第40期 《平面内的两条直线》综合能力达标自评-【数理报】2025-2026学年七年级下册数学学案（湘教版·新教材）

初中数学湘教七年级第40~44期 ”盆理柄 答案详解 2025~2026学年初中数学湘教七年级 第40.44期 第40期2版 第40期3,4版 4.5垂线 4.5~4.6能力达标自评 1.C;2.C;3.35;4.26°. 一、选择题 5.解：(1)(2)图略；(3)0P; 题号12345678910 (4)PH<C0.理由如下： 答案AC BBDAAC DB 由垂线段最短，得PH<PO,P0<CO.所以PH<CO. 提示： 6.解：(1)因为∠A0C=64°， 7.解：如图1，作CH⊥AB于点H, 由对顶角相等，得∠B0D=∠A0C=64°， 因为AC⊥BC, 因为ON平分∠BOD, 1 所以Sc=7AC·BC=74B,CH 所以∠B0N=2∠B0D=32°， 因为AC=3,BC=4,AB=5, 因为OM1ON, 所以CH=2.4. 所以∠M0N=90°. 因为PC≥CH=2.4, 所以∠MOB=∠M0N+∠BOW=122°. 所以PC的长不可能为2. (2)因为OM10W, 8.解：当直线c在a,b外时， 所以∠MON=∠MOD+∠NOD=90°， 因为a与b的距离为3.5cm, ∠AOM+∠B0W=180°-∠M0N=90°. b与c的距离为1.8cm, 所以∠MOD+∠NOD=∠AOM+∠BON 所以a与c的距离为3.5+1.8=5.3(cm). 因为ON平分∠BOD, 当直线c在直线a,b之间时， 所以∠BON=∠NOD. a与c的距离为3.5-1.8=1.7(cm). 所以∠MOD=∠AOM,即OM平分∠AOD. 综上所述，a与c的距离为1.7cm或5.3cm. 4.6两条平行线间的距离 9.解：因为CE⊥AB,AC⊥CB, 1.B;2.B;3.5;4.2或8. 所以∠ACE+∠CAB=90°，∠ACE+∠ECB=90°， 5.解：过点B作BE1AD,交DA的延长线于点E,过点D作 所以∠ECB=∠CAB,故①正确； DF⊥BC,交BC于点F.图略 因为AB∥CD,CE⊥AB, 由AD∥BC,可得BE=DF. 所以EC1CD,所以∠ECF=90°. 因为AD=宁8C, 因为AC⊥CB,所以∠ACB=90°， 所以∠ACE+∠BCD=∠ACE+∠ACF+∠ACB 所以Sn=AD:BE =∠ECF+∠ACB=180°， -(c.DF) 故②正确； 因为∠ACE=∠D,所以∠D+∠BCD=180°， 1 所以AD∥BC,故③正确； 初中数学湘教七年级第40~44期 因为点F为CD边的中点，S△ACF=4, 因为∠EOD=∠BOE+∠BOD,∠BOD=90°， 所以S△DF=SAACF=4. 所以当∠B0E=20°时，∠E0D=20°+90°=110°； 在△ADF中，设AD边上的高为h,则号AD·h=4, 当∠B0E=40°时，∠E0D=40°+90°=130°； 综上所述，∠E0D的度数为110°或130°. 解得h=2, 16.解：分两种情况进行讨论： 所以点F到直线AD的最短距离为2，故⑤错误； ①如图4所示，OM在AC上方， 由已知条件无法证明出AF∥CE,故④错误。 综上所述，正确的为①②③. 10.解：如图2所示， 过点E作EK∥AB, .H E 0 C 过点H作HM∥AB, 图4 因为AB∥CD, G 因为OD平分∠BOC,所以∠COD=∠BOD. 所以AB∥EK∥HM∥CD, 图2 因为4∠B0E+∠B0C=180°，∠A0B+∠B0C=180°， 所以∠BFH=∠FHM,∠DGH=∠GHM. 所以∠A0B=4∠B0E,即∠AOE=3∠B0E. 因为∠FHIM+∠GHM=∠FHG=50°，∠BFH=30°， 设∠BOE=a, 所以∠GHM=∠DGH=50°-30°=20°. 则∠A0E=3a,∠B0D=70°-a=∠C0D. 因为∠EGH=30°， 因为∠AOC为平角， 所以∠EGD=∠EGH+∠DGH=30°+20°=50°， 所以∠AOE+∠D0E+∠C0D=180°， 因为EK∥CD,所以∠KEG=∠EGD=50°. 即3a+70°+70°-=180°， 因为EF1AB,所以∠AFE=∠EFB=90°. 解得a=20°， 因为AB∥EK,所以∠AFE+∠FEK=180°， 所以∠BOE=20°. 所以∠FEK=180°-∠AFE=180°-90°=90°. 又因为OM⊥OB,所以∠M0B=90°， 所以∠FEG=∠FEK+∠KEG=90°+50°=140°. 所以∠M0E=∠B0E+∠M0B=20°+90°=110°. 二、填空题 ②如图5所示，OM在AC下方. 11.垂线段最短；12.线段BD的长度；13.115°； 14.∠2=∠3；15.110°或130°；16.110°或70° 提示： 13.解：过点B作BE∥1，如图3. A\D 0 因为BD⊥I, 图5 所以BD1BE,即∠DBE=90° 同理可得，∠B0E=20° 因为l1∥L2,所以BE∥l∥42， 图3 所以∠1=∠CBE=25°， 又因为OM⊥OB,所以∠M0B=90°， 所以∠M0E=∠M0B-∠B0E=90°-20°=70°. 所以∠2=∠DBE+∠CBE=115°， 14.解：因为AD⊥BC于D,EG⊥BC于G, 综上所述，∠M0E的度数为110°或70°. 所以∠ADC=∠EGC=90°，所以AD∥EG, 三、解答题 所以∠1=∠2，∠E=∠3. 17.解：(1)如图6，CD,CE即为所画的直线； 又因为∠E=∠1，所以∠2=∠3. 15.解：因为∠A0C=90°，∠B0C=30°， 所以∠AOB=∠AOC-∠B0C=60°. 因为OE是∠AOB的一条三等分线， 1 所以∠B0E=3∠A0B=20° 图6 图 (2)由垂线段最短，可得CE<CA, 或LB0E= 2∠A0B=40°. 理由是垂线段最短 初中数学湘教七年级第40~44期 (3)如图7，除点C外，网格纸中有4个格点D,F,G,H到线 所以∠A0E=马∠A0D=70. 2 段AB所在直线的距离等于线段CE的长度. 18.解：(1)因为两点之间线段最短，所以连接AD,BC交于 因为OF是直线AB下方的一条射线， 所以∠E0F=∠AOE+∠A0F=160°； 点M,则点M为蓄水池位置（如图8所示），点M到四个村庄距 故答案为：90,140,70,160. 离之和最小 (2)如图10所示， （2)如图8所示，过点M作MG⊥ 当射线OF在直线AB上方时， EF,垂足为G. 因为射线OF⊥AB, 根据“直线外一点与直线上各点连 所以∠AOF=90°. 接的所有线段中，垂线段最短”知，把河 因为∠AOC与∠AOD互补， 图10 水引入蓄水池M中，沿MG开渠最短. 图8 ∠A0C=40°， 19.解：因为EF⊥BC,AD⊥BC 所以∠A0D=140°. 所以∠BFE=∠BDA=90°， 因为OE平分∠AOD, 所以EF∥AD,所以∠2=∠3. 所以∠40E=号∠A0D=70 因为∠1=∠2，所以∠1=∠3， 因为OF是直线AB上方的一条射线， 所以DG∥AB. 所以∠E0F=∠AOF-∠AOE=20° 20.证明：因为∠A=112°，∠ABC=68°， 23.解：(1)过C点作CD⊥AB交AB于点D. B 所以∠A+∠ABC=180°， 如图11所示， 所以AD∥BC,所以∠1=∠3. 在Rt△ABC中， 因为BD⊥DC,EF⊥DC, 1 所以∠BDF=∠EFC=90°， 2b=2c×CD, 即时×6x8= 1 图11 所以BD∥EF, -×10×CD. 所以∠2=∠3，所以∠1=∠2 解得CD=5, 24 21.证明：(1)因为∠A=∠ADE, 所以AC∥ED,所以∠E=∠EBA. 所以点C到直线AB的距离为4 5 又因为∠C=∠E,所以∠EBA=∠C, (2)设CE=x,则EB=8-x, 所以BE∥CD; 因为线段AE把△ABC分成两个周长相等的△ABE和 (2)由(1)知AC∥ED, △ACE, 所以∠EDC+∠C=180°. 所以AC+CE+AE=AB+EB+AE, 因为∠EDC=2∠C,3∠C=180°， 即AC+CE=AB+EB, 所以∠C=60°，∠EDC=120°. 所以6+x=10+(8-x), 因为∠ADE=∠A=30°， 解得x=6, 所以∠ADC=∠EDC-∠ADE=120°-30°=90. 所以当线段AE把△ABC分成两个周长相等的三角形时， 因为BE∥CD, CE的长是6. 所以∠EFD=∠ADC=90°， (3)如图12所示， 所以BE⊥AD. 设CE=EC'=m. 22.解：(1)如图9所示， 由翻折的性质可知AC=AC'=6,∠C= 当射线OF在直线AB下方时， ∠ACE=90° 因为射线OF⊥AB, 所以SAARC=S△ABC+S△ABE, 图12 所以∠AOF=90°. 即号x6×8=分×6Xm+7x10×m, 1 因为∠AOC与∠AOD互补， 图9 解得m=3,即CE=3. ∠A0C=40°， 24.解：(1)OP1CD.理由如下： 所以∠A0D=140° 因为OE⊥AB,所以∠AOE=90°，即∠1+∠A0C=90° 因为OE平分∠AOD, 因为∠1=∠2， 3 初中数学湘教七年级第40~44期 所以∠2+∠A0C=90°，即∠P0C=90°， 所以∠BFC=180°-∠BFG-∠CFE=30°. 所以OP⊥CD. 20.解：因为OF1OE,所以∠FOE=90° (2)因为∠A0C+∠B0C=180°，且∠B0C=2∠A0C, 因为∠C0F=70°，所以∠C0E=20°. 所以∠A0C=60°. 因为∠B0E=2∠C0E,所以∠B0C=3∠C0E=60°， 因为OE⊥AB,所以∠AOE=90°， 所以∠A0D=60° 所以∠C0E=90°-60°=30°. 21.解：两直线平行，内错角相等； (3)与2∠EOF度数相等的角有∠AOD,∠BOC,∠FON, 已知； ∠EOM. ∠GHD;等量代换 由(2)知∠A0C=60°. 同位角相等，两直线平行； 因为OM平分∠BOD, ∠FWG; 所以∠BOM=∠DOM=∠AOW=∠CON= 1 2 ·∠A0C= 两直线平行，同旁内角互补； MG∥FW; 30° 两直线平行，同旁内角互补； 因为OE⊥AB,OC⊥OF, 同角的补角相等， 所以∠AOE=∠EOB=∠COF=90°， 22.解：(1)由折叠知∠AEB=∠AEF 所以∠AOC=∠E0F=60°， 因为EG平分∠CEF, 所以∠A0D=∠B0C=180°-60°=120°=2∠E0F 所以LFEG=LCEG. 因为∠A0W=30°，所以∠W0E=60°， 因为∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG=I80°， 所以∠NOF=∠NOE+∠E0F=120°=2∠EOF. 所以∠AEG=∠AEF+∠FEG=90°. 因为∠B0M=30°，∠E0B=90°， 因为HG⊥EG,所以∠HGE=90°， 所以∠EOM=∠BOM+∠EOB=120°=2∠EOF 所以∠AEG+∠HGE=180°， 综上所述，与2∠EOF度数相等的角有∠AOD,∠BOC, 所以HG∥AE. ∠FON,∠EOM. (2)因为∠CEG=20°，∠AEG=90°， 第41期 所以∠AEB=70°， 因为AD∥BC, 《平面内的两条直线》综合能力达标自评 所以∠DAE=∠AEB=70 一、选择题 因为HG∥AE, 题号 1 2 3 4 5 67 9 10 所以∠DHG=∠DAE=70°， 答案B 23.解：(1)因为∠EFC+∠BDC=180°， 二、填空题 ∠ADC+∠BDC=180°， 11.135°；12.∠C=∠D(答案不唯一)； 所以∠EFC=∠ADC,所以EF∥AB, 13.30°；14.北偏东54°；15.56°； 所以∠ADE=∠DEF 16.6或43.5. (2)因为∠ADE=∠DEF,∠DEF=∠B, 三、解答题 所以∠ADE=∠B, 17.解：(1)图略，垂线段最短； 所以DE∥BC, (2)图略 所以∠AED=∠ACB,∠CDE=∠BCD. 18.解：CM∥DN.理由如下： 又因为∠AED=2∠CDE, 因为CF平分∠ACM,∠1=72°， 所以∠ACB=2∠BCD, 所以∠ACM=2∠1=144° 所以∠ACD=∠ACB-∠BCD 所以∠BCM=180°-∠ACM=36°. =2∠BCD-∠BCD=∠BCD. 又因为∠2=36°，所以∠2=∠BCM, 即∠ACD=∠BCD. 所以CM∥DN 24.解：(1)过点E在∠MEN内作EF∥AB,(图略) 19.解：因为AB∥CD,AB∥GE,所以CD∥GE 所以∠MEF=∠1. 因为∠B=110°，所以∠BFG=70° 因为AB∥CD,EF∥AB, 因为∠C=100°，所以∠CFE=80°， 所以EF∥CD, 4 初中数学湘教七年级第40~44期 所以∠NEF=∠2 5.1.2轴对称变换 因为∠MEN=∠MEF+∠NEF, 1.B;2.③；3.120° 所以∠MEN=∠1+∠2. 4.图略。 (2)①因为∠CWE=140°， 5.解：(1)B,AC; 所以∠EWD=180°-∠CNE=40° (2)因为∠EAF=39°， 因为AB∥CD,∠BME=80°， 根据轴对称的性质，得∠CAF=∠EAF=39° 由(1)可知∠MEN=∠BME+∠END=120°， 又因为∠DAE=108°， 因为锐角∠BME和钝角∠CNE的平分线所在的直线交于 所以∠DAC=∠DAE-∠CAF-∠EAF=30°. 点F, 5.2旋转 所以∠FC=7∠CE=70, 1.C;2.C;3.M: 4.135°；5.60. 1 ∠BMQ=2∠BME=40° 6.图略. 5.3图形变换的简单应用 过点F在FN右侧作FP∥AB,(图略) 1.D;2.D:3.平移，A 所以FP∥AB∥CD, 4.解：(1)答案不唯一，如都是轴对称图形： 所以∠PFM=∠BMQ=40°，∠PFN=∠FWC=70°， (2)图略 所以∠MFN=∠PFV-∠PFM=30° 5.图略. ②因为FN∥ME, 所以∠EMQ=∠NFQ=a,∠BGN=∠BME. 第42期3,4版 因为MQ,NF分别平分∠BME,∠CNE, 5.1~5.3能力达标自评 所以∠BGW=∠BME=2∠EMQ=2a, 一、选择题 ∠CNE=2∠CNG. 因为AB∥CD,所以∠CNG=∠BGN=2a, 题号 1 234567 8910 所以∠CNE=4a. 由(1)可知∠E=∠BME+∠END=2a+(180°-4a) 二、填空题 =180°-2a 11.共；12.90，右；13.4cm2; (3)过点F在∠EFN内作FS∥CD,(图略)》 14.16;15.③<①<②；16.75° 所以∠CNF+∠SFW=180°. 提示： 因为AB∥CD,所以AB∥FS. 16.解：因为A0为∠BAC的平分线，∠BAC=50°， 由(I)可知∠E=∠AME+∠EFS. 所以∠BA0=∠OAC=25°. 因为∠EFN=∠EFS+∠SFW, 因为将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边 所以∠AME+∠EFN+∠CNF 形AB'O'C, =∠AME+∠EFS+∠SFN+∠CNF 所以∠BAC=∠B'AC'=50°， =∠E+∠SFN+∠CNF ∠BA0=∠0'AC'=25°， =65°+180°=245°. 所以∠0A0'=∠0AC-∠0'AC'=100°-25°=75°. 三、解答题 第42期2版 17.解：图略.(1)有2条对称轴： 5.1.1轴对称图形 (2)有1条对称轴； 1.D:2.B;3.A;4.3 (3)有1条对称轴. 5.略. 18.图略。 6.解：答案不唯一，如下图所示： 19.解：因为△ABE关于直线AE的对称图形是△AFE, 所以∠AEB=∠AEF,∠B=LAFE. 因为∠B=∠D, 所以∠AFE=∠D, 所以EF∥CD, 初中数学湘教七年级第40~44期 所以∠BEF=∠C=72°， 所以BF=5-2=3. 所以∠AEB=子∠BEF=36 ②CB⊥GF,理由如下： 如图4，延长CB交GF于点H, 20.解：由题意知，∠ACA'=∠BCB'=20°， 设AB与EG相交于点M. ∠A=∠A'=60° 由旋转的性质知 因为A'B'∥BC, ∠BEG=∠CEB=∠ADE, 所以∠BCA'+∠A'=180(两直线平行，同旁内角互补)， ∠G=∠CBE=∠A, 所以∠BCA'=180°-∠A'=120°， 所以EG∥AD(同位角相等，两直线平行)， 所以∠B'CA=∠BCA'-∠ACA'-∠BCB 所以∠EMB=∠A(两直线平行，同位角相等)， =120°-20°-20°=80°. 所以∠EMB=∠G, 21.解：(1)A,90: 所以AB∥GF,所以∠BHG=∠CBA=90°， (2)因为△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合， 所以CB⊥GF, 所以BF=DE,SAABF=S△ADE 24.解：(1)30° 因为CF=CB+BF=8, 因为0为直线AB上一点，∠A0C=120°， 所以BC+DE=8. 所以∠B0C=180°-∠A0C=60°. 由题知BC=CD, 又因为∠E0D=90°， 所以CE=CD-DE=BC-DE=4. 所以∠COE=∠EOD-∠BOC 所以BC=6. =90°-60°=30°. 所以Sg边形FE=S正方形cn=6=36. (2)在三角板DOE绕，点O逆时针旋转一周时，只有以下两 22.解：如图1，因为EF∥AB, 种情况符合： 所以∠AFE=∠BAC=45°，即n的值为45； ①当OD在0C的右侧时，如图5所示， 0 图5 图1 图2 依题意，得旋转角α=∠B0D,∠EOD=90°， 如图2，因为EF∥AB, 由(1)，知∠B0C=60°， 所以∠BFE=∠ABC=45°. 所以∠COD=∠BOC-∠BOD=60°-a, 所以旋转角的度数为：360°-∠ACB-∠BFE=225°， ∠A0E=180°-∠E0D-∠B0D=90°-. 即n的值为225. 因为∠AOE=3∠COD, 综上所述，n的值为45或225. 所以90°-a=3(60°-a),解得a=45°. 23.解：(1)根据旋转的性质，知∠ABD=∠BCE=B, ②当0D在0C的左侧时，如图6所示， ∠CBE=∠BAD=Y: 因为∠ABC=∠CBE+∠ABD=a, 所以a=B+Y 0 (2)点P的位置如图3所示 6 图6 (3)①由题意可知∠FEG=90°. 依题意，得旋转角α=∠BOD,∠EOD=90°， 因为∠CEB=90°， 由(1)，知∠B0C=60°， 所以∠FEG+∠CEB=90°+90°=180°， 图3 所以∠COD=∠B0D-∠BOC=a-60°， 即点C,E,G三点共线。 ∠A0E=180°-∠E0D-∠B0D=90°-. 因为CG=7,GE=2,所以CE=7-2=5. 因为∠AOE=3∠COD. 因为△GFE是由△BCE旋转得到的， 所以90°-a=3(-60）,解得a=67.5°. 所以FE=CE=5,BE=GE=2, 综上所述，a的值为45°或67.5°. 6 初中数学湘教七年级第40~44期 所以∠DAB=∠CAB+∠CAD=65 第43期 23.解：因为△A0P与△AOP1关于0A对称， 《轴对称与旋转》综合能力达标自评 所以∠POA=∠P,OA. 一、选择题 因为点Q在OA上，所以PQ=PQ. 题号 12345678910 同理，得PR=P2R,∠POB=∠P2OB 答案DB D ACCAB C A (1)因为P,P2=10cm, 二、填空题 所以△PQR的周长为 11.118°；12.8；13.平行： PQ PR OR P Q P2R+OR P P2 =10 cm. 14.D;15.②④⑤：16.25. (2)因为∠A0B=45°， 三、解答题 所以∠POP2=∠P,OA+∠POA+∠POB+∠P2OB 17.解：如图1，图形A'B'CDE,A"BCD0为所作. =2∠POA+2∠P0B=2∠A0B=90°. 24.解：因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°. ①如图3，当点G在线段AF上时， 设∠GDF=x,则∠FDB=3x, 所以∠ADF=90°-3x, ∠ADG=∠ADF-∠GDF=90°-4x. 根据折叠的性质，得∠ADE=∠ADF=90°-3x, 所以∠EDG=∠ADE+∠ADG=180°-7x=75°， 18.解：如图2所示. 解得x=15°， 所以∠ADF=90°-3×15°=45. 图3 4 图2 ②如图4，当点G在线段BF上时， 19.解：(1)由对称及已知，得BC=B'C, 设∠GDF=y,则∠FDB=3y, A'C'AC =8cm, 所以∠ADF=90°-3y, 所以△A'B'C'的周长为 ∠ADG=∠ADF+∠GDF=90°-2y. A'C+B'C'+A'B=A'C+AC=12+8=20(cm). 根据折叠的性质，得∠ADE=∠ADF=90°-3y, (2)根据轴对称的性质，得∠A'=∠A=90, 所以∠EDG=∠ADE+∠ADG=180°-5y=75°， 所以△A'CC的面积为之A'C·A'C=48(cm). 解得y=21°， 所以∠ADF=90°-3×21°=27°. 20.解：(1)旋转中心是点A,相等的角有：∠ACB=∠E, 综上所述，∠ADF的度数为45°或27°. ∠BAC=∠DAE,∠B=∠D. (2)由旋转的性质可知AB=AD=6cm,AC=AE. 第44期2版 因为点C是AD的中点， 6.1抽样调查 1 所以AE=CD=2AD=3(cm): 1.D;2.C;3.18岁，2,15%. (3)最小的旋转角度为360°-∠BAC=210°. 4.解：(1)不能，抽样调查； 21.图略 (2)76÷95%=80(个). 22.解：由旋转的性质可知∠B=∠D=25°， 答：共有80个节能灯接受检查. ∠EAD=∠CAB (3)不同意.因为抽查B品牌的样本容量偏小， 因为∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB=120°， 5.解：(1)200,64,6%： ∠CAD=10°， (2)因为14%+6%=20%，所以一等奖的分数线为大于 所以∠CAB=∠EAD=55°， 或等于80分 7 初中数学湘教七年级第40~44期 6.解：(1)总体是该市1万名初中生的视力情况；个体是该 因为该城市连续30天的空气质量良的天数最多，有21天， 市每名初中生的视力情况：样本是抽取的1000名初中生的视 且没有中度污染的天数，所以，总体而言该城市连续30天的空 力情况；样本容量是1000 气质量良好 (2)总体是10×10×12=1200（套）冬装的质量；个体是 20.解：不合适.理由如下： 每一套冬装的质量；样本是抽取的100套冬装的质量；样本容 因为这两幅图不仅不容易对两种蛋的各种维生素B的含 量是100. 量进行比较，而且会给我们造成错误的印象：鸡蛋中各种维生 6.2统计图 素B的含量比鹤鹑蛋的高，这是由于两幅图的纵轴单位长度不 1.C;2.B;3.C;4.B; 统一造成的. 5.5. 21.解：(1)80； 6.解：(1)200： (2)不正确.理由如下： (2D所占的百分比为：品×10%=15%。 七年级学生的近视率为5 ×100%=56.25%; 0 所以扇形统计图中，“D”所在扇形圆心角的度数为： 42 360°×15%=54°. 八年级学生的近视率为200X359%×100%=60%; 喜欢C类书籍的人数是：200×30%=60（名），补图略 35 九年级学生的近视率为200×25%×100%=70%. 70 (3)2600×200=910(名)： 因为56.25%<60%<70%， 答：估计喜欢B类书籍的学生有910名. 所以从七年级到九年级学生的近视率越来越高。 7.解：(1)甲、乙两幅统计图所表示的数据相同.甲图给人 22.解：(1)300： 的感觉是小明的数学成绩提高较快，乙图给人的感觉是小明的 (2)由图可知，爱好羽毛球的人数为90， 数学成绩较平稳。 爱好篮球的人数为60， (2)若小明要向他的父母说明他的数学成绩在努力后的 爱好乒乓球的人数为300×40%=120 情况，他将向父母展示甲图，理由是：两幅图横轴上同一个单位 所以爱好排球的人数为300-90-60-120=30， 长度表示的意义相同，而纵轴上同一个单位长度表示的意义不 所以“排球”所在扇形的圆心角的度数为 同，甲图被纵向拉高了，看上去成绩提高的幅度比乙图的大. 30 300 ×360°=36°. 第44期3,4版 (3)补图略. 《收集、整理与描述数据》综合能力达标自评 23.解：(1)7月7日使用单车的师生有 一、选择题 20×(1+50%)=30(人)，补图略. 题号 34 5 67 8 910 (2) -×(1-45%-15%)=32(人). 答案 答：喜欢ofo的师生有32人. 二、填空题 24.解：(1)图17-②能更好地反映该学校每个年级学生 11.抽样调查；12.20；13.25%；14.2；15.54 的总人数，图17-①能更好地比较该学校每个年级男女生的 16.40. 人数 三、解答题 (2)由图17-②，得七、八、九年级的学生人数分别为 17.解：调查对象是九年级(1)班所有同学的衣服尺码，应 800人，800人，400人， 采用全面调查. 所以总人数为800+800+400=2000（人）. 18.解：(1)总体是：该小区8个单元所有居民对物业工作 所以七、八年级占总人数的百分比为 的满意程度；个体是：每位小区居民对物业工作的满意程度；样 800 本是：调查的1单元280位居民对物业工作的满意程度；样本容 ×100%=40%, 2000 量是280. 对应扇形的圆心角是360°×40%=144°； (2)不能.理由如下： 因为聪聪抽取的样本太少，缺乏广泛性 九年级占总人数的百分比为0×100%=20%。 19.解：表格从左到右、从上到下依次填：6,21,3,0,30 对应扇形的圆心角是360°×20%=72°. 20%,70%,10%,0,100% 绘制扇形统计图略。 8回 竖 P90730-15t1 S2139-1S90 :V't .06g 尊 .7i).g .5+1 5==- 20T 107 管 2 206.02 8s(I)'I 雷) :.0e().22 ):t2 .0.6) 雷()：式 .06(5) 6 警 20.(8分)如图15， ,已知∠A=112° ,∠ABC=68°，BD⊥DC于 24.(12分)已知直线AB与直线CD交于点0，过点0作 点D,EF⊥DC于点F OE⊥AB. 求证：∠1=∠2. (1)如图19-①，0P为∠A0D内的一条射线，若∠1=∠2，判 断OP与CD的位置关系，并说明理由； (2)如图19-②，若∠BOC=2∠A0C,求∠C0E的度数； 图17 (1)请补全小丽的解答过程； (3)如图19-③，在(2)的条件下，过点0作0F1CD,经过点 (2)小聪说：“小丽的解答并不完整，符合题意的图形还有一种 O作直线MN,若射线OM平分∠BOD,请直接写出图中与2∠EOF 情况.”请在图17-②中画出小聪说的另一种情况，并解答 度数相等的角： 21.(10分)如图16，已知∠A=∠ADE,∠C=∠E (1)求证：BE∥CD. 初中数学 (2)若∠EDC=2∠C,∠A=30°，求证：BE1AD. 23.(12分)如图18，在△ABC中，∠C=90°，BC,AC,AB边的长 湘教七年 分别记为4，b,c,点E是BC边上的一个动点（点E不与B,C重合）， 连接AE.已知a=8,b=6,c=10. 级能力达标自评 初中数学·湘教七年级能力达标自评 网18 备用图 (1)求点C到直线AB的距离 (2)线段AE将△ABC分为△ABE和△ACE,若这两个三角形 的周长相等，求CE的长 22.(10分)数学课上，老师给出如下问题： (3)将△ACE沿直线AE折叠，使点C恰好落在AB边上的点C 直线AB,CD相交于点0，∠A0C=40°，0E平分∠A0D,射线 处，求此时CE的长 OF⊥AB,求∠EOF的度数 小丽：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图17-①，因为射线OF⊥AB,所以∠AOF= 因为∠A0C与∠A0D互补，∠A0C=40°， 所以∠AOD= 因为OE平分∠AOD, 所i以∠A0E-∠A0D= 因为OF是直线AB下方的一条射线 参考答案见42期 所以∠EOF=∠AOE+∠AOF= 数评极 2026年4月7日·星期二 初中数学 40期总第1184期 (湘教七年级) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/(F) 一、垂线与垂直 辨 名师总睛。 当两条直线相交所 成的四个角中有一个角 是直角时，就说这两条 强强联合来解题 直线互相垂直，其中的 比转 一条直线叫做另一条直 线的垂线.垂直是相交 ◎湖南 陈伍二 学 ⊙的一种特殊情形.由此 一、平行线的性质与垂线联合 ∠3，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，结 我们可以知道，垂线是 例1如图1，直线a∥ 合垂直的定义求得∠2的度数 界 指互相垂直的两条直线 b,点C,A分别在直线a,b上， 二、平行线的性质与角平分线联合 王清瑞 中的一条，表示一种图 AC⊥BC,若∠1=50°，则 例4如图4，AB∥CD, 形，而垂直则是指两条 ∠2的度数为 图1 点E在AB上，EC平分∠AED, 直线之间的位置关系。 分析：利用平行线的性质可求得∠3的度数， 若∠1=65°，则∠2的度数为 二、垂线与斜线 再结合垂直的意义即可得解 ( ) 垂线和斜线是以 解：因为a∥b,∠1=50° A.45° B.50° 两条直线相交是否成直角来区分的，反映了两 所以∠3=∠1=50°（两直线平行，内错角 C.57.5 D.65 条直线的位置关系的不同： 相等) 分析：根据平行线的性质可得∠AEC的度 过直线AB外的一点 因为AC⊥BC, 数，再根据角平分线的定义可得出∠AED的度 C作直线AB的垂线，只能 所以∠ACB=90°，即∠2+∠3=90°， 数，进而求得∠2的度数 作一条.如图1，CD1 G 所以∠2=∠ACB-∠3=40°.故填40° 解：因为AB∥CD,∠1=65° AB,而过直线AB外的 例2如图2，已知c⊥a,c 所以∠AEC=∠1=65（两直线平行，内 点C画斜线和直线AB相交可画无数条，如直线 错角相等)： 1b,直线b,c,d交于一点，若 CE,CF,CG等，线段CE,CF,CG都比垂线段CD 因为EC平分∠AED, ∠1=50°，则∠2等于( 要长 所以∠AED=2∠AEC=130°， A.60° B.50° 三、垂线与垂线段 所以∠2=180°-∠AED=50° C.409 D.309 垂线是相交线的一种特殊情形，不可度量； 故选B. 解析：因为c⊥a,c⊥b, 垂线段是线段（垂线上一，点与垂足之间的线 三、平行线的性质与判定联合 所以∠3=∠4=90° 段)，可以度量，这是二者的不同.二者的相同之 例5如图5，已知∠1 处在于：垂线和垂线段都是几何图形，垂线段是 所以a∥b(同位角相等，两直线平行). +∠2=180°，∠3=50°，则 垂线的一部分. 所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相 ∠4的度数为 () 37 等) 四、垂线段与点到直线的距离 A.40° B.50 图5 垂线段是一种几何图 又因为∠1=50° C.55 D.60° 形，属于“形”的概念，垂 所以∠2=∠1=50°， 分析：利用平行线的判定和性质推导即可 线段的特征是：(1)是 故选B. 解：因为∠1+∠2=180°， 条线段；(2)垂直于某一 评注：本题首先根据垂直的条件得到a∥b, 所以a∥b(同旁内角互补，两直线平行)， 直线点到直线的距离是 02 然后由平行线的性质找到∠2与∠1的关系，进 所以∠3=∠5=50°（两直线平行，同位角 指垂线段的长度，属于“量”的概念，不能认为 而求得∠2的度数 相等)， 点到直线的距离就是垂线段.如图2所示，点C 例3如图3，直线AB 所以∠4=∠5=50° 到直线AB的距离不是垂线段CD,而是垂线段 ∥CD,直线EF与AB,CD 故选B. CD的长度 分别交于点E,F,EP⊥ 四、平行线的判定与垂直联合 例下列说法中，正确的是 EF,垂足为点E,∠1= 例6如图6，直线AB, 图3 A.垂线最短 160°，则∠2等于 CD相交于点O,OT1AB于 B.两条直线相交所成的四个角中，如果有 点O,CE交CD于点C,若 A.15° B.30° 三个角相等，那么这两条直线互相垂直 ∠EC0=30°，∠D0T=60°， C.45° D.60° C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂 则CE∥AB吗？请说明理由. 解析：因为∠1=60° 解析：CE∥AB.理由如下： 由对顶角相等，得∠3=∠1=60°. D.直线外一点到这条直线的垂线段叫做点 因为OT⊥AB 因为AB∥CD, 到直线的距离 所以∠BOT=90° 解析：垂线是一条直线，不可度量，故选项 所以∠3+∠FEB=180(两直线平行，同 因为∠D0T=60° A错误；选项C缺“在同一平面内”这一条件，故 旁内角互补). 所以∠BOD=∠BOT-∠DOT=30° 错误；直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 所以∠FEB=180°-∠3=1209 又因为∠EC0=30°， 叫做点到直线的距离，故选项D错误.两条直线 因为EP⊥EF, 所以∠ECO=∠BOD 相交所成的四个角中，如果有三个角相等，根据 所以∠FEP=90° 所以CE∥AB(同位角相等，两直线平行)： “对顶角相等”，可得四个角都等于90°，所以这 所以∠2=∠FEB-∠FEP=30°. 解后反思：本题解答的关键是借助垂直和 两条直线互相垂直，故选项B正确， 故选B. 互余的定义，得出同位角相等的条件，从而判定 故选B 评注：本题首先根据“对顶角相等”求出所求的两条直线平行 2 素养专练 数理极 4.5垂线 4.6两条平行线间的距离 1.如图1,0A⊥0B,0C是一条射线若 1.如图1，已知直线a∥b,则直线a,b之间的 ∠A0C=120°，则∠B0C的度数是 ( 距离是 ( 重线的画法益 A.60° B.45° C.30° D.20° A.线段AB的长度 B.线段CD的长度 C.线段AD的长度 D.线段CE的长度 ©河北施小炜 考查垂线画法的问题常以画三角形的高呈 超市 图1 图2 现，通常都是选择题，也有其他考查形式，如作辅 2.如图2，某地进行城市规划，在一条新修公 图1 助线时常常需要作垂线需要清楚：向“谁”画垂 路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有A,B,C, 2.如图2，在直角三角形ABC中，AB=3,AC 线，垂足就在“谁”上面（或在其延长线上，反向延 D四个地点可供选择.若要使超市距离汽车站最 近，则汽车站应建在 ( ) =4,BC=5,DE∥BC,若点A到DE的距离是1，长线上). + 则DE与BC之间的距离是 ( 例1(1)请在图1-①中，过点P画射线AB A.点A处 B.点B处 ! A.2 B.1.4 的垂线； C.点C处 D.点D处 C.3 D.2.4 P。 P。 3.如图3，是一副三角板的摆放图，已知 3.如图3，已知AD∥ 0A10B,0C10D,若∠A0C=35°，则∠B0D BC,CE=5,CF=8,且CE B 的度数是 ⊥AD,CF⊥AB,垂足分别为 ! ⊙ ② E,F,则AD与BC之间的距 B 图1 图3 离是 (2)请在图1-②中，过点P画线段AB的垂 4.在同一平面内，已知直线a∥b∥c,若直线线； a与直线b之间的距离为5，直线a与直线c之间的 (3)请在图1-③中，分别 4.如图4，直线AB,CD相交于点0，OE1CD, 距离为3，则直线b与直线c之间的距离为过顶点A,C画边BC,AB的垂 ∠E0F=142°，∠D0F=2∠B0D,则∠A0C的度 线 数为 5.如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC,连接 分析：(1)图1-①中，垂 图1-③ 5.如图5，P是∠AOB的边OB上一点. BD,已知AD=2BC,试说明Sm=2Sac 足在射线AB的反向延长线上； (1)过点P画OA的垂线，交OA于点H; (2)图1-②中，垂足在线段AB的延长线上； (2)过点P画OB的垂线，交OA于点C; (3)图1-③中，过点A向边BC画的垂线，垂 (3)点0到直线PC的距离是线段 足在边BC的延长线上，过，点C向边AB画的垂线， 的长； 垂足在边AB上 (4)比较PH与C0的大小，并说明理由. 解：(1)如图2-①，直线P0即为所求 P P of. 图2 (2)如图2-②，直线P0即为所求 ☒5 (3)如图2-③，直线AE,CD即为所求 6.如图6，直线AB,CD相交于点0，ON平分 ∠BOD,OM⊥ON. (1)若∠A0C=64°，求∠M0B的度数； E (2)试说明OM平分∠AOD. 图2-③ 例2如图3，直线a,b相交于点O,点M,N分 别为直线a,b上的点，请过点M作直线MP⊥b,垂 足为P;过点N作直线NQ⊥a,垂足为Q. B N M 图3 图4 分析：作MP⊥b: 把三角尺的一条直角边与直线b重合，另一条 直角边靠紧点M; 沿过点M的直角边画直线，与直线b交于点 P,则MP⊥b,P为垂足. 数理报社试题研究中心 同理可作NQ⊥a(垂足为Q). 参考答案见42期 解：如图4所示. 9.如图5，四边形ABCD中，AB∥CD,AC⊥CB于点C,CE⊥AB 三、解答题（本题共8小题，共72分） 4.5~4.6能力达标自评 于点E,点F为CD边的中点，下列判断正确的是 () 17.(6分)如图12，网格纸中每个小正方形的边长为1，线段端 ①∠ECB=∠CAB;②∠ACE+∠BCD=180°；③若∠ACE= 点在小正方形的格点上 ◆数理报社试题研究中心 ∠D,则AD∥BC;④AF∥CE;⑤若AD=4,SAACF=4,则点F到直 (答题时长120分钟，满分120分) .3 线AD的最短距离为2 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） A.①②③④⑤ B.①②③⑤ 1.以下奥运会比赛项目中，按点到直线的距离来评定成绩的是 C.①②③④ D.①②③ 图12 A.跳远 B.链球 C.铅球 D.铁饼 (1)过点C画CD∥AB,CE⊥AB,垂足为E; 2.下列选项中，过点P画AB的垂线CD,三角板放法正确的是 (2)连接CA,则CE<CA,其依据是 (3)除点C外，网格纸中有 个格点到线段AB所在直线 2 图5 图6 的距离等于线段CE的长度， 10.如图6，已知AB∥CD,EF⊥AB于点F,∠BFH=∠EGH= 18.(6分)如图13所示，平原上有A,B,C,D四个村庄，为解决 30°，∠H=50°，则∠FEG的度数是 当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池. A.150° B.140° (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池点M的位置，使它到 3.如图1，河道1的一侧有A,B两个村庄，现要铺设一条引水管 初 C.130 D.120° 四个村庄距离之和最小； 初 中 道把河水引向A,B两村，下列四种方案中最节省材料的是( 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 中 (2)政府计划把河水引入蓄水池M中，怎样开渠最短？并说明 数学 数 b B 11.在电影《流浪地球2》中，机器狗笨笨正在水中作业，此时收 理由. 学 A A 到指令需要尽快上岸，它会选择如图7的路线AB回到岸上，这里蕴 湘教七年 图1 A B 藏的数学知识是 湘教 D 4.如图2，AB,CD,EF三条直线相交于点O,且AB⊥CD,0G平 A↑机器狗 年 级 分∠B0C.若∠1=11°，则∠2的度数为 级 必 力 A.30° B.34° C.35 D.459 图13 达 B 能力达标 图7 图 12.如图8，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点 鼻 D,DE⊥AB于点E,则点B到AC的距离是 13.如图9,1，∥1，，AB⊥1，垂足为点D.若∠1=25°，则∠2= 5.如图3，直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB.若∠BOC= 19.(8分)如图14，EF⊥BC,AD⊥BC,∠1=∠2，试说明 4∠1，则∠M0D的度数是 ( DG∥BA. A.157.5°B.112.5° C.1209 D.150° D 6.在同一平面内，有2024条直线：a1,42,…,a224,如果a11 02,a21a,431a4,…,那么a1与a224的位置关系是 ( A.垂直 B.平行 图9 10 C.相交但不垂直 D.以上都不对 14.如图10，已知AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠1 7.如图4，AC⊥BC,垂足为C,AC=3,BC=4,AB=5.P是线 段AB上一点，连接PC,则PC的长不可能是 则∠2与∠3的大小关系为 A.2 B.2.4 C.2.5 D.3 15.如图11，∠A0C=∠B0D=90°，0B在∠A0C的内部，0C 8.已知直线a,b,c在同一平面内，且a∥b∥c,a与b之间的距 在∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线，若∠BOC=30° 离为3.5cm,b与c之间的距离为1.8cm,则a与c之间的距离是 则∠EOD= ( 16.已知∠AOB+∠B0C=180°，且∠AOB<∠B0C,OD平分 A.1.7 cm B.5.3 cm ∠BOC,射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC=180°，∠DOE C.1.7cm或5.3cm D.以上都不对 =70°，0M⊥OB,则∠M0E=