第4章 平面内的两条直线（单元测试，湘教版2024）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（湘教版2024）

第4章 平面内的两条直线 （试卷满分120，考试用时120分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（本题3分）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A．B． C． D． 2．（本题3分）平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 3．（本题3分）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 4．（本题3分）已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（本题3分）如图，，点是直线上的点，过点的直线交直线于点，平分交于点．在直线绕点旋转的过程中，图中的度数可以分别是（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，，，下面推理不正确的是（   ） A．因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等） B．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等） C．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等） D．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等） 7．（本题3分）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 D．在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行 8．（本题3分）如图，某农户将水渠的水通过引水管道引入麦田处浇地，做法如下：过点作于点，则沿铺设管道用料最省，能解释这一做法的道理是（   ） A．垂线段最短 B．垂直的定义 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 9．（本题3分）如图，在四边形中，，是上一点，连接并延长至点，连接，是上的一点，连接．若，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）如图，给出下列结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的是 ．（填序号） 12．（本题3分）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．如图，七年级数学课堂上论证“对顶角相等”时，进行了如下推理：因为，，所以．其中，得出使用的依据是 ． 13．（本题3分）如图，请你写出一个条件使得（不再标注其他字母或数字），你写的条件是 ． 14．（本题3分）如图，已知，，，则的度数是 ． 15．（本题3分）在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为 ． 16．（本题3分）如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）    17．（本题3分）如图，已知，，的面积为12，点P为边所在直线上的一个动点，连接，则点的最小值是 ． 18．（本题3分）如图，在中，，将周长为14的沿向右平移4个单位长度得到，连接，，交于点O，有下列结论： ①，；②；③四边形的周长是22； ④．其中正确的结论有 个． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题6分）如图，由小正方形组成的网格中点，，，均在网格线的交点处． (1)将三角形向下平移2格后得到三角形，请在网格中画出三角形． (2)将三角形平移后得到三角形，点移动到处，请补全三角形． (3)在（2）的基础上，连接和，则与的位置关系为______，数量关系为______． 20．（本题6分）如图，直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 21．（本题8分）如图，在四边形中，平分，，，，求的度数． 22．（本题8分）如图，已知于点，于点，且，求证：． 23．（本题9分）如图，的平分线交的平分线于点M，交于点N，若． (1)求证：． (2)若，求的度数． 24．（本题9分）如图，，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)探索与的数量关系，并说明理由． 25．（本题10分）补全推理过程： 如图，在中，于点D，点E在上，于点F，过点D作直线交于点G，交的延长线于点H，，．求的度数． 解：∵， ，（已知） ∴，（ ① ） ∴．（ ② ） ∴．（ ③ ） ∵，（已知） ∴ ④ ．（ ⑤ ） ∴．（ ⑥ ） ∴．（ ⑦ ） ∵，（已知） ∴．（ ⑧ ） ∵，（已知） ∴． ∵，（ ⑨ ） ∴．（等式性质） ∵，（已证） ∴，（ ⑩ ）. 26．（本题10分）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，直线，求证： （1）把下面的解答过程补充完整，并填到相应的序号内． 解：过点作直线， ①_______， （已知），， ②_______， ③_______， ， ． （2）如图2，直线，若，，则______． 【方法运用】 （3）如图3，直线，点在的上方，，，之间有何数量关系？请说明理由． 【联想拓展】 （4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 平面内的两条直线 （试卷满分120，考试用时120分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（本题3分）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．根据对顶角的概念判断即可． 【详解】解：观察四个图形，只有B中与是对顶角； 故选：B． 2．（本题3分）平面内三条直线的交点个数可能有（   ） A．1个或3个 B．2个或3个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3 【答案】D 【分析】本题考查了平行线与相交线，做到不重不漏是解题关键．根据相交线的定义，作出所有可能的图形即可得解． 【详解】解：当平面内三条直线平行时，交点个数为0个； 当平面内三条直线交于一点时，交点个数为1个； 当两条直线平行，另一条直线与之相交时，交点个数为2个； 当平面内三条直线两两相交时，交点个数为3个； 即平面内三条直线的交点个数可能有0个或1个或2个或3， 故选：D． 3．（本题3分）如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 4．（本题3分）已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和判定及平行公理，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 根据平行线的性质和判定及平行公理逐个判断得结论． 【详解】解：因为平行于同一条直线的两条直线互相平行，故选项A正确； 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故选项B正确、D错误． 垂直于一条直线b的直线，必垂直于b的平行线a，故选项C正确； 故选：D． 5．（本题3分）如图，，点是直线上的点，过点的直线交直线于点，平分交于点．在直线绕点旋转的过程中，图中的度数可以分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及邻补角的性质，熟练掌握性质并准确识图是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等可得，根据角平分线的定义得到，根据邻补角互补求出即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，不符合题意； B、∵， ∴， ∵平分， ∴． ∴，不符合题意； C、∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，符合题意； D、∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，不符合题意． 故选：C． 6．（本题3分）如图，，，下面推理不正确的是（   ） A．因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等） B．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等） C．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等） D．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等） 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．因为（已知），所以（两直线平行，同位角相等），原推理正确，不符合题意； B．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等），原推理错误，符合题意； C．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等），原推理正确，不符合题意； D．因为（已知），所以（两直线平行，内错角相等），原推理正确，不符合题意； 故选：B． 7．（本题3分）下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 D．在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理，垂线的性质，点到直线的距离及直线和直线的位置关系，根据平行公理，垂线的性质，点到直线的距离的定义及直线和直线的位置关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项说法错误，不符合题意； 、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，该选项说法错误，不符合题意； 、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，该选项说法错误，不符合题意； 、在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 8．（本题3分）如图，某农户将水渠的水通过引水管道引入麦田处浇地，做法如下：过点作于点，则沿铺设管道用料最省，能解释这一做法的道理是（   ） A．垂线段最短 B．垂直的定义 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，理解垂线段最短的意义是正确解答的关键． 根据垂线段最短进行判断即可． 【详解】解：由题意得，解释这一现象的数学知识是“垂线段最短”， 故选：A． 9．（本题3分）如图，在四边形中，，是上一点，连接并延长至点，连接，是上的一点，连接．若，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先求出，再证明得到，据此可判断A、C；过点E作，则，由平行线的性质可得，据此可判断B；求出度数， 再求出的度数，进一步求出的度数即可判断D． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，故C结论正确，不符合题意 ∴，故A结论正确，不符合题意； 如图所示，过点E作，则， ∴， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与不平行，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 10．（本题3分）如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了两平行线间的公垂线段相等，等底等高的三角形面积相等等知识；根据这些知识逐一判断即可． 【详解】解：、为定点， 则为定值， 随着点的运动，的长度是变化的，即的周长变化的； 故①错误； 由于两平行线间的距离相等，即点到底边的距离不变， 即的面积不变； 故②正确； 随着点的运动，的度数是变化的； 故③错误； 两平行线间的距离相等， 即点到直线的距离不变； 故④正确； 综上，正确的有②④； 故选：C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）如图，给出下列结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了同旁内角，同位角，内错角，对顶角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：与是同旁内角，①说法正确； 与是同位角，②说法正确； 与不是内错角，③说法错误； 与不是同位角，④说法错误； 与是对顶角，⑤说法不正确； 故答案为：①②. 12．（本题3分）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．如图，七年级数学课堂上论证“对顶角相等”时，进行了如下推理：因为，，所以．其中，得出使用的依据是 ． 【答案】同角的补角相等 【分析】本题考查对顶角相等，补角的性质，根据同角的补角相等求解即可． 【详解】解：∵，， ∴和都是的补角， ∴依据同角的补角相等可得， 故答案为：同角的补角相等． 13．（本题3分）如图，请你写出一个条件使得（不再标注其他字母或数字），你写的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．利用平行线的判定方法即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴； 或∵， ∴； 故答案为：或． 14．（本题3分）如图，已知，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据平行的性质求出，即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， ， 故答案为：． 15．（本题3分）在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为 ． 【答案】3或9/9或3 【分析】本题考查了两平行之间的距离，①当在、之间，②当在、之间，即可求解，能根据平行线的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①当在、之间， 直线a和c的距离为； ②当在、之间， 直线a和c的距离为； 故答案：3或9． 16．（本题3分）如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）    【答案】/ 【分析】作于M，交于N，根据长方形的性质，三角形面积的公式，分割法求面积解答即可． 本题考查了三角形的面积公式，分割法表示面积，熟练掌握三角形面积表示是解题的关键． 【详解】解：作于M，交于N， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴，， ∵的面积为a．若的面积为b， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， 故答案为．    17．（本题3分）如图，已知，，的面积为12，点P为边所在直线上的一个动点，连接，则点的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，根据点P为边所在直线上的一个动点，当时，则点取最小值，运用三角形的面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点P为边所在直线上的一个动点， ∴当时，则点取最小值， ∵，的面积为12， 此时， 解得， 故答案为：． 18．（本题3分）如图，在中，，将周长为14的沿向右平移4个单位长度得到，连接，，交于点O，有下列结论： ①，；②；③四边形的周长是22； ④．其中正确的结论有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平移的距离以及图形的面积．根据平移的性质逐一判定即可． 【详解】解：∵将周长为14的沿向右平移4个单位长度得到，， ∴，，，，，， ∴，四边形的周长．， ∴， ∴， 即结论正确的有4个． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（本题6分）如图，由小正方形组成的网格中点，，，均在网格线的交点处． (1)将三角形向下平移2格后得到三角形，请在网格中画出三角形． (2)将三角形平移后得到三角形，点移动到处，请补全三角形． (3)在（2）的基础上，连接和，则与的位置关系为______，数量关系为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行，相等 【分析】本题考查图形的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键， （1）根据题中平移规律，平移后即可得到答案； （2）点移动到处，平移规律为：从右平移4个单位，再向下平多1个单位，再将点，点，都按照此平移规律平移，得到，依次连接，即可得到三角形； （3）连接和，根据平移的性质可得答案． 【详解】（1）解：将三角形向下平移2格后得到三角形，如图所示： （2）解：∵点移动到，平移规律为：向右平移4个单位，再向下平多1个单位， ∴将点，点，都按照此平移规律平移，得到，依次连接，得到三角形，如图所示： （3）解：∵一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行且相等， ∴，， 故答案为：平行，相等． 20．（本题6分）如图，直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，对顶角相等，熟知垂线的定义是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案； （2）设，则，根据垂线的定义可得，解方程求出，则． 【详解】（1）解；∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 21．（本题8分）如图，在四边形中，平分，，，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．利用平行线的性质求得，再利用角平分线的定义求得，推出，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（本题8分）如图，已知于点，于点，且，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，垂线的定义理解，由垂线的定义得出，进而得出，由平行线的性质得出，结合已知条件得出，得出，再由平行线的性质得出． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（本题9分）如图，的平分线交的平分线于点M，交于点N，若． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据角平分线定义求出，结合可证，然后根据平行线的判定方法即可得出结论； （2）先求出，根据角平分线的定义求出，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵和 的平分线交于点E， ∴．       又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ， ∴．           ∵平分， ∴． 又∵， ∴． 24．（本题9分）如图，，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． （1）根据“同旁内角互补，两直线平行”求解即可； （2）根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：平行，理由如下： ，， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 25．（本题10分）补全推理过程： 如图，在中，于点D，点E在上，于点F，过点D作直线交于点G，交的延长线于点H，，．求的度数． 解：∵， ，（已知） ∴，（ ① ） ∴．（ ② ） ∴．（ ③ ） ∵，（已知） ∴ ④ ．（ ⑤ ） ∴．（ ⑥ ） ∴．（ ⑦ ） ∵，（已知） ∴．（ ⑧ ） ∵，（已知） ∴． ∵，（ ⑨ ） ∴．（等式性质） ∵，（已证） ∴，（ ⑩ ）. 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．根据平行线的判定及性质进行推理即可解答． 【详解】解：，（已知） ∴，（垂线的定义） ．（垂直于同一直线的两直线平行） ．（两直线平行、同旁内角互补） ，（已知） ．（同角的补角相等） ．（内错角相等，两直线平行） ．（两直线平行，内错角相等） ，（已知） ．（等量代换） ，（已知） ．（垂直的定义） ，（平角定义） ．（等式性质） （已证）， ．（两直线平行，同位角相等）． 26．（本题10分）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，直线，求证： （1）把下面的解答过程补充完整，并填到相应的序号内． 解：过点作直线， ①_______， （已知），， ②_______， ③_______， ， ． （2）如图2，直线，若，，则______． 【方法运用】 （3）如图3，直线，点在的上方，，，之间有何数量关系？请说明理由． 【联想拓展】 （4）如图4，已知，的平分线和的平分线交于点，请你用含有的式子表示的度数，直接写出结果． 【答案】（1）见解析（2）（3），理由见详解（4） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的判定与性质求解即可； （3）根据平行线的判定与性质求解即可； （4）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可． 【详解】（1）解：过点作直线， ， （已知），， ， ， ， ． （2）如图，过点作， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： （3）， 理由如下：如图，过点作， ， ，， ， ， ； （4）如图所示， 由（2）知，， ， ， 的平分线和的平分线交于点， ，， ， 由（1）知：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$