精品解析：辽宁省沈阳市第四十三中学2024-2025学年 八年级下学期4月数学期中试卷

沈阳市第四十三中学教育集团2024～2025学年度（下）期中质量监测 数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A B. C. D. 3. 用反证法证明“在中，若，则”时，我们应该先假设（ ） A. B. C. D. 4. 在中，与的度数之比为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 将点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行第三套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则正九边形内角和为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（ ） A. 5cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 8. 如图，在和中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（　　） A. BE＝EF B. EF∥CD C. AE平分∠BEF D. AB＝AE 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 若不等式的解集为，则必须满足______________． 12. 如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为3m，则绿化面积为______m2． 13. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为________． 14. 在四边形中，，、、、分别是边、、、的中点，则四边形的周长为_________cm． 15. 在中，，，，过点A作，点E为直线上一动点，作点A关于直线的对称点，当点落在的垂直平分线上时，的长为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 解不等式组： 17. 如图，在中，E、F是对角线上的两点（点E在点F左侧），且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，，时，求的长． 18. 第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元． （1）每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？ （2）该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？ 19. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF． （1）求证：BF=2AE； （2）若CD=3，求AD的长． 20. 如图，各顶点的坐标分别为，， （1）将向上平移5个单位，再向右平移2个单位，得到，画出平移后的图形，并写出平移后对应顶点的坐标； （2）点A到直线的距离＝____________； （3）将绕着点O顺时针旋转90°，画出旋转后的． 21. 如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点，的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数表达式为． （1）点为平面镜的中点，若光线恰好经过点，求所在直线的表达式； （2）若入射光线与平面镜有公共点，求的取值范围； （3）规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，直接写出点是整点的个数． 22 平面直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）点M是直线上一动点，其横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N，当时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，若，点E是x轴上一动点，在直线上是否存在一点Q，使得以M，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 23. 如图1，在中，，，，将绕点A顺时针旋转，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，． （1）如图2，当恰好经过点C时，求线段长； （2）如图3，当恰好经过点C时，求线段的长； （3）在图3的基础上，将沿直线平移，点A，B，C的对应点分别为，，，连接，，若是以为底的等腰三角形，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沈阳市第四十三中学教育集团2024～2025学年度（下）期中质量监测 数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形与轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键：1、不等式的性质：（1）性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变， 即：若，则，；（2）性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， 即：若，，则（或）；（3）性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若，，则（或）；2、注意：①不等号“”和“”称为互为相反方向的符号，所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“”改变方向后就变成“”；②不等式的性质是不等式变形及解不等式的理论依据，其中性质3是重点，也是难点，应特别注意不等号的方向；③运用不等式的性质进行不等式变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘（或除以）同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向；④不等式的性质还有：若，则；若，，则． 根据不等式的性质逐项分析判断即可得出答案． 详解】解：A. 当，时，，，原不等式不正确，故选项不符合题意； B. 若，，原不等式不正确，故选项不符合题意； C. 若，，原不等式不正确，故选项不符合题意； D. 若，，该不等式正确，故选项符合题意； 故选：． 3. 用反证法证明“在中，若，则”时，我们应该先假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反证法定义：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法，进行判断即可． 【详解】解：由反证法的定义得 先假设结论：不成立， 则有：， 故选：C． 【点睛】本题考查了反证法的定义，理解定义是解题的关键． 4. 在中，与的度数之比为，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得，再根据与的度数之比为，即可求出的度数，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 与的度数之比为， ， ， ， 故选：D． 5. 将点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平移变换的性质，熟练掌握“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据“左减右加，上加下减”进行解题即可． 【详解】解：点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到新点的横坐标：，纵坐标为：，即． 故选：B． 6. 如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第三套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则正九边形内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求多边形的内角和．根据多边形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：， 即正九边形内角和为． 故选：D 7. 如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的恰好是托板的中点，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（ ） A. 5cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据是的中点可求的长度，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求解，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：过点作，垂足为点， 是的中点，， ， ，，射线是的平分线， ， 故选：． 8. 如图，在和中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，添加的条件为， ∵，， ∴， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可求，，表示直线的图象在直线的下方，即可求解． 【详解】解：在直线上， ， 解得：， ， 直线的图象在直线的下方， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式与一次函数关系，掌握二者之间的关系是解题的关键． 10. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（　　） A. BE＝EF B. EF∥CD C. AE平分∠BEF D. AB＝AE 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可． 【详解】由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA． ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE， ∵AF＝AB， ∴AF＝BE， ∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AF＝AB， ∴四边形ABEF是菱形， ∴AE平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，故选项A、C正确， ∵CD∥AB， ∴EF∥CD，故选项B正确； 故选D． 【点睛】本题考查尺规作图，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 若不等式的解集为，则必须满足______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．由不等式的性质结合原不等式的解集，可得，即可求得m的取值范围． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为3m，则绿化面积为______m2． 【答案】 【解析】 【分析】将小路平移后绿化部分即是长，宽的长方形，根据长方形的面积求解即可． 【详解】解析：解：根据题意，得， 故答案：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法和减法的应用，理解题意列出算式是解题的关键． 13. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据旋转得到：，，进而推出，利用三角形的内角和，求出，利用，得到，再利用，即可得解． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质．熟练掌握对应点与旋转中心组成的夹角等于旋转角，以及旋转后两图形的对应边相等，是解题的关键．本题同时考查了平行线的性质和三角形的内角和定理． 14. 在四边形中，，、、、分别是边、、、的中点，则四边形的周长为_________cm． 【答案】15 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得出，，则四边形的周长． 【详解】解：、分别是边、的中点，、分别是边、的中点， ，， ， 同理得，， 四边形周长 ． 故答案为：15． 【点睛】本题考查的是中点四边形，利用三角形中位线定理可以得出中点四边形的周长等于两条对角线长度的和． 15. 在中，，，，过点A作，点E为直线上一动点，作点A关于直线的对称点，当点落在的垂直平分线上时，的长为__________． 【答案】或1 【解析】 【分析】先求出，，，再分两种情况：①当点在射线时，过点作于点，过点作于点，连接，求出，设，则，利用勾股定理求解即可得；②当点在射线时，过点作于点，连接，证出点在的垂直平分线上，再证出，根据全等三角形的性质即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 设的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即． ①如图，当点在射线时， 过点作于点，过点作于点，连接， ∴四边形是正方形，四边形是矩形， ∴， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； ②如图，当点在射线时， 过点作于点，连接， ∴四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质得：，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上， 在和中， ， ∴， ∴； 综上，的长为或1， 故答案为：或1． 【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、二次根式的应用等知识，正确分两种情况讨论是解题关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 解不等式组： 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集．熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：． 17. 如图，在中，E、F是对角线上的两点（点E在点F左侧），且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，，时，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用内错角相等，得到，再利用平行四边形的性质，证明，得到，即可证明四边形是平行四边形； （2）利用勾股定理，求得，然后根据三角形面积公式，得到，再利用勾股定理求得，最后利用全等三角形的性质，得到，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 18. 第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元． （1）每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？ （2）该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？ 【答案】（1）每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元 （2）最多购进A种奖品40个 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列二元一次方程组，列一元一次不等式，是解题的关键． （1）设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元，根据购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，根据总费用不超过3120元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元， 由题意得：， 解得：， 答：每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元； 【小问2详解】 解：购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，由题意得： ， 解得：， 答：最多购进A种奖品40个． 19. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF． （1）求证：BF=2AE； （2）若CD=3，求AD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，得出AD＝BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD＝∠CBE，由ASA证得△ADC≌△BDF，得出BF＝AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC＝2AE，即可得出结论； （2）根据全等三角形对应边相等得出DF＝CD，由勾股定理求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出AF＝CF，然后根据AD＝AF+DF代入数据即可得出结果． 【详解】（1）∵AD⊥BC，∠BAD=45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AD=BD． ∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠CBE． 在△ADC和△BDF中，， ∴△ADC≌△BDF（ASA）， ∴BF=AC． ∵AB=BC，BE⊥AC， ∴AC=2AE， ∴BF=2AE； （2）∵△ADC≌△BDF， ∴DF=CD=3． 在Rt△CDF中，CF6． ∵BE⊥AC，AE=EC， ∴AF=CF=6， ∴AD=AF+DF=6+3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 20. 如图，各顶点的坐标分别为，， （1）将向上平移5个单位，再向右平移2个单位，得到，画出平移后的图形，并写出平移后对应顶点的坐标； （2）点A到直线距离＝____________； （3）将绕着点O顺时针旋转90°，画出旋转后的． 【答案】（1）见解析，，，． （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标的平移变化规律找出平移后所得的3个顶点坐标：将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变；将点向右（或向上）平移几个单位长度，横坐标（或纵坐标）就增加几个单位长度；将点向左（或向下）平移几个单位长度，横坐标（或纵坐标）就减少几个单位长度．连接顶点、、得到． （2）如图，过点作的垂线交延长线于，过作轴的平行线交直线延长线于，得到为直角三角形，利用勾股定理可求得斜边的长，为斜边上的高，根据三角形面积公式得，求出的长即为到直线的距离． （3）连接、、将、、分别旋转，得到、、，连接、、即可得到． 【小问1详解】 解：向上平移5个单位，再向右平移2个单位得点对应的顶点坐标为，点对应的顶点坐标为，点对应的顶点坐标为，即得，，． 故平移后的图形如图，对应的顶点坐标为，，． 【小问2详解】 解：如图，过点作的垂线交延长线于，过作轴的平行线交延长线于，得到为点到直线的距离， 点纵坐标与点纵坐标相同， 轴， ，长度为点、横坐标之差的绝对值， ， 令直线的方程为，点坐标为， ，在直线上， 代入方程得，解得，， 直线的方程为， 轴， 点横坐标与点横坐标相同，即， 长度为点、纵坐标之差的绝对值，， 又在直线上， 将代入方程，解得， ， ， 在中，由面积公式得， ， 点到直线的距离为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：连接、、将、、分别旋转，得到、、，连接、、得到如图． 【点睛】本题考查了图形的平移、图形的旋转、点到直线的距离及勾股定理的知识，掌握图形平移及旋转的变化规律及勾股定理的灵活应用是解题关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点，的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数表达式为． （1）点为平面镜的中点，若光线恰好经过点，求所在直线的表达式； （2）若入射光线与平面镜有公共点，求的取值范围； （3）规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，直接写出点是整点的个数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）先求出线段中点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）先求出直线解析式，再求出直线解析式，即可求出本题答案； （）作出点关于对称点，可知的坐标，作直线，分别求出这两条直线与轴交点，则点坐标即在范围内，即可得到整数点的个数； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，线段中点坐标，一次函数图象及性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点，的坐标分别为，，点为平面镜的中点， ， 将，坐标分别代入中得， ， 解得， 所在直线的表达式为； 【小问2详解】 解：当入射光线经过、时， 有， 解得， 当入射光线经过，时， 有， 解得， 入射光线与平面镜有公共点， 的取值范围：； 【小问3详解】 解：作出点关于对称点，则，作直线、分别交轴于，， 同理可得直线的表达式为，直线的直线表达式为， 反射光线与轴相交于点， 点纵坐标的取值范围为， 整点有：，共个． 22. 平面直角坐标系中，直线与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）点M是直线上一动点，其横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N，当时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，若，点E是x轴上一动点，在直线上是否存在一点Q，使得以M，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3），， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合，涉及待定系数法求解析式，交点坐标，平行四边形的存在性问题； （1）先将点代入求出a的值，再将P点坐标代入求出b的值即可得直线的解析式； （2）根据已知可得，，再根据得，解绝对值方程，进而可求得点M的坐标； （3）在（2）的条件下，若，则，设点，，再根据为边或对角线分情况讨论，利用平移和中点公式求坐标即可． 【小问1详解】 解：将点代入得，， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵点M是直线上一动点，其横坐标为m， ∴， ∵过点M作轴，交直线于点N， ∴， ∵， ∴， 解得或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，点M的坐标或； 【小问3详解】 解：在（2）的条件下，若，则， ∵点E是x轴上一动点，直线上一点Q， ∴设点，， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 当是边时，则，，则对边对应点的平移方式一致， ∵向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到， ∴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，或向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到， 若向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到即为，则，解得，此时； 若向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到即为，则，解得，此时； 当是对角线时，则平行四边形的对角线和互相平分，即对角线和的中点是同一个点， ∵对角线的中点是，对角线的中点是， ∴，解得，此时， 综上所述，存在一点Q，使得以M，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为，，． 23. 如图1，在中，，，，将绕点A顺时针旋转，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，． （1）如图2，当恰好经过点C时，求线段的长； （2）如图3，当恰好经过点C时，求线段的长； （3）在图3的基础上，将沿直线平移，点A，B，C的对应点分别为，，，连接，，若是以为底的等腰三角形，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先由已知得，，由旋转的性质证明是等边三角形，，再证是等边三角形即可得出答案； （2）根据旋转的性质，三角形内角和定理及勾股定理，即可解答； （3）过作，在上取点、使，过作于，由（2）可得，，，，即可求出，，在利用勾股定理求出，得到，，最后根据平移得到，点在上移动，由是以为底的等腰三角形，，则与或重合时，即可得到线段的长为或． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，，， 由旋转的性质可知，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 由旋转的性质可知，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴在中，， ∴在中，； 【小问3详解】 解：如图，过作，在上取点、使，过作于， 由（2）可得，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵将沿直线平移，点A，B，C的对应点分别为，，， ∴，点在上移动， ∵是以为底的等腰三角形，， ∴与或重合时，符合题意， ∴或， 即线段长为或． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，主要考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平移的性质等知识，熟练利用直角三角形的特征进行计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$