信息必刷卷05（湖南长沙专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（湖南长沙专用） 考情速递 中考·新动向： 1. 命题导向调整 强化核心素养：注重数学应用能力、逻辑推理、数据分析等核心素养的考查，减少机械记忆类题目。 贴近生活情境：增加现实背景题（如环保、经济、科技等），要求学生将数学知识应用于实际问题。 跨学科融合：可能出现与物理、地理等学科结合的综合性题目（如坐标系与地图结合、函数与运动问题）。 2. 题型与分值微调 基础题占比提升：简单题和中档题占比约80%，难题适当减少，但更注重思维深度。 解答题创新：可能新增“说理题”或“探究题”，要求写出解题思路或验证过程（例如几何证明的逻辑严谨性）。 压轴题灵活性增强：函数与几何综合题的开放性和复杂度可能提高，需掌握动态分析能力（如动点问题、最值问题）。 中考·新考法： 1. 数学文化渗透：可能涉及数学史或传统文化中的数学问题，如从《九章算术》、《周脾算经》、《孙子算经》中选取一段素材来进行命题。 2. 多知识点整合：代几综合性大题，串联抛物线、三角函数、三角形、四边形、圆等性质，要求学生具备跨章节知识迁移能力。 3. 结合社会热点：结合社会热点问题设计试题，如以Deepseek为背景考查统计思想和概率意义，增强学生的科技兴国意识。 4. 命题·大预测： 1. 基础性与综合性并重：试卷将保持一定比例的基础性试题，考查学生对数学基础知识和基本技能的拿握。同时，综合性试题的比例将有所增加，这类试题将涉及多个知识点和数学思想方法，要求学生具备较强的综合运用能力 2. 强调数学应用：应用性试题将继续成为中考数学的重点，考查学生将数学知识应用于实际问题的能力。试题情境将更加贴近生活实际和社会发展，要求学生能够运用数学思维和方法解法现实生活中的问题。 3. 突出创新性：为了适应新时代对创新人才的需求，中考数学命题将更加注重考查学生的创新意识和创新能力。试题将呈现一定的新颖性，如新的题型、新的情境、新的考查方式等鼓励学生突破传统思维，勇于创新。 4. 加强学科内知识的融合：数学学科内的各知识点之间的融合将更加紧密，如函数与几何的结合、函数与方程的联系等。试题将通过不同的知识点之间的交叉和联系，考查学生对数学知识的整体把握和灵活运用能力。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个实数中，无理数是　　 A． B． C．3.1415 D． 【解答】解：是分数，3.1415是有限小数，是整数，它们不是无理数， 是无限不循环小数，它是无理数， 故选：． 2．下列基本几何体中，从正面、上面、左面观察都是相同图形的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：圆柱的主视图、左视图是长方形的，而俯视图是圆形的，因此选项不符合题意； 三棱柱的主视图、左视图是长方形的，而俯视图是三角形的，因此选项不符合题意； 球体的三视图都是圆形的，因此符合题意； 六棱柱的主视图、左视图是长方形的，而俯视图是六边形的，因此选项不符合题意； 故选：． 3．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，则不符合题意； ，则不符合题意； ，则符合题意； ，不是同类项，无法合并，则不符合题意； 故选：． 4．《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书共731017个字，把这个数改写成精确到万位的近似数是　　 A．73万 B．73.1万 C．73.10万 D．73.102万 【解答】解：数731017改写成精确到万位的近似数是73万． 故选：． 5．将一副直角三角板作如图所示摆放，，，，则下列结论不正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、， ， 故不符合题意； 、， ， 故不符合题意； 、过点作，如图， ， ， ， ， ， ； 故符合题意； 、，， ， ， 故不符合题意． 故选：． 6．为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是　　 A．此次调查属于全面调查 B．样本容量是300 C．2000名学生是总体 D．被抽取的每一名学生称为个体 【解答】解：、此次调查属于抽样调查，故不符合题意； 、样本容量是300，故符合题意； 、2000名学生的视力情况是总体，故不符合题意； 、被抽取的每一名学生的视力情况称为个体，故不符合题意； 故选：． 7．如图，在矩形中，过的中点作，交于点，交于点，连接，．若，，则的长为　　 A． B．2 C．3 D． 【解答】解：四边形是矩形 ， ， 是的中点， ， 在△和△中， ， △△， ， ， 四边形是菱形， ， ， △是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故选：． 8．如图，为的直径，弦于点．若，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：设， ， 直径， ， ， ， ， ． 故选：． 9．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B．， C． D．， 【解答】解：如图所示，作轴于，轴于，则， ， 的坐标为， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ，． 故选：． 10．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤若为任意实数，则．其中正确的是　　 A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【解答】解：①抛物线开口向下，则， 抛物线对称轴位于轴右侧，则，异号，即， 抛物线与轴交于正半轴，则，所以， 故①错误； ②抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在的右侧， 当时，， ， 故②正确； ③抛物线对称轴为直线， ，即， 故③错误； ④由题意可得：， ， 故④正确； ⑤由题意可得：函数的最大值为：， ，即， 故⑤正确． 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．因式分解　　． 【解答】解：． 故答案为：． 12．已知代数式，则的值是 　　． 【解答】解：， ， 当时，原式． 故答案为：． 13．已知圆锥底面圆直径是8，圆锥的母线长为6，则这个圆锥的侧面积是 　　． 【解答】解：由题意，得：这个圆锥的侧面积是； 故答案为：． 14．如图，如果△△，，，那么的度数是 　　． 【解答】解：，， ， △△， ． 故答案为：． 15．一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是 　　 ． 【解答】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有4种， 两次摸出的球都是“红球”的概率是， 故答案为：． 16．在密码学中，把直接可以看到的内容称为明码，对明码进行某种处理后得到的内容称为密码．有一种密码，将英文26个字母，，，依次对应1、2、3，，26这26个自然数，如表，当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号．按该规定，将明码“”译成密码（密码是字母）是 　　． 字母 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 【解答】解：明码中对应序号为25，故密码对应的序号为，对应的字母为， 明码中对应序号为1，故密码对应的序号为，对应的字母为， 明码中对应序号为14，故密码对应的序号为，对应的字母为， 明码中对应序号为15，故密码对应的序号为，对应的字母为， 将明码“”译成密码是； 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算：． 【解答】解：原式． 18．先化简，再求值：，其中． 【解答】解： ， 当时，原式． 19．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为． （1）求点到墙面的距离； （2）当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为1.8米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到0.1米；参考数据：，， 【解答】解：（1）过点作，垂足为， 在△中，米，， （米， 点到墙面的距离约为4.8米； （2）过点作，垂足为， 由题意得：，米， 米， （米， 在△中，， （米， 米， 在△中，米，， （米， （米， 遮阳篷靠墙端离地高的长为4.4米． 20．为提高中学生体质健康水平，某校开展“锻炼身体，呵护健康”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成、、、、五个等级进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中共抽取了多少名学生？ （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中等级所对应的圆心角的度数； （4）若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为和等级的学生共有多少名？ 【解答】解：（1）（人， 答：本次调查中共抽取了100名学生． （2）等的人数为：（人， 等的人数为：（人， 补全的条形统计图如图所示： （3）等级所对应的圆心角的度数：， 答：等级所对应的圆心角的度数． （4）（人， 答：估计这次竞赛成绩为和等级的学生共有792名． 21．如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若正方形的面积为72，，求菱形的面积． 【解答】（1）证明：菱形的对角线和交于点， ，，， ， ， 又， 四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是正方形； （2）解：正方形的面积为72， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积． 22．冬季来临，羽绒服成为了街头巷尾的主角，羽绒服一般分为鸭绒服和鹅绒服两种，某羽绒服工厂生产了一批鸭绒服和鹅绒服，鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件． （1）求鸭绒服、鹅绒服的单价分别是多少元？ （2）某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，在该工厂购进鸭绒服、鹅绒服共60件进行销售，并将鸭绒服、鹅绒服的售价分别定为每件520元、600元，求服装城应如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少？（假设购进的两种羽绒服全部销售完） 【解答】解：（1）设鸭绒服的单价为每件元，则：鹅绒服每件元， ， （舍去）或； 经检验，是原方程的解， ， 答：鸭绒服的单价为每件450元，鹅绒服每件500元； （2）设购进鸭绒服件， ， ； 设总利润为，则：， ， ， 随着的增大而减小， ， 当时，有最大值为：； 故各30件时，利润最大，为5100元． 23．如图，为等腰三角形的外接圆，，延长交于点，过点作的垂线，交于点，交于点，交于点，交过点且与平行的直线于点，连结． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求和的大小； （3）若，，求的长． 【解答】解：（1）与相切，理由如下： 为等腰的外接圆，，延长交于点， ，， ， ， 为的半径， 是的切线， 即与相切； （2），，， ， ， ， ， ， ， ； （3）设，则，， 在中，， ， ， ， 在中，，， ， 在中，由勾股定理得：， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 设为，连接，如图所示： 则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故的长为． 24．定义：有一组对角互补且一组邻边相等的四边形叫做“完美四边形”． （1）如图1，四边形是的内接四边形，且对角线平分，四边形　是　（填“是”或者“不是” “完美四边形”，若，且，则的直径为 　　； （2）如图2，四边形中，平分，于，．求证：四边形为“完美四边形“； （3）如图3，在“完美四边形” 中，，，，对角线与相交于点，设，，求与的函数关系式，并求的最大值． 【解答】（1）解：连接，如图， 四边形是的内接四边形， ． 平分， ， ， ． 四边形是” “完美四边形”． ， 为的直径， ， ， 为等腰直角三角形， ． 的直径为． 故答案为：是；； （2）证明：过点作，交的延长线于点，如图， 平分，，， ． ，， ， 四边形的内角和为， ． 在和中， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形为“完美四边形“； （3）解：四边形是“完美四边形” ， 四边形是圆内接四边形， 作出四边形的外接圆，如图， ，， 为等边三角形， ． ，． 过点作 于点， 则，， ， ． ，， ， ， ， ， ， ， 整理得：． ， 又， 当时，有最小值为2． 25．已知抛物线，直线． （1）若该抛物线与轴交点的纵坐标为3，求该抛物线的顶点坐标； （2）在第（1）条件下，将函数图象轴上方部分沿轴向下翻折，得到的新图象与直线恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为，，，，当以为直径的圆与轴相切时，求的值； （3）若该抛物线经过点，且对任意实数，不等式都成立；当时，恰好有，求直线的解析式． 【解答】解：（1）将代入抛物线， ，解得， 抛物线， 抛物线的顶点坐标为． （2）由题意可知，图象翻折后得到的函数解析式为：，对称轴为直线，如图， 以为直径的圆与轴相切， ，的中点坐标为，， 将代入， ， 解得（舍去）或． 的值为． （3）抛物线经过点，且对任意实数，不等式都成立， 为抛物线的顶点， ， 解得或， ， ． 抛物线的解析式为：，顶点坐标为， 当时，恰好有， ，， ，即， ， ， ， 构造函数，当时，随的增大而减小，抛物线顶点恰好在该函数的图象上，如图所示， ，为抛物线与的另一个交点横坐标， ，即， 整理得， 解得，，（不合题意，舍去）． ． 直线的解析式为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（湖南长沙专用） 考情速递 中考·新动向： 1. 命题导向调整 强化核心素养：注重数学应用能力、逻辑推理、数据分析等核心素养的考查，减少机械记忆类题目。 贴近生活情境：增加现实背景题（如环保、经济、科技等），要求学生将数学知识应用于实际问题。 跨学科融合：可能出现与物理、地理等学科结合的综合性题目（如坐标系与地图结合、函数与运动问题）。 2. 题型与分值微调 基础题占比提升：简单题和中档题占比约80%，难题适当减少，但更注重思维深度。 解答题创新：可能新增“说理题”或“探究题”，要求写出解题思路或验证过程（例如几何证明的逻辑严谨性）。 压轴题灵活性增强：函数与几何综合题的开放性和复杂度可能提高，需掌握动态分析能力（如动点问题、最值问题）。 中考·新考法： 1. 数学文化渗透：可能涉及数学史或传统文化中的数学问题，如从《九章算术》、《周脾算经》、《孙子算经》中选取一段素材来进行命题。 2. 多知识点整合：代几综合性大题，串联抛物线、三角函数、三角形、四边形、圆等性质，要求学生具备跨章节知识迁移能力。 3. 结合社会热点：结合社会热点问题设计试题，如以Deepseek为背景考查统计思想和概率意义，增强学生的科技兴国意识。 4. 命题·大预测： 1. 基础性与综合性并重：试卷将保持一定比例的基础性试题，考查学生对数学基础知识和基本技能的拿握。同时，综合性试题的比例将有所增加，这类试题将涉及多个知识点和数学思想方法，要求学生具备较强的综合运用能力 2. 强调数学应用：应用性试题将继续成为中考数学的重点，考查学生将数学知识应用于实际问题的能力。试题情境将更加贴近生活实际和社会发展，要求学生能够运用数学思维和方法解法现实生活中的问题。 3. 突出创新性：为了适应新时代对创新人才的需求，中考数学命题将更加注重考查学生的创新意识和创新能力。试题将呈现一定的新颖性，如新的题型、新的情境、新的考查方式等鼓励学生突破传统思维，勇于创新。 4. 加强学科内知识的融合：数学学科内的各知识点之间的融合将更加紧密，如函数与几何的结合、函数与方程的联系等。试题将通过不同的知识点之间的交叉和联系，考查学生对数学知识的整体把握和灵活运用能力。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列四个实数中，无理数是　　 A． B． C．3.1415 D． 2．下列基本几何体中，从正面、上面、左面观察都是相同图形的是　　 A． B． C． D． 3．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 4．《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书共731017个字，把这个数改写成精确到万位的近似数是　　 A．73万 B．73.1万 C．73.10万 D．73.102万 5．将一副直角三角板作如图所示摆放，，，，则下列结论不正确的是　　 A． B． C． D． 6．为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的2000名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是　　 A．此次调查属于全面调查 B．样本容量是300 C．2000名学生是总体 D．被抽取的每一名学生称为个体 7．如图，在矩形中，过的中点作，交于点，交于点，连接，．若，，则的长为　　 A． B．2 C．3 D． 8．如图，为的直径，弦于点．若，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B．， C． D．， 10．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤若为任意实数，则．其中正确的是　　 A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．因式分解　　． 12．已知代数式，则的值是 　　． 13．已知圆锥底面圆直径是8，圆锥的母线长为6，则这个圆锥的侧面积是 　　． 14．如图，如果△△，，，那么的度数是 　　． 15．一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是 　　 ． 16．在密码学中，把直接可以看到的内容称为明码，对明码进行某种处理后得到的内容称为密码．有一种密码，将英文26个字母，，，依次对应1、2、3，，26这26个自然数，如表，当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号．按该规定，将明码“”译成密码（密码是字母）是 　　． 字母 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为． （1）求点到墙面的距离； （2）当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为1.8米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到0.1米；参考数据：，， 20．（8分）为提高中学生体质健康水平，某校开展“锻炼身体，呵护健康”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成、、、、五个等级进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查中共抽取了多少名学生？ （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中等级所对应的圆心角的度数； （4）若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为和等级的学生共有多少名？ 21．（8分）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若正方形的面积为72，，求菱形的面积． 22．（9分）冬季来临，羽绒服成为了街头巷尾的主角，羽绒服一般分为鸭绒服和鹅绒服两种，某羽绒服工厂生产了一批鸭绒服和鹅绒服，鹅绒服的单价比鸭绒服的单价贵50元，消费者在该工厂用1800元购买鸭绒服的数量比用1500元购买鹅绒服的数量多一件． （1）求鸭绒服、鹅绒服的单价分别是多少元？ （2）某服装城打算使用不超过28500元的进货资金，在该工厂购进鸭绒服、鹅绒服共60件进行销售，并将鸭绒服、鹅绒服的售价分别定为每件520元、600元，求服装城应如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少？（假设购进的两种羽绒服全部销售完） 23．（9分）如图，为等腰三角形的外接圆，，延长交于点，过点作的垂线，交于点，交于点，交于点，交过点且与平行的直线于点，连结． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求和的大小； （3）若，，求的长． 24．（10分）定义：有一组对角互补且一组邻边相等的四边形叫做“完美四边形”． （1）如图1，四边形是的内接四边形，且对角线平分，四边形　　（填“是”或者“不是” “完美四边形”，若，且，则的直径为 　　； （2）如图2，四边形中，平分，于，．求证：四边形为“完美四边形“； （3）如图3，在“完美四边形” 中，，，，对角线与相交于点，设，，求与的函数关系式，并求的最大值． 25．（10分）已知抛物线，直线． （1）若该抛物线与轴交点的纵坐标为3，求该抛物线的顶点坐标； （2）在第（1）条件下，将函数图象轴上方部分沿轴向下翻折，得到的新图象与直线恒有四个交点，从左到右，四个交点依次记为，，，，当以为直径的圆与轴相切时，求的值； （3）若该抛物线经过点，且对任意实数，不等式都成立；当时，恰好有，求直线的解析式． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（湖南长沙专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C A C B B B D B 二、填空题：本大题共4小题，每小题2分，共8分，请把答案直接填写在横线上 11． 12． 13． 14． 15． 16． 三、解答题:本大题有9个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分） 【答案】． 【解析】解：原式 ． 18．（6分） 【答案】13． 【解答】解： ， 当时，原式． 19．（6分） 【答案】（1）点到墙面的距离约为4.8米；（2）遮阳篷靠墙端离地高的长为4.4米． 【解析】解：（1）过点作，垂足为， 在△中，米，， （米， 点到墙面的距离约为4.8米； （2）过点作，垂足为， 由题意得：，米， 米， （米， 在△中，， （米， 米， 在△中，米，， （米， （米， 遮阳篷靠墙端离地高的长为4.4米． 20．（8分） 【答案】（1）本次调查中共抽取了100名学生；（2）补全的条形统计图见解析； （3）等级所对应的圆心角的度数；（4）估计这次竞赛成绩为和等级的学生共有792名． 【解析】解：（1）（人， 答：本次调查中共抽取了100名学生． （2）等的人数为：（人， 等的人数为：（人， 补全的条形统计图如图所示： （3）等级所对应的圆心角的度数：， 答：等级所对应的圆心角的度数． （4）（人， 答：估计这次竞赛成绩为和等级的学生共有792名． 21．（8分） 【答案】（1）证明见解答过程；（2）24． 【解析】（1）证明：菱形的对角线和交于点， ，，， ， ， 又， 四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是正方形； （2）解：正方形的面积为72， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积． 22．（9分） 【答案】（1）鸭绒服的单价为每件450元，鹅绒服每件500元； （2）当购进鸭绒服和鹅绒服各30件时，利润最大，为5100元． 【解析】解：（1）设鸭绒服的单价为每件元，则：鹅绒服每件元， ， （舍去）或； 经检验，是原方程的解， ， 答：鸭绒服的单价为每件450元，鹅绒服每件500元； （2）设购进鸭绒服件， ， ； 设总利润为，则：， ， ， 随着的增大而减小， ， 当时，有最大值为：； 故各30件时，利润最大，为5100元． 23．（9分） 【答案】（1）是的切线；（2），；（3）． 【解析】解：（1）与相切，理由如下： 为等腰的外接圆，，延长交于点， ，， ， ， 为的半径， 是的切线， 即与相切； （2），，， ， ， ， ， ， ， ； （3）设，则，， 在中，， ， ， ， 在中，，， ， 在中，由勾股定理得：， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 设为，连接，如图所示： 则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故的长为． 24．（10分） 【答案】（1）是；；（2）证明见解析；（3），有最小值为2． 【解析】（1）解：连接，如图， 四边形是的内接四边形， ． 平分， ， ， ． 四边形是” “完美四边形”． ， 为的直径， ， ， 为等腰直角三角形， ． 的直径为． 故答案为：是；； （2）证明：过点作，交的延长线于点，如图， 平分，，， ． ，， ， 四边形的内角和为， ． 在和中， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形为“完美四边形“； （3）解：四边形是“完美四边形” ， 四边形是圆内接四边形， 作出四边形的外接圆，如图， ，， 为等边三角形， ． ，． 过点作 于点， 则，， ， ． ，， ， ， ， ， ， ， 整理得：． ， 又， 当时，有最小值为2． 25．（10分） 【答案】（1）； （2）； （3）直线的解析式为：． 【解析】解：（1）将代入抛物线， ，解得， 抛物线， 抛物线的顶点坐标为． （2）由题意可知，图象翻折后得到的函数解析式为：，对称轴为直线，如图， 以为直径的圆与轴相切， ，的中点坐标为，， 将代入， ， 解得（舍去）或． 的值为． （3）抛物线经过点，且对任意实数，不等式都成立， 为抛物线的顶点， ， 解得或， ， ． 抛物线的解析式为：，顶点坐标为， 当时，恰好有， ，， ，即， ， ， ， 构造函数，当时，随的增大而减小，抛物线顶点恰好在该函数的图象上，如图所示， ，为抛物线与的另一个交点横坐标， ，即， 整理得， 解得，，（不合题意，舍去）． ． 直线的解析式为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$