精品解析： 河南省周口市扶沟县2024-2025学年八年级下学期数学期中试题

2024—2025学年下期期中八年级试题 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是最小的正整数，则实数的值是（ ） A. 12 B. 11 C. 8 D. 3 3. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组数据是线段长，其中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A. B. C. 2.2 D. 3 7. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是（ ） A. 勾股定理 B. 勾股定理的逆定理 C. 三角形内角和定理 D. 直角三角形的两锐角互余 8. 如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（ ） A. B. 直线，之间的距离是线段的长 C. D. 直线，之间的距离是线段的长 9. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 10. 把边长为5的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的周长是（ ） A. B. 10 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 12. 有下列算式：（1）；（2）；（3）；（4）其中正确的有__________个． 13. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中对角线的长为________． 14. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为______． 15. 如图，在平行四边形中，，，点是直线上一点，连接，将沿直线折叠，点落在点处，若四边形是菱形，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）； （2）． 17. 补充填空：完成证明 （1）勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．把边长为、的两个正方形连在一起，其面积是．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个正方形如图2，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________． （2）对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形的面积并完成上述推理，请你完成推理过程． 18. 聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 19. 如图，线段、相交于点．且，于点． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） （2）若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问） 20. 我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”． （1）当菱形的“神似度”______时，菱形就是正方形； （2）当时，求菱形的“神似度”． 21. 阅读理解题： 我们学习了二次根式的概念及其基本性质，又学习了二次根式的乘法运算法则，下面我们再来思考下面的问题： （1）计算：；；；显然将一个二次根式乘以一个适当的二次根式后结果不再含有根号．因此利用这个性质结合二次根式除法法则、分式基本性质可以化去分母中的根号，使分母中不再含有根号，如： 试一试：化简：①＝______＝______；②＝______＝______； （2）计算：＝______；＝______；同样发现相乘的积不再含有根号．想一想：（______）使其结果不再含有根号；同样请你仿照上述方法将下列二次根式化简：． 22. （1）对于试题“如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系”，数学王老师给出了如下的思路： 延长到，使得，连接，……，利用三角形全等的判定及性质解答，…… 请根据数学王老师的思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 23. 折叠问题是几何变换中常见的数学问题，经常利用轴对称的性质解决相关问题，而有直角的图形折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动： （1）【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，折痕和交于点D，，则的长为________； （2）【深入探究】如图②，在平行四边形纸片中，，现将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果．求的长； （3）【拓展延伸】如图③，在平行四边形纸片中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下期期中八年级试题 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的概念，熟练掌握二次根式的概念是解题的关键．根据二次根式的概念：形如，由此问题可求解． 【详解】解：A、由可知无意义，故不符合题意； B、不是二次根式，故不符合题意； C、当时，无意义，故不符合题意； D、由可知是二次根式，故符合题意； 故选D． 2. 已知是最小的正整数，则实数的值是（ ） A. 12 B. 11 C. 8 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用算术平方根的定义分析得出答案． 【详解】解：∵是最小的正整数， 则12-n=1时，符合题意， ∴实数n的值是：11． 故选B． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，正确得出12-n的最小值是解题关键． 3. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于，分母的被开方数大于，列出关于x的一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：∵成立， ∴， 解得， 故选：D． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据=，，，化简判断即可． 【详解】∵=， ∴不是最简二次根式； ∵， ∴不是最简二次根式； ∵， ∴不是最简二次根式； 是最简二次根式； 故选C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的判断，熟练进行二次根式的化简是判断的关键． 5. 下列各组数据是线段长，其中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】比较较小的两边的平方和是否等于较长边的平方来判定即可. 【详解】A. ，此三角形是直角三角形，故不符合题意； B. ，此三角形是直角三角形，故不符合题意； C. ，此三角形是直角三角形，故不符合题意； D. ，此三角形不是直角三角形，故符合题意； 故选：D. 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则此三角形为直角三角形. 6. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A. B. C. 2.2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】连接AD，由勾股定理即可得出CD的长． 【详解】解：如图，连接AD，则AD=AB=3， 由勾股定理可得，Rt△ADC中， 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，由连接AD构造直角三角形是解决问题的关键． 7. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是（ ） A. 勾股定理 B. 勾股定理的逆定理 C. 三角形内角和定理 D. 直角三角形的两锐角互余 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，如果，则可判断是直角三角形，由此可推断是否为直角． 【详解】解：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足，则可判断是直角三角形，即为直角；若，则不是直角． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 8. 如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（ ） A. B. 直线，之间的距离是线段的长 C. D. 直线，之间的距离是线段的长 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，根据平行四边形的性质可判断A选项，根据点到直线的距离为垂线段的长度，平行线间的距离处处相等，可判断BCD选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴；故A选项正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项B错误，符合题意； ∵，，， ∴；故选项C正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 9. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据菱形的判定方法逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、对角线互相平分，且根据勾股定理的逆定理可得有一个角是直角，即对角线互相垂直，故可得四边形是菱形，故该选项不符合题意； B、四边相等的四边形是菱形，故该选项不符合题意 C、对角线互相平分，不能证明是菱形，故该选项符合题意． D、根据已知角可得四边形是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项不符合题意； 故选：C． 10. 把边长为5的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的周长是（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质，正方形的性质是解题的关键，由题意利用勾股定理的知识求出的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求，从而可求四边形的周长． 【详解】解：连接， ∵旋转角，， ∴在对角线上， ∵， 在中，， ∴， 在等腰中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴四边形的周长是：． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，涉及解一元一次不等式等知识，先由二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：若二次根式有意义，则的取值范围是，解得， 故答案为：． 12. 有下列算式：（1）；（2）；（3）；（4）其中正确的有__________个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．根据二次根式的性质和二次根式的加法运算，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】（1）和不是同类项，不能合并，错误； （2），正确； （3）＝，错误； （4），正确； 其中正确的有2个， 故答案为：2． 13. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得，对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的正方形，则图2中对角线的长为________． 【答案】30 【解析】 【分析】如图1，2中，连接AC．在图2中，利用勾股定理求出BC，在图1中，只要证明△ABC是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：如图1，2中，连接AC． 如图1中，∵AB＝BC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝30， 在图2中，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∵AB＝BC＝30cm， ∴AC＝30cm， 故答案为：30． 【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 14. 如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，多边形内角与外角，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案，关键是正方形性质的应用． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 正边形的一个外角为， 的值为． 故答案为：12． 15. 如图，在平行四边形中，，，点是直线上一点，连接，将沿直线折叠，点落在点处，若四边形是菱形，则的长为______． 【答案】1或 【解析】 【分析】需要分两种情况讨论：①点落在线段上；②点落在线段的延长线上．计算出每种情况下的长度即可得到答案． 【详解】①如图，当点落在线段上． 四边形是菱形，, ． 又， 为等边三角形． ． ②如图，当点落在线段的延长线上时． 连接，交于点． 四边形是菱形， ，，，． ． ． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查菱形的性质（菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角），以及利用锐角三角函数解直角三角形．牢记菱形的性质及利用锐角三角函数解直角三角形的方法是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）； （2）． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算． （1）先算立方根、开方、绝对值，再算加减； （2）先根据乘法公式计算，再算加减． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 补充填空：完成证明 （1）勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．把边长为、的两个正方形连在一起，其面积是．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个正方形如图2，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________． （2）对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形的面积并完成上述推理，请你完成推理过程． 【答案】（1）， （2） 观察图4：正方形的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积， 或正方形的面积等于边长乘边长， 即． 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，勾股定理以及完全平方公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解上下文，旋转不会改变面积大小，因此以为边长的大正方形的面积等于把边长为、的两个正方形连在一起的面积是，即可作答． （2）根据正方形的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积以及正方形的面积等于边长乘边长，列式化简，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为． 由于它们的面积相等，即． 故答案为：，； 【小问2详解】 略 18. 聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】绿化这片空地共需花费17100元 【解析】 【分析】连接AC，直接利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面积求法得出答案． 【详解】解：连接AC，如图 ∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m， ∴AC＝＝15（m）， ∵CD＝17m，AD＝8m， ∴AD2＋AC2＝DC2， ∴∠DAC＝90°， ∴S△DAC＝×AD•AC＝×8×15＝60（m2）， S△ACB＝AB•AC＝×9×12＝54（m2）， ∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2）， ∴150×114＝17100（元）， 答：绿化这片空地共需花费17100元． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键． 19. 如图，线段、相交于点．且，于点． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） （2）若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问） 【答案】（1）解：如图所示，即为所求； （2） 解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定： （1）先根据垂线的尺规作图方法作出点F，再连接、即可； （2）先证明，得到，再证明，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”． （1）当菱形的“神似度”______时，菱形就是正方形； （2）当时，求菱形的“神似度”． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质推理是解题的关键． （1）根据正方形的判定得出答案即可； （2）连接和，交于点，根据、菱形的性质，得出、，结合含角的直角三角形的性质、勾股定理，得出，，即可代入计算出菱形的“神似度”． 【小问1详解】 解：∵对角线相等的菱形是正方形， ∴当时，即时，菱形是正方形， ∴当菱形的“神似度”时，菱形就是正方形， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，连接和，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即菱形的“神似度”为． 21. 阅读理解题： 我们学习了二次根式的概念及其基本性质，又学习了二次根式的乘法运算法则，下面我们再来思考下面的问题： （1）计算：；；；显然将一个二次根式乘以一个适当的二次根式后结果不再含有根号．因此利用这个性质结合二次根式除法法则、分式基本性质可以化去分母中的根号，使分母中不再含有根号，如： 试一试：化简：①＝______＝______；②＝______＝______； （2）计算：＝______；＝______；同样发现相乘的积不再含有根号．想一想：（______）使其结果不再含有根号；同样请你仿照上述方法将下列二次根式化简：． 【答案】（1）①，；②， （2）1；4；； 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，分母有理化和二次根式的混合运算，能找出分母的有理化因式是解题的关键． （1）①②均根据二次根式性质化简即可； （2）根据二次根式乘法及平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：①； ② 【小问2详解】 解：； ； ， 故使其结果不再含有根号； 22. （1）对于试题“如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系”，数学王老师给出了如下的思路： 延长到，使得，连接，……，利用三角形全等的判定及性质解答，…… 请根据数学王老师的思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】 （1）， 理由如下：如图①，延长到，使得， 连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）仍然成立， 理由如下：如图②，延长到，使得，连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到，使得，连接，证明△ADF≌△ABM，得到AF=AM，再证明△EAM≌△EAF，推出，即可得到结论； （2）仍然成立，延长到，使得，连接，证明△ADF≌△ABM，得到AF=AM，再证明△EAM≌△EAF，推出，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定定理及性质定理是解题的关键． 23. 折叠问题是几何变换中常见的数学问题，经常利用轴对称的性质解决相关问题，而有直角的图形折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动： （1）【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，折痕和交于点D，，则的长为________； （2）【深入探究】如图②，在平行四边形纸片中，，现将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果．求的长； （3）【拓展延伸】如图③，在平行四边形纸片中，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长为________． 【答案】（1）5 （2） （3）或10 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用勾股定理即可求解； （2）先求出，再利用勾股定理建立方程求解即可； （3）先讨论点的位置，再在每种情况中先求出，再利用勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵将沿折叠，使点A与点B重合， ∴， ∴中，； 则的长为5． 故答案为：5． 【小问2详解】 解：∵将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为， ∴， ∵中，，， ∴，即， ∴． 【小问3详解】 解：的长为或10； 理由：四边形是平行四边形， ， ∵， ∴该四边形是矩形，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ①如图，当点在线段上时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：，即 ∴； ②如图4，当点在线段的延长线上时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， 综上可得：的长为或10． 【点睛】本题考查了图形的折叠问题，涉及到了勾股定理、矩形的判定与性质、解一元一次方程等知识，解题关键是利用勾股定理建立方程，正确画出图形，运用分类讨论的思想方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $