精品解析：江苏省常熟市2025年4月中考第一次适应性考试数学试题

初三数学 （满分130分，时间120分钟） 一、选择题：本大题共8小题．每小题3分．共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上． 1. 5的相反数是( ) A. B. C. D. 2. 下列图案中．既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 学校计划从甲、乙两人中选拔 名同学参加市知识竞赛，两位同学 次知识竞赛选拔的成绩如图，其成绩的方差分别记作、，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 如图， 为 的内接三角形，是 的直径，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知线段 ，利用直尺和圆规作 的垂直平分线，下列4个作图中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图．一束平行于主光轴的光线a经凸透镜后，光线传播的方向发生改变，其与一束经过光心O的光线b（此光线的方向不发生改变）相交于点E，与主光轴相交于点F．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图． 中，，，， 为平面内一点，且，过点B作，与的延长线相交于点E，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卷相应位置上． 9. 要使分式有意义，则x的取值范围为_______． 10. 截止年年底某市有城镇污水处理厂 座，总规模为日处理污水万吨．数据“”用科学记数法表示为_______． 11. 分解因式_______． 12. 已知是关于 的一元二次方程的一个解，则代数式的值为_______． 13. 如图，大正方形游戏板是由 个全等的直角三角形和 个小正方形（图中阴影部分）拼成的“弦图”，已知直角三角形的两条直角边的长度分别为，．假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是_______． 14. 校“爱心义卖”活动中，某班设计了一份宣传海报，如图海报中的“爱心”是由菱形 的一组邻边 、 和两条等弧连接而成，两条等弧所在的圆分别与 和 相切于点 、点．若，，则“爱心”的周长（图中实线部分的长度）为_______．（结果保留根号、保留 ） 15. 如图，在中，，， 为 的中点， 为 边上一点，将沿 翻折得到，与 交于点 ，若的面积是的 倍，则 的长为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点为A，点B为直线l上位于第一象限内的一点，以 为斜边，在直线l的右侧作等腰直角 ，若点B、点C均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则k的值为_______． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在 中，， 是 的中点，E是 的中点，过点A作，且与 的延长线交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 某社区周六的“图书漂流站”青年志愿者服务活动共有 名女生和 名男生报名． （1）社区从报名者中随机抽取 名志愿者参加本次活动，抽中男生的概率为_______； （2）若社区需从报名者中随机抽取 名志愿者参加本次活动，求抽中的志愿者是“一男一女”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 22. 目前，国际上常用身体质量指数来衡量人体胖瘦程度，其计算公式为（其中表示体重，单位为； 代表的是身高．单位是）．某兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行抽样调查，从该校所有七年级学生中随机抽出若干名，测得他们的身高和体重，计算出相应的数值．并按中国人的数值标准分为四组为： ．为偏瘦；．为正常；．为偏胖； ．为肥胖．对所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： （1）参加本次调查的学生的人数为_______； （2）请将频数分布直方图补全，并求出 组对应的扇形的圆心角的度数； （3）本校七年级共有名学生，请估计全校七年级胖瘦程度正常的学生人数． 23. 某液压式千斤顶有两根支撑杆，如图①，支撑杆 可绕A点旋转，支撑杆 的一端与 杆相连，另一端C在液压棒的推动下沿滑动．已知支撑杆 的长度的长度为，点A到的距离 为． （1）千斤顶的起始（收起）状态如图②所示，此时，求 的长； （2）如图③，为抬高某物体，液压棒推动点C从起始位置滑动到点，此时支撑杆与所夹的，且，求点C滑动的距离的长度（结果保留根号）． 24. 如图，一次函数的图象与 轴相交于 点，与反比例函数的图象相交于点，且点的纵坐标为 ． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是 轴上的一点，且，过点作 轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，连接，求的面积的最大值并求此时 的值． 25. 如图， 中，D为 上一点，， 是的外接圆，为 的直径，连接 ． （1）求证 为 的切线； （2）若⊙O的直径，求 的长． 26. 甲乙两名同事计划周末登“虞山”，两人从山下同一地点出发，相约之前到达山顶某景区，甲先出发，中途在休息一段时间后保持原速继续登山；乙晚出发分钟，比甲早到达山顶．从开始计时，时长记为 分钟，甲、乙两人登山的路程记为、．甲、乙两人登山的路程、与时长 之间的函数关系如图所示． （1）乙到达山顶的时间为_______； （2）记甲的速度为，乙的速度为． ①甲、乙两人的速度之比的值为_______； ②已知甲的速度米/分钟，在乙登山的过程中，若，求 的值． 27. 在平面直角坐标系 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（a为常数且 ）与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点P． （1）若，则抛物线的顶点坐标为_______，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有_______个； （2）如图①，连接、、 ，若 是直角三角形，求a的值； （3）若抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，请直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 （满分130分，时间120分钟） 一、选择题：本大题共8小题．每小题3分．共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上． 1. 5的相反数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义解答． 【详解】解：只有符号不同的两个数称为互为相反数， 则5的相反数为-5， 故选D. 【点睛】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 2. 下列图案中．既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形和中心对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A中、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D中、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘除，幂的乘方计算，再进行判断即可． 【详解】解：，A选项错误，不符合题意； ，B选项错误，不符合题意； ，C选项错误，不符合题意； ，D选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 学校计划从甲、乙两人中选拔 名同学参加市知识竞赛，两位同学次知识竞赛选拔的成绩如图，其成绩的方差分别记作、，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，解答本题的关键是熟练掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义解答即可． 【详解】解：∵图可知甲的成绩波动程度比乙的成绩的波动程度大， ∴， 故选：A． 5. 如图，为 的内接三角形，是 的直径，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，属于基本题目，熟练掌握该知识是解题的关键．由是 的直径，可得 ，，根据同弧所对的圆周角相等可得，再根据角的和差即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵是 的直径， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 6. 已知线段 ，利用直尺和圆规作 的垂直平分线，下列4个作图中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，熟知相关作图方法是解题的关键．根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可判断． 【详解】解：在图①中，由作图可知，，， ∴是 的垂直平分线，故①符合题意； 在图②中，由作图可知，，平分， 由等腰三角形“三线合一”可知，是 的垂直平分线，故②符合题意； 在图③中，由作图可知，，， ∴是 的垂直平分线，故③符合题意； 在图④中，由作图可知，，， ∴不是 的垂直平分线，故④不符合题意； 综上，4个作图中正确的有①②③，共3个， 故选：C． 7. 如图．一束平行于主光轴的光线a经凸透镜后，光线传播的方向发生改变，其与一束经过光心O的光线b（此光线的方向不发生改变）相交于点E，与主光轴相交于点F．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据对顶角相等得到，再根据三角形的外角性质求得，最后根据平行线的性质，即得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 8. 如图．中，，，， 为平面内一点，且，过点B作，与的延长线相交于点E，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，根据勾股定理可得，，再证，得，则即：当取得最大值是，的面积取得最大值，由，，根据圆周角定理可知， ， ， ， 四点共圆，点 在以 为直径的圆上，可知的最大值为3，即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴，， ∵，则， ∵， ∴， ∴，则 即：当取得最大值时，的面积取得最大值， ∵，， 由圆周角定理可知， ， ， ， 四点共圆， ∴点 在以 为直径的圆上， ∴，即的最大值为3， ∴的最大值为， 故选：B． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卷相应位置上． 9. 要使分式有意义，则x的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义，则要求分式分母不为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵要使分式有意义， ∴，即． 故答案为：． 10. 截止年年底某市有城镇污水处理厂 座，总规模为日处理污水万吨．数据“”用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数是解题的关键．确定大数的 的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 分解因式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则代数式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握整体代入法求代数式的值的方法是解题的关键．将代入，得出，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴将代入， 得：， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 如图，大正方形游戏板是由 个全等的直角三角形和 个小正方形（图中阴影部分）拼成的“弦图”，已知直角三角形的两条直角边的长度分别为，．假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是几何概率，勾股定理，全等三角形，熟记概率公式是解题的关键．先根据题意求出大正方形及阴影部分的面积，再利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长度分别为，， ∴大正方形的边长的平方， ∴大正方形的面积， ∵阴影部分正方形的边长， ∴阴影部分正方形的面积， ∴飞镖击中阴影部分的概率， 故答案为：． 14. 校“爱心义卖”活动中，某班设计了一份宣传海报，如图海报中的“爱心”是由菱形的一组邻边 、 和两条等弧连接而成，两条等弧所在的圆分别与 和 相切于点 、点 ．若，，则“爱心”的周长（图中实线部分的长度）为_______．（结果保留根号、保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形性质，圆的切线的性质，含 角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，弧长公式等，解题的关键是熟练掌握这些性质．过点 作于点 ，利用菱形性质得出，，结合切线性质和等腰三角形的性质求出，，则可得，，，即可求出优弧的长度，同理优弧的长度，即可求解． 【详解】解：如图，过点 作于点 ， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵ 与 相切， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴优弧的长度为， 同理优弧的长度为， ∴“爱心”的周长为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，， 为 的中点，为 边上一点，将沿 翻折得到，与交于点，若的面积是的倍，则 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，过点作于点 ，过点 作于点 ，于点 ，先求出，则，根据的面积是的倍得，再由三角形的面积公式得，由此得，进而得，由折叠性质得，，，继而得，再由三角形的面积公式得，则，由此得，据此可判定四边形是平行四边形得，然后在中，由勾股定理即可求出 的长． 【详解】解：连接，，过点作于点 ，过点 作于点 ，于点 ，如图所示： 在中，，，， ， 为 的中点， ， 的面积是的倍， ， ， ， 于点 ， ，， ， ， ， ， 由折叠性质得：，，， 于点 ，于点 ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 在中，， 的长为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点为A，点B为直线l上位于第一象限内的一点，以 为斜边，在直线l的右侧作等腰直角，若点B、点C均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则k的值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查反比函数与几何综合，全等三角形的判定及性质，由直线解析式得，过点 作轴于点，过点 作于 ，则，设，则，，，根据是等腰直角三角形，证明，得，，则点 的坐标为，再代入解析式，可得，，进而求得 的值． 【详解】解：对于直线，当 时， ，则点 的坐标为， ∴， 过点 作轴于点，过点 作于 ，则， 设，则，，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ， 则， ∴， ∴， ∴，， ∴点 的坐标为， ∵点 在直线上，也在反比例函数的图象， ∴，， 整理得①， ②， 将①代入②得③， 由得， ∴，即， 解得：， 故答案为：6． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是解题关键．按照实数混合运算的法则进行计算即可，需注意非零有理数的零次幂等于1的法则． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．分别求解两个一元一次不等式，即可得到一元一次不等式组的解． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解为：． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简得，代入求值得 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，代数式求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先利用分式混合运算法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 将代入，得原式． 20. 如图，在中，， 是 的中点，E是 的中点，过点A作，且与 的延长线交于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形的中位线的性质，理解相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由题意可知 是的中位线，，进而可得，则，由，得，再利用即可证明结论； （2）由（1）可知 是的中位线，得，则，根据，得，由即可求解． 【小问1详解】 证明：∵ 是 的中点，E是 的中点， ∴ 是的中位线，， ∴，则， ∵， ∴， 在与中，， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知 是的中位线，， ∴，则， ∵， ∴， ∴． 21. 某社区周六的“图书漂流站”青年志愿者服务活动共有名女生和 名男生报名． （1）社区从报名者中随机抽取 名志愿者参加本次活动，抽中男生的概率为_______； （2）若社区需从报名者中随机抽取 名志愿者参加本次活动，求抽中的志愿者是“一男一女”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1）； （2）志愿者是“一男一女”的概率． 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表格求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键． （ ）男生人数除以学生总数即为所求概率； （ ）画出树状图，列举出所有情况，恰好是“一男一女”的情况数占总情况数即可． 【小问1详解】 解：社区从报名者中随机抽取 名志愿者参加本次活动，抽中男生的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画出树状图， 共有种等可能的结果，志愿者是“一男一女”的结果数为种， ∴志愿者是“一男一女”的概率． 22. 目前，国际上常用身体质量指数来衡量人体胖瘦程度，其计算公式为（其中表示体重，单位为； 代表的是身高．单位是）．某兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行抽样调查，从该校所有七年级学生中随机抽出若干名，测得他们的身高和体重，计算出相应的数值．并按中国人的数值标准分为四组为： ．为偏瘦； ．为正常； ．为偏胖； ．为肥胖．对所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： （1）参加本次调查的学生的人数为_______； （2）请将频数分布直方图补全，并求出 组对应的扇形的圆心角的度数； （3）本校七年级共有名学生，请估计全校七年级胖瘦程度正常的学生人数． 【答案】（1） （2） 补全频数分布直方图如图： （3）人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，样本估计总体、扇形统计图，根据统计图得出必要的信息是解题的关键． （1）根据 组的频数为 ， 组占总体百分比为 ，即可得到本次调查的学生人数； （2）求出 组的人数，即可补全频数分布直方图，根据 组的占总体的百分比乘以，即可得到扇形统计图中 组对应的圆心角度数； （3）根据样本估计总体即可得到结果． 【小问1详解】 解：∵ 组的频数为 ， 组占总体百分比为 ， ∴参加本次调查的学生的人数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解： 组人数为， ∴ 组对应的扇形的圆心角的度数为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全校七年级胖瘦程度正常的学生人数是人． 23. 某液压式千斤顶有两根支撑杆，如图①，支撑杆可绕A点旋转，支撑杆的一端与杆相连，另一端C在液压棒的推动下沿滑动．已知支撑杆的长度的长度为，点A到的距离 为． （1）千斤顶的起始（收起）状态如图②所示，此时，求 的长； （2）如图③，为抬高某物体，液压棒推动点C从起始位置滑动到点，此时支撑杆与所夹的，且，求点C滑动的距离的长度（结果保留根号）． 【答案】（1）的长度为 （2）点C滑动的距离的长度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，股股定理，矩形的判定与性质： （1）过点C作，垂足为E，判断四边形为矩形，可求出 ，设，求出．然后在中，根据勾股定理求出的值，即可解答； （2）过点作于点H，过点作于点G，设交点为，交点为 ，则四边形都是矩形，解直角三角形求出，，，，，勾股定理求出，在中，，即可求出，由，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点C作，垂足为E， 由题意可知，， 又， 四边形为矩形． ， ， 设， ， ． ， 在中，． ∴，整理得：， 解得：或（舍去）， ∴ 答：的长度为； 【小问2详解】 解：过点作于点H，过点作于点G，设交点为，交点为 ， 则四边形都是矩形， ∴， 由题意可知， 在中，， ， 由（1）知， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， 答：点C滑动的距离的长度为． 24. 如图，一次函数的图象与轴相交于 点，与反比例函数的图象相交于点 ，且点 的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是 轴上的一点，且，过点 作轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，连接，求的面积的最大值并求此时的值． 【答案】（1）反比例函数解析式为； （2）当时，有最大值，最大值为 ． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数最值问题，熟练掌握该知识点是解题的关键． （ ）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （ ）根据题意列出，根据二次函数最值问题解答即可． 【小问1详解】 解：∵点 在一次函数的图象上，且点 的纵坐标为， ∴，解得 ， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵点是 轴上的一点，且，过点 作轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点， ∴，， ∴ ∴ ； ∴当时，有最大值，最大值为 ． 25. 如图，中，D为 上一点，， 是的外接圆，为 的直径，连接 ． （1）求证 为 的切线； （2）若⊙O的直径，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵为 的直径， ∴，则， ∵， ∴， 又∵， ∴，则， ∴， ∴ 为 的切线； （2） 的长为28 【解析】 【分析】（1）由直径所对圆周角为直角可知，根据圆周角定理可知，结合，可知，进而证明结论； （2）由（1）可知，进而解直角三角形求得，，连接 ，由圆周角定理可知，进而解直角三角形求得，，过点 作于，则，，得，再证，得，设，则，根据，列方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，则， 连接 ， ∵为 的直径， ∴， ∵， ∴，则， ∴，则， 过点 作于，则，， ∴， ∵，， ∴， 则， 设，则 ∵，即， ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 26. 甲乙两名同事计划周末登“虞山”，两人从山下同一地点出发，相约之前到达山顶某景区，甲先出发，中途在休息一段时间后保持原速继续登山；乙晚出发分钟，比甲早到达山顶．从开始计时，时长记为 分钟，甲、乙两人登山的路程记为、．甲、乙两人登山的路程、与时长 之间的函数关系如图所示． （1）乙到达山顶的时间为_______； （2）记甲的速度为，乙的速度为． ①甲、乙两人的速度之比的值为_______； ②已知甲的速度米/分钟，在乙登山的过程中，若，求 的值． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查函数的图象的应用，一元一次方程的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据乙出发的时刻和到达景区所用的时间计算即可； （2）①根据速度路程 时间分别用含的代数式将甲、乙的速度表示出来并求出二者的比值即可； ②根据甲的速度和甲、乙的速度比值求出乙的速度，由路程速度时间分别求出、的关于 的函数关系式并代入，得到关于 的方程并求解即可． 【小问1详解】 解：∵分钟小时， ∴乙到达山顶的时间为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①（米分钟）， （米分钟）， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴，（米分钟）， 则， 当时，； 当时，； 当时，． 由在乙登山的过程中，即时， 当时，， 解得（舍）， 当时，， 解得或（舍去）， 当时，， 解得， 综上所述，或 ． 27. 在平面直角坐标系 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（a为常数且 ）与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点P． （1）若，则抛物线的顶点坐标为_______，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有_______个； （2）如图①，连接、、 ，若是直角三角形，求a的值； （3）若抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1），15 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，可得抛物线的顶点 的坐标为，再求得点 的坐标为，点 的坐标为，点 的坐标为，当 时， ，结合图形即可求得“整数点”的个数； （2）先求得抛物线的顶点 的坐标为，点 的坐标为，点 的坐标为，则，，，再分三种情况，当时，当时，当时，分别根据勾股定理列出方程即可求解； （3）由（2）可知顶点 的坐标为，点 的坐标为，点 的坐标为，点 的坐标为，则轴上有5个“整数点”，可知在轴上方只有3个“整数点”，找到在轴上方只有3个“整数点”的临界情况，结合图形即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴抛物线的顶点 的坐标为， 当 时， ， ∴点 的坐标为， 当 时，，解得，， ∴点 的坐标为，点 的坐标为， 当 时， ， 结合图形可知，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有个， 故答案为：，15； 【小问2详解】 ， ∴抛物线的顶点 的坐标为， 当 时，， ∴点 的坐标为， 当 时，，解得，， ∴点 的坐标为，点 的坐标为， 则，，， 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 此时方程无解； 综上，当或时，是直角三角形； 【小问3详解】 由（2）可知顶点 的坐标为，点 的坐标为，点 的坐标为，点 的坐标为，则轴上有5个“整数点”， ∴在轴上方只有3个“整数点”， 当与 轴得交点 为“整数点”时，，即，此时顶点 的坐标为，并非“整数点”， 可知此时，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个，符合题意； 当，即时，显然在轴上方没有3个“整数点”，不符合题意； 当顶点 的坐标为“整数点”，且在上方时，，即，此时点 的坐标为，并非“整数点”， 可知此时，在轴上方有4个“整数点”，不符合题意； 当时，即时，显然在轴上方不止3个“整数点”，不符合题意； 综上，当时，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”恰好有8个． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，勾股定理，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $