精品解析：2025年山东省德州市夏津县中考第一次练兵考试数学试题

2024-2025学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间为120分钟） 注意事项：1．等卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分． 1. 的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是2025， 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 3. 2025年春节档电影票房持续突破，其中《哪吒2》票房位列全球影史票房榜第五位，截至目前，《哪吒2》累计票房超过154亿．数据154亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：154亿， 故选：C． 4. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】其俯视图为： ． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、合并同类项、同底数幂除法、完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则、准确进行判断． 【详解】解：A．，计算正确； B．不是同类项，不能合并，计算错误； C．，计算错误； D．，原计算错误； 故选：A． 6. 近似眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近似眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C. 0米米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数的性质即可得． 【详解】设反比例函数的解析式为， 由题意，将点代入得：，解得， 则反比例函数的解析式为， 当时，， 在范围内，y随x的增大而减小， 当时，， 即若要配制一副度数小于400度的近似眼镜，则镜片焦距的取值范围是米， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法和反比例函数的性质是解题关键． 7. 如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据点B，找到十二等分点的第六个分点E，连接，则为圆上的直径，连接，取的中点O，连接、，在证为等边三角形，根据刻度尺得出圆半径，根据圆周角定理得为直角三角形，根据勾股定理即可求出． 【详解】如图，在圆上取点E，连接，使得为圆上的直径，连接，取的中点O，连接、， C、D均为圆周上十二等分点， 占2个分点，， ， 为等边三角形， C点、D点分别与刻度1和4对齐， ，即， 由图可知：占4个分点，为直径， 占2个分点，，， ， ， 中 ， 故选：C． 8. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 9. 如图，在中，，，作如下作图； ①以点B圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点M、N； ②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； ③作射线交于点D；根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ） ①是等腰三角形 ② ③ ④ A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线基本作图，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握基本作图和性质是解题的关键．根据，，得到，可判断②正确；结合基本作图，得到，得到，可以判断①③正确；根据得到即解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴②正确； 根据基本作图， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴①③正确； 根据题意，得， ∴即， ∴④正确； 故选D． 10. 小明测量一种玻璃球的体积，他的测量方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，先设一个球的体积为，根据4个球排开水的体积不到，5个球排开水的体积超过得出不等式组，求出解集即可． 【详解】设一个球的体积为，根据题意，得 ， 解得， 一个玻璃球的体积可能是． 故选：C． 第II卷 （非选择题共110分） 二、填空题：本大题共5小题，共记20分，只要求填写最后结果，每小题填对4分． 11. 因式分解：_____________． 【答案】3a（a-3） 【解析】 【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式即可． 【详解】解：3a2-9a=3a（a-3）． 故答案为：3a（a-3）． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键． 12. 若、是方程的两根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，由方程的解可得，代入，再根据根与系数的关系得到，代入求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 一个不透明袋子中装有4个分别标有化学元素符号、、、的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，掌握树状图法或列表法求概率是解题的关键．先根据题意列表，再由列表得出所有等可能的结果数以及符合题意的结果数，最后根据概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下： 由表格可知，共有12种等可能的情况，其中所标元素能组成“（一氧化氮）”的情况有2种， 即所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是， 故答案为： 14. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，取的中点，的中点．则在旋转过程中，线段的最小值________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形的三边关系，解题的关键是掌握旋转的性质。 连接，根据将绕顶点顺时针旋转得到，可得，， 由为的中点，知，求出，当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时． 【详解】解：连接，如图： 将绕顶点顺时针旋转得到， ，， 为的中点， ， ，为中点， ， 在中，， 当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时，如图： 的最小值为． 故答案为：． 15. 如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：，，，，，，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求项的值． 根据题目中的数据可以写出前几项，从而可以根据变化特点，然后得到，，再结合，代入求出的值即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题共8小题，共记90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中为的正整数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握相关运算法则，准确计算． （1）根据负整数指数幂，立方根定义，进行求解即可； （2）根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 为的正整数，且和2， 当时，原式． 17. 如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）先根据条件利用两组对边平行或一组对边平行且相等证明是平行四边形，然后根据矩形的定义得到结论即可； （2）利用勾股定理得到长，然后利用矩形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 选择①， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 选择②， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴矩形的面积为． 18. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进我们的生活．现对甲、乙两款人工智能软件进行评分，将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．抽取的对甲款人工智能软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，90，94，95，98，98，99，100． 抽取对乙款人工智能软件的20条评分数据如图所示，其中组包含的所有数据：85，，，，，，，．（，，，） 抽取的对乙款人工智能软件的评分扇形统计图 抽取的对甲、乙两款人工智能软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方型 甲 86 85.5 96.6 乙 86 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，________； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有600名用户对甲款人工智能软件进行了评分，有800名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数． 【答案】（1）86.5、85、20； （2）乙款人工智能软件更受用户欢迎，理由见解析； （3）340名． 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握中位数，众数，百分比的计算，根据样本估算总体数量的方法，由调查数据作决策的方法是解题的关键． （1）根据中位数，众数，百分比的计算方法即可求解； （2）根据调查数据作决策即可； （3）根据样本百分比估算总体数量即可． 【小问1详解】 解：对甲款人工智能软件的所有评分数据中，共有20个评分，其中出现的次数最多， ∴， 为保证对甲款人工智能软件和对乙款人工智能软件的公平性，乙款抽取的样本容量为20， ∴对乙款人工智能软件评分在A组的数据为， 在B组的数据为， 在C组的数据为8， 在D组的数据为， ∴中位数是第10和11的平均数，即， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 乙款人工智能软件更受用户欢迎， 由表知，甲、乙款软件评分的平均数相等，而乙款软件评分的中位数大于甲款， 所以乙款软件评分高的人数多于甲款， 所以乙款人工智能软件更受用户欢迎； 【小问3详解】 （名）， 答：估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数为340名． 19. 某体育用品店购进甲、乙两种足球．已知甲、乙两种足球进货单价之和为元，店主第一批购买甲种足球个、乙种足球个一共花费元． （1）问甲、乙两种足球的进货单价分别是多少元？ （2）若甲种足球每个获利元，乙种足球每个获利元，该体育用品店预备第二批购进甲、乙两种足球共个，在费用不超过元的情况下，如何进货才能保证利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲种足球的进货单价为元，乙种足球的进货单价为元 （2）当购进甲种足球个，购进乙种足球个时，获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（）设甲种足球的进货单价为元，则乙种足球的进货单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进甲种足球的数量为个，则购进乙种足球的数量为个，由题意列出不等式求出的取值范围，再根据题意求出与之间的一次函数关系式，进而根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意求出甲、乙两种足球的进货单价是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲种足球的进货单价为元，则乙种足球的进货单价为元， 由题意得，， 解得， ， 答：甲种足球的进货单价为元，乙种足球的进货单价为元； 【小问2详解】 解：设购进甲种足球的数量为个，则购进乙种足球的数量为个， 由题意得，， 解得， 又由题意得，， ， 随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为元， 此时购进乙种足球个， ∴当购进甲种足球个，购进乙种足球个时，获利最大，最大利润为元． 20. 解答 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 德百旅游小镇游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服条窗口前恰好有宽的阴影，如图3． 任务1 求遮阳棚前端到墙面的距离． 任务2 当时，求线段的长度． 结果精确到，参考数据： 【答案】任务1：遮阳棚前端到墙面的距离约为；任务2：线段的长度约为． 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是关键． 任务1：过点作，垂足为，在中，，由此即可求解； 任务2：延长交于点，则，在Rt中，，，，，由此即可求解． 【详解】解：任务1：过点作，垂足为， 在中，， ， 遮阳棚前端到墙面的距离约为； 任务2：延长交于点，则， 由题意得：， ， ， 在Rt中，， ， 在Rt中，， ， ， ， ， 线段的长度约为. 21. 如图，在中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）圆周角定理推出，根据，结合三角形的内角和定理，推出，即即可得证； （2）连接，易得，直径得到在中，勾股定理求出的长，三角函数求出的长即可． 【小问1详解】 证明： ． ， ． 即 ． 又∵为半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：连接． ∴． 是直径， ． 在中，． ． 又是直径 的半径长为． 22. 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 【猜想论证】（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②4；（2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． （1）①根据含30度的直角三角形的性质解答； ②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为：4； （2）猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 已知二次函数的图像经过点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式． （2）若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围． （3）若把二次函数的图像沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论． （1）将，代入，利用待定系数法求出函数解析式； （2）先求得二次函数的开口向上，顶点坐标为，当时，，由二次函数的对称轴为直线，可得当或时，，求出的取值范围； （3）根据函数的性质，图像向左或向右平移，在自变量的值满足的情况下，对应的函数的最小值求出的值． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ，解得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：， 二次函数的开口向上，顶点坐标为， 当时，， 二次函数的对称轴为直线， 当或时，， 在范围内二次函数有最大值为，最小值为， ； 【小问3详解】 解：由（2）可得的对称轴为1， 且抛物线在范围内随的增大而增大， 抛物线在时有最小值为， ①向左平移个单位，即当时，存在与其对应的函数值的最小值， ， 将代入得：， 或， 向左平移， ， ； ②向右平移个单位，当平移后对称轴在2左边时，即，函数在处取得最小值， 即， 解得：，都不符合题意； 当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值； 当平移后对称轴在3右边时，即时，函数在时，存在的最小值， ， 解得：，，（舍去） ， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级第一次模拟考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项：1．等卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分． 1. 的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年春节档电影票房持续突破，其中《哪吒2》票房位列全球影史票房榜第五位，截至目前，《哪吒2》累计票房超过154亿．数据154亿用科学记数法表示（　　） A. B. C. D. 4. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 近似眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近似眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ） A. 0米米 B. 米 C 0米米 D. 米 7. 如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（ ） A. B. C. D. 6 8. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，在中，，，作如下作图； ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点M、N； ②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P； ③作射线交于点D；根据以上作图，判断下列结论正确的有（ ） ①是等腰三角形 ② ③ ④ A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 小明测量一种玻璃球的体积，他的测量方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积可能是（ ） A B. C. D. 第II卷 （非选择题共110分） 二、填空题：本大题共5小题，共记20分，只要求填写最后结果，每小题填对4分． 11. 因式分解：_____________． 12. 若、是方程的两根，则的值为___________． 13. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号、、、的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是_______． 14. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，取的中点，的中点．则在旋转过程中，线段的最小值________． 15. 如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：，，，，，，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，若，则的值为______． 三、解答题：本大题共8小题，共记90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中为的正整数． 17. 如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 18. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进我们的生活．现对甲、乙两款人工智能软件进行评分，将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．抽取的对甲款人工智能软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，90，94，95，98，98，99，100． 抽取的对乙款人工智能软件的20条评分数据如图所示，其中组包含的所有数据：85，，，，，，，．（，，，） 抽取的对乙款人工智能软件的评分扇形统计图 抽取的对甲、乙两款人工智能软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方型 甲 86 85.5 96.6 乙 86 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，________； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有600名用户对甲款人工智能软件进行了评分，有800名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数． 19. 某体育用品店购进甲、乙两种足球．已知甲、乙两种足球进货单价之和为元，店主第一批购买甲种足球个、乙种足球个一共花费元． （1）问甲、乙两种足球的进货单价分别是多少元？ （2）若甲种足球每个获利元，乙种足球每个获利元，该体育用品店预备第二批购进甲、乙两种足球共个，在费用不超过元的情况下，如何进货才能保证利润最大，最大利润是多少？ 20. 解答 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 德百旅游小镇游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服条窗口前恰好有宽的阴影，如图3． 任务1 求遮阳棚前端到墙面的距离． 任务2 当时，求线段的长度． 结果精确到，参考数据： 21. 如图，在中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，求半径长． 22. 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 【猜想论证】（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 23. 已知二次函数的图像经过点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式． （2）若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围． （3）若把二次函数的图像沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $