2026年中考数学一轮复习 二次函数最值问题专项练习

2026年九年级数学中考一轮复习二次函数最值问题专项练习题 1．（24-25安徽六安·期中）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点 (1)求b，c，m的值； (2)如图，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标． (3)若第（2）问中的D点的横坐标为n，，则四边形的周长是否有最大值或最小值，若有，直接写出这个值；若没有，填写“不存在”．最小值：_____最大值：______． 2．（2026·河北秦皇岛·一模）已知二次函数的最大值是，其图象记为抛物线． (1)求出的对称轴及的值； (2)当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； (3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②点在轴的负半轴上，过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的横坐标． 3．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，抛物线与x轴交于，与y轴交于点，点在抛物线上，如图1，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当，求n的最大值与最小值的差； (3)如图2，点E是y轴上一动点，点F为抛物线对称轴上一动点，点M为直线上一动点，连接，当时，求的最小值． 4．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，且与轴交于另一点（点在点右侧）． (1)求抛物线的表达式 (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行轴交轴与点，交抛物线于点，求的最大值； (3)试探究当取最大值时，直线上是否存在一点，使得有最小值，若存在，请求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差； (3)若为抛物线的顶点，直线交抛物线于，两点，求面积的最小值． 6．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，抛物线经过点． (1)求的值． (2)将图中抛物线在轴右侧部分沿轴翻折，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为图象，如图，直接写出图象对应的函数解析式． (3)点在图象上，其横坐标为． 点为坐标原点，当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值的差等于时，直接写出的取值范围． 点在图象上，其横坐标为．当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值均不随的变化而变化时，直接写出的取值范围． 7．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由； (3)已知点，若点是抛物线上任意一点，分别连接、、，则的周长有最小值吗？如果有请求出最小值，若没有，请说明理由． 8．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)点是的角平分线与的交点，点是直线下方抛物线上的一动点，轴交于点，点是轴上一点，点是抛物线对称轴上一点，且，当取得最大值时，连接，，求此时点的坐标及的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中取得最大值时的点，得到新抛物线，点为抛物线上的一动点，且，直接写出所有符合条件的点的坐标． 9．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点，交轴于，两点（在的左侧)，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，连接、，点是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中当的面积取得最大值时，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当，请写出所有符合条件的点的坐标． 10．（2024九年级下·江苏无锡·期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点． (1)填空： ，点的坐标是 ； (2)连接，点是线段上一动点（点不与端点重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是射线上一动点，当的周长取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中，当的周长取得最大值时，取得最小值时，如图2，把点向下平移个单位得到点，连接，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是该抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若函数的最大值与最小值的差为，求出的值； (4)若点是坐标平面内一动点，请直接写出的最小值及此时点的坐标． 12．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点 ，抛物线的顶点为，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为． (1)求b和c的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，用含t的代数式表示线段与的长度差，并求这个长度差的最大值； (3)定义：对于抛物线上任意两点、，取抛物线弧上所有点的横坐标最大值与最小值的差为“水平跨度”，纵坐标最大值与最小值的差为“竖直高度”，记为抛物线弧的“形态系数”． ①若点在对称轴右侧，求抛物线弧的“形态系数”与的函数解析式； ② 过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在左侧），若抛物线弧与抛物线弧的“形态系数”之和为时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）把，代入， 得， 解得． ∴这个抛物线的解析式为：， 令，， 解得，， ∴， ∴； （2）∵抛物线的解析式为； ∴对称轴为，设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ∵ ∴当时，四边形的周长最大， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）第（2）问中的D点的横坐标为n，， ∴四边形的周长 ∵ ∴当时，四边形的周长最大，最大值20． ∵ ∴当时，四边形的周长最小，最小值18， ∴最小值18，最大值20． 2．（1）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，函数的最大值是，最小值是， 当时，取最大值，当时，取最小值， 即，， ， ， 解得，（负值舍去）， ； （3）解：， 则， 设点，则点，，， ， ， 当时，即， 解得或或（不合题意，舍去）， 当时，点的横坐标为或． 3．（1）将代入得                           ； （2）∵ ∴对称轴 ∴开口向下 ∴当时，y有最大值            当时，m随n的增大而增大 ∴当时，此时n有最小值6 当时，m随n的增大而减小 ∴当时，此时n有最小值 ∴当时，n有最小值            的最大值与最小值的差为 （3）当时， 如图所示，与抛物线对称轴交于点G，连接 作P关于y轴的对称点，连接 作M关于抛物线对称轴的对称点 关于抛物线对称轴对称 关于抛物线对称轴对称的直线是 在直线上 过作的垂线交于H 即为的最小值                过作x轴的垂线交于N 当时， 代入， 可得直线解析式为 当时，    由题可知： ． 即的最小值为． 4．（1）解：当时， ∴ 当时， ∴ ∴ ∴ 抛物线的解析式是： （2）解：当时， 解得： ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 设，则 ∴ ∴当时，的最大值为 （3）解：由（2）可得当时，取最大值， 如图所示，作点关于直线对称的点，连接交于点， ∴ ∴， 即有最小值为的长，点即为所求， ∵， ∴， 设直线的解析式为，代入，，得 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴． 5．(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的最值，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据题意求出，将三个点代入函数表达式求解即可； （2）根据在函数图象上，得到，根据到y轴的距离不大于2，得到，根据二次函数的性质，求出最大值和最小值，作差即可； （3）可得，必过，不妨设，连接，则轴，则，联立直线与抛物线表达式可得，那么，再由求解最值即可． 【详解】（1）解： ， 将代入， ，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）可知：， ∵函数图象上有一点到y轴的距离不大于2， ∴，， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，的值最小为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，， ∴当时，的值最大为， ∴的最大值与最小值的差为； （3）解：∵    ∴ ∵   故直线必过， 不妨设 连接，则轴， ∴ 联立，得： 故 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 故面积的最小值为． 6．(1) (2) (3)①或.②或. 【分析】（1）把代入，解方程即可； （2）当时，的图象不变，可得解析式不变，当时，图象与的图象关于x轴对称，可得，整理可得答案； （3）①分当和时，找出满足条件的最值，结合图象即可得出结论； ②如图，过抛物线的顶点作轴的平行线交图象于，当点在上、点在上时，或当点在上、点在上时，再建立不等式组解题即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）解：由（）得， ∴抛物线解析式为， 则当时，； 当时，，即， ∴图象对应的函数解析式为； （3）解：I.当时，当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值在点，即时，是最大值， 最小值在点，即时，是最小值， 依题意得：，解得：， （不合题意舍去）； II.当时，，即当，是最小值， 当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值的差等于时， 即最大值为0，最小值为时，满足题意， ∴，解得或， ∴当时，当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值的差等于时，的取值范围是， 综上所述：当图象在两点之间的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值的差等于时，或. ②当图象在两点之闻的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值均不随的变化而变化时，即函数的最值与端点值无关， 故满足题意的函数的最小值为当时，，最大值为时，， 当点在上、点在上时，， 解得：； 当点在上、点在上时，， 解得：； 综上所述：当图象在两点之闻的部分（含两点）所对应函数最大值与最小值均不随的变化而变化时，的取值范围为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，轴对称的性质，二次函数的图象与性质，不等式组的解法，本题的难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 7．(1) (2)，存在最大值 (3)的周长有最小值 【分析】本题考查了二次函数的性质，面积问题，周长问题，待定系数法求解析式； （1）用待定系数法即可求解； （2）设，，根据题意结合图形可得，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据点是抛物线上任意一点，设，，求得，作直线，过点作于点，进而得出，根据，当在上时，即当重合时，取得最小值，的周长有最小值，即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在最大，理由如下， ∵， ∴， ，当时，，则， 设，， 如图所示， ∵ ， ∴当时，取得最大值为， ，则； （3）解：的周长有最小值， ∵点是抛物线上任意一点，设， ∵， ∴， ， 如图，作直线， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，即当重合时，取得最小值，即的周长有最小值． 的周长有最小值，． 8．(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)或． 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出直线的函数解析式，设点，，表示出后，求出最大值时，，从而得到点的坐标．根据象限的角平分线的性质求出点的坐标，再将点向右平移构造平行四边形，则．根据线段公理，当、、三点共线时，取得最小值，使用勾股定理计算出即可； （3）根据题意，平移路径为，即向右个单位，向上个单位，从而求出抛物线的解析式．分两类讨论，当点在轴下方时，作直线交轴于点，容易证明，从而得到点．用待定系数法求出的解析式后，与抛物线联立，求出点的坐标；当点在轴上方时，使用同样的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：将点，代入中，得， ，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在的平分线上， ∴， 设点，代入，解得， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， 如图，将点向右平移1个单位，得到，连接． 抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即的最小值为， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为． （3）解：由（2）可得，点的坐标为， 根据题意可知，平移路径为从点到点，即向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴新抛物线， ①当点在轴下方时，如图，作直线交轴于点， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∵， ∴点的坐标为； ②当点在轴上方时，如图，作直线交轴于点， 同理①可得，， ∴， ∴点的坐标为， 将，代入，得， ∴点在抛物线上， ∴点即为所求的点， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定与性质，角平分线的性质定理，线段和最值问题，全等三角形的判定与性质，函数的平移问题，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 9．(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出的长，进而将点和代入函数解析式，进一步得出结果； （2）作于，交于，先推出当最大时，最大，即的面积最大，求得的函数解析式，进而设点和点坐标，进而表示出的关系式，进一步得出点坐标；连接，交对称轴于点，则最小，最小值是的长，进一步得出结果； （3）先求出平移后的抛物线解析式，可得出，进而推出，当时满足条件，从而得出坐标；作，交于，交轴于点，设，根据列出方程，从而求得坐标，进而求得的解析式，求出其与的交点，从而得出结果． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，过点作于，交于，过点作于， 轴， ∴， ， ， ， ， 当最大时，最大，的面积最大， ， 直线的解析式为：， 设， ， 当时，最大， ， ， 连接，交对称轴于点，则最小，最小值是的长， 由得， 或， ， ， 的最小值为：； （3）解：如图2， 抛物线向右平移4个单位，向下平移2个单位后为：， 即：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时， ， 由题意得， 当平移到点，点平移到， ， ，即， 作，交于，交轴于点， 设， ， ， ， ， ， ， 的解析式为：， 由得， 或， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，图象的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是较强计算能力． 10．(1)， (2) (3)存在，点的坐标为 ，，， 【分析】本题是函数与几何的综合，考查待定系数法求解函数的表达式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，第（2）题构造含的直角三角形是解题的关键，第（3）题分类要全，不能漏解，难度较大，一般是中考压轴题． （1）将点A的坐标代入抛物线的表达式中可求出a，令可求出点B的坐标； （2）通过配方法求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，设点，，利用等角的三角函数值相等求出，利用二次函数的性质可求出使的周长取得最大值时的m值，在x轴上取点，过F作的垂线段交y轴于点P，可得，连接交y轴与点J，利用的面积计算求出； （3）由（2）求出点Q的坐标，取的中点G，在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可满足，分四种情况进行求解． 【详解】（1）解：将点代入中得，， 解得，，即， 当时，， 解得，，， ∴点B的坐标是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴点，点， 设直线的表达式为，且经过点，点， ∴， 解得，， ∴， ∵点在直线的图象上，点在抛物线上， ∴设点，， ∵，轴， ∴，（对顶角相等）， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ∴当时，最大，此时，， 如图所示，在轴上取点，过作的垂线段交轴于点，连接，交轴于点， 在中，，则， ∵，即， ∴在中，， ， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∴点，， ∴，即， ∴， ∴当的周长取得最大值时， 的最小值即为的值，即． （3）解：存在， 由 (2) 可知，，即点， 将点向下平移个单位得到点， ∴点 ， 在 中, 则， 取的中点G，则有， ∴在旋转过程中，只需使的中点G在坐标轴上即可满足， 如图所示，当点G在y轴正半轴上时，过点作轴，垂足为I， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴，即点， 同理可知，当点G在x轴正半轴上时，点， 当点G在y轴负半轴上时，点， 当点G在x轴负半轴上时，点， 综上，点的坐标为，，，．　 11．(1) (2) (3)或 (4)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】（1）将点，代入抛物线表达式，解方程即可； （2）过点作轴的平行线，交于点，用的代数式表示出点和点的坐标，进而表示出．利用割补法将的面积分为竖直的两个小三角形，得到关于的关系式，结合二次函数的性质求出最大值即可； （3）分为区间在对称轴左侧、右侧和经过对称轴三类情况，由二次函数的增减性判断最大值和最小值，构造方程并求解．对于区间经过对称轴的情况，还需细分为处取最大值和处取最大值，解方程可知这两种情况下无解； （4）由点的横纵坐标关系，消去参数后，发现点在直线上，此时符合“将军饮马”模型，作点关于直线的对称点，当、、三点共线时，取得最小值，即，使用勾股定理计算出，点的坐标可通过联立直线和直线求得． 【详解】（1）解：将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点是该抛物线上一动点， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴点在下方， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值； （3）解：在抛物线中，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ①当区间在对称轴左侧，即时， ∵， ∴， 在上，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 当时，取得最小值， ∴， 解得； ②当区间在对称轴右侧，即时， ∴ 在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 当时，取得最大值， ∴， 解得； ③当区间包含对称轴，即时， ∴， 此时二次函数在顶点处取得最小值，即的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时， ∵， ∴在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 当时， 同理，在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 综上所述，或． （4）解：∵， ∴，， 两式相加得，即， ∴点在直线上， 如图，作直线，交轴于点，交轴于点，作点关于直线的对称点，连接、、， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点与点关于对称， ∴，，， ∴，即， ∴点的坐标为， ∵， 又∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即， 在直角中，， ∴的最小值为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，的最小值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查三角形面积最值问题，二次函数区间上的最值问题，线段和最值问题，解第二问的关键是将面积最值转化为线段最值，第三问需要根据对称轴和区间相对位置分类讨论，第四问则使用“将军饮马”模型来解． 12．(1) (2)， (3)①②或 【分析】（1）写出交点式，求出函数解析式即可； （2）根据题意，列出函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可； （3）①分和两种情况进行讨论求解即可；②分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于两点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，， 由题意，，，则：， ∴， ∴， ∴当时，的值最大为； （3）解：①∵， ∴时，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵点在对称轴右侧且 ∴当时， ， 则； 当时，， 则； 综上：； ②∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在左侧）， ∴， 当时，则抛物线弧的“形态系数”， 抛物线弧的“形态系数”， ∴，解得或（舍去）； 当时，则抛物线弧的“形态系数”， 抛物线弧的“形态系数”， ∴，解得或（舍去）； 综上：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $