第一章 直角三角形知识归纳与题型突破（9类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

第一章 直角三角形知识归纳与题型突破（题型清单） 一、直角三角形 1.定义 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 2.性质 （1）直角三角形两锐角互余. （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 3.判定 （1）两个内角互余的三角形是直角三角形. （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 二、勾股定理及逆定理 1. 勾股定理： 直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2; 2. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 三、直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理（斜边、直角边定理）： 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 四、角平分线的性质定理 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 注意：“点到角的两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度。 2.角平分线的性质定理的逆定理（角平分线的判定定理）：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 题型一　勾股数 例题：（24-25八年级下·安徽合肥·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．，， D．5，12，13 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．1.5，2.5，2 C．4，5，6 D．9，12，15 2．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）下列各组数中，是勾股数的为（   ） A．1，1， B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13 3．（24-25八年级下·江西南昌·期中）下列各组数中，属于“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）下列各组数据中，是勾股数的是（    ） A．8、10、6 B．1、1、 C．、、 D．5、12、14 题型二　利用勾股定理的逆定理判断三角形形状 例题：（八年级上·贵州毕节·期中）已知a，b，c满足． (1)求a，b，c的值． (2)试问以a，b，c的长度能否构成一个直角三角形？若能，求三角形的面积；若不能，请说明理由． 巩固训练 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知的三边满足，则的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中），，是的三边长，且满足，则的形状为（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）三角形的三边满足，则此三角形是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 4．（24-25八年级下·重庆·期中）在中，所对的边为a，b，c，则下列不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）已知中，a、b、c分别为的对边，则下列条件中：①；②；③；④．其中能判断是直角三角形的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）中，，，的对边分别记为，，，下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·山东临沂·期中）已知a，b，c是的三边长，且满足关系式，则的形状为 ． 8．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，请判断这个三角形的形状是 ． 9．（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）已知a，b，c为的三边，且满足，求的面积． 题型三　利用勾股定理求面积 例题：（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系．我们可以从不同的角度对勾股定理进行探索．如图1，在直角三角形中，．分别以为边长向外作正方形、正方形和正方形，其面积分别记作． (1)图1中，与之间的数量关系为______，直角三角形的三边之间的数量关系为________． (2)如图2，若用半圆代替正方形，请求出三个半圆面积之间的数量关系． 巩固训练 1．（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，且，，则边的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形的边长为、的边长为、的边长为，则正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·天津宝坻·阶段练习）如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，，，，则（   ） A．5 B．6 C．4 D．8 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）有一个面积为的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变成“枝繁叶茂”的“勾股树”．请你算出“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若正方形的边长为，则的值（    ） A．16 B．17 C．18 D．20 6．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 7．（24-25八年级下·全国·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2025 B．2024 C．22023 D． 8．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面积依次为1，3，2，则正方形D的面积为 ． 9．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是 ； 10．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ． 题型四　勾股定理在折叠问题中的应用 例题：（24-25八年级下·天津东丽·阶段练习）学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题： 请你运用所学知识，解决下面的问题： (1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点在边上），点落在点处，求的长度； (2)如图2，有一张长方形纸片，，，为边上一点，，为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点恰好落在线段上的点处，点落在点处．求线段的长度． 巩固训练 1．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）已知，如图长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则 ． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，，，是边上一点，将沿所在直线翻折得到交于当时，则的长为 6．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是 ． 7．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，在长方形中，，在上任取一点，连接，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，则的长为 ． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 题型五　最短路径问题 例题：（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 巩固训练 1．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，有一个圆柱形物体，一只蚂蚁要绕着圆柱外壁从点爬到点，圆周率取3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，，，一只壁虎从外表面顶点出发，沿长方体表面爬到内侧点处，点在上且距离上沿（即），壁虎爬行的最短路程是（   ）（鱼缸厚度忽略不计） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 （    ）厘米． A．10 B．15 C．9 D． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（   ）． A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ． 7．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 8．（24-25八年级下·青海海东·阶段练习）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B离点C，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 ． 9．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值 ． (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ． (3)【拓展应用】已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，写出的最小值 ． 题型六　勾股定理的应用 例题：（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）图①是某学校的篮球架实物图，其侧面示意图如图②所示．“综合与实践”小组开展了测量篮板的长度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下方案： 课题 测量篮板的长度 成员 组长：×××  组员：×××××× 工具 竹竿、皮尺、计算器等 测量示意图 如图，垂直地面于点C，线段，表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合，另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处 测量数据 竹竿的长度 的长度 的长度 根据表格中的方案和测量数据，请你帮助该“综合与实践”小组求出篮板的长度． 巩固训练 1．（24-25八年级下·山东德州·期中）某公园计划美化一块四边形区域，用来打造特色花卉展览区，每平方米的布置费用为120元．已知，相关长度如图所示（，，，）．请计算美化这块区域所需的费用． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．学校为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求劳动基地（四边形）的面积． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，长．已知海港C到A的距离为，到B的距离为．台风的影响范围为台风中心周围内． (1)海港C受台风影响吗？请说明理由． (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 4．（24-25八年级下·云南昆明·阶段练习）如图，一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． (1)此时梯子顶端A离地面多少米？ (2)若梯子顶端A下滑米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？ 5．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时． (1)求港口A到海岛B的距离； (2)B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果保留一位小数） 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的时节，八（1）班有位同学在学完勾股定理后，为计算风筝的垂直高度，不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的．进行了如下测量： ①测得水平距离的长为； ②根据手中剩余的线计算出放出去的风筝线为 ③该同学身高1.6m (1)求风筝的垂直高度 (2)如果该同学想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？ 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）著名的“赵爽弦图”如图1所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则． (1)图2为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理． (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米． (3)在第（2）问中，若千米，千米，千米，求的长． 题型七　直角三角形的性质与判定综合运用 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，于F，于E，M为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的周长． 巩固训练 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，，将直角三角板的直角顶点放在直线上，．若，则 ． 2．（2025·河北邯郸·一模）将直角三角板（）按下图的方式摆放在一条直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在中，是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（   ） A．6 B．144 C．36 D．12 5．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，是的高，且，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）已知：如图，在中，，，若，则 ． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在钝角三角形中，，分别垂直平分边，，交于点，，与在的下方交于点．若，则的度数为 ． 8．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）如图，是的高，是的中线，是的角平分线．若，则的度数为 ． 9．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，是斜边上的中线，若，则的大小为 ． 10．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，点D在BC上，，，则 ． 11．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，若，，求的周长． 题型八　直角三角形全等的判定 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，，与相交于点F． (1)求证：； (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 巩固训练 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，于点E，于点，且，若利用“”证明，则需添加的条件是（    ）． A．     B． C． D． 3．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ． 4．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，于点D，E为上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，试求△的面积． 6．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知：如图，在中，D是边的中点，，点E、F为垂足，且，． (1)求证；； (2)求证：是等边三角形． 7．（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，点为延长线上一点，点在边上，且，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型九　角平分线的性质 例题：（24-25八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 巩固训练 1．（2025八年级下·辽宁·专题练习）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）． A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，于于则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南·期中）如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则等于（　　） A．2 B．4 C． D． 4．（2025年云南省初中学业水平考试数学联考密卷（三））如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点．再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点，若，则点到的距离等于（　　） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，以点B为圆心、任意长为半径画弧，交，于点D，E；分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，．若平分的外角，且，，则的面积为（   ） A．6 B． C．8 D． 6．（2025·湖北武汉·一模）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，，相交于点，，．若，，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 9．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（    ） A．6 B．10 C．12 D．20 10．（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为 ． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于 ． 12．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 13．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)连接，求证：平分． (4)如图2，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，请直接写出的值． 14．（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）如图，和都是等边三角形，且点在一条直线上，连接和，交、于点．和相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． (3)求证：平分 15．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直角三角形知识归纳与题型突破（题型清单） 一、直角三角形 1.定义 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 2.性质 （1）直角三角形两锐角互余. （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 3.判定 （1）两个内角互余的三角形是直角三角形. （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 二、勾股定理及逆定理 1. 勾股定理： 直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2; 2. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 三、直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理（斜边、直角边定理）： 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 四、角平分线的性质定理 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 注意：“点到角的两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度。 2.角平分线的性质定理的逆定理（角平分线的判定定理）：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 题型一　勾股数 例题：（24-25八年级下·安徽合肥·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及勾股数，熟知勾股定理及勾股数的定义是正确解答此题的关键． 根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、，故不是勾股数，不符合题意； C、，，不是整数，故，，不是勾股数，不符合题意； D、，且都是整数，故是勾股数，符合题意， 故选：D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B．1.5，2.5，2 C．4，5，6 D．9，12，15 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数是勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C，，不是勾股数，不符合题意； D，因为，所以是勾股数，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）下列各组数中，是勾股数的为（   ） A．1，1， B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查勾股数，判断是否为勾股数，必须满足都是正整数，且两条较短线段的平方和等于较长线段的平方这两个条件．根据勾股数的定义进行逐项分析判断即可． 【详解】解：A、1，1，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、1.5，2，2.5，边长不都是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，不是勾股数，不符合题意； D、，是勾股数，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·江西南昌·期中）下列各组数中，属于“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义进行判断即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选C． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）下列各组数据中，是勾股数的是（    ） A．8、10、6 B．1、1、 C．、、 D．5、12、14 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义进行判断即可． 【详解】解：，故选项A符合题意； 不是正整数，故选项B不符合题意； 、、均不是整数，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选A． 题型二　利用勾股定理的逆定理判断三角形形状 例题：（八年级上·贵州毕节·期中）已知a，b，c满足． (1)求a，b，c的值． (2)试问以a，b，c的长度能否构成一个直角三角形？若能，求三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)能，面积为 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理，二次根式的加法，解题的关键是掌握绝对值、偶次幂、算术平方根都具有非负性． （1）根据偶次方，算术平方根以及绝对值的非负性进行求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行判断，并计算面积即可． 【详解】（1）解：∵， 且，，， ∴，，， ∴，，； （2）解：∵， 即， 故以，，为三边的三角形是直角三角形； 则三角形的面积为：． 巩固训练 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知的三边满足，则的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理：一个三角形三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 由变形得到，由勾股定理逆定理即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中），，是的三边长，且满足，则的形状为（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的判定，掌握“非负数和为的性质”、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定是解决本题的关键． 先利用非负数的和为的性质得到、、间关系，再由等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理得结论． 【详解】解：，， ， ，， ，； ，； ，； 是等腰直角三角形． 故选：D 3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）三角形的三边满足，则此三角形是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用．根据利用完全平方公式得到，根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵三角形的三边为， ∴则此三角形是直角三角形． 故选：B． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）在中，所对的边为a，b，c，则下列不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理， 先设，根据勾股定理逆定理说明A；再根据三角形内角和定理判断B，C；最后根据勾股定理的逆定理解答D即可． 【详解】解：设，根据题意，得 ， 所以这个三角形是直角三角形，A不符合题意； ∵， ∴， 所以这个三角形是直角三角形，B不符合题意； 设，且， ∴， 解得， ∴， 所以这个三角形不是直角三角形，C符合题意； ∵， ∴， 所以这个三角形是直角三角形，D不符合题意． 故选：C． 5．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）已知中，a、b、c分别为的对边，则下列条件中：①；②；③；④．其中能判断是直角三角形的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，解题关键是熟练掌握利用角或边的关系判断是否构成直角三角形，逐项判断即可． 【详解】解：①； ∵， ∴， ∴是直角三角形； ②， ∴， ∴是直角三角形； ③； ∴，最大角是锐角， ∴不是直角三角形； ④， ∴， ∴是直角三角形； 故能判断是直角三角形的有3个， 故选：C． 6．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）中，，，的对边分别记为，，，下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：A、由得，可判定为直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴设，，， ∵，， ∴，不能为直角三角形，符合题意； C、∵， ∴，可判定为直角三角形，不符合题意； D、∵，， ∴，即， 故可以判定为直角三角形，不符合题意． 故选：B． 二、填空题 7．（24-25八年级下·山东临沂·期中）已知a，b，c是的三边长，且满足关系式，则的形状为 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理以及非负数的性质，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理—如果三角形的三边长a、b、c，满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据题意可得，，进而得到，，根据勾股定理的逆定理可得的形状． 【详解】解：， ，， ，， 的形状为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 8．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，请判断这个三角形的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、非负数的性质等知识点，掌握运用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形成为解题的关键． 根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴此三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 9．（24-25八年级下·四川广元·阶段练习）已知a，b，c为的三边，且满足，求的面积． 【答案】216 【分析】本题考查非负数的性质，勾股定理逆定理．掌握几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 0 是解题关键． 由算术平方根，平方和绝对值的非负性可得出，再由勾股定理逆定理可确定是以为直角边的直角三角形，最后由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∵，即， ∴是以为直角边的直角三角形， ∴的面积． 题型三　利用勾股定理求面积 例题：（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系．我们可以从不同的角度对勾股定理进行探索．如图1，在直角三角形中，．分别以为边长向外作正方形、正方形和正方形，其面积分别记作． (1)图1中，与之间的数量关系为______，直角三角形的三边之间的数量关系为________． (2)如图2，若用半圆代替正方形，请求出三个半圆面积之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键， （1）根据勾股定理与正方形的面积公式即可得到，与之间的数量关系，也从而得到之间的数量关系； （2）根据圆的面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：以为直径的半圆的面积为． 以为直径的半圆的面积为． 以为直径的半圆的面积为． 根据勾股定理得， ∴． ∴以为直径的半圆的面积与以为直径的半圆的面积之和等于以为直径的半圆的面积． 巩固训练 1．（24-25八年级下·河南新乡·期中）如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，且，，则边的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，算术平方根的应用，由勾股定理得，即得，可得，即得，进而根据算术平方根的定义即可求解，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形的边长为、的边长为、的边长为，则正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解图形面积与勾股定理是解题的关键． 根据题意，，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，正方形的边长为、的边长为、的边长为，的边长为，设的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴正方形的边长为， 故选：A ． 3．（24-25八年级下·天津宝坻·阶段练习）如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，，，，则（   ） A．5 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质得到，，，再根据等角的余角相等得到，则可根据“”判断，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，所以，利用同样方法可得到，通过计算可得解，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）有一个面积为的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变成“枝繁叶茂”的“勾股树”．请你算出“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，找出规律是解答本题的关键． 根据题意可知“生长”次后，所有正方形的面积和是；“生长”次后，所有正方形的面积和是；即可求出“生长”次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：由勾股定理可知，“生长”次，“生长”出的两个正方形面积和原来正方形的面积，所有正方形的面积和为； “生长”次，“生长”出的四个正方形面积和第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积和为； ， 经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； 经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是， 故选：C． 5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图是用八个全等的直角三角形排成的“弦图”．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若正方形的边长为，则的值（    ） A．16 B．17 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，以及完全平方公式等知识．根据八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形，得出，再根据，，即可求解． 【详解】解：在中，由勾股定理得： ∵八个直角三角形全等，四边形，，都是正方形， ∴， ∴ ； ； ∵正方形的边长为， ∴， ∴ 故选：C． 6．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 7．（24-25八年级下·全国·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2 024次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2025 B．2024 C．22023 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：A． 8．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面积依次为1，3，2，则正方形D的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理的应用，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理的几何意义：，解得即可． 【详解】解：由题意：，， 正方形A，B，C的面积依次为1，3，2， ， ． 故答案为：6． 9．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是 ； 【答案】18 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ． 在中，， ， 解得：． 故答案为：18． 10．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了勾股定理、圆面积公式等知识．根据勾股定理求出长，两个小半圆面积和直角三角形的面积之和减去大半圆面积即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：6 题型四　勾股定理在折叠问题中的应用 例题：（24-25八年级下·天津东丽·阶段练习）学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题： 请你运用所学知识，解决下面的问题： (1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点在边上），点落在点处，求的长度； (2)如图2，有一张长方形纸片，，，为边上一点，，为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点恰好落在线段上的点处，点落在点处．求线段的长度． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理与折叠的问题，等角对等边等知识． （1）由长方体形的性质可知，，由勾股定理得出，由折叠的性质可得出，，，进一步可得出，，再利用勾股定理可得出，代入求解即可得出． （2）由长方体形的性质可知，，，，，进而可得出，由折叠得，，等量代换可得出，由等角对等边可得出，由勾股定理可得出，进一步可得出，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即 解得： ∴的长是． （2）解：∵四边形是长方形，，，， ∴，，，，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴的长是5． 巩固训练 1．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据题意，得，，则， 根据勾股定理，得，解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．且点落在直角边的中点上， ∴，， 则， 根据勾股定理，得， 解得， 则， 故选：D． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）已知，如图长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意，设，则，在中由勾股定理得到，则，结合三角形面积的计算公式即可求解． 【详解】解：根据折叠可得，， ∴设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：D ． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，根据勾股定理可以求得，再由勾股定理列出方程即可得出答案． 【详解】解：∵在，，，， ∴， 设，则， 由折叠可知， 在中，， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：A 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．先根据折叠的性质得到，再由得到，则，可判断；设，则，然后在中利用勾股定理得到，再解方程即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 是由折叠得到， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 即的长为， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，，，是边上一点，将沿所在直线翻折得到交于当时，则的长为 【答案】 【分析】作于H，于M，求出，根据，可得，，然后再证明，得到，求出，进一步计算即可求解． 【详解】解：如图，作于H，于M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到，且， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了长方形的性质，勾股定理与折叠问题，连接．证明垂直平分得．在中，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是长方形， ∴． 根据题意，，． ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 在中，， 在中，． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，在长方形中，，在上任取一点，连接，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理等，能熟练掌握并灵活运用相关知识点是解题的关键．由折叠的性质可知，、，由勾股定理求出，设为，则，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴ ∴ ∴设为，则， ∵在中， ∴ ∴ ∴． 故答案是：． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】 ； 或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解决本题的关键是根据勾股定理得到方程，解方程求线段的长度． （1）首先根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，，，设，则，，根据勾股定理可得方程，解方程求出的长即可； （2）过点作垂足在的延长线上，则四边形是矩形，设，则，，，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即为线段的长；当平分时 ，点在的延长线上时，设，则，，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由折叠的性质可知：， ，，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， 则四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 由可知， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 . 故答案为：或． 题型五　最短路径问题 例题：（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 【答案】(1)A (2) (3)最短为，方案见解析 【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）结合图形即可得出结果； （2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解； （3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意， 故选：A； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：， ∴最短长度是； （3）①把展开，如图此时总路程为， ②把展开，如图 此时的总路程为； ③如图所示，把展开， 此时的总路程为， 由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 巩固训练 1．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，有一个圆柱形物体，一只蚂蚁要绕着圆柱外壁从点爬到点，圆周率取3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，圆柱的侧面展开图的长方形的长为，长方形的宽等于圆柱的高，根据题意，爬行到对面的意义即为求图中的长，利用勾股定理解答即可． 本题考查了勾股定理的应用，正确确定展开图中各线段的长度是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设圆柱的侧面展开图为长方形，，，， 如图所示：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，，，一只壁虎从外表面顶点出发，沿长方体表面爬到内侧点处，点在上且距离上沿（即），壁虎爬行的最短路程是（   ）（鱼缸厚度忽略不计） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径问题，勾股定理．延长到点，使，连接，交于点P，连接．则．的最小值为的长．利用勾股定理求出的长度即为壁虎爬行最短路程． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接，交于点P，连接． 则．的最小值为的长． ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级下·四川自贡·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 （    ）厘米． A．10 B．15 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最短问题：过C作于Q，作A关于的对称点，连接交于P，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：将圆柱体展开，过C作于Q，作A关于的对称点，连接交于P，连接， 则：，的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 由题意，得：， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 即：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15厘米； 故选B． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为， 故选：C． 5．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，再根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图： （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为（米）． 故选：B． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了勾股定理与最短路径问题，将圆柱展开为长方形，利用勾股定理求对角线的长即为最短路径的长．先画出圆柱展开图形，最短路程是的长，是底面圆周长的一半，据此根据勾股定理计算求解即可． 【详解】解：如图所示，将圆柱沿着高展开， 由题意得，， ∴由勾股定理得：， ∴蚂蚁爬行路线的最短路径长为， 故答案为：． 7．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 【答案】100 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短． 则， 根据题意：，， ∴， ∴， ∴最短路线长为， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·青海海东·阶段练习）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B离点C，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理的应用-最短路径问题，分三种情况进行讨论，分别计算的长度，进而比较即可求解． 【详解】解：展开前面和右面，如图： ； 展开左面和上面，如图： ； 展开上面和前面，如图： ； ∵， ∴， ∴需要爬行的最短距离是25， 故答案为：25． 9．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值 ． (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ． (3)【拓展应用】已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，写出的最小值 ． 【答案】(1)①，；② (2)20 (3) 【分析】本题考查了勾股定理得应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由勾股定理计算即可得解；②连接，由①得：，而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，则四边形为长方形，得出，，再由勾股定理计算即可得解； （2）设，，，，则，由勾股定理可得，，从而得出，而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，则，则四边形为长方形，得出，，再由勾股定理计算即可得解； （3）画出边长为1的正方形，在边上截取出长为，．的线段，则，，，，从而得出，利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号），再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得：， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，如图1， 则， ∴四边形为长方形， ，， 在中，， 的最小值为，即的最小值为； （2）解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ， 而（当且仅当、、共线时取等号）， 作交的延长线于，则， ∴四边形为长方形， ，， 在中，， 的最小值为20，即的最小值为20． （3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为，．的线段，作图如下： 则，，，， ， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号）， ， 的最小值为， 的最小值为． 题型六　勾股定理的应用 例题：（24-25八年级下·广西桂林·阶段练习）图①是某学校的篮球架实物图，其侧面示意图如图②所示．“综合与实践”小组开展了测量篮板的长度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下方案： 课题 测量篮板的长度 成员 组长：×××  组员：×××××× 工具 竹竿、皮尺、计算器等 测量示意图 如图，垂直地面于点C，线段，表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合，另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处 测量数据 竹竿的长度 的长度 的长度 根据表格中的方案和测量数据，请你帮助该“综合与实践”小组求出篮板的长度． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出、的长是解题的关键． 在中，由勾股定理求出的长，再在中，由勾股定理得求出的长，即可得出答案． 【详解】解：在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得． ， 答：学校篮板的长度为． 巩固训练 1．（24-25八年级下·山东德州·期中）某公园计划美化一块四边形区域，用来打造特色花卉展览区，每平方米的布置费用为120元．已知，相关长度如图所示（，，，）．请计算美化这块区域所需的费用． 【答案】美化这块区域所需的费用为17280元 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股逆定理的应用．连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，再根据四边形的面积求出面积，最后再算美化这块区域所需的费用即可． 【详解】解：如图，连接． ， ． ， ， 是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ， （元）． ∴美化这块区域所需的费用为17280元． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．学校为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求劳动基地（四边形）的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得解． 【详解】（1）解：，，， 在中，根据勾股定理，得， 答：蔬菜区边的长为； （2）解：，， ，， ， 是直角三角形， 答：劳动基地（四边形）的面积为． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，长．已知海港C到A的距离为，到B的距离为．台风的影响范围为台风中心周围内． (1)海港C受台风影响吗？请说明理由． (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，见解析 (2)台风影响该海港持续的时间为1.4小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港C受台风影响．理由如下： 如图，过点C作于D， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C受到台风影响， （2）解：如图，当，时，正好影响C港口， ∵， ∴， ∵台风的速度为， ∴（小时）， 即台风影响该海港持续的时间为1.4小时． 4．（24-25八年级下·云南昆明·阶段练习）如图，一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． (1)此时梯子顶端A离地面多少米？ (2)若梯子顶端A下滑米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，在中，米，米，， ∴米， ∴梯子顶端A离地面米； （2）解：在中，米，米，， ∴米， ∴米， ∴梯子底端B将向左滑动米到D． 5．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时． (1)求港口A到海岛B的距离； (2)B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)乙船 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是构造直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答． （1）作于点D，构造两个直角三角形并解直角三角形，用表示出和，利用和之间的关系列出方程求解； （2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可． 【详解】（1）解：过点B作于点D， 在中，，设，则， 在中，， 则，， 由得， 解得， ， 答：港口A到海岛B的距离为海里； （2）解：甲船看见灯塔所用时间：小时， 乙船看见灯塔所用时间：小时， 所以乙船先看见灯塔． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的时节，八（1）班有位同学在学完勾股定理后，为计算风筝的垂直高度，不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的．进行了如下测量： ①测得水平距离的长为； ②根据手中剩余的线计算出放出去的风筝线为 ③该同学身高1.6m (1)求风筝的垂直高度 (2)如果该同学想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴在中，由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）著名的“赵爽弦图”如图1所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则． (1)图2为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理． (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米． (3)在第（2）问中，若千米，千米，千米，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路短千米 (3)的长为千米 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，即； （2）解：设千米，则千米． 在中，，即， 解得：， 即千米，（千米）． ∴新路比原路短千米． （3）解：设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得：， ∴的长为千米． 题型七　直角三角形的性质与判定综合运用 例题：（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，于F，于E，M为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)19 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出，，进而利用等腰三角形的判定解答即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解． 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵于F，于E，M为的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵于F，于E，M为的中点， ∴，， ∴， ∴的周长为：． 巩固训练 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，，将直角三角板的直角顶点放在直线上，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的性质定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 利用平行线的性质求出的度数，再利用直角三角形的两个锐角互余求出的度数． 【详解】解：如图所示， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（2025·河北邯郸·一模）将直角三角板（）按下图的方式摆放在一条直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角相等，直角三角形两锐角互余．根据对顶角相等得到，再由直角三角形两锐角互余求出，进而即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 故选：B． 3．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出结果即可． 【详解】解：∵公路、互相垂直， ∴， ∵M为公路的中点， ∴． 故选：A． 4．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在中，是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（   ） A．6 B．144 C．36 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，然后根据正方形的面积求出即可． 【详解】解：∵在中，点D是斜边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，是的高，且，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：是的高，， ， ， ，， ， ， ， 故选：B． 6．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）已知：如图，在中，，，若，则 ． 【答案】/26度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在钝角三角形中，，分别垂直平分边，，交于点，，与在的下方交于点．若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】根据垂直平分线的性质得，，，，推出，进一步得到，由三角形内角和得，继而得到，由等边对等角得，，推出，可得出答案． 【详解】解：∵、分别垂直平分和， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴的度数为． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）如图，是的高，是的中线，是的角平分线．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中线、角平分线、高的概念、三角形的外角性质．根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形、等腰三角形的性质得到，，再根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：是的高， ， ，是的中线， ，， ， ， 是的角平分线， ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，是斜边上的中线，若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，得出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 是斜边上的中线， ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，点D在BC上，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． 根据等腰三角形的性质求出和度数，利用直角三角形中含所对应的边是斜边的一半求出的长度，根据角度相等求出以及对应长度，从而求出长度． 【详解】解：∵，， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：6． 11．（2025八年级下·湖南·专题练习）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，若，，求的周长． 【答案】14 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长的定义解答． 【详解】解：∵，M为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长． 题型八　直角三角形全等的判定 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，，与相交于点F． (1)求证：； (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)垂直，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据即可证明； （2）根据得到，结合得到，即可得结论． 【详解】（1）证明：∵， 在和中， ， ∴， （2）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 巩固训练 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可解答，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴在和中， ， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·湖南张家界·期中）如图，于点E，于点，且，若利用“”证明，则需添加的条件是（    ）． A．     B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握运用“”证明直角三角形全等成为解题的关键. 题目中已经给出一对直角边相等，再添加斜边对应相等即可证明结论． 【详解】解：在和中， ， ∴． 所以需要添加的条件是． 故选：A． 3．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）如图，在中，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使和全等，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，分类讨论是解题的关键；分情况讨论：①，此时，可据此求出点的位置．②，此时，、重合． 【详解】解：①当时， ， 在与中， ， 即； ②当运动到与点重合时，， 在与中， ， 即， 当点与点重合时，才能和全等． 综上所述，或． 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）运用“”定理直接证明，即可得解； （2）求出，证出，即可得解． 【详解】（1）证明：， 与为直角三角形， 在与中， ， ； （2）解：， ， ，， ， ． 5．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，在中，于点D，E为上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，试求△的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法， （1）利用即可证明； （2）根据，可得，进而求出，，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明： 在和中 （2）解：∵ ∴， ∵，，， ∴，， ∴． 6．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）已知：如图，在中，D是边的中点，，点E、F为垂足，且，． (1)求证；； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，进而求出的度数，进而求出的度数，进而求出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 7．（24-25八年级上·湖北随州·期中）如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握定理是解题的关键． （1）由定理即可得出结论； （2）先证明，得到，则，又由，即，即可求解． 【详解】（1）证明：于，于， ， 在与中 ， ． （2）解：； ， 在与中 ， ； ， ， ， ， ． ， ． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，点为延长线上一点，点在边上，且，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，求出，根据三角形全等的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中 ∴． （2）解：在中，，， ， 又， ， ， ， ． 题型九　角平分线的性质 例题：（24-25八年级上·福建南平·期中）【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，，见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形有关的内容，利用全等三角形性质解题． （1）可证，得，由对顶角相等得，可得． （2）可证，得，，在四边形中， ，又因为，得出 ，可得． （3）可证，得，易证，则，过点作，由，可知全等三角形面积相等则对应高相等，可得，由角平分线的判定定理，知点在的角平分线上，则，所以． 【详解】（1）解：，设与交于点O． ． ， 即． 在和中 ， ． ， ． （2）解：① 证明如下：如图2 ， 即 在和中 ② 证明如下：如图2 （已证） 在四边形中， 又， ， ． （3）解：． 如图3，过点作．设与交于， 则． ， ． 即 在和中 ，． 又， ， ， ，． 又 ． ． ， 平分． ． 巩固训练 1．（2025八年级下·辽宁·专题练习）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）． A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的应用．根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可获得答案． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，于于则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线判定定理的应用，注意：到角的两边的距离相等的点在角平分线上． 根据角平分线判定定理得出P在的角平分线上，推出，求出即可． 【详解】解：∵于M，于N，， ∴P在的角平分线上， ∵ ∴． 故选C． 3．（24-25八年级下·河南·期中）如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则等于（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得．本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵点在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．（2025年云南省初中学业水平考试数学联考密卷（三））如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点．再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点，若，则点到的距离等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的性质，如图，过点作于点，由作图过程可知平分，根据角平分线的性质得，再根据确定的长，即可得出结论．解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：如图，过点作于点， 由作图过程可知：平分， ∵，即， ∴， ∵，， ∴， ∴点到的距离等于． 故选：C． 5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，以点B为圆心、任意长为半径画弧，交，于点D，E；分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，．若平分的外角，且，，则的面积为（   ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查作角平分线，角平分线性质定理，勾股定理等知识，过点作交的延长线于点，作交的延长线于点，作，证明出，可得平分，由三角形内角和定理得，即可得，，得出，由勾股定理得，可得，根据三角形面积公式可得的面积． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，作交的延长线于点，作， ∵， ∴， 由作图得，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 6．（2025·湖北武汉·一模）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作角平分线，平行线的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据作图可得是角平分，由平行可得，在中有内角和定理即可求解． 【详解】解：根据题意可得是角平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 7．（24-25九年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，由作图可知，平分，，根据角平分线的性质，直角三角形的性质逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： A、由作图可知， ，不一定垂直平分，不一定等于，故选项符合题意； B、由作图可知，，故选项不符合题意； C、∵平分，，， ∴，故选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； 故选：A． 8．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，，相交于点，，．若，，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的判定、勾股定理等知识．先得出平分，垂直平分，从而可得，，，再求出，从而可得，等腰直角三角形，最后利用勾股定理即可得解． 【详解】解：由题意可知，平分，垂直平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴等腰直角三角形， ∵， ∴， 故选：A． 9．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（    ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【分析】过点D作于点G，根据题意得，利用角的平分线性质，三角形面积性质解答即可． 本题考查了角的平分线的基本作图，三角形面积的性质，直角三角形的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点G，根据题意，得平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 故选：C． 10．（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查三角形内角和定理及角平分线的性质和判定，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的判定和性质得出，继续利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 【详解】过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 【答案】(1) (2)见解析 (3)的面积为15 【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）过点作于点，作于点，利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可． （3）设，利用，求出，从而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点，作于点， ∵平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ，， ， ， 又点在的内部， 平分； （3）解：如上图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴的面积为． 13．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)连接，求证：平分． (4)如图2，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)或 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形判定及性质，角平分线判定定理． （1）利用即可证明出； （2）先得到是等边三角形，利用全等性质可得，后利用即可计算出； （3）过点作于点，于点，利用全等性质可得 再证明出，继而得到； （4）分两种情况讨论：当在线段上时，证明，继而得到，当在的延长线上时，证明，继而得到，后即可得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：， ， 又，， 在和中， ， ； （2）解：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （3）解：过点作于点，于点， ，， ， ， ， ， ， 又， 平分． （4）解：如图所示，当在线段上时， ，是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ，， 又，， ， ， ， ，， ， 如图所示，当在的延长线上时， ， 同理， ， ，， ， 综上所述，或． 14．（24-25八年级上·甘肃临夏·期中）如图，和都是等边三角形，且点在一条直线上，连接和，交、于点．和相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． (3)求证：平分 【答案】(1)证明见解析 (2)为等边三角形，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和角平分线的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则； （2）由（1）得：，即，证明，则，进而可证是等边三角形． （3）过点分别作于点，于点，由全等三角形对应边上的高相等得，根据角平分线的性质证明平分． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2）解：为等边三角形，理由如下： 由（1）得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． （3）证明：过点分别作于点，于点， 由（1）知，根据全等三角形的性质，全等三角形对应边上的高相等， ∴， ∵，，， ∴点在的平分线上， ∴平分． 15．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 【答案】[初步思考]见解析；[变式判断]正确，见解析；[拓展探究]5或7 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键． [初步思考]根据证明即可； [变式判断] 过点作于点，作于点，证明，则，再根据角平分线的判定即可说理； [拓展探究] 当点D在点O右侧时，过点P作于点F， 证明，则，再证明，则，那么；当点D在点O左侧时，过点P作于点F， 同理可求，，故． 【详解】[初步思考]，解：在和中 ， ， 即平分； [变式判断]，解：张明的观点正确，理由如下， 过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴, ∵，， ∴平分， ∴张明的观点正确； [拓展探究]解：当点D在点O右侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在点O左侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：长为5或7． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$