精品解析：甘肃省陇南市武都区育才、扬名、实验、两水中学2025年高三下学期第三次联考数学试卷

甘肃陇南市武都区2025年高三下学期育才、扬名、实验、两水中学 第三次联考（数学）试卷（原卷版） 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间150分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则z=（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. 或 D. 4. 已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5. 将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.再将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 7. 在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 在棱长为2的正方体中为CD的中点，是的中点，是侧面内的一动点（不包含四个顶点），则下列结论正确的是：（ ） A. 点到平面的距离为 B. 三棱锥体积是定值，定值为1 C. 存在点，使得平面 D. 存在点，使得且 10. 已知数列是等比数列，前n项积为，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 是等比数列 11. 已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴交于点A，M为抛物线上的点，且满足，过M作l的垂线，垂足为与交于点Q，则（ ） A. 直线的斜率为定值 B. C. D. 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 设，则_________. 13. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则______． 14. 如图，已知正四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为20cm和10cm，侧面积为，则其体积为________． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15. 某种植物感染病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗病毒的制剂，现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收在6mg（包括6mg）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株. 编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 吸收量(mg) 6 8 3 8 9 5 6 6 2 7 7 5 10 6 7 8 8 4 6 9 （1）完成以下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？ 吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 1 植株死亡 合计 20 （2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记为“植株死亡”的数量，求得分布列和期望； ②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量，求. 参考数据：，其中 16. 已知函数，其中e为自然对数的底数. （1）若曲线在点处的切线与直线l：垂直，求实数a的值； （2）求函数的单调区间； 17. 如图，四边形是正方形，是矩形，平面平面，，G是上一点且． （1）当时，求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的余弦值． 18. 已知椭圆，过点，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若直线的斜率都存在且分别为， （1）求椭圆的方程 （2）求的值 19. 在数列中，若以相邻三项，，为线段长度能构成一个三角形，则记这个三角形为，且这三边所对的角分别为，，． （1）在中，以，，为线段长度，能否构成一个三角形？并说明理由； （2）在中，，，成等差数列，且是等比数列．判断的形状，并证明； （3）若是等差数列，，公差，且存在，使得的最大内角为．求公差的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃陇南市武都区2025年高三下学期育才、扬名、实验、两水中学 第三次联考（数学）试卷（原卷版） 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间150分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集定义可得答案. 【详解】由题，. 故选：B 2. 已知，则z=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可． 【详解】因为，则． 故选：B． 3. 若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式及二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 4. 已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得抛物线的焦点坐标，然后根据双曲线的知识求得，进而求得双曲线的离心率． 【详解】因为抛物线的标准方程为，∴抛物线的焦点为， 故在双曲线中，，，，故， ∴双曲线的离心率． 故选：D． 5. 将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.再将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用伸缩变换和平移变换即可求得. 【详解】函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到， 再向右平移个单位长度，得到. 故选：D 6. 已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式求出的值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，当时，，则， 而函数是定义域为R的奇函数，则 故选：B. 7. 在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，利用对勾函数的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：中，由余弦定理得，， 由，得， 化简得， 又，， 所以， 化简得， 解得，或（不合题意，舍去）， 所以， 由，且，，解得， 所以，所以， 所以， 设，其中， 所以，当且仅当时，即时取最小值， 由于，且函数在上单调递减，函数在上单调递增， 又，， 所以． 故选：C． 8. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值判断A，令可判断C，令，结合条件求出函数周期可判断BD. 【详解】令，则，解得，故A正确； 令，则，即， 因为不恒为0，所以，且定义域为，故函数为奇函数，故C正确； 令，则，因为不恒为0，且， 所以只能，从而，周期为4， 显然，故B错误D正确. 故选：B 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 在棱长为2的正方体中为CD的中点，是的中点，是侧面内的一动点（不包含四个顶点），则下列结论正确的是：（ ） A. 点到平面的距离为 B. 三棱锥体积是定值，定值为1 C. 存在点，使得平面 D. 存在点，使得且 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量结合点到平面距离判断A,应用等体积结合三棱锥体积公式计算判断B,设点的坐标，应用线面平行的向量关系及线线垂直的向量关系分别计算求解判断C,D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量，则，取，得， 所以点到平面的距离为，A选项正确； ，B选项错误； 设，，，则，， 则 设平面的法向量，则，取，得， 当，即时，平面,C选项正确； 因为， 则，， 则所以，当时满足得且，D选项正确； 故选：ACD. 10. 已知数列是等比数列，前n项积为，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等比数列的性质有、、判断A、B、C；根据等比数列的定义判断D. 【详解】由等比中项的性质，易得，A正确； 由，得，B错误； 由，得，所以，C正确； 设的公比为，因为，所以是常数， 所以是等比数列，D正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴交于点A，M为抛物线上的点，且满足，过M作l的垂线，垂足为与交于点Q，则（ ） A. 直线的斜率为定值 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，由求出点坐标（用表示），然后结合抛物线的定义检验各选项． 【详解】选项A，设，易知， 由得， 由得，， 显然，故解得，则，可得， 当点在上方时（点在轴下方由对称性可得），坐标为， 为常数，当点在下方时时，也为常数，A正确； 选项B，当点在上方时，作轴，垂足为， 如图，则，则， 若，则， 又，所以，所以，B错误； 选项C，，， 所以， 因，则，C正确； 选项D，由得， 因， 即，又， ，从而， 则，即， 于是， 故得，即D正确． 故选：ACD． 方法点睛：在涉及到抛物线的焦点与准线问题中，解题时一般结合抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转移到点到准线的距离，由于利用抛物线上点到准线的距离时需要作准线的垂线，从而出现平行线，因此常常利用平面几何知识得出比例线段，由此求解更加方便． 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 设，则_________. 【答案】496 【解析】 【分析】先把化成的形式，把看成整体，应用二项式定理即可求解. 【详解】， ，故. 故答案为：496. 13. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 记小正方形的边长为1，则，，． 因为， 所以，解得． 故答案为：. 14. 如图，已知正四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为20cm和10cm，侧面积为，则其体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用四棱台的结构特征，作出辅助线，根据侧面积列出方程，求出正四棱台的高，结合棱台的体积公式计算得结论 【详解】如图，取的中点、的中点，上、下底面的中心、， 则为斜高，四边形为直角梯形． 正四棱台的侧面积， ， 在直角梯形中，过点作⊥于点， 则，， 因为，， 所以cm， cm， 该四棱台的体积为 故答案为： 四．解答题（共5小题，满分77分） 15. 某种植物感染病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗病毒的制剂，现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收在6mg（包括6mg）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株. 编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 吸收量(mg) 6 8 3 8 9 5 6 6 2 7 7 5 10 6 7 8 8 4 6 9 （1）完成以下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？ 吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 1 植株死亡 合计 20 （2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记为“植株死亡”的数量，求得分布列和期望； ②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量，求. 参考数据：，其中 【答案】（1）不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；（2）①分布列见解析，，②240 【解析】 【分析】 （1）已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株，由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填表即可 （2）代入公式计算，有关（3）①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中的可能取值是2，3，根据古典概型计算即可. ②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为， 【详解】解：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下： 吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 12 1 13 植株死亡 3 4 7 合计 15 5 20 所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关. ①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株， 所以抽取的3株中的可能取值是2，3. 其中， 的分布列为： 2 3 所以. ② 【点睛】考查完成列联表、离散型随机变量的分布列、期望以及二项分布的方差，难题. 16. 已知函数，其中e为自然对数的底数. （1）若曲线在点处的切线与直线l：垂直，求实数a的值； （2）求函数的单调区间； 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，再根据导函数意义得到方程，解出即可； （2）对分和讨论即可. 【小问1详解】 ，因为在点处的切线与直线l：垂直， 则，解得. 【小问2详解】 ，当时，，此时的单调增区间为，无单调减区间； 当时，令，解得， 令，解得. 则此时的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述：当时，的单调增区间为，无单调减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 17. 如图，四边形是正方形，是矩形，平面平面，，G是上一点且． （1）当时，求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知证明，可得平面，进而可得平面平面； （2）以A为原点，分别以AF、AB、AD所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求AC与平面所成角的余弦值． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形，则. 又平面平面，且平面平面，平面， 则平面，又平面，可得，同理. 当时，G为EF的中点，此时，F，则， ，， 满足，即， 又平面， 则平面. 而平面，则平面； 【小问2详解】 以A为原点，分别以AF、AB、AD所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 因，则； ， 设平面BCG的一个法向量为， 由，取，得． 设AC与平面BCG所成角为θ， 则． 则AC与平面BCG所成角的余弦值为． 18. 已知椭圆，过点，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若直线的斜率都存在且分别为， （1）求椭圆的方程 （2）求的值 【答案】（1） （2）-4 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率和椭圆上的点，求出，可得椭圆的方程； （2）直线与椭圆联立方程组，设，，表示出，利用韦达定理化简求得的值. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，所以， 又椭圆过点，则， 又，解得，， 所以椭圆C的方程：． 【小问2详解】 过点的直线交椭圆于两点， 当直线斜率不存在时，有，， ，， ； 当直线斜率存在时，设直线方程为，设，， 由，消去得， 有， . 综上可得. 19. 在数列中，若以相邻三项，，为线段长度能构成一个三角形，则记这个三角形为，且这三边所对的角分别为，，． （1）在中，以，，为线段长度，能否构成一个三角形？并说明理由； （2）在中，，，成等差数列，且是等比数列．判断的形状，并证明； （3）若是等差数列，，公差，且存在，使得的最大内角为．求公差的值． 【答案】（1） 能，由正弦定理，可得 ， 所以， 因为是的三边， 所以为边长的三角形与相似． 故以为线段长度，能构成一个三角形． （2） 经判断，是等边三角形．证明如下： 由题意可得，又， 所以． 又因为是等比数列，所以． 由余弦定理，可得 ， 即，即，所以． 又因为，所以三角形是等边三角形． （3） 或 2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理即可判断； （2）首先求出，再根据等比中项的性质和余弦定理得，即判断出其为等边三角形； （3）利用余弦定理和等差数列性质得，最后代入验证即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为． 由余弦定理得, 即， 化简得， 即． 因为，故解得． 当时，；当时，；当时，，舍去． 验证： 当时，三边为，符合题意． 当时，三边为3,5,7，符合题意． 综上，的值为或2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $