答案为： 17．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 【答案】 【分析】把已知数据代入模型，求出对应的值即可． 【详解】根据题意，所给模型中， 则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为， 因为，所以， 所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块. 故答案为：36. 18．（2025·山东·模拟预测）已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意有和，又得，令，利用函数的单调性即可求解. 【详解】∵是奇函数，是偶函数，在中， 用去代换x，得， ∴，，∵， ∴由，可得， 令，则在上单调递增． 若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向上，符合题意； 若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向下， 则需，即；若，则在上单调递增，符合题意． 综上，． 故答案为：. 19．（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为 ；若的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】第一空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可；第二空：由时， 的值域为，得到当时需满足求解即可. 【详解】第一空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则当时，的最大值需满足小于或等于2， 因为在上单调递增， 故需满足：即， 解得：，故的一个取值为； 第二空：当时，易知的值域为， 若的值域为， 则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2， 又在上单调递增， 则需满足即， 解得：， 所以的取值范围是. 故答案为：， 20．（2025·陕西西安·二模）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据函数的性质推出函数的性质，再利用函数性质化简不等式，进而求解的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的偶函数， 所以的图象关于对称， 且在上的单调递增，在区间上单调递减. 由， 得， 所以， 所以，即， 所以. 故答案为： 21．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知定义在上的函数满足：，则 ；若，对任意的，都有，则当时，不等式的解集为 【答案】 【分析】第一空，用赋值法直接求出；第二空，构造函数，判断单调性，解不等式即可. 【详解】由，令，得，解得； 设，则，由，得，即， 设，则在上单调递减．由，得，即． 所以解得，即不等式的解集为． 故答案为：2；. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$