压轴专题08 三角函数性质及求w（11大题型）-2025年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）

压轴专题08 三角函数性质及求w归类 “五点画图法” 是绘制三角函数（如正弦函数、余弦函数）图像的常用方法，通过确定一个周期内的五个关键点位，快速勾勒出函数图像的大致形状 一、求函数的解析式. 确定的步骤和方法: (1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，； (2)求：确定函数的周期，则可； (3)求：常用的方法有代入法和五点法． ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口． 二、（1）定义域：解三角函数不等式用“数形结合” （2）值域：由内向外 ③单调性：同增异减 （3）周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝ ②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝. （4）对称性： 换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解． （5）对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程； （6）对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标； （7）（正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”： （8）余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”： 三、y＝Asin(ωx＋φ)型求ω归纳： 1.已知单调区间，则必有. 2.如果两条相邻轴或者相邻中心：（或者），则必有 3.已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则 4.已知2条对称轴（或者2个对称中心），由于对称轴（或者对称中心的水平距离）为，则 5.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间内有n个零点，则满足 6.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间内没有零点，则满足 压轴题型一：核心技巧：五点画图 √满分技法 五点画图法，是高中解决函数图像性质的小题的“终极实战大法”也是被许多一线老师忽略的的基本方法，合理利用这个方法，能达到“小题不大作”的神奇效果。 确定的步骤和方法: (1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，； (2)求：确定函数的周期，则可； (3)求：常用的方法有代入法和五点法． ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口． 1．关于函数，下面结论成立的是（    ） A．在区间上的最大值为 B．在区间上单调递增 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】根据的范围计算的整体范围，求出函数的最大值，从而判断A；将变换为，根据所给范围以及复合函数单调性可判断B；化简可判断C选项；根据正弦函数的对称性求出函数的对称中心可判断D. 【详解】解：A选项：因为，所以，则， 即在区间上的最大值为.故A不正确； B选项：因为，则，所以在上单调递增， ，所以在上单调递减，故B不正确； C选项：，故C不正确； D选项：当时，，所以为的图象的对称中心，故D正确. 故选：D 2．已知函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列结论： ①；    ②当时，； ③函数的单调递减区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据图象，求出函数的解析式，在结合正弦函数的图象和性质，逐项分析，即可得到答案. 【详解】由图象可知：，. 由，又，所以. 所以. 因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②正确； 由，，， 所以函数的单调递减区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到的图象，故④错误. 故选：C 3．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】利用诱导公式和三角函数平移原则即可得到答案. 【详解】, 则将其往左平移个单位长度即可得. 故选：A. 4．已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．关于点对称 C．在区间上的最大值为 D．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称 【答案】D 【分析】A选项，利用辅助角公式化简，然后利用周期公式求；B选项，利用代入检验法判断；C选项，利用换元法求最值；D选项，根据图象的平移得到平移后的解析式，然后判断即可. 【详解】对A，，因为的最小正周期为，所以，解得，故A错； 对B，，所以不关于对称，故B错； 对C，，则，所以当时取得最大值，最大值为2，故C错； 对D，平移后的解析式为，关于轴对称，故D正确. 故选：D. 5．函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论不正确的是（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．函数在区间上的值域为 【答案】D 【分析】利用等差数列的概念和三角函数的性质可知，再依据图像的平移的性质得到函数，选项A：，根据正弦函数的奇偶性可知判断A；选项B：直接代入函数中，看结果是否为最值；选项C：利用正弦函数的单调性可求得单调区间；选项D：求得的导函数后，利用三角恒等变换化简为最简解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数的值域． 【详解】解：设的最小正周期为T， 由题意可知：，即， 且则，可得， 所以， 对于选项A：，为奇函数，故A正确； 对于选项B：因为，为最小值， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于选项C：因为，则， 且在内单调递增，所以在区间上单调递增，故C正确； 对于选项D：因为， 且，则，可得 所以，故D错误． 故选：D 压轴题型二：核心思想：轴与中心 √满分技法 正弦函数对称轴 （k∈Z）时，ymax＝1；（k∈Z）时，ymin＝－1 余弦函数对称轴 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1 正弦函数对称中心 (kπ，0)(k∈Z) 余弦函数对称中心 (＋kπ，0)(k∈Z) 正切函数对称中心 (，0)(k∈Z) 1．对于函数，给出下列结论： ① 函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是； ③函数的零点为； ④若函数是偶函数，则的最小值为； 其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，得到，再根据正弦函数的性质对个命题逐一判断，即可求解. 【详解】因为 ， 对于命题①，因为， 所以函数的图象不关于点对称，故命题①错误； 对于命题②，令，解得， 所以函数的对称轴是，，故命题②正确； 对于命题③，令，解得， 所以函数的零点为，故命题③正确， 对于命题④，因为为偶函数， 所以，解得， 所以的最小值为，故命题④正确； 故选：D. 2．已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由辅助角公式先化简，由题意有解出即可. 【详解】由， 因为在区间上有且仅有4个零点和3条对称轴， 所以，即. 故选：B. 3．设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元，将原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t，使得，继而数形结合，列出符合题意的不等式，求得答案. 【详解】令，则，令，则， 则原问题转化为在区间上至少有2个，至多有3个t， 使得，求的取值范围； 作出和的图象，如图： 结合图象可知满足条件的最短区间的长度为， 最长区间的长度为， 故得，解得，即， 故选：B 4．已知函数图象的一条对称轴是，且在上有且仅有两个对称中心，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的对称性可得出，解出的表达式，由可求出的取值范围，结合题意可得出关于的不等式，解出的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式. 【详解】因为函数图象的一条对称轴是， 则，解得， 当时，， 因为函数在上有且仅有两个对称中心，则，解得， 故，所以， . 故选：B. 5．已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简后，根据正弦函数的图象与性质列出不等式求解即可. 【详解】因为， 且当时，， 因为函数在内恰有3个最值点和3个零点， 所以，解得， 故选：D． 压轴题型三：求w归类：最小平移型 √满分技法 平移型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出值或者范围。 11．已知奇函数的定义域为，对任意均有，且当时，. 将的图象向左平移个单位，在该过程中，的图象恰好经过点共次，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到函数的对称性与周期性，即可画出函数图象（部分），依题意可得的图象在区间上与直线有个交点，结合图象得到的取值集合. 【详解】因为为定义域为的奇函数，所以， 又对任意均有，所以，所以关于对称， 所以，所以为周期为的周期函数， 又当时，， 所以的部分图象如下所示： 因为将的图象向左平移个单位，在该过程中，的图象恰好经过点共次， 所以的图象在区间上与直线有个交点，又，结合图象可知的取值集合为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出函数的对称性与周期性，再数形结合. 2．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上,则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的解析式，根据在上递增可得，再根据最大的负零点的范围可得，故可得的取值范围. 【详解】， 令，则. 故轴右侧的第一条对称轴为，左侧第一条对称轴为， 所以，所以. 令，则，故， 最大的负零点为，所以即， 综上，，故选B. 【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变量作相应的变化，而且周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的也有影响.三角函数图像问题中的参数的取值范围问题，常常需要结合图像的对称轴和对称中心来考虑. 3．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先根据图象的变换得出，根据函数的单调性确定时，，的最大负零点在区间上只需由解得,求的交集即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度, 可得， 在区间上单调递增， 的最大负零点在区间上， ， 即，① 令，得， 又的最大负零点在区间上， 所以只需, 解得② 由①②及已知条件可知， 故选：B 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象变换，单调性，零点，属于中档题. 4．已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数图象的平移可得，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质、平面几何的知识即可得出，即可得解. 【详解】由条件可得，，作出两个函数图象，如图：    ，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，. 由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，， 由，整理得，得， 则，所以， 要使为钝角三角形，只需即可， 由，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于的不等式，运算即可. 5．若将函数y＝2cosx（sinx+cosx）﹣1的图象向左平移个单位，得到函数是偶函数，则的最小正值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式为，利用函数平移法则可得，由奇偶性可得，从而可得结果. 【详解】化简函数 ， 向左平移个单位可得， 因为是偶函数， ，， 由可得 的最小正值是，故选A. 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性以及三角函数图象的“平移变换”法则，属于中档题.已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时，是奇函数；（2） 时，是偶函数. 压轴题型四：求w归类：单调性与对称轴结合 √满分技法 正弦函数对称轴 （k∈Z）时，ymax＝1； （k∈Z）时，ymin＝－1 余弦函数对称轴 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1 若的图像关于直线对称,则或. 1．已知函数在区间上存在最大值和最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化相位为整体变量，再结合正弦曲线，根据题意可得到不等式求范围. 【详解】因为，，所以． 画出的图象，如图．    由图，得或，解得或． 故选:C． 2．已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦型函数图像的单调性和对称性，通过最小正周期求出参数和，得到函数的解析式，代入求值即可. 【详解】由题意，函数的最小正周期满足，即所以. 因为是函数图像的对称轴，所以， 解得，又因为，所以. 所以，则. 故选：B. 3．已知函数在上单调，其图象的一条对称轴为直线，则的值不可能是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式和逆用二倍角正弦公式化简后，利用正弦函数的性质列不等式组求解. 【详解】因为，所以， 由题意得，解得， 所以的值可以为． 故选：B． 4．已知函数在上单调，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则m的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数周期性将函数化简，再结合单调性计算出的取值，逐个验证后确定和的值，即得到函数的解析式，再根据题意得到平移后的函数解析式，最后结合函数图像的对称性质解得的最小值. 【详解】因为函数，又函数在上单调，所以函数的最小正周期，所以，又，所以，2，3. 若，则，且，又，则无解； 若，则，且，又，则； 若，则，且，又，则无解. 综上，. 所以函数的图像向右平移m个单位长度后对应解析式为， 因为关于轴对称，所以，.所以，，又，所以当时，m取最小值为. 故选：D. 5．已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（    ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【分析】利用的对称轴和在区间上的单调性，求得的值. 【详解】因为函数在上单调， 所以，得. 又直线为的图象的对称轴， 所以， 得，当时，. 故选：B. 压轴题型五：求w归类：单调性与对称中心结合 √满分技法 函数的性质： (1) . (2)周期 (3)由 求对称轴，由求对称中心. (4)由求增区间；由求减区间. 1．已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则和的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由是偶函数可得的值，图象关于点对称可得函数关系 ，得，结合函数的单调区间即可确定答案. 【详解】由是偶函数，得，故， 所以对任意都成立，且， 所以，因为，所以． 由的图象关于点对称，得， 令得，所以， 因为，所以， 又，得，， 解得， 当时，，在上是减函数； 当时，在上是减函数； 当时，在上不是单调函数． 综上可得，或． 故选：C． 2．函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，即可求得；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调， 且满足，而，, 即的一个对称中心为，故； 而，故在区间上单调， 设函数的最小正周期为T，则； 函数在区间上恰有2个零点，则恰好为第一个零点， 相邻两个零点之间相距半个周期， 故，即， 解得，结合， 可得的取值范围为， 故选：B. 3．已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据函数的图象关于点对称，得，再根据单调性可得，得到，进而得到答案. 【详解】将代入，得， 所以，得． 因为函数在上为增函数，此时， 所以，解得， 所以当时，， 故选：A. 4．已知函数，，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得，为正奇数且，结合为的零点，为图象的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值. 【详解】由，为图象的对称轴，得，则， 由在上单调，得，解得， 当时，，由，得，此时， 当时，，当时取得最大值1， 即在上不单调，不满足题意； 当时，，由，得，此时， 当时，，此时在上单调递减，符合题意， 所以的最大值为9. 故选：B 5．已知函数在内单调递增，则在内的零点个数最多为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先根据三角恒等变换化简得出函数解析式，再根据函数单调性得出，最后结合函数的零点得出零点个数. 【详解】函数 ， 在单调递增, 所以，所以， 则在，， 当时，时在内的零点个数最多， 当，即，函数有4个零点. 故选：B. 压轴题型六：求w归类：有无“零点”型 √满分技法 求w的表达式时，中不要把写成k,因为后面还有一个k, 中不要把写成k，否则不好研究w的最小值.它们本身就不一定相等. 无“心”型求w，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终的结果，对于其他否定性问题经常这样思考. 1．已知函数在上无零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，结合正弦函数的零点可得存在整数，使得成立，故可求的取值范围. 【详解】函数在上无零点， 当时， ， 由题设可得存在整数，使得成立， 解得， 而，故且，故. 当时，；当时，． 结合可得的取值范围为． 故选：D． 2．已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式可得，由函数在上无零点，结合正弦型函数图象与性质可知，，并且在的前提下，对进行赋值解不等式求出的取值范围即可. 【详解】因为， 所以若，则， 即， 则，又，解得， 又解得， 当时，； 当时，因为，所以可得． 所以． 故选：B 【点睛】本题考查利用辅助角公式和正弦型函数的图象与性质求参数的取值范围；考查知识的综合运用能力；属于难度较大型试题. 3．已知函数在区间内无零点，其图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据条件，确定函数的解析式，再求的值. 【详解】当时，． 由在区间内无零点，得，解得． 由的图象关于直线对称，得，解得，， 所以当时，，满足，从而， 所以. 故选：C 4．已知，若函数在上无零点，则不可能为第（    ）象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换将问题转化为方程无解，从而得到或，由此利用正弦函数的性质与辅助角公式即可得解. 【详解】因为， 令，则， 因为，所以，则， 所以， 又，所以，故， 因为在上无零点，所以在上无解， 因为，所以， 所以或， 当时，由于，所以， 因为，所以； 当时，，则，即，故， 因为，所以，故，则； 综上：或，所以不可能为第二角限角. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题的突破口是将问题转化为无解，从而熟练掌握三角函数的性质即可得解. 5．函数，且，若在内无零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过降幂公式及辅助角公式得到，再求出，由或结合即可求解. 【详解】，当时，， 则或， 解得或，又， 当，令，得，故； 当，令，得； 综上. 故选：D. 压轴题型七：求w归类：非特值多重根型 √满分技法 解决函数综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式． （2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解． （3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化． 1．已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，根据恒成立，得到，不妨取，画出图象，数形结合，利用对称性得到，求出答案. 【详解】时，， 令，则当时，， 故要想在时满足恒成立， 需满足，不妨取， ，， 画出在上的图象，如下： 由图象可知，，， 则， 故， 两式相加得， 所以. 故选：C 2．已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，再结合正弦函数图像及对称性求解即可. 【详解】，则，即， 即 ∵，∴     令，则， 函数在上的图象如下图所示，    由图可知，与共有5个交点， 所以： 其中， 即，， 解得， 所以. 故选：C. 3．如图，直线与函数交点的横坐标分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】结合图象可知，，从而可解，进而求值. 【详解】由图象知图象的对称轴为直线， 即，可得， 又图象的对称中心为，即， 所以，可得， 解得，又，所以， 所以，则. 故选：A 4．已知函数，若方程在的解为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的图像和性质，先求出在的一条对称轴及与轴的两个交点，再由图像的对称性得到的关系及的范围，利用，把转化成即可求解. 【详解】因为，所以， 所以当时，解得即为在的一条对称轴, 当时，解得或， 即或为在与轴的两个交点， 又因为是方程在的解， 所以由图像的对称性可知，， 且，所以， 所以. 又因为，， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题有两个关键点： 关键一：由图像的对称性得到， 关键二：利用，把转化成. 5．已知定义在上的函数，，记在上的个极值点为，且，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在单调递减 D．在单调递减 【答案】C 【分析】求导后，将极值点个数转化为与的交点个数问题，结合正切函数对称性可求得，代回验证可知满足题意；根据奇偶性定义可知AB正误；结合在区间上的单调性可知CD正误. 【详解】， 令，则， 当时，，则无解，此时在上无极值点； 当时，， 在上有三个极值点，与在上有三个不同交点， ，， 与均关于对称， 令，解得：， 的对称中心为， 又在处有意义，，解得：， ，； 当时，，， 令，则， 作出与在上的图象如下图所示，   ； 当时，，，即； 当时，，，即； 当时，； 当时，，，即； 当时，，，即； 当时，； 当时，，，即； 当时，，，即； 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 是的极小值点，是的极大值点， 由正切函数与一次函数对称性可知，满足题意； 综上所述：； 对于A，的定义域为，， 为定义在上的偶函数，A错误； 对于B，，， ，不是偶函数，B错误； 对于C，在上单调递减，，在上单调递减，C正确； 对于D，在上单调递增，，在上单调递增，D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性及极值点的问题；解题关键是能够将问题转化为一次函数与正切函数交点个数问题，结合正切函数的对称性确定参数的取值，从而得到具体函数的解析式. 压轴题型八： 水平线根的三角值型 1．已知函数，若存在，使得，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简函数得，得，要使成立，则且或且，结合正弦函数图象建立等式即可求得最大值. 【详解】所以， 要使，则且或且， 因为，所以， 结合正弦函数图象可知，要使的最大值，    则即，解得，即，解得， 所以 故答案为：. 2．已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为 . 【答案】 【分析】通过逐步分析画出在一个周期内的函数图象，根据长度的最小值得到等量关系，解方程可得结果. 【详解】令，则原函数可化为， ∴，的最小正周期为， 作出在上的函数图象，如图1， ∴在上的函数图象如图2， 由得，，的最小正周期为，故在的图象如图3， 如图，当点为一个周期内的最高点和最低点时，的长度最小，此时， ∵， ∴，即，解得. 故答案为：. 3．已知函数，的图象关于点对称，若，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据辅助角公式和对称性得到函数的解析式，要使得取得最小，则让取最值，结合图象即可求解. 【详解】 得 所以的最大值为，最小值为. 对称轴：令 当最小时， ， 且是在轴右侧连续的最值点， 的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析出当最小时， 的取值情况，从而结合三角函数的性质即可得解. 4．定义在上的函数，其图象与水平直线的交点从左往右分别记为．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】振幅仅是保证与总有交点，的变化仅是改变函数的周期，与线段长度的比无关，令即可，由题意研究图象解出的取值范围即可. 【详解】 由题意，振幅仅是保证与有交点， 且它们的交点不可能为正弦型函数的最值点或零点，否则，故且， 又的变化仅改变函数的周期(长度)，与线段长度的比无关， 要使，第一与第二个交点距离大于半个周期长，而第二与第三个交点距离小于半个周期长， 不妨令，，作出(注意代换且)的图象， 如图： 由，且，， 所以，由图象得：，或，结合， 所以的取值范围为：. 故答案为：. 5．已知函数，若存在，，…，满足，，且，，当取最小值时，则此时的值为 ． 【答案】 【分析】 由正弦函数的有界性可得，对任意，都有，要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，然后作图可得满足条件的最小值． 【详解】对任意， 都有 要使取得最小值，尽可能多让取得最值点， 考虑， 则按下图取值即可满足条件，的最小值为. ， 故答案为：． 【点睛】关键点睛：正确理解对任意，都有是解答该题的关键. 压轴题型九： 正切函数最值型 1．在锐角中，内角的对边分别为．若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由正弦定理边化角得，再由余弦定理得到，由是锐角三角形即可求出的范围，从而可以求出的取值范围. 【详解】因为， 所以由正弦定理边化角得， 又因为， 对比即得， 整理得，由正弦定理边化角得， 又， 所以， 化简得， 逆用两角差的正弦公式得， 因为是锐角三角形， 所以， 所以，即， 所以， 解得， 所以， 因为，所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是首先由恒等变换以及诱导公式结合已知条件得到，其次是根据已知条件求出的范围. 2．已知锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题可得，将用含的式子表示，然后根据角的范围，求的取值范围. 【详解】∵， ∴，即， ∵又，且都为锐角，故，， 因为锐角三角形，所以 所以 所以所以， 又因为 所以 所以，解得或(舍去) 故. 故答案为：. 3．已知满足，则的最小值是 ． 【答案】16 【详解】解析： ． 令，则 ． 当时，，所以， 故． 故答案为：16 4．已知内角分别为，且满足，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】 由三角形内角和性质、诱导公式、和差角正弦公式可得，进而有，结合，将目标式化为，应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题设， 所以， 所以，即， 又，， 则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换将条件化为，再应用万能公式用正切表示正弦为关键. 5．若，则函数的值域为__________. 【答案】 【分析】当时，令，, 然后利用函数的奇偶性与基本不等式即可求解 【详解】当时，， 当时，令， 则 因为，所以，所以 所以在R是奇函数 当时，， 其中时，取得等号 所以 当，根据奇函数性质 当时， 所以的值域为； 综上，的值域为 故答案为： 压轴题型十：三角函数型比大小 1．设，，，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的正弦公式求，由二倍角的正切公式求，由二倍角的正弦公式求，即可根据正弦函数的单调性比较大小． 【详解】， ， ， 正弦函数在是单调递增的，． 又 ． 故选：A． 2．若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角正弦公式对化简；由正切差角公式对化简；由二倍角公式对化简；最后由余弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 由所以， 即； 又， 故； 因为，所以， 又， 又，所以. 故选：D. 3．设，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数、和，其中，利用导数得到它们的单调性即可比较出三者大小关系. 【详解】由已知可得， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即，所以， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 综上， 设，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 所以 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先对进行合理变形得，再通过构造函数、和，利用它们的单调性即可比较三者大小关系. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式及二倍角的余弦公式，利用诱导公式及特殊值的三角函数，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】， ， ， 所以，，， 所以. 故选：A. 5．设，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可. 【详解】， ， ， 因为在上单调递增， 所以，故. 故选：C. 压轴题型十一：综合型 1．设函数，下列说法正确的有 ． ①函数的一个周期为； ②函数的值域是 ③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为； ④当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点． 【答案】①④ 【分析】利用函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断①；采用三角代换，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解函数值域，判断②；利用，结合两点间距离公式可判断③；结合解，根据解的情况判断④，即得答案. 【详解】对于①，， ， 故是函数的一个周期，①正确； 对于②，， 需满足，即， 令，，则即为， 当时，在上单调递增，则； 当时，， （，故） 此时在上单调递减，则， 综上，的值域是，②错误； 对于③，由②知，， 当时，, 满足此条件下的图象上的点到的距离 ； 当时，, 满足此条件下的图象上的点到的距离 ， 当且仅当且时等号成立， 而时，或， 满足此条件的x与矛盾，即等号取不到， 故函数的图象上不存在点，使得其到点的距离为，③错误； 对于④，由②的分析可知，则，即， 又，故当且仅当时，， 即当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点，④正确． 故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：对于函数，先求出定义域，再采用换元法令，，得函数，利用单调性求其值域. 2．函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】当，时，，证明是的最小正周期；当是大于2的偶数时，分析证明的最小正周期是. 【详解】当时，， 所以是的一个周期， 令，可得，即，解得， 下面证明是的最小正周期， 当，且，取，则，而， ，所以不是的周期. 当时，取， 则，， 所以不是的周期. 综上，当时，的最小正周期是. 当时，， 所以是的一个周期. 下面证明是的最小正周期. 当时，取，则， 所以，， ， 而，所以， 所以不是的周期. 综上，当时，的最小正周期是. 综上所述，当时，的最小正周期是； 当时，的最小正周期是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：根据题意，当是正奇数时，易发现是的一个周期，再任取一个内的数，证明其不是周期；当是不为2的正偶数时，易发现是的一个周期，在内任取一个数，证明其不是周期. 3．已知k是正整数，且，则满足方程的k有 个. 【答案】11 【分析】分析得到时满足要求，当时，结合等式左右两边的单调性和特殊值得到只有时，满足要求，结合正弦函数的周期和，得到答案. 【详解】显然时，，满足要求， 当时，先考虑一个周期内， 当时，，故单调递增且大于， 而单调递减且小于，两者不可能相等， 时，单调递减且大于0， ，两者不可能相等， 当时，， 故要想成立， 则， 由周期性知，当时，等式左边为0， 又当时，， 故当时，满足要求， 共11个. 故答案为：11 【点睛】关键点点睛：本题需要先分析得到等式两边的单调性，从而确定只有两者等于0时，才会符合要求，进而结合正弦函数周期性和特殊值得到答案 4．若函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，求得零点，令，零点和在区间内，则且，求得，可得，分别对取值求得结果. 【详解】由得，得． 令，零点和在区间内，则且， 即且，化简得， 由，得，所以为大于1的整数． 易得当时，；当时，； 当时，；当时，， 可得当时，，且当时，， 所以， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：根据题意令，求得函数零点，令，由零点和在区间内，求得，可得，分别对取值将所得结果求并集求得答案. 5．已知实数，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】将原恒成立问题转化为求，利用辅助角公式及三角函数的性质求得最值，然后对分类讨论去绝对值求其最值即可. 【详解】当对对任意，不等式恒成立时， 又 ，， 而， 当且仅当时等号成立， 故 所以，即， 要取最大值， 则必有，两边平方整理得， 所以当时，， 当时，， 所以，所以， 当时，， 所以，所以， 当时，， 所以，所以， 当时，， 所以，所以， 综上所述：的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用辅助角公式及三角函数的性质求出，另外遇到绝对值可以分类讨论去绝对值处理. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专题08 三角函数性质及求w归类 “五点画图法” 是绘制三角函数（如正弦函数、余弦函数）图像的常用方法，通过确定一个周期内的五个关键点位，快速勾勒出函数图像的大致形状 一、求函数的解析式. 确定的步骤和方法: (1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，； (2)求：确定函数的周期，则可； (3)求：常用的方法有代入法和五点法． ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口． 二、（1）定义域：解三角函数不等式用“数形结合” （2）值域：由内向外 ③单调性：同增异减 （3）周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝ ②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝. （4）对称性： 换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解． （5）对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ) ＝1，则ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程； （6）对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标； （7）（正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”： （8）余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”： 三、y＝Asin(ωx＋φ)型求ω归纳： 1.已知单调区间，则必有. 2.如果两条相邻轴或者相邻中心：（或者），则必有 3.已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则 4.已知2条对称轴（或者2个对称中心），由于对称轴（或者对称中心的水平距离）为，则 5.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间内有n个零点，则满足 6.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间内没有零点，则满足 压轴题型一：核心技巧：五点画图 √满分技法 五点画图法，是高中解决函数图像性质的小题的“终极实战大法”也是被许多一线老师忽略的的基本方法，合理利用这个方法，能达到“小题不大作”的神奇效果。 确定的步骤和方法: (1)求 ：确定函数的最大值和最小值，则 ，； (2)求：确定函数的周期，则可； (3)求：常用的方法有代入法和五点法． ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)或代入图象与直线的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口． 1．关于函数，下面结论成立的是（    ） A．在区间上的最大值为 B．在区间上单调递增 C． D．的图象关于点对称 2．已知函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列结论： ①；    ②当时，； ③函数的单调递减区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 4．已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A． B．关于点对称 C．在区间上的最大值为 D．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称 5．函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论不正确的是（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．函数在区间上的值域为 压轴题型二：核心思想：轴与中心 √满分技法 正弦函数对称轴 （k∈Z）时，ymax＝1；（k∈Z）时，ymin＝－1 余弦函数对称轴 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1 正弦函数对称中心 (kπ，0)(k∈Z) 余弦函数对称中心 (＋kπ，0)(k∈Z) 正切函数对称中心 (，0)(k∈Z) 1．对于函数，给出下列结论： ① 函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是； ③函数的零点为； ④若函数是偶函数，则的最小值为； 其中正确的命题个数是（     ） A． B． C． D． 2．已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设函数，若对于任意实数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数图象的一条对称轴是，且在上有且仅有两个对称中心，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 压轴题型三：求w归类：最小平移型 √满分技法 平移型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出值或者范围。 11．已知奇函数的定义域为，对任意均有，且当时，. 将的图象向左平移个单位，在该过程中，的图象恰好经过点共次，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 2．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上,则的取值范围是 A． B． C． D． 3．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若将函数y＝2cosx（sinx+cosx）﹣1的图象向左平移个单位，得到函数是偶函数，则的最小正值是（　　） A． B． C． D． 压轴题型四：求w归类：单调性与对称轴结合 √满分技法 正弦函数对称轴 （k∈Z）时，ymax＝1； （k∈Z）时，ymin＝－1 余弦函数对称轴 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1 若的图像关于直线对称,则或. 1．已知函数在区间上存在最大值和最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则（    ） A．1 B． C． D． 3．已知函数在上单调，其图象的一条对称轴为直线，则的值不可能是（    ） A． B． C．1 D． 4．已知函数在上单调，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则m的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数是图象的一条对称轴，且在上单调，则为（    ） A．2 B．5 C．8 D．11 压轴题型五：求w归类：单调性与对称中心结合 √满分技法 函数的性质： (1) . (2)周期 (3)由 求对称轴，由求对称中心. (4)由求增区间；由求减区间. 1．已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则和的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 4．已知函数，，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 5．已知函数在内单调递增，则在内的零点个数最多为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 压轴题型六：求w归类：有无“零点”型 √满分技法 求w的表达式时，中不要把写成k,因为后面还有一个k, 中不要把写成k，否则不好研究w的最小值.它们本身就不一定相等. 无“心”型求w，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终的结果，对于其他否定性问题经常这样思考. 1．已知函数在上无零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间内无零点，其图象关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，若函数在上无零点，则不可能为第（    ）象限角. A．一 B．二 C．三 D．四 5．函数，且，若在内无零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 压轴题型七：求w归类：非特值多重根型 √满分技法 解决函数综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式． （2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解． （3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化． 1．已知函数在时满足恒成立，且在区间内，仅存在三个数，，，使得，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线与函数交点的横坐标分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D．1 4．已知函数，若方程在的解为，且，则（   ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的函数，，记在上的个极值点为，且，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在单调递减 D．在单调递减 压轴题型八： 水平线根的三角值型 1．已知函数，若存在，使得，则的最大值为 ． 2．已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为 . 3．已知函数，的图象关于点对称，若，，则的最小值为 . 4．定义在上的函数，其图象与水平直线的交点从左往右分别记为．若，则的取值范围是 ． 5．已知函数，若存在，，…，满足，，且，，当取最小值时，则此时的值为 ． 压轴题型九： 正切函数最值型 1．在锐角中，内角的对边分别为．若，则的取值范围为 ． 2．已知锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若，则的取值范围为 ． 3．已知满足，则的最小值是 ． 4．已知内角分别为，且满足，则的最小值为 . 5．若，则函数的值域为__________. 压轴题型十：三角函数型比大小 1．设，，，则有（     ） A． B． C． D． 2．若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．设，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．设，则有（    ） A． B． C． D． 压轴题型十一：综合型 1．设函数，下列说法正确的有 ． ①函数的一个周期为； ②函数的值域是 ③函数的图象上存在点，使得其到点的距离为； ④当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点． 2．函数的最小正周期为 . 3．已知k是正整数，且，则满足方程的k有 个. 4．若函数在区间上至少有两个零点，则实数的取值范围是 ． 5．已知实数，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$