精品解析：2025年辽宁省营口市中考一模数学试题

2025年营口市初中学业水平考试第一次模拟考试 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 参考公式：抛物线顶点坐标为 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 根据某网站统计数据，截至止2025年1月，的总访问量达到了278000000次，其中278000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：278000000用科学记数法表示为． 故选：B． 2. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟练运用数形结合思想．从左边观看立体图形即可得到． 【详解】解：从左边观看立体图形可得左视图为直角在左边的直角三角形， 故选：B． 3. 位于我国山东省中部的泰山，被誉为中国“五岳之首”，自然景观美丽壮阔．1月份的泰山，山顶平均气温为，山脚平均气温为，则山脚平均气温与山顶平均气温的差是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法的应用，用即可求解． 【详解】解： 故选：D． 4. 国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中不是中心对称图形的是（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合，理解并掌握如何判断中心对称图形的条件是解题的关键．根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选A． 5. 2025年太原市初中学业水平体育考试项目在原有基础上，增加了足球、篮球、排球考试项目，九年级（一）班的小明和小颖分别随机选择参加足球、篮球、排球中的一个项目，则他们选择同一个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得小明和小颖分别随机选择一个项目的所有等可能的结果，再找出他们选择同一个项目的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将足球、篮球、排球考试项目分别记为，画出树状图如下： 由图可知，小明和小颖分别随机选择一个项目共有9种等可能的结果，其中，他们选择同一个项目的结果有3种， 则他们选择同一个项目的概率为， 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项法则；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论． 【详解】解： 水面和杯底互相平行， ， ∵， ． 水中的两条光线平行， ． 故选：B． 8. 某工程队承担铺设一段长为450米的管道，由于引进了新设备，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的倍，结果提前5天完成任务，设原计划每天铺设管道的长度为米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的运用，理解数量关系，掌握分式方程的运用是关键． 设原计划每天铺设管道的长度为米，则实际施工时每天铺设管道的长度是，结果提前5天完成任务，由此列分式方程即可求解． 【详解】解：设原计划每天铺设管道的长度为米，则实际施工时每天铺设管道的长度是，结果提前5天完成任务， ∴， 故选：A ． 9. 如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G．延长交的延长线于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形． 先根据平行四边形的性质得到 ，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ，， ∴，， ， ， ， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M，已知反比例函数的图象经过点M，则k的值为（ ） A. 6 B. 10 C. 5 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，根据正方形的性质求出 点坐标，再根据中点公式求出 点坐标，最后代入计算即可． 【详解】解：∵正方形的顶点A，B在x轴上，点， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形的中心为线段的中点，即点， ∴点M坐标为，即， 把代入得，解得， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式，即可解答． 本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法． 【详解】解； ． 故答案为：． 12. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则 的值是_____.． 【答案】1 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴∆=0， ∴4﹣4m=0， ∴m=1， 故答案为1． 13. 如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形圆心角，圆锥的底面半径，则此圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，即可得出结论． 【详解】解：由题意得，扇形的弧长， 圆锥的底面圆的周长， ∴，解得， ∴此圆锥的侧面积是， 故答案为：． 14. 跳台滑雪是2022年北京冬奥会比赛项目之一．一名参赛运动员起跳后，他的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图所示），则这名运动员起跳后的最大飞行高度是______m． 【答案】45 【解析】 【分析】将抛物线表达式变换为顶点式，确定抛物线的顶点坐标，即可确定运动员起跳后的最大飞行高度． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线顶点C的坐标为（15，45）， ∴这名运动员起跳后的最大飞行高度是45m． 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题关键是能够熟练将抛物线表达式由一般式转换为顶点式． 15. 如图，在四边形中，对角线 与 交于点E，过点E作．于点F，连接 ，，，按以下步骤作图：分别以点A、点F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P和点Q，作直线，若点B，点E都在直线上，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的性质，求正弦，由作图过程可知，垂直平分线段 ，可得，，由题意得，，，由勾股定理得，代入求出，再根据勾股定理求出，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 由作图可知垂直平分线段 ， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的混合运算以及实数运算，正确进行分式通分运算是解题关键． （1）直接利用零指数幂的性质，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，二次根式的运算法则运算求出即可； （2）首先将括号里面通分进而去括号，利用分式的乘除运算法则化简求出即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 17. 智能快递机器人是一种能够自主完成快递分拣任务的智能设备．它可以自主感知、识别、分拣快递包裹，大大提高了物流企业的分拣速度和效率．某物流公司为提高工作效率，拟购买甲、乙两种型号智能快递机器人共10台进行快递分拣工作，1台甲型智能快递机器人和3台乙型智能快递机器人每天一共可分拣快递36万件；3台甲型智能快递机器人比2台乙型智能快递机器人每天可多分拣快递20万件． 求： （1）甲、乙两种型号智能快递机器人每台每天分别可分拣快递多少万件？ （2）该物流公司每天快递量不超过100万件，则该公司最多可以购买甲型智能快递分拣机器人多少台？ 【答案】（1）设甲型智能分拣机器人每台每天可分拣快递12万件，乙型智能分拣机器人每台每天可分拣快递8万件 （2）该公司最多可以购买甲型智能分拣机器人5台 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用； （1）设甲型智能分拣机器人每台每天可分拣快递x万件，乙型智能分拣机器人每台每天可分拣快递y万件，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买甲型智能分拣机器人a台，则购买乙型智能分拣机器人台，根据“该物流公司每天快递量不超过100万件”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲型智能分拣机器人每台每天可分拣快递x万件，乙型智能分拣机器人每台每天可分拣快递y万件． 根据题意得：， 解得：， 答：设甲型智能分拣机器人每台每天可分拣快递12万件，乙型智能分拣机器人每台每天可分拣快递8万件． 【小问2详解】 解：设购买甲型智能分拣机器人a台，则购买乙型智能分拣机器人台． 则， 解得， 答：该公司最多可以购买甲型智能分拣机器人5台． 18. 天宫一号飞行乘组曾经给全国中小学生上过一堂太空实验课，这次我们会与地面上的航天员王亚平一起客串“太空科普老师”，为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校七年级共700名学生参加了以“格物效知，叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解七年级学生的科普知识掌握情况，调查小组从七年级随机选取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息： 信息一：50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图； 信息二：竞赛成绩在 这一组的成绩是：80、81、83、83、83、83、84、84、84、85、85、86、86、87、87、88、88、89． 信息三：小东的竞赛成续为83分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）小东的竞赛成绩是否超过样本中一半学生的成绩？ （3）学校将把获得88分及以上的学生评为“科普达人”，请估计七年级学生的获奖人数． 【答案】（1） 补全频数分布直方图如图所示： （2）小东的成绩超过样本中一半学生的成绩 （3）七年级学生的获奖人数为168人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图以及样本估计总体； （1）根据各组频数之和等于50即可求出的数量，即可补全频数分布直方图； （2）求出选取的50名学生的竞赛成绩的中位数，再判断即可； （3）求出获奖人数所占的百分比，再乘以总人数即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：将选取的50名学生的竞赛成绩从小到大进行排序，排在第25的是81分，第26的是83分， ∴选取的50名学生的竞赛成绩的中位数是（分）， ∵小东竞赛成绩为83分，， ∴小东的成绩超过样本中一半学生的成绩； 【小问3详解】 解：（人）， 答：七年级学生的获奖人数为168人． 19. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行线上销售一种食品若干千克，成本价为每千克30元，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的，经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数关系，且．时，；时，， 求： （1）y与x之间的表达式； （2）当销售单价定为多少时，每日获得利润w最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为48元时，每日获得利润w最大，最大利润为576元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用； （1）用待定系数法求解即可； （2）由题意可得关于的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设表达式为，将、和、代入， 得：， 解得， ； 【小问2详解】 解：∵这批食品每千克获利不得高于元， ， 根据题意得：， ， ∴抛物线开口向下， 当时，w随x的增大而增大， ， ∴当时，元： 答：当销售单价定为48元时，每日获得利润w最大，最大利润为576元． 20. 土圭是中国古代用于测量日影长度的天文仪器，它的构造简单如图1，就是垂直于地面立的一根杆，通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节的变化，古代的人们发现，夏至日影子最短，冬至日影子最长，这样通过测量日影的长度得到夏至和冬至，从而确定了四季．如图2，若某地太阳光线冬至时和地面的夹角，夏至时夹角，且点A，B，C，D都在同一平面内，某数学兴趣小组测得土圭夏至日和冬至日影长的差 为尺．（参考数据，，，，，，，，） （1）求土圭 的高度为多少尺； （2）若春分时太阳光线和地面的夹角是，求春分时土圭的影长为多尺？ 【答案】（1）土圭 的高度约尺； （2）春分时土圭的影长约为1.25尺 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）在中，利用正切函数的定义求得，在中，利用正切函数的定义求得，再根据 为尺列式计算即可求解； （2）在中，利用正切函数的定义即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知：，，，设尺， ∴在中，， 在中，， ， 解得：， （尺） 答：土圭 的高度约尺； 【小问2详解】 解：在中，，， （尺） 答：春分时土圭的影长约为尺． 21. 如图，已知 为 的直径， 为 的半径，过点C作 的切线 ，过点A作交 于点E，交 于点D，连接 ， ， ，． （1）若 长为，求 的半径； （2）求证：四边形为菱形． 【答案】（1）3 （2） 证明：∵ 为 切线， ， ， 由（1）可知， ， ， ， 在中，， ， ， 由（1）可知， ， ， 即， ∵ 是直径， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）连接 ．根据，得出，根据圆周角定理得出， ．在中，解直角三角形即可求出，再根据求出半径． （2）根据切线的性质得出，圆周角定理结合（1）可知，根据，得出，求出，证明，根据圆周角定理得出，求出，证出，得出四边形为平行四边形，结合，即可证平行四边形为菱形． 【小问1详解】 解：如图，连接 ． ， ， ， ， ∵ 为 直径，点C在 上， ． 在中， ， ，，， ， ． 【小问2详解】 略 【点睛】该题考查了圆周角定理，切线的性质，菱形的判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 22. 如图1，在中，于点E，延长至点F，使，过点F作于点H，交于点G． （1）求证：． （2）如图2，连接，点E是 的中点，． ①若，求的长． ②如图3，延长至点M，使得，连接，，猜想与之间存在怎样的关系？并说明理由． ③如图4，在②的条件下，连接，作点C关于的对称点N，连接，，若，请直接写出的大小． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） ①4； ②，，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③ 【解析】 【分析】（1）由，得到，由四边形是平行四边形，得到，，再结合，证明，得到； （2）①解：延长，交 延长线于点P，由点 是 的中点，，得到，再证明，得到，即可利用斜边中线得到； ②先证明四边形是正方形，得到，，再证明，得到，，即可得到； ③连接，，，过作交 延长线于，在②的条件下，，，，，，证明，得到，则，再由作点C关于的对称点N，得到四边形为正方形，得到，最后证明，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：延长，交 延长线于点P， ∵， ∴， ∵点 是 的中点，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②略 ③连接，，，过作交 延长线于， 在②的条件下，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵作点C关于的对称点N， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 由（2）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，轴对称的性质等知识点． 23. 已知是自变量x的函数，若（为常数且为整数），则称是x的“a维函数”，例如：x的“1维函数”为；称（t为常数且为整数）是x的“t阶a维函数”，例如：x的“2阶1维函数”为． （1）写出自变量x的“3阶维函数”的表达式． （2）已知函数y是“1阶2维函数”、“4阶1维函数”与“3阶0维函数”的和，请写出y的表达式． （3）在满足（2）的条件下，设函数y的图像M上的最低点为A，与y轴交点为B，点C为图像M上一定点，若将图像M向右平移，保持最低点始终在直线上，记平移后得到的图像为N．当点A平移到点H时，此时图像M上的点C移至B点． ①求在平移过程中，图像M上的两点A、C间所夹的曲线 扫过的区域的面积S． ②如果过点和的直线与图像M、图像N都相交且只有3个交点，请直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3）①；②3或 【解析】 【分析】（1）依据x的“t阶a维函数”的定义解答即可； （2）依据x的“t阶a维函数”的定义解答即可； （3）①过点A作x轴的平行线，过点H作y轴的平行线，它们交于点 ，过点H作于点E，过点B作于点F，利用待定系数法求得的解析式，利用平移的性质和待定系数法求得点H的坐标，图象N的解析式，得到平移的距离，依据图象M上的两点A、C间所夹的曲线 扫过的区域的面积S等于平行四边形的面积，求得平行四边形的面积即可； ②利用分类讨论的思想方法分：当直线与图象M只有一个交点时和当直线与图象M只有一个交点时两种情况讨论解答，将直线的解析式与抛物线的解析式分别联立，令即可求得m值． 【小问1详解】 解：自变量x的“3阶维函数”的表达式为； 【小问2详解】 解：∵“1阶2维函数”表达式为、“4阶1维函数”表达式为、与“3阶0维函数”表达式为， ∵函数y是“1阶2维函数”、“4阶1维函数”与“3阶0维函数”的和， ∴． 【小问3详解】 解：①由（2）知：， ∴函数y的图象M上的最低点为， 则直线的解析式为， 令，则， ∴． ∵将图象M向右平移，保持最低点始终在直线上，点A平移到点H， ∴设， ∴图象N的解析式为， ∵点B在图象N上， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， ∴图象M向右平移了，向上平移了， ∴． 过点A作x轴的平行线，过点H作y轴的平行线，它们交于点 ，过点H作于点E，过点B作于点F，如图， 则图象M上的两点A、C间所夹的曲线 扫过的区域的面积S等于平行四边形的面积． 由题意：，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②设直线的解析式为， ∵点和， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 由题意得图像M解析式，图像N解析式， ∵直线与图象M、图象N都相交且只有3个交点， ∴直线与图象M只有一个交点或直线与图象N只有一个交点或经过点， 联立直线与图象M得， ∴， ∴， 联立直线与图象N得， ∴， ∴， 当直线与图象M只有一个交点时， ， ∴或， 当时，，直线与图象 没有交点，不合题意； 当时，，直线与图象 没有交点，不合题意； 当直线与图象 只有一个交点时， ， ∴， 当时，，直线与图象有两个交点，符合题意； 当时，，直线与图象有两个交点，符合题意； 当直线经过图象和图象 的交点时，，此时，直线与图象有两个交点，直线与图象 有两个交点，符合题意； 综上，m的值为3或． 【点睛】本题主要考查了函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，平移的性质，一次函数的图象与性质，直线与抛物线的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年营口市初中学业水平考试第一次模拟考试 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 参考公式：抛物线顶点坐标为 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 根据某网站统计数据，截至止2025年1月，的总访问量达到了278000000次，其中278000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 位于我国山东省中部的泰山，被誉为中国“五岳之首”，自然景观美丽壮阔．1月份的泰山，山顶平均气温为，山脚平均气温为，则山脚平均气温与山顶平均气温的差是（ ） A. B. C. D. 4. 国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中不是中心对称图形的是（       ） A. B. C. D. 5. 2025年太原市初中学业水平体育考试项目在原有基础上，增加了足球、篮球、排球考试项目，九年级（一）班的小明和小颖分别随机选择参加足球、篮球、排球中的一个项目，则他们选择同一个项目的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某工程队承担铺设一段长为450米的管道，由于引进了新设备，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的倍，结果提前5天完成任务，设原计划每天铺设管道的长度为米，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G．延长交的延长线于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的中心为点M，已知反比例函数的图象经过点M，则k的值为（ ） A. 6 B. 10 C. 5 D. 16 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 12. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是_____.． 13. 如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形圆心角，圆锥的底面半径，则此圆锥的侧面积是______． 14. 跳台滑雪是2022年北京冬奥会比赛项目之一．一名参赛运动员起跳后，他的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图所示），则这名运动员起跳后的最大飞行高度是______m． 15. 如图，在四边形中，对角线 与交于点E，过点E作．于点F，连接，，，按以下步骤作图：分别以点A、点F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P和点Q，作直线，若点B，点E都在直线上，且，则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 智能快递机器人是一种能够自主完成快递分拣任务的智能设备．它可以自主感知、识别、分拣快递包裹，大大提高了物流企业的分拣速度和效率．某物流公司为提高工作效率，拟购买甲、乙两种型号智能快递机器人共10台进行快递分拣工作，1台甲型智能快递机器人和3台乙型智能快递机器人每天一共可分拣快递36万件；3台甲型智能快递机器人比2台乙型智能快递机器人每天可多分拣快递20万件． 求： （1）甲、乙两种型号智能快递机器人每台每天分别可分拣快递多少万件？ （2）该物流公司每天快递量不超过100万件，则该公司最多可以购买甲型智能快递分拣机器人多少台？ 18. 天宫一号飞行乘组曾经给全国中小学生上过一堂太空实验课，这次我们会与地面上的航天员王亚平一起客串“太空科普老师”，为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校七年级共700名学生参加了以“格物效知，叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解七年级学生的科普知识掌握情况，调查小组从七年级随机选取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息： 信息一：50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图； 信息二：竞赛成绩在 这一组的成绩是：80、81、83、83、83、83、84、84、84、85、85、86、86、87、87、88、88、89． 信息三：小东的竞赛成续为83分． 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）小东的竞赛成绩是否超过样本中一半学生的成绩？ （3）学校将把获得88分及以上的学生评为“科普达人”，请估计七年级学生的获奖人数． 19. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行线上销售一种食品若干千克，成本价为每千克30元，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的，经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数关系，且．时，；时，， 求： （1）y与x之间的表达式； （2）当销售单价定为多少时，每日获得利润w最大？最大利润为多少元？ 20. 土圭是中国古代用于测量日影长度的天文仪器，它的构造简单如图1，就是垂直于地面立的一根杆，通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节的变化，古代的人们发现，夏至日影子最短，冬至日影子最长，这样通过测量日影的长度得到夏至和冬至，从而确定了四季．如图2，若某地太阳光线冬至时和地面的夹角，夏至时夹角，且点A，B，C，D都在同一平面内，某数学兴趣小组测得土圭夏至日和冬至日影长的差为尺．（参考数据，，，，，，，，） （1）求土圭的高度为多少尺； （2）若春分时太阳光线和地面的夹角是，求春分时土圭的影长为多尺？ 21. 如图，已知为的直径，为的半径，过点C作的切线，过点A作交于点E，交于点D，连接，，，． （1）若长为，求的半径； （2）求证：四边形为菱形． 22. 如图1，在中，于点E，延长至点F，使，过点F作于点H，交于点G． （1）求证：． （2）如图2，连接，点E是的中点，． ①若，求的长． ②如图3，延长至点M，使得，连接，，猜想与之间存在怎样的关系？并说明理由． ③如图4，在②的条件下，连接 ，作点C关于 的对称点N，连接，，若，请直接写出的大小． 23. 已知是自变量x的函数，若（为常数且为整数），则称是x的“a维函数”，例如：x的“1维函数”为；称（t为常数且为整数）是x的“t阶a维函数”，例如：x的“2阶1维函数”为． （1）写出自变量x的“3阶维函数”的表达式． （2）已知函数y是“1阶2维函数”、“4阶1维函数”与“3阶0维函数”的和，请写出y的表达式． （3）在满足（2）的条件下，设函数y的图像M上的最低点为A，与y轴交点为B，点C为图像M上一定点，若将图像M向右平移，保持最低点始终在直线上，记平移后得到的图像为N．当点A平移到点H时，此时图像M上的点C移至B点． ①求在平移过程中，图像M上的两点A、C间所夹的曲线 扫过的区域的面积S． ②如果过点和的直线与图像M、图像N都相交且只有3个交点，请直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $