信息必刷卷02（山东青岛专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（青岛专用） 考情速递 中考·新动向：2025年青岛中考数学试卷结构和难度与2024年基本持平 ，难度保持一致！2023年数学试卷满分120分，共25题：9（选择题）+6（填空题）+1作图题+9（解答题），根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，随着数学教学的逐步深入，为体现数学课程标准对数学教学. 中考·新考法：通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度. 中考·新情境：中考数学侧重于加强对情境性问题、动手操作题、数学文化等进行综合考查，如第8题求圆中的角，用字母代替了具体的度数；第15题借助于三视图来考查几何体的表面积问题；第16题是考查利用几何工具作图，根据作图得出几何图形中的基本性质进行求解；第18题以雷锋精神为素材考查统计的知识；第20题考查了利用三角函数解决实际生活中的情景问题，体验数学是从生活中来，用数学解决生活中的问题；第22题将会重点考查反比例函数与一次函数问题、但本题没有给出图象，需要学生自己动手画出，难度中等；第23题和第24题继续考查二次函数性质与实际问题和三角形四边形的动点与函数问题，运算能力和分析能力要求比较高。 命题·大预测：在平时学习中要特别关注基础性，尤其是试卷的前5-6题直接考查基础知识，填空题的前3题，解答题的前5题，同时要注重知识的综合性迁移应用，主要是选填以及解答的压轴题。在备考中要注重知识的应用型，如本卷中的第13题一元二次方程的应用、第20题锐角三角函数的应用、第21题方程与不等式的应用、第23题二次函数的应用。在备考时，要注意数学文化的理解，在命题时一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理，同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中，尤其是解答题的最后两题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，这个数据用科学记数法表示为（   ） A．6.75×103吨 B．6.75×104吨 C．0.675×105吨 D．67.5×103吨 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于67500有5位，所以可以确定n=5-1=4． 【详解】67 500=6.75×104． 故选B． 【点睛】考查科学记数法表示较大的数的方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数,其中解题关键是确定a与n值是关键． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 3．如图，数轴上点 A 表示的数是（    ） A．3 B．3的相反数 C．3的绝对值 D．3的倒数 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，相反数的意义，绝对值的定义以及倒的定义，数轴上点 A 表示的数是，根据相反数的定义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题可知，数轴上点 A 表示的数是，即3的相反数， 故选：B． 4．如图放置的几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据主视图的定义即可得． 【详解】由主视图的定义得：这个几何体的主视图由一个矩形构成，但矩形最上一条边的中间部分向里凹 观察四个选项可知，只有选项A符合 故选：A． 【点睛】本题考查了主视图的定义，熟记定义是解题关键． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整式的加减乘除运算法则逐个分析即可. 【详解】解：选项A：，故选项A错误； 选项B：，故选项B错误； 选项C：，故选项C错误； 选项D：，故选项D正确. 故答案为:D. 【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算法则，熟练掌握运算法则及公式是解决此类题的关键. 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在网格点上，将四边形平移使得点与点重合，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化——平移，关键是掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．首先由点平移至点，可得先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，再根据平移方法可得平移后的坐标． 【详解】解：由点平移至点，可得先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 平移后的坐标是，即， 故选：B． 7．如图，为平行四边形外一点，且，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，多边形内角和定理，根据已知可得，根据平行四边形的性质可得，进而根据四边形内角和为，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故选：D． 8．如图，四边形是的内接四边形，，，连接交于点．若的半径为，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求与圆相关的不规则图形的面积、扇形的面积、圆内接四边形的性质等知识，利用作差法得出是解题的关键．根据圆内接四边形的性质和已知条件可求出，，进而求出，，再根据锐角三角函数求出，最后根据，即可求解． 【详解】四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故选：D． 9．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且经过点下列说法中：①；②；③；④方程的两个实数根为，；⑤当时，正确的有（ ） A．有4个 B．有3个 C．有2个 D．有1个 【答案】B 【分析】由抛物线开口向下，对称轴在轴右侧，交轴的正半轴，可以分别判断、、的正负，即可判断①；由即，根据图象即可判断②；由对称轴得到，根据时函数值为0，可得，即可判断③；根据抛物线的对称轴为直线，点关于直线对称的点为，即可判断④；根据抛物线的顶点可对⑤进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线交轴的正半轴， ， ，故①不正确； 即时， 由图象可知，抛物线在时为减函数，时，， ，，故②不正确； 抛物线对称轴是直线， 即， 又时函数值为0， ， 即， ， ，故③正确； 抛物线的对称轴为直线， 点关于直线对称的点为，即方程的两个实数根为，， 故④正确； 由抛物线图象可知，当时，最大， 时，即， 即， 故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，常数项决定抛物线于轴交点的位置． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10．计算∶ ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，绝对值的性质，掌握负整数指数幂的性质，以及零指数幂的性质，特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据负整数指数幂的性质，以及零指数幂的性质，去绝对值，特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 【详解】解： 故答案为： 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算、化简绝对值、零指数幂，熟练掌握知识点，正确计算是解题的关键． 先按照特殊角三角函数值的混合运算、化简绝对值、零指数幂，再按照运算顺序计算即可． 【详解】 ． 故答案为． 12．某射击俱乐部的两名学员小林和小明在练习射击，第一轮10枪打完后，两人打靶的环数如下图所示，根据图中的信息，估计小林和小明两人中成绩发挥比较稳定的是 ． 【答案】小明 【分析】观察图象可得：小明的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小明的成绩较为稳定． 【详解】解：由于小林的成绩波动较大，根据方差的意义知，波动越大，成绩越不稳定；小明的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小明的成绩较为稳定． 故填：小明． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 13．如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴菱形的面积． 故答案为：． 14．如图，中，，以AB为直径的交BC于点D，过点D作的切线DE交AB的延长线于点E，若，，则切线DE的长为 ． 【答案】 【分析】连接，由切线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，，即得，得到，进而得到，即可得，据此即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 15．电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数． 如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷（标旗子处），其它区域表示还未掀开，问在标有“A”~“G”的七个方块中，能确定一定是地雷的有 （填方块上的字母）． 【答案】B、D、F、G 【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷， A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷，由此得到本题答案． 【详解】解：由题图中第三行第一列的“1”可知,第二行第一列是雷。 用假设法推理如下：①假设A是雷，则由B下方的2可知：B不是雷；C不是雷；与C下方的“2”发生矛盾。假设不成立，则A不可能是雷； ②假设B不是雷，由B下方的“2”可知：C是雷，由C下方的“2”可知：D是雷；与D下方的“2”发生矛盾。假设不成立，则B是雷； ③假设A不是雷，B是雷，则由B下方的“2”可知，C不是雷；由C下方的“2”可知，D是雷；由D下方的“2”可知：E不是雷；由E下方的“3”可知，F是雷；由F下方的4可知：G是雷，∴B、D、F、G一定是雷． 故答案为：B、D、F、G． 【点睛】本题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷，着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 16．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，点A为直线外一点，求作，使经过点A且与直线相切于点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握尺规作线段垂直平分线的作法、正确理解题意是解题的关键．根据题意画图即可． 【详解】解：①作的垂直平分线． ②过点作直线的垂线交的垂直平分线于点． ③以点为圆心，长为半径作， 即为所求． 四、解答题（本大题共9个小题，17题9分、18-20题每题6分、21-23题每题8分、24-25题每题10分，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（9分）计算 (1)解不等式组，并求出所有的整数解； (2)先化简，再从，0，2中选一个数作为的值代入求值． 【答案】(1)原不等式组的解集：，不等式组所有的整数解为、0 (2)；1或 【分析】本题主要考查了解不等式组，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握解不等式组的步骤和分式化简的步骤． （1）利用解不等式组的步骤进行求解并取整数解即可； （2）先对分式进行化简，然后选择合适的数代入求值即可． 【详解】（1）解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； 在同一数轴上表示不等式①②的解集为： ∴原不等式组的解集：， ∴不等式组所有的整数解为、0； （2）解：原式； ∵，，， ∴当时，原式或当时，原式． 18．（6分）设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为100分，规定：为A级，为B级，为C级，为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了_____________名学生，____________，级对应的扇形的圆心角为_______________度； (2)这组数据的中位数所在的等级是________________； (3)若该校共有3000名学生，请你估计该校综合评定成绩为D级的学生有多少名？ 【答案】(1)50，24，72； (2)B级； (3)240名． 【分析】此题考查了是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据B级的人数除以所占的百分比求出抽取的总人数，再用A级的人数除以总人数即可求出a；求出C级的人数，再用360度乘以C级所占的百分比即可求出扇形统计图中C级对应的圆心角的度数； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用D级所占的比例乘以该校的总人数，即可得出该校D级的学生数． 【详解】（1）解：抽取总人数为（名）， ∵， ∴； C级人数为（名）， ∴级对应的扇形的圆心角为， 故答案为：50，24，72； （2）解：在这组数据中，从小到大排列，第24位和第25位都在B级，故这组数据的中位数所在的等级是B级， 故答案为：B级； （3）解：（名）， 答：该校综合评定成绩为D级的学生有240名． 19．（6分）甲、乙两人玩转盘游戏，如图转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑、白、红．游戏规则是∶转动转盘，待转盘自动停止后，其指针指向的颜色即为转出的颜色(如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次)．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．    (1)随机转动转盘一次，指针指向白色的概率是 ； (2)小明和小丽玩转盘游戏，小丽转动转盘，小明进行猜测，转动转盘前，小明想了两种猜测特征，第一种是猜测“两次转出的颜色相同”；第二种是猜测“转出的一定有黑色”．请你帮小明选择其中一种猜测特征，使他获胜的可能性更大，并说明理由． 【答案】(1) (2)选第二种猜测特征，才能使小明获胜的可能性更大，见解析 【分析】本题主要考查列表或画树状图求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率的计算方法是即可求解； （2）运用列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：转盘有3中等可能结果，白色的有1中结果， ∴指针指向白色的概率， 故答案为：． （2）解：选第二种“转出的一定有黑色”，理由如下： 解法一：画树状图为：    共有9种等可能的结果，两次颜色相同的有3种结果，其中一定有黑色的有5种结果， ∴，， ∵， ∴． ∴选第二种特征，才能使小明获胜的可能性更大． 解法二：列表如下： 黑 白 红 黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，红） 白 （白，黑） （白，白） （白，红） 红 （红，黑） （红，白） （红，红） 共有9种等可能的结果，两次颜色相同的有3种结果，其中一定有黑色的有5种结果， ∴，， ∵， ∴． ∴选第二种特征，才能使小明获胜的可能性更大． 20．（6分）随着中国经济的迅速发展和国家政策的大力支持，国产汽车在市场中的占有律越来越高．如图是某型号红旗汽车近光灯照明示意图．车主王先生发现近光灯的上行光线照射高度偏低，于是要求工程师调高高度．已知车灯离地面的距离为，有效射程为．原上行光线与水平方向的夹角为，工程师向上调高了至． (1)求灯光有效射程末端提高了多少米？ (2)现有一人骑电动车迎面刚好行驶到车灯的有效范围内，若人的眼睛到地面的距离为，调整后的车灯会不会照射到电动车驾驶员的眼睛？请说明理由．（参考数据：结果保留两位小数） 【答案】(1) (2)调整后的车灯会照射到电动车驾驶员的眼睛，理由见解析 【分析】（）过点作，垂足为点，解直角三角形求出，进而即可求解； （）根据（）求出，进行比较即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， 由题意知：，，，，                     在中， ∵ ， 即 ， ∴ ，                               在中， ∵ ， 即 ， ∴ ， ∴ ，    ∴ 有效射程末端提高了； （2）解：由（）知：，， ∴， ∵ ， ∴ 调整后的车灯会照射到电动车驾驶员的眼睛． 21．（8分）父亲节来临，惠客超市购进、两款男士服装．已知购进2件款和3件款共需720元，购进3件款和1件款共需660元． (1)、两款服装的进价各是多少元？ (2)由于该服装畅销，惠客超市计划用24000元再次进货、两款男士服装分别为和件，请解决： ①求和的关系式； ②惠客超市计划款服装每件定价250元售价，款产品每件定价180元销售，同时要求进货时款服装数量不少于款服装的二分之三．超市怎样进货，当两款服装按定价全部售完后能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)A，B两款男士服装的进价分别为180元，120元 (2)①；②超市进A款男装2件，B款男装197件，当两款服装按定价全部售完后能获得最大利润，最大利润是11960元 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用和一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，设A，B两款男士服装的进价分别为x元，y元，进而可得方程组，求x，y即可得解； （2）①根据超市计划用24000元再次进货、两款男士服装可得，即可得出和的关系式； ②设利润为w元，故，再结合购进款服装数量不少于款服装的二分之三，得m的范围，又结合一次函数的性质即可判断得解． 【详解】（1）解：设A，B两款男士服装的进价分别为x元，y元，根据题意得， ， 解得， 答：A，B两款男士服装的进价分别为180元，120元 （2）解：①根据题意得， ， ∴； ②设利润为w元，则 ∵， ∴ ∵， ∴随的增大而减小， ∵ ∴ ∴， ∵为整数， ∴当时，有最大值，最大值为， 所以，超市进A款男装2件，B款男装197件，当两款服装按定价全部售完后能获得最大利润，最大利润是11960元 22．（8分）如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于两点，与轴交于点，将直线AB沿轴向下平移个单位长度得到直线，与函数的图象分别交于点D、E，直线与轴交于点． (1)求与的解析式； (2)观察图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，若的面积为4，则的值为___________ 【答案】(1)； (2) (3)2 【分析】本题考查了一次函数于反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式，熟练掌握以上知识点是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）数形结合，直接写出不等式的解集即可； （3）作，垂足为，根据直线解析式得到为等腰直角三角形，利用三角形面积求出，根据等腰直角三角形三边关系求出向下平移的单位长度即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与函数的图象交于两点， ， 解得：， ∴反比例函数解析式为：， ∵点在一次函数图象上， ∴，解得：， ． （2）解：观察图象可得，当时，的取值范围为：； （3）解：原直线向下平移个单位，得到新的直线解析式为， 如图，作，垂足为， ， ， ∵的面积为 4 ， ， 解得：， ∵直线解析式为， ∴为等腰直角三角形， ． 23．（8分）如图，在菱形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F． (1)求证：； (2)从下列条件中任选一个作为已知条件，并判断四边形的形状．请证明你的结论． ①；②． 选择的条件：_______（填写序号）． （注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)见解析 (2)若选①，则四边形为矩形，理由见解析；若选②，则四边形为矩形，理由见解析 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的判定，等边三角形的判定及性质等，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）在菱形中，，，可得，由角平分线的定义可知，，进而可知，即，可得四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）若选①，根据菱形的性质可得，，则为等边三角形，则，再根据“三线合一”得，结合（1）即可证明四边形为矩形； 若选②，根据菱形的性质可得，，再根据“三线合一”得，结合（1）即可证明四边形为矩形． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， ∴， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）若选①，则四边形为矩形，理由如下： 在菱形中，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴为等边三角形，则， 又∵平分， ∴，即， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形； 若选②，则四边形为矩形，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， 又∵平分， ∴，即， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形． 24．（10分）打印技术通过数字化建模与增材制造特性，成为传统工艺数字化升级与消费体验迭代的核心驱动力．在某次科技活动中，小明利用所学数学知识借助打印设备制作了两款水杯（分别记为1号杯和2号杯），并对两款水杯所盛水的水面高度与体积之间的数量关系进行了统计与分析： 1号水杯所盛水的水面高度与体积的关系如表： 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.45 0 2 4 m 8 9 水面高度与体积近似地满足一次函数关系． 2号水杯所盛水的水面高度与体积的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示： 请解答下列问题： (1)求的值； (2)求2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式； (3)当时，在所盛水的体积相同的情况下，_______号水杯的水面高度较高（填“1”或“2”），两个水杯水面高度差的最大值是多少？ 【答案】(1)6， (2)， (3)1，两个水杯水面高度差的最大值是1． 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的性质． （1）由表格数据可知高度与体积成正比例关系，由此即可得出答案； （2）根据待定系数法求解即可； （3）在坐标系画出两个图象，观察图象可知，当时，在上方，由此即可得出1号水杯的水面高度较高，根据函数解析式求出两个水杯水面高度差，利用二次函数的最值求解即可， 【详解】（1）解：由表格数据可知高度与体积成正比例关系，， 当时，，即． （2）由图可知：时，；时，， ∴，解得： ∴2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式是． （3）由图可知： 当时，在上方，即1号水杯的水面高度较高， 两个水杯水面高度差为 ：， 当时，的最大值为1． 即两个水杯水面高度差的最大值是1． 25．（10分）已知，如图，中，，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是N，设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式； (3)连接，是否存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)当时，四边形是平行四边形 (2)y与t之间的函数关系式为 (3)存在，或 【分析】（1）根据若四边形是平行四边形，则，列式即可求解； （2）应用相似三角形和锐角三角函数的知识求出，从而应用转换思想，由，即可求解； （3）假设存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分，设与相交于点E，则分和两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：若四边形是平行四边形，则，反之也成立， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形； （2）解：由题意得 ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴， 解得：， ， ，， ， ， ， ， ， y与t之间的函数关系式为； （3）解：存在； 假设存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分， 设与相交于点E， ①当时， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 解得：， ②当时， 同理可得：， 即， 解得：， 当的值为或时，与的交点把线段分成的两部分． 【点睛】本题考查了二次函数与平行四边形综合，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，能根据线段比值不同进行分类讨论是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（青岛专用） 考情速递 中考·新动向：2025年青岛中考数学试卷结构和难度与2024年基本持平 ，难度保持一致！2023年数学试卷满分120分，共25题：9（选择题）+6（填空题）+1作图题+9（解答题），根据最新考试信息以及模拟考试可以发现：在知识结构方面，考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，对学科基本概念、基本原理和思想方法的考查；从考查内容上看，随着数学教学的逐步深入，为体现数学课程标准对数学教学. 中考·新考法：通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度. 中考·新情境：中考数学侧重于加强对情境性问题、动手操作题、数学文化等进行综合考查，如第8题求圆中的角，用字母代替了具体的度数；第15题借助于三视图来考查几何体的表面积问题；第16题是考查利用几何工具作图，根据作图得出几何图形中的基本性质进行求解；第18题以雷锋精神为素材考查统计的知识；第20题考查了利用三角函数解决实际生活中的情景问题，体验数学是从生活中来，用数学解决生活中的问题；第22题将会重点考查反比例函数与一次函数问题、但本题没有给出图象，需要学生自己动手画出，难度中等；第23题和第24题继续考查二次函数性质与实际问题和三角形四边形的动点与函数问题，运算能力和分析能力要求比较高。 命题·大预测：在平时学习中要特别关注基础性，尤其是试卷的前5-6题直接考查基础知识，填空题的前3题，解答题的前5题，同时要注重知识的综合性迁移应用，主要是选填以及解答的压轴题。在备考中要注重知识的应用型，如本卷中的第13题一元二次方程的应用、第20题锐角三角函数的应用、第21题方程与不等式的应用、第23题二次函数的应用。在备考时，要注意数学文化的理解，在命题时一般会以数学文化为背景或在新情景下命制对概念的理解以及问题的梳理，同时掌握整体思想、数形结合、特殊值等数学思想，这些思想会蕴含于每道试题之中，尤其是解答题的最后两题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，这个数据用科学记数法表示为（   ） A．6.75×103吨 B．6.75×104吨 C．0.675×105吨 D．67.5×103吨 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，数轴上点 A 表示的数是（    ） A．3 B．3的相反数 C．3的绝对值 D．3的倒数 4．如图放置的几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点都在网格点上，将四边形平移使得点与点重合，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，为平行四边形外一点，且，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是的内接四边形，，，连接交于点．若的半径为，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且经过点下列说法中：①；②；③；④方程的两个实数根为，；⑤当时，正确的有（ ） A．有4个 B．有3个 C．有2个 D．有1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10．计算∶ ． 11．计算： ． 12．某射击俱乐部的两名学员小林和小明在练习射击，第一轮10枪打完后，两人打靶的环数如下图所示，根据图中的信息，估计小林和小明两人中成绩发挥比较稳定的是 ． 13．如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为 ． 14．如图，中，，以AB为直径的交BC于点D，过点D作的切线DE交AB的延长线于点E，若，，则切线DE的长为 ． 15．电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数． 如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷（标旗子处），其它区域表示还未掀开，问在标有“A”~“G”的七个方块中，能确定一定是地雷的有 （填方块上的字母）． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 16．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，点A为直线外一点，求作，使经过点A且与直线相切于点． 四、解答题（本大题共9个小题，17题9分、18-20题每题6分、21-23题每题8分、24-25题每题10分，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（9分）(1)解不等式组，并求出所有的整数解； (2)先化简，再从，0，2中选一个数作为的值代入求值． 18．（6分）设中学生体质健康综合评定成绩为分，满分为100分，规定：为A级，为B级，为C级，为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了_____________名学生，____________，级对应的扇形的圆心角为_______________度； (2)这组数据的中位数所在的等级是________________； (3)若该校共有3000名学生，请你估计该校综合评定成绩为D级的学生有多少名？ 19．（6分）甲、乙两人玩转盘游戏，如图转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑、白、红．游戏规则是∶转动转盘，待转盘自动停止后，其指针指向的颜色即为转出的颜色(如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次)．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．    (1)随机转动转盘一次，指针指向白色的概率是 ； (2)小明和小丽玩转盘游戏，小丽转动转盘，小明进行猜测，转动转盘前，小明想了两种猜测特征，第一种是猜测“两次转出的颜色相同”；第二种是猜测“转出的一定有黑色”．请你帮小明选择其中一种猜测特征，使他获胜的可能性更大，并说明理由． 20．（6分）随着中国经济的迅速发展和国家政策的大力支持，国产汽车在市场中的占有律越来越高．如图是某型号红旗汽车近光灯照明示意图．车主王先生发现近光灯的上行光线照射高度偏低，于是要求工程师调高高度．已知车灯离地面的距离为，有效射程为．原上行光线与水平方向的夹角为，工程师向上调高了至． (1)求灯光有效射程末端提高了多少米？ (2)现有一人骑电动车迎面刚好行驶到车灯的有效范围内，若人的眼睛到地面的距离为，调整后的车灯会不会照射到电动车驾驶员的眼睛？请说明理由．（参考数据：结果保留两位小数） 21．（8分）父亲节来临，惠客超市购进、两款男士服装．已知购进2件款和3件款共需720元，购进3件款和1件款共需660元． (1)、两款服装的进价各是多少元？ (2)由于该服装畅销，惠客超市计划用24000元再次进货、两款男士服装分别为和件，请解决： ①求和的关系式； ②惠客超市计划款服装每件定价250元售价，款产品每件定价180元销售，同时要求进货时款服装数量不少于款服装的二分之三．超市怎样进货，当两款服装按定价全部售完后能获得最大利润，最大利润是多少？ 22．（8分）如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于两点，与轴交于点，将直线AB沿轴向下平移个单位长度得到直线，与函数的图象分别交于点D、E，直线与轴交于点． (1)求与的解析式； (2)观察图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，若的面积为4，则的值为___________ 23．（8分）如图，在菱形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F． (1)求证：； (2)从下列条件中任选一个作为已知条件，并判断四边形的形状．请证明你的结论． ①；②． 选择的条件：_______（填写序号）． （注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 24．（10分）打印技术通过数字化建模与增材制造特性，成为传统工艺数字化升级与消费体验迭代的核心驱动力．在某次科技活动中，小明利用所学数学知识借助打印设备制作了两款水杯（分别记为1号杯和2号杯），并对两款水杯所盛水的水面高度与体积之间的数量关系进行了统计与分析： 1号水杯所盛水的水面高度与体积的关系如表： 水面高度与体积近似地满足一次函数关系． 2号水杯所盛水的水面高度与体积的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示： 请解答下列问题： (1)求的值； (2)求2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式； (3)当时，在所盛水的体积相同的情况下，_______号水杯的水面高度较高（填“1”或“2”），两个水杯水面高度差的最大值是多少？ 25．（10分）已知，如图，中，，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是N，设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式； (3)连接，是否存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（青岛专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B B B A D B D D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10． 11． 12．小明 13． 14． 15．B、D、F、G 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 16．解： ……………………………… 4分 四、解答题（本大题共9个小题，17题9分、18-20题每题6分、21-23题每题8分、24-25题每题10分，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（9分）（1）解： 解不等式①得：； 解不等式②得：；……………………………… 3 分 在同一数轴上表示不等式①②的解集为： ∴原不等式组的解集：， ∴不等式组所有的整数解为、0；……………………………… 5分 （2）解：原式；……………………………… 7 分 ∵，，， ∴当时，原式或当时，原式．……………………………… 9 分 18．（6分）(1)50，24，72；……………………………… 3分 (2)B级；……………………………… 4分 （3）解：（名）， 答：该校综合评定成绩为D级的学生有240名．……………………………… 6分 19．（6分）(1)……………………………… 2分 （2）选第二种“转出的一定有黑色”，理由如下： 解法一：画树状图为：    共有9种等可能的结果，两次颜色相同的有3种结果，其中一定有黑色的有5种结果， ∴，， ∵， ∴． ∴选第二种特征，才能使小明获胜的可能性更大．……………………………… 6分 20．（6分）（1）解：过点作，垂足为点， 由题意知：，，，，           ……………… 1 分          在中， ∵ ， 即 ， ∴ ，                               在中， ∵ ， 即 ， ∴ ，……………………………… 3分 ∴ ，    ∴ 有效射程末端提高了； ……………………………… 4分 （2）解：由（）知：，， ∴， ∵ ， ∴ 调整后的车灯会照射到电动车驾驶员的眼睛．……………………………… 6 分 21．（8分）（1）解：设A，B两款男士服装的进价分别为x元，y元，根据题意得， ， 解得， 答：A，B两款男士服装的进价分别为180元，120元……………………………… 2 分 （2）解：①根据题意得， ， ∴；……………………………… 4分 ②设利润为w元，则 ∵， ∴……………………………… 6 分 ∵， ∴随的增大而减小， ∵ ∴ ∴， ∵为整数， ∴当时，有最大值，最大值为， 所以，超市进A款男装2件，B款男装197件，当两款服装按定价全部售完后能获得最大利润，最大利润是11960元……………………………… 8分 22．（8分）（1）解：∵一次函数的图象与函数的图象交于两点， ， 解得：， ∴反比例函数解析式为：，……………………………… 2分 ∵点在一次函数图象上， ∴，解得：， ．……………………………… 4分 （2）；……………………………… 6分 （3）解：原直线向下平移个单位，得到新的直线解析式为， 如图，作，垂足为， ， ， ∵的面积为 4 ， ， 解得：， ∵直线解析式为， ∴为等腰直角三角形， ．……………………………… 8分 23．（8分）（1）证明：在菱形中，，， ∴， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴；……………………………… 4分 （2）若选①，则四边形为矩形，理由如下： 在菱形中，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴为等边三角形，则， 又∵平分， ∴，即， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形；……………………………… 8分 若选②，则四边形为矩形，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， 又∵平分， ∴，即， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形．……………………………… 8 分 24．（10分） （1）解：由表格数据可知高度与体积成正比例关系，， 当时，，即．……………………………… 3分 （2）由图可知：时，；时，， ∴，解得： ∴2号水杯所盛水的水面高度与体积的函数关系式是．……………………………… 6分 （3）由图可知： 当时，在上方，即1号水杯的水面高度较高， 两个水杯水面高度差为 ：， 当时，的最大值为1． 即两个水杯水面高度差的最大值是1．……………………………… 10分 25．（10分）（1）解：若四边形是平行四边形，则，反之也成立， ∵，，……………………………… 1 分 ∴， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形；……………………………… 3 分 （2）解：由题意得 ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴， 解得：， ， ，， ， ，……………………………… 4分 ， ， ， y与t之间的函数关系式为；……………………………… 6 分 （3）解：存在； 假设存在某一时刻t，使与的交点把线段分成的两部分， 设与相交于点E， ①当时， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 解得：，……………………………… 8分 ②当时， 同理可得：， 即， 解得：， 当的值为或时，与的交点把线段分成的两部分． ……………………………… 10分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$