精品解析：2025年浙江省宁波市中考数学一模试卷

2025 年九年级学业水平质量监测 数学试卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分， 共 6 页， 满分 120 分， 考试时间 120 分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卷规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试 题 卷 I 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 比 大 2 的数为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了有理数的加法，根据题意列出式子计算即可． 【详解】解： ， ∴比大 2 的数为1， 故选：C． 2. 如图所示的几何体的主视图是 　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从前面看所得到的图形即可． 【详解】从前面看可得到左边有2个正方形，右边有1个正方形，所以选A． 找到从前面看所得到的图形即可． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是指从前面看所得到的图形． 3. 2025 年两会政府工作报告指出，我国在新能源汽车产业研发领域投入资金 2497000000010 元．其中数 24970000000 用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘法、同底数幂的除法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘法、同底数幂的除法的运算法则，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项运算错误，不符合题意； B、，故此选项运算错误，不符合题意； C、，故此选项运算错误，不符合题意； D、，故此选项运算正确，符合题意； 故选：D． 5. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若 ，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故选：A． 6. 图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 7. 已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意是在每个象限内，随的增大而减小．不能直接根据的大小关系确定的大小关系． 先判断出函数图象在二，四象限，在每个象限内，随的增大而增大，再根据，判断出的大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该反比例函数的图象在第二，四象限，在这两个象限内，随的增大而增大， 又 ∵， ， 故选：D． 8. 在一次体育测试中，某班40名学生的跳绳成绩（单位：次）如下表所示： 跳绳成绩 人数 5 10 15 10 则下列关于这40名学生跳绳成绩的统计量，说法正确的是（ ） A. 平均数一定是170 B. 众数一定是170 C. 中位数在 范围内 D. 方差为0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平均数、众数、中位数和方差的定义，需结合分组数据的特点逐一分析． 【详解】A、平均数的计算需用各组组中值乘以频数求和后除以总人数，各组组中值分别为130、150、170、200，计算得平均数为：因此平均数不是170，选项A错误； B、众数是出现次数最多的数据所在区间，人数最多的区间为 （15人），但具体众数值无法确定一定是170（组中值），只能确定区间，故选项B错误； C、中位数是第20和21个数据的平均值，前两组合计15人，第三组包含第16到30个数据，因此第20和21个数据均在 区间内，中位数属于该区间，选项C正确； D、方差为0要求所有数据相同，但数据分布在多个区间，显然不成立，选项D错误． 故选：C． 9. 下图是凸透镜成像的光路示意图， 分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴 垂直．一束平行于主光轴的光线 经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点 ，一束经过光心的光线 与折射光线 相交于点 ．已知 ，则 的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，根据题意可得，四边形是矩形，得出，，求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，四边形是矩形， ∴，， 即，解得：， ∴， 故选：C． 10. 如图，在中，，点D，E分别在上，，记长为x，长为y，．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，在上截取，过B作于H，则，证明和全等得，则，由勾股定理得，则，整理得，由此即可得出答案． 【详解】解：在上截取，过点B作于点H，如图所示： ∵长为x，长为y， ∴， ∴， ∵，点D，E分别在上，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在 和中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变，始终等于19． 故选：A． 试 题 卷 II 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键．提公因式进行因式分解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 一个不透明的盒子里装有 5 个只有颜色不同的球，其中有 2 个红球、 2 个白球和 1 个绿球． 现从盒子里随机摸出一个球，则摸出红球的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件包含其中的 种结果，那么事件发生的概率为． 根据概率的求法，找准两点：（1）全部情况的总数；（2）符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：∵袋子中共有5 个小球，其中红球有 2 个， ∴摸出一个球是白球的概率是， 故答案为：． 13. 若，则=_______． 【答案】． 【解析】 【分析】先把分式化简成已知的形式，再把已知整体代入即可 【详解】根据题意可得：原式=+1=． 【点睛】本题考查了分式的化简以及代入求值，解题的关键是运用整体思想代入求值． 14. 如图， ， 为矩形 的对角线， 于点 ， ，则 的度数为__________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键． 根据题意得出，由矩形的性质可求，可得，即可求解． 【详解】解：∵ ，， ， ∵四边形是矩形， ， ， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在边长为4的正方形中，点为对角线上一点．若的外接圆与边相切，则的半径长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、正方形的性质、垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设与边相切于点，连接 并延长交于点，连接，利用切线的性质得到，根据正方形的性质得到，，，得到，利用垂径定理得到，通过证明四边形是矩形，得到，设，在中利用勾股定理列出方程，解出 的值即可． 【详解】解：如图，设与边相切于点，连接 并延长交于点，连接， 与边相切， ， 边长为4的正方形， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 的半径长为． 故答案为：． 16. 如图，在 中， ， 为对角线 的中点， 为 上一点，将 沿 所在的直线折叠，使点 和点 重合．若 ，则 的长为__ ． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作，过点D作交的延长线于点M，连接，证明四边形为矩形，得出，根据，得出为等腰直角三角形，结合，得出，即可得，根据 为对角线 的中点，结合轴对称可得， ，得出，，求出，从而求出，根据直角三角形的性质得出，设，得出，根据三角形内角和固定得出，解直角三角形得出，即可列出方程，求出即可解答． 【详解】解：过点A作，过点D作交的延长线于点M，连接，如图所示： ∵在 中，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ， ， ∵ 为对角线 的中点，结合轴对称可得， ， ，， ， ， ， ∵， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】该题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，轴对称的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题有 8 小题，共 72 分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及绝对值，算术平方根及负整数指数幂等知识，正确运算是解题的关键；依次计算绝对值、算术平方根及负整数指数幂，最后相加减即可． 【详解】解： ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为． 19. 如图，在综合实践活动课中，小敏为了测量校园内旗杆的高度，站在教学楼的 处测得旗杆底端的俯角为，测得旗杆顶端的仰角为．若旗杆与教学楼的距离 米，求旗杆的高度．（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，根据题意可得，利用，求出的长度，利用求出的长，最后根据求出结果即可． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， 即旗杆的高度为米． 20. 据国家电影局统计，2025 年春节档 （1 月 28 日至 2 月 4 日） A， B， C， D， E 五部电影的总票房为 亿元，其中每部电影的票房占比制成如图 1 的扇形统计图．某影评网站随机抽取了 100 名观众对电影 A 的星级评价，该网站的星级共有 “一星” “二星” “三星”“四星”“五星”五个等级，星级评价情况制成如图 2 的条形统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）上述图表中 _____， _____． （2）电影 A 春节档的票房是多少亿元？ （3）已知该影评网站每颗星代表 2 分，五星即为 10 分．若星级评价的平均得分作为该电影的星级分值，则根据样本估计，电影 A 在该网站的星级分值约是多少分？ 【答案】（1） （2） 亿元 （3）分 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的运用，正确理解题意是解题的关键； （1）用1减去这四部电影的占比即可得出电影B的百分比；用抽取的100名减去“一星” ，“二星” ，“三星”，五星”人数即可解答； （2）用总票房金额乘以所占百分比即可解答； （3）计算平均得分即可． 【小问1详解】 解：电影B所占百分比：， 四星人数：名， 故答案为：24，20； 【小问2详解】 解： 亿元． 【小问3详解】 解：电影A 的星级平均得分 ， 电影 A 在该网站的星级分值约是分． 21. 小宁同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点；④连结． （1）求证：四边形是菱形． （2）连结，若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：根据作法得， 四边形为菱形． （2） 【解析】 【分析】该题考查了尺规作图，菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据尺规作图可得，即可证明四边形是菱形． （2）连接，与交于点，根据菱形的性质得出，结合菱形边长为，根据勾股定理求出的长，再根据菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，与交于点， 四边形为菱形， ， ， ，故， 故菱形的面积为． 22. 在一次无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到米时，飞机停止表演．甲从起点出发，先以米秒的速度匀速飞行了 秒，然后以米秒的速度继续匀速飞行．乙在甲出发秒后起飞，以米秒的速度匀速飞行，乙出发秒后，与甲飞行的高度相差 米．如图，折线 ，线段分别表示甲，乙的飞行高度（米）与甲飞行时间 （秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题． （1） _____， _____． （2）分别求出线段，对应的函数表达式． （3）当两架无人机之间的飞行高度差不超过米时，能形成特定的表演效果．求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时 的取值范围． 【答案】（1），； （2）对应的函数表达式为，对应的函数表达式为； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中获取信息，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图象即可求解； （）利用待定系数法求出解析式即可； （）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知，甲飞行秒后的速度（米秒 ），乙飞行的速度（米秒 ）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设对应的函数表达式为， 把， ， 代入得：， 解得， ∴对应的函数表达式为； 设对应的函数表达式为 ， ∵乙出发秒后，与甲飞行的高度相差 米， ∴图象过， ∴， 解得， ∴对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：对于，令，得， 当 时，甲的高度为， 此时两无人机高度差为 米， 当甲比乙高米时， ， 解得：， ∴能形成这种表演效果时 的取值范围为． 23. 甲、乙、丙三个同学研究了二次函数 的图象和性质， 并交流了自己的学习成果． （1）甲同学的说法：当 和 时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由． （2）乙同学的发现：取某个值时，该函数图象上到轴的距离为 1 的点有 3 个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3 ．根据乙同学的发现，求出此时的值． （3）丙同学的探索：若 ，当时，的取值范围中恰有4个不同的整数值．根据丙同学的结论，求出的取值范围． 【答案】（1） 解；甲同学说法正确，理由如下： ∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∴当 和 时，函数值相等； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，二次函数的性质与图象，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出对称轴为直线，据此可得结论； （2）求出顶点坐标为，则可推出纵坐标为1的有两个点，再根据三角形面积公式可得纵坐标为1的两个点的距离为，则可推出在二次函数图象上，据此利用待定系数法求解即可； （3）根据增减性可求出当时，，再由当时，的取值范围中恰有4个不同的整数值，得到，解之即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴顶点坐标为； ∵该函数图象上到轴的距离为 1 的点有 3 个， ∴函数值的绝对值为1的点有3个， ∴二次函数开口一定向上，且纵坐标为1的有两个点， ∵当轴的距离为 1 的三个点组成的三角形的面积为3， ∴纵坐标为1的两个点的距离为， ∴纵坐标为1的两个点到对称轴的距离都为， ∴，即在二次函数图象上， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，， ∴当时，， ∵当时，的取值范围中恰有4个不同的整数值， ∴， ∴． 24. 如图1，四边形内接于，为直径，为锐角，过点B作 于点E，过点A作的平行线交的延长线于点． （1） ，请用含的代数式表示 ． （2）若 ，求证：． （3）如图2，在（2）的条件下，与交于点，与延长线交于点H，连结．①若 ， ，求的长． ②若，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ， ， ， ； （3）① ；②． 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可知 ，再结合直径所对圆周角为直角可知， ，根据 即可求解； （2）由，得 ，进而证明，即可证得结论； （3）①连接 ，作 于点，先证 ，进而得证 ， 根据四边形 为矩形，可知 ， ，设 ， ，由勾股定理可知，，列出方程即可求解； ②连接 ，先证 ，根据 ， ，得，由，得，由，易知 ，可证得 ，得 ，进而可知 ，得 ，即可求解． 【小问1详解】 解：为直径， ， ， ， 于点，则， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①连接 ，作 于点， ， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， 四边形 为矩形， ， ，设 ， ， ，， ， 解得: ， （舍） 的长为 ； ②连接 ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ∴ 为等腰直角三角形，则也为等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 年九年级学业水平质量监测 数学试卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分， 共 6 页， 满分 120 分， 考试时间 120 分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卷规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 试 题 卷 I 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 比 大 2 的数为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 如图所示的几何体的主视图是 　　 A. B. C. D. 3. 2025 年两会政府工作报告指出，我国在新能源汽车产业研发领域投入资金 2497000000010 元．其中数 24970000000 用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 在一次体育测试中，某班40名学生的跳绳成绩（单位：次）如下表所示： 跳绳成绩 人数 5 10 15 10 则下列关于这40名学生跳绳成绩的统计量，说法正确的是（ ） A. 平均数一定是170 B. 众数一定是170 C. 中位数在 范围内 D. 方差为0 9. 下图是凸透镜成像的光路示意图， 分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴 垂直．一束平行于主光轴的光线 经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点 ，一束经过光心的光线 与折射光线 相交于点 ．已知 ，则 的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图，在中，，点D，E分别在上，，记长为x，长为y，．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是( ) A. B. C. D. 试 题 卷 II 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11. 分解因式：______． 12. 一个不透明的盒子里装有 5 个只有颜色不同的球，其中有 2 个红球、 2 个白球和 1 个绿球． 现从盒子里随机摸出一个球，则摸出红球的概率为__________． 13. 若，则=_______． 14. 如图， ， 为矩形 的对角线， 于点 ， ，则 的度数为__________． 15. 如图，在边长为4的正方形中，点为对角线上一点．若的外接圆与边相切，则的半径长为__________． 16. 如图，在 中， ， 为对角线 的中点， 为 上一点，将 沿 所在的直线折叠，使点 和点 重合．若 ，则 的长为__ ． 三、解答题（本大题有 8 小题，共 72 分） 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 如图，在综合实践活动课中，小敏为了测量校园内旗杆的高度，站在教学楼的 处测得旗杆底端的俯角为，测得旗杆顶端的仰角为．若旗杆与教学楼的距离 米，求旗杆的高度．（结果保留根号） 20. 据国家电影局统计，2025 年春节档 （1 月 28 日至 2 月 4 日） A， B， C， D， E 五部电影的总票房为 亿元，其中每部电影的票房占比制成如图 1 的扇形统计图．某影评网站随机抽取了 100 名观众对电影 A 的星级评价，该网站的星级共有 “一星” “二星” “三星”“四星”“五星”五个等级，星级评价情况制成如图 2 的条形统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）上述图表中 _____， _____． （2）电影 A 春节档的票房是多少亿元？ （3）已知该影评网站每颗星代表 2 分，五星即为 10 分．若星级评价的平均得分作为该电影的星级分值，则根据样本估计，电影 A 在该网站的星级分值约是多少分？ 21. 小宁同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点；④连结． （1）求证：四边形是菱形． （2）连结，若，求四边形的面积． 22. 在一次无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到米时，飞机停止表演．甲从起点出发，先以米秒的速度匀速飞行了 秒，然后以米秒的速度继续匀速飞行．乙在甲出发秒后起飞，以米秒的速度匀速飞行，乙出发秒后，与甲飞行的高度相差 米．如图，折线 ，线段分别表示甲，乙的飞行高度（米）与甲飞行时间 （秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题． （1） _____， _____． （2）分别求出线段，对应的函数表达式． （3）当两架无人机之间的飞行高度差不超过米时，能形成特定的表演效果．求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时 的取值范围． 23. 甲、乙、丙三个同学研究了二次函数 的图象和性质， 并交流了自己的学习成果． （1）甲同学的说法：当 和时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由． （2）乙同学的发现：取某个值时，该函数图象上到轴的距离为 1 的点有 3 个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3 ．根据乙同学的发现，求出此时的值． （3）丙同学的探索：若 ，当时，的取值范围中恰有4个不同的整数值．根据丙同学的结论，求出的取值范围． 24. 如图1，四边形内接于，为直径，为锐角，过点B作 于点E，过点A作的平行线交的延长线于点． （1） ，请用含的代数式表示 ． （2）若 ，求证：． （3）如图2，在（2）的条件下，与交于点，与延长线交于点H，连结．①若 ， ，求的长． ②若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $