山东省青岛市四区县2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

高二数学试题 第 1页（共 4页） 2024—2025 学年度第二学期期中考试 高二数学 2025.04 本试卷共 4页，19题．全卷满分 150分．考试用时 120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并 将条形码粘贴在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写 在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、单项选择题：本大题共 8小题．每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数 ( ) ln( 1)f x x  ，则 (2)f   A．1 B．2 C．3 D． 4 2．设 A B ，且 ( ) 0.3P A  ， ( ) 0.6P B  ，则 ( | )P A B  A．1 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 6 3．甲、乙、丙、丁、戊、己6人排成一列，要求甲乙不相邻，则不同排法种数是 A．120 B．240 C．360 D． 480 4．随机变量X的分布列为 ( 0)P X p  ， ( 1)P X q  ，若 1( ) 2 E X  ，则 ( )D X  A． 1 5 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 5．已知函数 ( ) lnf x x x ax  在区间[1,2]上单调递增，则a的最大值为 A．0 B．1 C．1 ln 2 D． 2 6．过点 (1, 1)P  作曲线 3y x x  的切线，不同的切线条数为 A．0 B．1 C．2 D．3 高二数学试题 第 2页（共 4页） 7．若 e ln ln 0xa x a   恒成立，则a的取值范围为 A． 1(0, ] e B． (0,e] C． 1[ , ) e  D．[e, ) 8．牛顿法(Newton's method)是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如 下：设r是 ( ) 0f x  的根，选取 0x 作为r的初始近似值，过点 0 0( , ( ))x f x 作曲线 ( )y f x 的切线L ,L的方程为 0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x   ．如果 0( ) 0f x  ，则L与 x轴的交点 的横坐标记为 1x ，称 1x 为r的一阶近似值，再过点 1 1( , ( ))x f x 作曲线 ( )y f x 的切线， 并求出切线与 x轴的交点横坐标记为 2x ，称 2x 为r的二阶近似值，重复以上过程，得r的 近似值序列： 0 1 2, , , , nx x x x   ，根据已有精确度 ，当| |nx r   时，给出近似解．对于 函数 3( ) 1f x x x   ，若给定 0 0x  ，则r的二阶近似解 2x  A． 1 3 B． 1 2 C． 3 4 D． 4 3 二、多项选择题：本大题共 3小题．每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．在 2( 2)nx  展开式中，奇数项的二项式系数的和为32，则 A． 6n  B． 6x 的系数为 20 C．常数项为64 D．第 4项的系数最大 10．甲、乙、丙、丁四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报 一个运动队，每个运动队至少报1名同学，则 A．所有不同的报法种数有 43 种 B．若甲必须报足球队，则所有不同的报法种数有12种 C．若甲、乙都不报足球队，则所有不同的报法种数有14种 D．若甲、乙不报同一个运动队，则所有不同的报法种数有30种 11．已知函数 | | sin | |( ) e x xf x  ，则 A． ( )f x 为奇函数 B． ( )f x 在区间 π(0, ) 4 上单调递增 C． | | cos( ) 1 e x xf x   D．若 ( ) ( )g x f x b  在区间[ π, π] 上恰有 4个零点，则 π 42(0, e ) 2 b   高二数学试题 第 3页（共 4页） 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12． 5( )( )x y x y  的展开式中 3 3x y 的系数是__________． 13．已知 P 是曲线 lny x 上的一个动点 ,则点 P 到直线 2 0x y   的最小距离为 __________． 14．盒子中有大小形状完全相同的1个白球，2个黑球．每次从该盒中取出1个球，若取出 的是白球，则把它放回盒中；若取出的是黑球，则该黑球不放回，并且另外补1个白 球放入盒中，则第 2次从盒中取出白球的概率是_________；重复上述过程 n次后，盒 中白球个数的数学期望是__________．（本小题第一空 2分，第二空 3分） 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 老师要从8篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中 2篇才 能及格，某位同学只能背诵其中的6篇． （1）求抽到他能背诵的课文的数量 X 的分布列和均值； （2）求他能及格的概率． 16．（15分） 已知函数 3 2( ) 6 1f x x ax   ． （1）若 1a  ，求 ( )f x 的单调区间； （2）求 ( )f x 在区间[ 1,0] 上的最大值． 高二数学试题 第 4页（共 4页） 17．（15分） 春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴 发了流感，这三个地区分别有12%，9%，6%的人患了流感．假设这三个地区的人口数 的比为1: 2 : 3，现从这三个地区中任意选取一个人． （1）求这个人患流感的概率； （2）设 1 2 3, ,B B B 是一组两两互斥的事件， 1 2 3B B B    ,且 ( ) 0, 1,2,3iP B i  ，对 任意的事件 A ， ( ) 0P A  ，证明： ( ) ( | )( | ) , 1, 2,3 ( ) i i i P B P A BP B A i P A   ； （3）若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 18．（17分） 已知函数 ( ) 3lnaf x x x x    ． （1）若 2a  ，求 ( )f x 的极值； （2）若 ( )f x 有两个极值点 1 2,x x 1 2( )x x ． （ⅰ）求 a的取值范围； （ⅱ）证明： 2 2( ) 9x f x   ． 19．（17分） 已知函数 ( ) ( ) lnf x g x x ，其中 ( ) exg x ax b   ． （1）若 1a  ， ( )f x 恰有 2个零点，求b的取值范围； （2）证明：对任意a，存在b，使得 ( )f x 存在大于1的零点，且 2 2 2 e 2 a b  ； （3）定义：若函数 ( )F x 在区间 (1, ) 上的最小值为0，则称 ( )F x 为“1 0 函数”． 若 ( )f x 为“1 0 函数”，且 0 0( ) ( )( 1)f x f x x  ． 证明：存在 0(1, )t x ，使得 ( ) ( ) 3 0f t g t b   ． 2024-2025学年度第二学期期中学业水平检测高二数学参考答案 一、单项遗择题：本题共8小题，年小题5分，共40分。 1-8:ABDB BCCC 二、多项选挥题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.AC 10.BCD 11.BCD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，典15分。 5 12.0； 13. 14.0多a)3-2x该者3 四、解答题：本题共5小题，共77分，娜答应写幽文字说明。证明过程或演算步票。 15.解：(1)设抽到能背诵的课文篇数为X,X的可能取值为1,2,3， …1分 则PX=1)= cici-3 C28,PX=2)= C_15 C 28 P=3)=CC=10 C28 …7分 则X的分布列为 2 3 3 15 10 28 28 28 …8分 28*2x5 所以E0=1x3+ 109 83x 28 4 …9分 (2)由(1)可知他能及格的概率为 PX≥2)=PX=2)+Px=3)=15102 282828 …13分 16.解：(1)当a=1时，f(x)=x3-6x2+1, f'(x)=3x2-12x=3x(x-4), …2分 令f'(x)=0,解得x=0或x=4 …3分 当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如表所示： (-0,0) 0 (0,4) 4(4,+0) f"() 0 0 + f(x)单调递增 单调递减 单调递增 …6分 所以函数f(x)的单调递增区间为（仁0,0），(4，+0)，单调减区间为(0,4)…7分 (2)f(w=3x2-12ar=3x(x-4a,令f(x)=0,解得x=0或x=4a…8分 当a≥20时， 若x≤0，则f()≥0，所以f(x)在区间[-1,0]上单调递增， 此时f()mm=f(0)=1…10分 当-<a<0时， 4 若-1<x<4a,则f'()>0,所以f(x)在区间[-1,4a上单调递增， 若4a<x<0,则f(x)<0,所以f(x)在区间[4a,0]上单调递减； 此时f(x)ma=f(4a）=-32a3+1… …12分 当a≤-寻时， 若-1≤x≤0，则f'(x)<0,所以f(x)在区间[-1,0]上单调递减； 高二数学答案第1页共5页 此时f(x)mm=f(-1)=-6a …14分 综上所述，当a≥0时，f(x)mm=1; 当-号<a<0时，fx)r=-32a3+l: 4 a≤-1时，fGs=一6a 17.解：(1)设A=“选取的人患流感”，用B,B2,B,分别表示选取的人来自甲，乙，丙地区， 则P8)=名，P8)-P8)分， …1分 所以P(AB)=12%,P(A|B,)=9%,P(A|B,)=6%…4分 由全概率公式得 0-2P0P4)=后l2%+写%+66=s% ……6分 (2)根据乘法公式P(AB)=P(B)P(AB)…8分 条件概率得P(B1A)=PBA_P(AB) …10分 P(A) P(A) 所以P(B|A)= PB)P4B2,i=12,3… P(A) …11分 (3)由(2)知： 1×12% P(B.IA)=P(B)P(AIB) 12分 P(A) 8% 4 1 P(BP(B)P(A1B)% 3…13分 P(A) 8% 6 1 ×6% P(B|4A0= P(B,)P4B,=2 3… ……14分 P(A) 8%8 所以P(B|A)<PB,|A)=P(B2|A), 容：此人来自甲地区的可能性最小…15分 18.解：(0)若a=2,f=1+2-3--3x+2 x>0) …2分 令f(x)=0,解得x=1或x=2 ……3分 当x变化时，∫(x)和f(x)的变化情况如表所示： (0,1) 1 1,2) 2 (2,+0) f'(x) + 0 0 + f(x)单调递增-1单调递减1-3n2 单调递增 所以，当x=1时，f(x)的极大值为f)=-1 当x=2时，f(x)的极小值为f(2)=1-3n2…6分 (2）(x)=1十a3=-3x+x>0)…7分 xx x (i)因为f(x)有两个极值点x,x2(:<x2),所以+x=3,xx2=a>0,△=9-4a>0, 高二数学答案第2页共5页 9 解得0<a< 所以a的取值范围为0， ……10分 国）由0知0<写<弓，因为+写=3，所以<<3，a=3北-…12分 设g(x)=xf)=x2--3x血x2=x2-(3x-x)-3x血x =2x-3x-3x血，2<314分 (解法1)令)=血x-x+1,则h)=1-L,4(田在(0,1单调递增，在口，四)单调递减， 所以h(x)≤h)=0,故nx≤x-1,等号当仅当x=1时取…15分 所以g()>2x2-3x2-3x,(g2-)=->-9…17分 海#令0=2r-3-30h1,1<3,N0=-333h1=4-6-3h, h0=4-34,3>0,所以i0在(，3)上单调递增…15分 又m=-3h3<0,ie)=6-3h3>0, 所以3弘∈3)，使得i6,)=4-6-3血，=0， 则0在（弓，6）上单调递减，在化，3到上单调递增…16分 所以0≥ht。)=21,2-3。-3。h。=21.2-31。-1(4。-6=-2.2+31。 >-20-+8-9 8 综上知：不，f(X2)>一9…17分 19.解：(1)当a=1时，因为f()=0… …1分 则g(x)在(0，十∞)存在唯一不等于1的零点……2分 因为g()=e>0,所以g(0)<0,得1-b<0,即b>1…3分 设(x)=e-2x(x>1),有(x)=e-2>0,(x)在L,+o)上单调递增， 所以h(x)>h①)=e-2>0, g()=e-2b>0,所以g(x)=e-x-b在(0，+∞)上存在唯一零点…4分 又因为g1)=e-1-b≠0， 所以b的取值范围为(Le-1)U(e-1,+m).… ……5分 (2)因为f()存在大于1的零点，所以g(x)在(，十0)上存在零点…6分 因为g()=e-a, 当a≤e时，则g(9>0,g(x)在(L,+∞)上单调递增，所以g1)<0,即b>e-a≥0， 则g(b+2)=e*2-(b+2)a-b>e2b+1)-6+2)e-b=(e2-e-10b+e2-2e>0, 故g(x)在(1，十0)存在零点… …7分 当a>e时，由g()=0得x=na,所以g(x)在(1，nd单调递减，在na,+o)单调递增， 高二数学答案第3页共5页 所以gna)=a-ana-b<0,即b>a-ana, 令h(m)=e-x-1,则2'(w)=e-1,h(x)在（0,0)单调递减，在(0，+o)单调递增， 所以h(x)≥h(0)=0, 令h(x)=e-x(x>e),则h'(x)=e-2x>0,所以h(x)>h(e)>0, 若b≤0，则g(a=e-a2-b>e°-a2>0, 若b>0,g(a+b+2)=eb+2-a(a+b+2)-b=e“ee2-(d2+2ad-(a+10b >3e"e-(a2+2a)+e"e-(a+1)b >3e-(a2+2a+eb-(a+1)b >e-a2+2e°-2a+(e-a-1)b>0 故g(x)在na,十∞)存在零点，即g()在(1，十0）上存在零点…9分 综上知：f)存在大于1的零点.下面证明：a+b>e 2 ase (解法1)如果 {b>e-a20,则a+b≥4+6+2ab 2a+ 2 a>e 如果 b>a-alna'则d+b2>e'>e …10分 (解法2)因为存在元>1，使得g(2)=e-a1-b=0, 对于直线e-aA-b=0,V+表示点0,0)到点(a,)的距离，所以√+=e 22+1 a+F>0,则m闭=2-+D<0. 令m()=,1 2+1 所以m()在+)单调递减，m()<m)=名， 所以a2+BF> ……10分 2 综上，对任意a,存在b,使得f)存在大于1的零点，且d+公> 2 (3)当x>1时，nx>0,所以g(x)=e-ax-b在L,+∞)上的最小值为0…11分 又因为g()=e-a,所以g'(x)=0,得x=lna,且na>1,即a>e…12分 所以g(x)在(L,h)单调递减，在na,+o)单调递增， 所以gna=a-ana-b=0,所以b=a-ana<0,且x。=nal3分 因为f=e--D+e-anx, 设(x)=e-2x+xnx(x>e),则1(x)=nx-1>0,得(x)>(e=0, 所以f")=e-a-b=e-2a+ana>0,且fna)=0.…14分 假设不存在t。∈(L,),使得f()<0, 则f'(x)20，因为f(x)在任何区问上不是常数函数，所以(x)在(L,x。)单调递增，矛厅！ 所以存在∈L,x),使得(t)<0,故存在t∈(L,)二(1，x),使得()=0， 即但--1+e-h1=0,得仁-a-月=n1…15分 t(a-e') 高二数学答案第4页共5页 所以f(t)=(e'-at-b)nt =(e-at-b)2 (a-e)t =(e-a0'+b2-2(e-al)b (at-龙) ≥(e-a02+b2-2e-am0b at-e' =a1-e-2b+ at-e 又因为a>e,1<t<na,所以at-e>0, 故f)>at-e-2b=-g①-3b, 综上知：f0十g(0+3b>0…17分 注：用极限代替“取点”且表达充分的，建议扣至少1分。 高二数学答案第5页共5页