精品解析：江苏省无锡市梁溪区2025年九年级中考第一次模拟考试数学试题

2025年九年级第一次模拟考试数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名等个人信息填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名等个人信息是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作（ ） A. B. C. D. 2. 下列各算式中的2和3可以直接相加的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式中，能运用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 要了解某初中全校1200名学生的课外阅读情况，若采用抽样调查的方法进行调查，则下面具有代表性的调查方式是（ ） A. 调查100名女生 B. 调查100名男生 C. 调查九年级100名学生 D. 调查七、八、九年级各100名学生 5. 下列命题中属于真命题的是（ ） A. 对顶角互补 B. 平行于同一条直线的两条直线互相垂直 C. 菱形的两条对角线互相垂直平分 D. 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的2倍 6. 小红用彩色纸制做了一个圆锥型的生日帽，其底面半径为，母线长为 ，不考虑接缝，这个生日帽的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学名著《孙子算经》中有一道关于洗碗的算术题，大意是：有一位妇人在河边洗碗，过路人问她家里来了多少客人？妇人回答说她只知道每2位客人合用一只饭碗，每3位客人合用一只汤碗，每4位客人合用一只肉碗，不多不少恰好用了65只碗．我们假设来了 位客人，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A. 两锐角都大于 B. 有一个锐角小于 C. 有一个锐角大于 D. 两锐角都小于 9. 秦九韶三角形面积公式，是我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出的，被认为是中国古代数学的重要成果之一．这个公式设三角形的三边长分别为 ， ， ，记，则其面积．若，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. 12 C. D. 10 10. 如图1，现有长 ，宽 的 、 两种卡片各若干张，卡片上都有一条对角线花纹，请用这些卡片正好拼成一个的大正方形，要求每张卡片与卡片的对角线都不相连（例如图2中所示的两种拼法就都不符合要求），则 、 两种卡片各需要的张数可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第二空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 计算：______． 12. 3月15日，我国动画电影《哪吒2》已跻身全球影史票房排行榜的第五位，《哪吒2》向世界观众展现了中国动画的风采和中华文化的魅力．为实现高水平的视觉效果，全片共有1900多个特效镜头，数据1900用科学记数法表示为______． 13. 已知点在正比例函数 的图像上，则______． 14. 央视春晚无锡分会场主舞台所在的清名桥历史文化街区，今年大年初一接待游客20万人次，大年初三接待游客22万人次，若设平均每天游客人数增长的百分率为 ，根据题意可得方程为______． 15. 当蓄电池的电压为定值时，电流 （单位：A）与电阻 （单位： ）是反比例函数关系，它的图像如图所示．当电阻 的取值范围是______时，电流． 16. 如图，在□ABCD中，点E在AD上，且 平分 ，若 ，，则□ABCD的面积为______． 17. 已知点和点都在二次函数的图像上，且．若点，，也都在这个函数的图像上，则，，的大小关系为：______．（用“”连接） 18. 在平面直角坐标系中，已知，，，．分别连接 ， ， ，把 沿 翻折得到．当与 重合时， ______；当以、 、 、 为顶点的四边形是矩形时，______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19. 解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 20. 求值：，其中 ． 21. 如图，在四边形 中， ， ， ， 、 分别交 于点、 ．求证： ． 22. 一个不透明的箱子里装有1个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.25左右． （1）请你通过计算估计箱子里白色小球的个数； （2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 23. 某人工智能科技公司去年 月各月总销售额及“智能机器人”类产品的销售额占比分别如下图所示．已知该公司 月总销售额共为200万元，观察统计图，解答下列问题： （1）补全条形统计图． （2）判断这5个月中哪个月“智能机器人”类产品的销售额最高，并说明理由． 24. 如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 ，垂足为，交 的延长线于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若，，求 的半径． 25. 仅用直尺作图： （1）将图1中的正六边形分成六个全等的三角形； （2）将图2中的六边形分成八个全等的三角形； （3）是否存在一个六边形（每个内角都小于 ），可被分成五个全等的三角形？如果存在，请在图3的网格内设计出这个六边形，并且每个顶点都在格点上；如果不存在，请简要说明理由． 26. 果农小艺欣喜地发现，北京市农科院林业果树研究所培育的草莓“白雪公主”每亩投入种植成本36000元，亩产量可达到，预计市场售价不低于60元／ ．小艺信心大增，在原有的50亩 试验田种植规模上再增加了50亩 试验田全部种植该草莓．收获时发现，由于土地肥力原因， 试验田的亩产量是 试验田亩产量的1.5倍．若同样收获该草莓所占用试验田 比 少1亩．小艺将 试验田采摘的该草莓和 试验田采摘的该草莓混合装箱出售．已知采摘及装箱的人工等成本平均为8元．经市场调查发现，该草莓每箱售价是300元时，每天可以销售100箱；若每涨价5元，则每天少销售2箱． （1） 、 两种试验田的亩产量分别是多少？ （2）若每箱的售价不超过400元，请求出定价多少元／箱时，每天可获得最大利润是多少元？ 27. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与 轴分别相交于 、 两点（ 在 的左侧），与 轴相交于点 ，． （1）请求出 的值； （2）已知点 是函数图像上一动点（不与 、 重合），过点 的直线 平行于 轴，与 的外接圆交于另一点，连接 ， ．请问是否存在点 ，使得最小？若存在，请求出点 坐标并求出的最小值；若不存在，请说明理由． 28. 【知识回顾】 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 的图象记作直线 ， 与 轴的夹角为 ． （1）若 ，则______； （2）当时，求证：． 【知识应用】 电影《蛟龙行动》中有这样一段情节： 静止潜伏于水下的我方潜艇 利用被动声呐发现敌方潜艇 正沿某固定直线航向以每分钟海里的速度潜航进入我国海域．午夜2点整，潜艇 测得潜艇 在其北偏东方向，2点05分，测得潜艇 在其北偏东 方向，经过解算，潜艇 将在2点10分航行至潜艇 的北偏东方向．请利用以上信息，以我方潜艇 为坐标原点，建立合适的坐标系，计算出敌方潜艇 的航线图象的函数表达式．［参考数据：，］ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级第一次模拟考试数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名等个人信息填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名等个人信息是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作 ． 故选：A． 2. 下列各算式中的2和3可以直接相加的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、不是同类项，不能合并，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D 3. 下列多项式中，能运用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查平方差公式分解因式．根据平方差公式：两个数平方的差，等于这两个数的和与差的平方解答． 【详解】解：A、，能用平方差公式分解因式，本选项符合题意； B、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； C、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； D、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； 故选：A． 4. 要了解某初中全校1200名学生的课外阅读情况，若采用抽样调查的方法进行调查，则下面具有代表性的调查方式是（ ） A. 调查100名女生 B. 调查100名男生 C. 调查九年级100名学生 D. 调查七、八、九年级各100名学生 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查抽样调查的可靠性，根据抽样调查的可靠性求解即可． 【详解】解：具有代表性的调查方式是调查七、八、九年级各100名学生， 故选：D． 5. 下列命题中属于真命题的是（ ） A. 对顶角互补 B. 平行于同一条直线的两条直线互相垂直 C. 菱形的两条对角线互相垂直平分 D. 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的2倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的判定，对顶角的性质，菱形的性质和圆周角定理，根据对顶角的性质可判断A；根据平行公理可判断B；根据菱形的性质可判断C；根据圆周角定理可判断D． 【详解】解：A、对顶角相等，但不一定互补，原命题是假命题，不符合题意； B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题，不符合题意； C、菱形的两条对角线互相垂直平分，原命题是真命题，符合题意； D、圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 6. 小红用彩色纸制做了一个圆锥型的生日帽，其底面半径为，母线长为 ，不考虑接缝，这个生日帽的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，圆锥的侧面积等于其底面圆周长乘以母线长，据此列式计算即可． 【详解】解：由题意得这个生日帽的侧面积为， 故选：A． 7. 我国古代数学名著《孙子算经》中有一道关于洗碗的算术题，大意是：有一位妇人在河边洗碗，过路人问她家里来了多少客人？妇人回答说她只知道每2位客人合用一只饭碗，每3位客人合用一只汤碗，每4位客人合用一只肉碗，不多不少恰好用了65只碗．我们假设来了 位客人，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设共有x位客人，则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗，根据共用了65只碗，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 8. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A. 两锐角都大于 B. 有一个锐角小于 C. 有一个锐角大于 D. 两锐角都小于 【答案】A 【解析】 【分析】反证法的步骤中，假设时准确找出原命题结论的反面即可． 【详解】解：由题意得 需假设两锐角都大于． 9. 秦九韶三角形面积公式，是我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出的，被认为是中国古代数学的重要成果之一．这个公式设三角形的三边长分别为 ， ， ，记，则其面积．若，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. 12 C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．由已知可得，，把代入S的表达式中得：，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值． 【详解】∵，， ∴ ∴ 由，得， 代入上式，得： 设， ∵ ∴当时，y取得最大值4， ∴S的最大值为． 故选：A． 10. 如图1，现有长 ，宽 的 、 两种卡片各若干张，卡片上都有一条对角线花纹，请用这些卡片正好拼成一个的大正方形，要求每张卡片与卡片的对角线都不相连（例如图2中所示的两种拼法就都不符合要求），则 、 两种卡片各需要的张数可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形的拼接，解题的关键是正确理解题意，通过平移、旋转、轴对称或中心对称等方法拼成符合题意的正方形，即可得出答案． 【详解】解：∵用长 ，宽 的 、 两种卡片各若干张拼成一个的大正方形， ∴每张卡片的面积为：， 大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为 ， 设 卡片的数量为 ， 卡片的数量为 ， ∴， ∴， 为避免对角线相连，将 卡片顺时针旋转使对角线为左上到右下（横向）， 卡片为左上到右下（纵向），如图所示， ​其中 卡片（横向）共有 张， 卡片（纵向）共有 张． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第二空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法，根据合并同类二次根式法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 3月15日，我国动画电影《哪吒2》已跻身全球影史票房排行榜的第五位，《哪吒2》向世界观众展现了中国动画的风采和中华文化的魅力．为实现高水平的视觉效果，全片共有1900多个特效镜头，数据1900用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据1900用科学记数法表示为． 故答案为：． 13. 已知点在正比例函数 的图像上，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，把点P坐标代入正比例函数解析式中计算求解即可． 【详解】解；∵点在正比例函数 的图像上， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 央视春晚无锡分会场主舞台所在的清名桥历史文化街区，今年大年初一接待游客20万人次，大年初三接待游客22万人次，若设平均每天游客人数增长的百分率为 ，根据题意可得方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用大年初三接待游客人次数 大年初一接待游客人次数 年均增长率，即可列出关于 的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 15. 当蓄电池的电压为定值时，电流 （单位：A）与电阻 （单位： ）是反比例函数关系，它的图像如图所示．当电阻 的取值范围是______时，电流． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质的应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电阻R，根据反比例函数的性质，求出结果即可． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， 当时，， 解得：， ∵， ∴时， 随R的增大而减小， ∴当时，． 故答案为：． 16. 如图，在□ABCD中，点E在AD上，且 平分 ，若 ，，则□ABCD的面积为______． 【答案】32 【解析】 【分析】过点E作 ，垂足为F，利用直角三角形的性质求出 ，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到，可得，最后利用平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点E作 ，垂足为F， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ， ∴ ， 又 平分 ，即， ∴， ∴， ∴四边形 的面积=， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，作出辅助线构造直角三角形求出 的长是解题的关键． 17. 已知点和点都在二次函数的图像上，且．若点，，也都在这个函数的图像上，则，，的大小关系为：______．（用“”连接） 【答案】或 【解析】 【分析】根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小解答即可．本题考查了函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵点和点都在二次函数的图像上， ∴，， ∵， ∴， 故或， 解得， 当 时，， 当 时，， 当时，， 故即； ， 根据， 故， ∴即； ，无法比较和的大小； 故或． 故答案为：或． 18. 在平面直角坐标系中，已知，，，．分别连接 ， ， ，把 沿 翻折得到．当与 重合时， ______；当以、 、 、 为顶点的四边形是矩形时，______． 【答案】 ①. 6 ②. 或 或 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，第一空：根据轴的性质得，由勾股定理得，求得，再根据两点间距离公式求出 ；第二空：分点在 轴上和不在 轴上两种情况讨论求解即可． 【详解】解：根据题意得，当与 重合时， 是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴； 当以、 、 、 为顶点的四边形是矩形时，有两种情况： ①当点在 轴上，如图， 此时， ∴ ； ②当点不在 轴上，如图， 过点 作 于点 ，于点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得，或， 综上， 的值为：1或5或6； 故答案为：6；1或5或6． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等） 19. 解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【答案】，整数解为， ， ， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式组的解集，再求出它们的公共部分确定不等式组的解集，再写出该不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得： ． 不等式组的解集为． 该不等式组的整数解为， ， ， ． 20. 求值：，其中 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，原式先分解因式，约分后通分，根据同分母分式加减法法则计算得最简结果，再把 代入计算即可． 【详解】解： ． 把 代入，原式． 21. 如图，在四边形 中， ， ， ， 、 分别交 于点 、．求证： ． 【答案】 证明： ， ， 四边形 为平行四边形， ， ， 同理可得四边形 为平行四边形， ， ， ， ，即 ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定．利用对边相互平行的四边形是平行四边形证明四边形 和四边形 为平行四边形，得到 ， ，再推出 ，利用 即可证明 ． 【详解】略 22. 一个不透明的箱子里装有1个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.25左右． （1）请你通过计算估计箱子里白色小球的个数； （2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 【答案】（1）箱子里白球的个数为3 （2） 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率求小球的数量，以及画树状图求概率．熟练掌握概率是频率的稳定值，求出小球的数量，是解题的关键． （1）根据摸到红色小球的频率稳定于0.25左右，得到摸到红色小球的概率是0.25，设红色小球的个数为x，根据概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，求出概率即可． 【小问1详解】 ， ， ∴箱子里白球的个数为3． 【小问2详解】 画出树状图，如下： 共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6， （摸出的小球颜色恰好不同）． 23. 某人工智能科技公司去年 月各月总销售额及“智能机器人”类产品的销售额占比分别如下图所示．已知该公司 月总销售额共为200万元，观察统计图，解答下列问题： （1）补全条形统计图． （2）判断这5个月中哪个月“智能机器人”类产品的销售额最高，并说明理由． 【答案】（1） 补全图形如下： ； （2）这5个月中12月“智能机器人”类产品的销售额最高. 理由：8月份“智能机器人”类产品的销售额为 （万元）， 9月份“智能机器人”类产品的销售额为 （万元）， 10月份“智能机器人”类产品的销售额为 （万元）， 11月份“智能机器人”类产品的销售额为 （万元）， 12月份“智能机器人”类产品的销售额为 （万元）， ∴这5个月中12月“智能机器人”类产品的销售额最高. 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和折线统计图，属于常考题型，读懂图象信息、熟练应用所学知识是解题的关键． （1）用该公司 月总销售额减去其它4个月的销售额即可求出该公司11月份的销售额总额，进而可补全统计图； （2）用每个月的销售总额乘以折线统计图中其所占百分比即可得到答案； 【小问1详解】 解：该公司 月总销售额共为200万元， ∴该公司 月总销售额共为 万元； 【小问2详解】 略 24. 如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，交 的延长线于点． （1）求证： 是 的切线； （2）若，，求 的半径． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）连接 ，则 ，所以，由 ，得，则，所以 ，因为 于点E，所以，即可证明 是 的切线； （2）由，得，因为， ，所以，由勾股定理得，求得 ，则 的半径长为3． 【小问1详解】 证明：连接 ，则 ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ， ∵ 于点E，交 的延长线于点F， ∴， ∵ 是 的半径，且 ， ∴ 是 的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 或（不符合题意，舍去）， ∴ 的半径长为3． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 25. 仅用直尺作图： （1）将图1中的正六边形分成六个全等的三角形； （2）将图2中的六边形分成八个全等的三角形； （3）是否存在一个六边形（每个内角都小于 ），可被分成五个全等的三角形？如果存在，请在图3的网格内设计出这个六边形，并且每个顶点都在格点上；如果不存在，请简要说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）连接正六边形三条对角线，由正六边形的性质可知，这三条对角线交于一点，且把正六边形可分为6个全等的等边三角形； （2）连接交于G，连接，则可把六边形分为8个两直角边分别为1和2的直角三角形； （3）由于平行四边形对角线可以把平行四边形分为两个全等的三角形，那么画两个全等的平行四边形（且使它们有一个三角形重合）即可得到三个全等的三角形，再在两个平行四边形两边各添一个全等的三角形与两个平行四边形组成六边形即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接正六边形三条对角线即可； 【小问2详解】 解：如图所示，连接交于G，连接，则可得到八个全等的三角形； 【小问3详解】 解：如图所示，取格点A、B、C、D、E、F，依次连接这6个点，且四边形为平行四边形，则六边形 即为所求． 26. 果农小艺欣喜地发现，北京市农科院林业果树研究所培育的草莓“白雪公主”每亩投入种植成本36000元，亩产量可达到，预计市场售价不低于60元／ ．小艺信心大增，在原有的50亩 试验田种植规模上再增加了50亩 试验田全部种植该草莓．收获时发现，由于土地肥力原因， 试验田的亩产量是 试验田亩产量的1.5倍．若同样收获该草莓所占用试验田 比 少1亩．小艺将 试验田采摘的该草莓和 试验田采摘的该草莓混合装箱出售．已知采摘及装箱的人工等成本平均为8元．经市场调查发现，该草莓每箱售价是300元时，每天可以销售100箱；若每涨价5元，则每天少销售2箱． （1） 、 两种试验田的亩产量分别是多少？ （2）若每箱的售价不超过400元，请求出定价多少元／箱时，每天可获得最大利润是多少元？ 【答案】（1） 试验田亩产量为， 试验田亩产量为 （2）定价350元／箱时，每天可获得最大利润是16000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． （1）设 试验田亩产量为 ， 试验田亩产量为，然后再根据题意列分式方程求解即可； （2）设定价 元，每天利润为 元，直接根据“总利润 单件利润 销售数量”列出解析式即可，解析式形式为二次函数，先确定抛物线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设 试验田亩产量为 ， 试验田亩产量为． 由题意得：． 解得． 经检验，是方程的解． 试验田亩产量为， 试验田亩产量为． 【小问2详解】 解： 平均每亩投入种植成本为36000元， 试验田收获的草莓种植成本30元， 试验田收获的草莓种植成本20元． 采摘及装箱的人工等成本平均为8元， 混合装箱后每箱草莓的成本为：． 设定价 元，每天利润为 元，则 ． ，， 当时， 有最大利润，此时． 答：定价350元／箱时，每天可获得最大利润是16000元． 27. 在平面直角坐标系中，二次函数的图像与 轴分别相交于 、 两点（ 在 的左侧），与 轴相交于点 ，． （1）请求出 的值； （2）已知点 是函数图像上一动点（不与 、 重合），过点 的直线 平行于 轴，与 的外接圆交于另一点 ，连接 ， ．请问是否存在点 ，使得最小？若存在，请求出点 坐标并求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）把 代入函数表达式求出 坐标，再根据得到等腰直角三角形求出点 坐标，再代入函数解析式即可求解 ； （2）设，设 的外接圆心为，由垂径定理得，连接，由得到，结合二次函数解析式化简得到，可求，即，则 在过 且平行于 轴的直线上运动．过点 作直线 的对称点，则，由，当点三点共线时，最小值为，再由两点间距离公式求出的长即可求出求出的最小值；再求出直线的解析式，进而可求出点 坐标． 【小问1详解】 解：把 代入函数表达式得： 解得： ， ， ， ． ， ， ∵ ． 把 ， 代入函数表达式得， 解得； 【小问2详解】 解：如图，设， ∵由题意得 的外接圆心在 的垂直平分线上， 而， ∴抛物线对称轴为直线， ∴设 的外接圆心为， 过点 作于点 ，则， ∴ ， 连接， ， ．① ， ．即．② 把②式代入①式，得：． 整理得：， ， ， ，即． 坐标为， 在过 且平行于 轴的直线上运动． 过点 作直线 的对称点，则， ∴， ∴当点三点共线时，最小值为， 的最小值为． 设直线的解析式为 ，把，代入，得 ， 解得， ∴， 当 时，， 解得， ∵， ∴ ， 把代入 ，得 ， ∴ 【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合问题，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，外接圆，垂径定理，两点之间距离公式，动点的轨迹问题，难度大，解题的关键在于确定点 轨迹． 28. 【知识回顾】 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 的图象记作直线 ， 与 轴的夹角为 ． （1）若 ，则______； （2）当时，求证：． 【知识应用】 电影《蛟龙行动》中有这样一段情节： 静止潜伏于水下的我方潜艇 利用被动声呐发现敌方潜艇 正沿某固定直线航向以每分钟海里的速度潜航进入我国海域．午夜2点整，潜艇 测得潜艇 在其北偏东方向，2点05分，测得潜艇 在其北偏东 方向，经过解算，潜艇 将在2点10分航行至潜艇 的北偏东方向．请利用以上信息，以我方潜艇 为坐标原点，建立合适的坐标系，计算出敌方潜艇 的航线图象的函数表达式．［参考数据：，］ 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数点的坐标特征、求一次函数解析式、一次函数k的几何意义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）在l任取一点A，设 ，求出A点坐标，进而求解即可； （2）时，在直线l上取点，过点P作轴于点H，则，，在中，求即可得证； （3）根据题意建立坐标系，利用（2）中结论得到解析式，进而求解即可． 【详解】解：（1）如图，在l上任取一点A，过A作 轴于点B， 设 ， ∵ ， ∴， ∴， 将点A代入 得，， 解得， 故答案为：； （2）证明：在 上任取一点 ，过点 做轴．如图， 设， ， ，． 在中，． （3）如图2，以 为坐标原点，以正东方向为 轴正方向，以正北方向为 轴正方向，建立坐标系， 根据题意，可设，， ， 把，，代入， 解得． 令，， ， ， 把，代入解得：． ，． 设 的解析式为 解之得 航线图象（直线 ）的函数表达式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $