精品解析：　山东省德州市德城区2025年九年级第一次练兵考试数学试题　

2025年九年级第一次模拟检测 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 下列各数中最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了实数的大小比较法则：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，据此判断． 【详解】∵， ∴最大的数是， 故选：D． 2. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 球 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解题的关键是了解主视图和左视图的大致轮廓为矩形的几何体为柱体． 【详解】解：根据主视图和左视图都是矩形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆柱， 故选：A． 3. 将一个含角的三角尺和直尺如图放置．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．根据直尺两边平行，求出的度数，再根据平角的性质，求解即可． 【详解】解：∵直尺对边平行， ， ． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氯化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液分别用表示，列表如下： （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） 由表可知共有12种可能的结果，其中抽到2个都是酸性溶液的情况有2种， 则抽到的2个都是酸性溶液的概率为． 故选D． 6. 下列不等式中，与组成不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可． 【详解】根据题意，可得， A、此不等式组无解，符合题意； B、此不等式组解集为，不符合题意； C、此不等式组解集为，不符合题意； D、此不等式组解集为，不符合题意； 故选：A 7. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，，交于点， ∵ ， ∴是直径， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴门洞的圆弧所对的圆心角为 ， ∴改建后门洞的圆弧长是， 故选：C． 8. 若点，是反比例函数图象上的两点，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：反比例函数的，反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，随的增大而减小， A、无法确定的正负，故无法确定，故说法不符合题意； B、当时，，，故说法正确，符合题意； C、当时，，，故说法错误，不符合题意； D、当时，，，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 9. 如图，中，，点D在的延长线上，且，与的平分线交于点E，连接，．若，，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，等腰直角三角形的判定和性质，过点E作与点P， 过点E作交的延长线与点Q，先证明，由全等三角形的性质得出，，再得出和是等腰直角三角形，进而可得出，，再证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：过点E作与点P， 过点E作交的延长线与点Q，如下图： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， 由勾股定理可得出：，， ∴，， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，D的坐标分别为，，则二次函数与矩形有交点时m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，运用数形结合的思想是解决问题的关键． 先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点在矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于m的方程求解，最后总结得出m的范围即可． 【详解】解：将配成顶点式：， 此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定， 则此二次函数的顶点在直线的直线运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数的经过点，此时取最小值， 将代入得： ， 解得：，（舍去）， 则的最小值是， 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点在矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得： ， 解得：，（舍去） ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，共20分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为： 12. 如图，在平面直角坐标系中，的边，的中点的横坐标分别是，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了坐标 于图形，中位线的判定和性质，掌握两点之间距离的计算，中位线是关键． 根据题意得到，且是中位线，则即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵点的横坐标分别是， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 13. 已知为正整数，且，写出一个满足条件的的值________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查不等式性质，二次根式的性质，熟练掌握不等式的性质和二次根式的性质是解题的关键．先利用不等式性质变形为，再利用二次根式的性质得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴的值可以为或或或， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，两点中点坐标公式，熟知反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 由平移的性质可得，设，则，则，，，由两点中点坐标公式得到，则由待定系数法可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， 点A的坐标是，点B的坐标是， ． 设，则 ，，． 点F为中点， ． 函数的图象经过点C和点F， ． 解得． ． 故答案为∶6． 15. 如图，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点D，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点E，则________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接，，由作图得到，，求出，，证明出，得到，整理得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接， 由作图可得，垂直平分 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴，即 整理得， ∴ 解得或（舍去） ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，尺规作中垂线等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算乘方、零指数幂与负整数指数幂，再计算加减法即可得； （2）先计算括号内的分式减法，再将分式的除法转化为分式的乘法，计算分式的乘法即可得． 【详解】解：（1） ． （2） ． 17. 如图，，点在同一直线上，连接．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质，利用全等三角形的性质证明四边形是平行四边形即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 18. 非物质文化遗产（简称“非遗”）进校园是对文化传承的担当，是对文化自信的增强，为了了解学生对“非遗”知识的认知情况，我校举行有关“非遗”的知识测试活动，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级20名学生的测试成绩为： 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． 八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示： 七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 7 八年级 8 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中_______，_______，_______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“非遗”知识的认知情况较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）我校七、八年级共220名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ 【答案】（1）7.5；7；7.5 （2）八年级的学生对“非遗”知识的认知情况较好，理由见解析 （3）198人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数的意义． （1）根据中位数、众数、平均数的计算方法求解即可得出a、b、c的值； （2）从中位数、众数的角度调查结论即可； （3）用总人数乘以七、八年级的总体合格率即可． 小问1详解】 解：， 七年级学生成绩出现次数最多的是7分，共出现6次，则， ， 故答案为：7.5；7；7.5； 【小问2详解】 解：八年级的学生对“非遗”知识的认知情况较好，理由如下： 八年级的学生成绩的中位数、众数都比七年级学生的高； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是198人． 19. 某电力部门在某地安装了一批风力发电机，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，形成了如下实践报告： 【测量对象】风力发电机的塔杆高度． 【测量工具】测角仪、激光测距仪等． 【测量活动】利用激光测距仪测得斜坡长为20米，坡底与塔杆底距离米；利用测角仪测得斜坡的坡角为，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为．（图中各点均在同一竖直平面内，） 【问题解决】请根据以上测量数据，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位：参考数据：，，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案． 【详解】解：过点D作于点F，作于点H 由题意得：， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴ 在中， ∵， ∴ ∴ 答：该风力发电机塔杆的高度为． 20. 随着新能源技术日益发展与提升，新能源汽车深受广大民众的喜爱．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌新能源汽车进行了调查研究，绘制的汽车电池充电量（单位：）与充电时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）该品牌新能源汽车的最大充电量为，为保证汽车的正常行驶，在最低电量不低于的情况下汽车就要及时充电．如果在电池的电量剩余时，对汽车开始充电，求电池充满电量需要的时间． 【答案】（1） （2）电池充满电需要 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出充电前车上剩余的电量所占的充电时间，再求出时的充电时间，两者相减即可得到充满电量需要多少时间． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 将和代入， 得， 解得， ∴与之间的函数表达式为． 【小问2详解】 解：开始充电时，汽车的剩余电量为：， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴（分钟）， ∴电池充满电需要． 21. 如图，内接于，，连接，过点C作的切线，与的延长线交于点D． （1）求证：； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质，以及圆周角定理得到，，再利用平行线判定证明，即可解题； （2）过点A作交于点F，结合平行线性质，以及直角三角形性质得到，再证明四边形是正方形，结合正方形性质，以及进行求解，即可解题． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：过点A作交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴． ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线判定与性质，直角三角形性质，正方形判定与性质，扇形面积公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 22. 已知二次函数的图像经过点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式． （2）若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围． （3）若把二次函数的图像沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论． （1）将，代入，利用待定系数法求出函数解析式； （2）先求得二次函数的开口向上，顶点坐标为，当时，，由二次函数的对称轴为直线，可得当或时，，求出的取值范围； （3）根据函数的性质，图像向左或向右平移，在自变量的值满足的情况下，对应的函数的最小值求出的值． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ，解得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：， 二次函数的开口向上，顶点坐标为， 当时，， 二次函数的对称轴为直线， 当或时，， 在范围内二次函数有最大值为，最小值为， ； 【小问3详解】 解：由（2）可得的对称轴为1， 且抛物线在范围内随的增大而增大， 抛物线在时有最小值为， ①向左平移个单位，即当时，存在与其对应的函数值的最小值， ， 将代入得：， 或， 向左平移， ， ； ②向右平移个单位，当平移后对称轴在2左边时，即，函数在处取得最小值， 即， 解得：，都不符合题意； 当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值； 当平移后对称轴在3右边时，即时，函数在时，存在的最小值， ， 解得：，，（舍去） ， 综上所述，或． 23. 以下是人教版九年级下册教材《相似》一章的某个练习题： 如图，...中，CD是斜边AB上的高，求证： （1）；（2）． 小明针对该习题进行了拓展研究，提出了如下问题，请尝试解决． 在中，点D为边上一点，连接． （1）已知． ①如图1，请找到一组相似的三角形，并证明； ②若点D为的三等分点，，求的长； （2）如图2，点E为中点，连接，若，，，直接写出的长：________． 【答案】（1）①，见解析；②CD的长为4或 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得证；②设，，由（1）中相似，得，分点是靠近点的三等分点，和靠近点的三等分点，从而根据相似三角形的性质得，求解即可得到答案； （2）作于点，连接，由，得，，则，求得，由点为中点，点为中点，得，则，所以，而，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【小问1详解】 ①，证明如下： ， 又， ∴ ②， 则 即，设，， 如图，当点是靠近点的三等分点时， 则，则 ， ，， 则有，解得； 当点是靠近点的三等分点时， 则，则 ， ，， 则有， 解得 ∴的长为或； 【小问2详解】 解：作于点，连接，则， ， ，， ，， ， 点为中点，点为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级第一次模拟检测 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 下列各数中最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 球 3. 将一个含角的三角尺和直尺如图放置．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氯化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 7. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是（ ） A. B. C. D. 8. 若点，是反比例函数图象上的两点，下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当时， 9. 如图，中，，点D在的延长线上，且，与的平分线交于点E，连接，．若，，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，D的坐标分别为，，则二次函数与矩形有交点时m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，共20分） 11. 因式分解：________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的边，的中点的横坐标分别是，则________． 13. 已知为正整数，且，写出一个满足条件的值________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移一定距离，得到，点F为中点，函数的图象经过点C和点F，则k的值是________． 15. 如图，，分别以点A和B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点D，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点E，则________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 如图，，点在同一直线上，连接．判断与的数量关系，并说明理由． 18. 非物质文化遗产（简称“非遗”）进校园是对文化传承担当，是对文化自信的增强，为了了解学生对“非遗”知识的认知情况，我校举行有关“非遗”的知识测试活动，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级20名学生的测试成绩为： 7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． 八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示： 七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 7 八年级 8 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中_______，_______，_______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“非遗”知识的认知情况较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）我校七、八年级共220名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？ 19. 某电力部门在某地安装了一批风力发电机，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，形成了如下实践报告： 【测量对象】风力发电机塔杆高度． 【测量工具】测角仪、激光测距仪等． 【测量活动】利用激光测距仪测得斜坡长为20米，坡底与塔杆底的距离米；利用测角仪测得斜坡的坡角为，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为．（图中各点均在同一竖直平面内，） 【问题解决】请根据以上测量数据，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位：参考数据：，，，） 20. 随着新能源技术的日益发展与提升，新能源汽车深受广大民众的喜爱．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对某品牌新能源汽车进行了调查研究，绘制的汽车电池充电量（单位：）与充电时间（单位：）之间的关系如图所示． （1）求与之间的函数表达式； （2）该品牌新能源汽车的最大充电量为，为保证汽车的正常行驶，在最低电量不低于的情况下汽车就要及时充电．如果在电池的电量剩余时，对汽车开始充电，求电池充满电量需要的时间． 21. 如图，内接于，，连接，过点C作切线，与的延长线交于点D． （1）求证：； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22. 已知二次函数的图像经过点，与轴交于点． （1）求二次函数的表达式． （2）若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围． （3）若把二次函数的图像沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值． 23. 以下是人教版九年级下册教材《相似》一章的某个练习题： 如图，...中，CD是斜边AB上的高，求证： （1）；（2）． 小明针对该习题进行了拓展研究，提出了如下问题，请尝试解决． 在中，点D为边上一点，连接． （1）已知． ①如图1，请找到一组相似的三角形，并证明； ②若点D为的三等分点，，求的长； （2）如图2，点E为中点，连接，若，，，直接写出的长：________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$