高二数学月考卷01（新高考通用，计数原理+随机变量及其分布列+统计）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：计数原理+随机变量及其分布列+统计。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．5名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（   ） A．6 B．120 C．125 D．243 【答案】D 【详解】依题意，每名男生都可以报名参加3个运动队中的任何一个，且每人限报其中的一个， 故每名男生的报名方法都是3种，因此5名男生的不同报法种数为. 故选：D. 2．设随机变量，，则（    ） A．0.25 B．0.35 C．0.3 D．0.7 【答案】B 【详解】因为随机变量，， 所以. 故选：B. 3．在的展开式中，常数项为75，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】常数项为，解得. 故选：D. 4．长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色．某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（    ） A．90 B．120 C．150 D．180 【答案】A 【详解】将6种美食平均分成3组，有种不同的分法， 该游客每天选择其中一组美食进行品尝，有种不同的选法， 所以这三天他选择美食的不同选法种数为种. 故选：A 5．已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（    ） A．0.206 B． C．0.596 D． 【答案】D 【详解】由表格中数据得， ， 代入方程得，，解得，因此. 由两边取对数，得. 又，所以，，即. 故选：D 6．已知随机变量，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意由可得； 由可得，即； 所以， 解得，即A、C、D均错误； 易知，即B正确. 故选：B 7． 260班和261班举行射击比赛，两班各选出一名射手，射手甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件“甲中靶”，“乙中靶”，“弓箭靶被射中”， 则，，所以，，． 所以． 所以． 故选：A 8．端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（    ） A．当时，随机变量服从两点分布 B．随着的增大，减少，增加 C．当时，随机变量服从二项分布 D．随着的增大，增加，减小 【答案】B 【详解】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即. 故A，C错误. 其中，其中，且，. 故从甲礼盒取粽子，相当于从含有个肉粽的个粽子中取1粽子，取到肉粽个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以， 随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故B正确，D错误. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某学校为了调查学生对“只要学习够努力，成绩一定有奇迹”这句话的认可程度，随机调查了90名本校高一、高二的学生，得到如下列联表．用样本估计总体，则下列说法正确的是(参考数据：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d，P(χ2≥6.635)＝0.010，P(χ2≥10.828)＝0.001)（    ） 认可 不认可 总计 高一 20 20 40 高二 40 10 50 总计 60 30 90 A．高一高二大约有66.7%的学生认可这句话 B．高一高二大约有99%的学生认可这句话 C．依据α＝0.01的独立性检验，认为学生对这句话认可与否与年级有关 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为学生对这句话认可与否与年级无关 【答案】AC 【详解】随机调查了90名学生，其中一共有60名学生认可，所以认可率大约为66.7%，χ2＝＝＝9.因为6.635<9<10.828，故C正确，D错误．故选AC. 10．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ） A．恰有3个白球的概率为 B．取出的最大号码X服从超几何分布 C．设取出的黑球个数为Y，当时，概率最大 D．若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意可知恰有3个白球的概率为，故A正确； 对于D，若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大为取出4个白球， 其概率为，故D正确； 对于B，因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象，不满足超几何分布的定义， 故X不服从超几何分布，故B错误， 对于C，取出的黑球个数Y服从超几何分布， 易知 ，显然当时，概率最大，故C正确； 故选：ACD 11．将这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则这样的数列共有360个 B．若该数列恰好先增后减，则这样的数列共有64个 C．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有144个 D．若，，，则这样的数列共有71个 【答案】ACD 【详解】对于A：由于为奇数，根据对称性可知这样的数列有个，故A正确； 对于B：从中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 从中选出2个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 从中选出3个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 从中选出4个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 从中选出5个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有个； 故满足条件的总个数为：个，故B错误． 对于C：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻， 则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故C正确； 对于D：若，则先从其余6个数中任选2个数作为且，有种方法， 剩余4个数中最大的为，剩下的3个数任取2个作为且，有种方法， 则这样的数列有个， 若，则先从除去1之外的5个数中任选2个数作为且，有种方法， 剩余4个数中最大的为，，剩下的2个数任取1个作为或即可，有种方法，则这样的数列有个， 若，则先从除去1、2之外的4个数中任选2个数作为且，有种方法， 剩余4个数位置固定的一种排法，其中，则这样的数列有个， 所以满足条件的这样的数列共有个，故D正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，含项的系数为 . 【答案】15 【详解】由题意，项的系数为. 故答案为：15. 13．小智参加三分投篮比赛，每投一次，投中得1分，投不中扣1分，已知小智投篮的命中率为，记小智投篮三次后的总分数为随机变量，则为 ． 【答案】/ 【详解】根据题意，的可能取值为，，1，3， ， ， 则 ， 所以，所以 ． 故答案为： 14．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 . 【答案】 或 【详解】抛一次骰子得1分的概率为，得3分的概率为， 的可能取值为，，， ， 则随机变量的期望是； 记得1分的次数为，则得3分的次数为， 因此抛掷50次骰子，所得总分为， 则得1分的次数为次时总分得n分的概率为，，若取最大，则 ，可得， 因为，所以，或， 当时，， 当时，， 故答案为：①；②或. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）春节将至，某商家统计了去年某商品的日营销费用x（单位：百元）与日销售量y（单位：百件），为今年的营销方案制定提供相关的数据参考，得到的数据如下表： 日营销费用x/百元 2 3 4 5 6 日销售量y/百件 1 1.1 1.5 1.8 2.1 已知y与x线性相关. (1)根据上表数据，求y关于x的经验回归方程； (2)请利用（1）中的经验回归方程，试估计当今的日销售费用为1000元时，日销售量为多少百件. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（）.其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【详解】（1）， ，…… (4分) 则， 所以 故关于的经验回归方程为. …… (10分) （2）将代入，得， 故当今年的日营销费用为1000元时，日销售量约为3.24百件. …… (13分) 16．（15分）北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 【详解】（1）选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率. …… (4分) （2）的取值为100，80，60，40， ， ， ， . 所以的分布列为 …… (15分) 100 80 60 40 17．（15分）已知展开式的各二项式系数和为512，且． (1)求；（结果保留指数幂形式） (2)求的值； (3)求证：能被6整除． 【详解】（1）由题意可知，，得，…… (2分) ， 令，得，令，得， 所以； …… (6分) （2）令，得， 则， 则； …… (10分) （3）， ， 其中每一项都能被整除， 所以能被6整除. …… (15分) 18．（17分）2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为. (1)令，则，且，求，并证明：； (2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题. （ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列； （ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由. 参考数据：，则，，. 【详解】（1）， 又， 所以. 因为，根据正态曲线对称性，， 又因为，所以. …… (4分) （2）， . 令，得. 当时，，在上为增函数； 当时，，在上为减函数. 所以的最大值点，从而. …… (8分) （ⅰ）的可能取值为3，2，1，0. ，， ，， 所以的分布列为 …… (13分) 3 2 1 0 （ⅱ）若，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分， 则11轮过后的总积分是28分，，所以，1班如果第10轮积3分， 则可提前一轮夺得冠军，其概率为. …… (17分) 19．（17分）小奥和小锐两位同学在两个房间内做游走游戏.每经过1分钟，两人都可以选择进行一次移动.小奥从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟两人都在一个房间，那么下一分钟小锐必定移动到另一个房间；若上一分钟两人不在同一房间，小锐从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分时，小奥在0号房间，小锐在1号房间.设在第分钟时，小奥和小锐在0号房间的概率分别为. (1)求第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为1的概率； (2)求； (3)求在第几分钟时，小锐在0号房间的概率最大. 【详解】（1）第0分钟时，小奥在0号房间，小锐在1号房间. 设为第1分钟时，小奥在号房间，小锐在号房间的概率， 则， . 设第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为，则， 所以第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为1的概率为0.5. …… (3分) （2）证明：易知，且由（1）得. 当时，小奥在第分钟时位于0号房间包含2种情形： ①上一分钟仍在0号房间，继续保持在0号房间的概率为， ②上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为， 则由全概率公式，， 进而， 结合，故是首项为，公比为的等比数列， 即，注意到当时也满足题意， 因此. …… (8分) （3）小锐第分钟在0号房间包含3种情形： ①上一分钟小奥和小锐都在1号房间，小锐转移到0号房间的概率为， ②上一分钟小奥在0号房间，小锐在1号房间，小李转移到0号房间的概率为， ③上一分钟小奥在1号房间，小锐在0号房间，小锐转移到0号房间的概率为. 故由全概率公式，， 即. 要证为等比数列，即证为等比数列， 而， 故，结合， 故为首项，公比为的等比数列， 即，注意到时也满足题意， 因此. 故， 显然不是其最大值，设，…… (13分) ①当为奇数时，，当且仅当时取等，故的最大值为0；…… (14分) ②当为偶数且时，， 当时，，故最大值为， 因此的最大值为， …… (16分) 即在第2分钟时，小锐在0号房间概率最大. …… (17分) 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：计数原理+随机变量及其分布列+统计。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．5名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（   ） A．6 B．120 C．125 D．243 2．设随机变量，，则（    ） A．0.25 B．0.35 C．0.3 D．0.7 3．在的展开式中，常数项为75，则（    ） A．1 B． C． D． 4．长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色．某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（    ） A．90 B．120 C．150 D．180 5．已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（    ） A．0.206 B． C．0.596 D． 6．已知随机变量，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7． 260班和261班举行射击比赛，两班各选出一名射手，射手甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 8．端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（    ） A．当时，随机变量服从两点分布 B．随着的增大，减少，增加 C．当时，随机变量服从二项分布 D．随着的增大，增加，减小 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某学校为了调查学生对“只要学习够努力，成绩一定有奇迹”这句话的认可程度，随机调查了90名本校高一、高二的学生，得到如下列联表．用样本估计总体，则下列说法正确的是(参考数据：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d，P(χ2≥6.635)＝0.010，P(χ2≥10.828)＝0.001)（    ） 认可 不认可 总计 高一 20 20 40 高二 40 10 50 总计 60 30 90 A．高一高二大约有66.7%的学生认可这句话 B．高一高二大约有99%的学生认可这句话 C．依据α＝0.01的独立性检验，认为学生对这句话认可与否与年级有关 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为学生对这句话认可与否与年级无关 10．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ） A．恰有3个白球的概率为 B．取出的最大号码X服从超几何分布 C．设取出的黑球个数为Y，当时，概率最大 D．若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为 11．将这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则这样的数列共有360个 B．若该数列恰好先增后减，则这样的数列共有64个 C．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有144个 D．若，，，则这样的数列共有71个 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，含项的系数为 . 13．小智参加三分投篮比赛，每投一次，投中得1分，投不中扣1分，已知小智投篮的命中率为，记小智投篮三次后的总分数为随机变量，则为 ． 14．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）春节将至，某商家统计了去年某商品的日营销费用x（单位：百元）与日销售量y（单位：百件），为今年的营销方案制定提供相关的数据参考，得到的数据如下表： 日营销费用x/百元 2 3 4 5 6 日销售量y/百件 1 1.1 1.5 1.8 2.1 已知y与x线性相关. (1)根据上表数据，求y关于x的经验回归方程； (2)请利用（1）中的经验回归方程，试估计当今的日销售费用为1000元时，日销售量为多少百件. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（）.其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 16．（15分）北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 17．（15分）已知展开式的各二项式系数和为512，且． (1)求；（结果保留指数幂形式） (2)求的值； (3)求证：能被6整除． 18．（17分）2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为. (1)令，则，且，求，并证明：； (2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题. （ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列； （ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由. 参考数据：，则，，. 19．（17分）小奥和小锐两位同学在两个房间内做游走游戏.每经过1分钟，两人都可以选择进行一次移动.小奥从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟两人都在一个房间，那么下一分钟小锐必定移动到另一个房间；若上一分钟两人不在同一房间，小锐从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分时，小奥在0号房间，小锐在1号房间.设在第分钟时，小奥和小锐在0号房间的概率分别为. (1)求第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为1的概率； (2)求； (3)求在第几分钟时，小锐在0号房间的概率最大. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D A D B A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．①；②或 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）， ，…… (4分) 则， 所以 故关于的经验回归方程为. …… (10分) （2）将代入，得， 故当今年的日营销费用为1000元时，日销售量约为3.24百件. …… (13分) 16．（15分） 【详解】（1）选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率. …… (4分) （2）的取值为100，80，60，40， ， ， ， . 所以的分布列为 …… (15分) 100 80 60 40 17．（15分） 【详解】（1）由题意可知，，得，…… (2分) ， 令，得，令，得， 所以； …… (6分) （2）令，得， 则， 则； …… (10分) （3）， ， 其中每一项都能被整除， 所以能被6整除. …… (15分) 18．（17分） 【详解】（1）， 又， 所以. 因为，根据正态曲线对称性，， 又因为，所以. …… (4分) （2）， . 令，得. 当时，，在上为增函数； 当时，，在上为减函数. 所以的最大值点，从而. …… (8分) （ⅰ）的可能取值为3，2，1，0. ，， ，， 所以的分布列为 …… (13分) 3 2 1 0 （ⅱ）若，则1班10轮后的总积分为29分，2班即便第10轮和第11轮都积3分， 则11轮过后的总积分是28分，，所以，1班如果第10轮积3分， 则可提前一轮夺得冠军，其概率为. …… (17分) 19．（17分） 【详解】（1）第0分钟时，小奥在0号房间，小锐在1号房间. 设为第1分钟时，小奥在号房间，小锐在号房间的概率， 则， . 设第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为，则， 所以第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为1的概率为0.5. …… (3分) （2）证明：易知，且由（1）得. 当时，小奥在第分钟时位于0号房间包含2种情形： ①上一分钟仍在0号房间，继续保持在0号房间的概率为， ②上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为， 则由全概率公式，， 进而， 结合，故是首项为，公比为的等比数列， 即，注意到当时也满足题意， 因此. …… (8分) （3）小锐第分钟在0号房间包含3种情形： ①上一分钟小奥和小锐都在1号房间，小锐转移到0号房间的概率为， ②上一分钟小奥在0号房间，小锐在1号房间，小李转移到0号房间的概率为， ③上一分钟小奥在1号房间，小锐在0号房间，小锐转移到0号房间的概率为. 故由全概率公式，， 即. 要证为等比数列，即证为等比数列， 而， 故，结合， 故为首项，公比为的等比数列， 即，注意到时也满足题意， 因此. 故， 显然不是其最大值，设，…… (13分) ①当为奇数时，，当且仅当时取等，故的最大值为0；…… (14分) ②当为偶数且时，， 当时，，故最大值为， 因此的最大值为， …… (16分) 即在第2分钟时，小锐在0号房间概率最大. …… (17分) 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：计数原理+随机变量及其分布列+统计。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．5名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（   ） A．6 B．120 C．125 D．243 2．设随机变量，，则（    ） A．0.25 B．0.35 C．0.3 D．0.7 3．在的展开式中，常数项为75，则（    ） A．1 B． C． D． 4．长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色．某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（    ） A．90 B．120 C．150 D．180 5．已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（    ） A．0.206 B． C．0.596 D． 6．已知随机变量，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7． 260班和261班举行射击比赛，两班各选出一名射手，射手甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭．已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 8．端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（    ） A．当时，随机变量服从两点分布 B．随着的增大，减少，增加 C．当时，随机变量服从二项分布 D．随着的增大，增加，减小 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某学校为了调查学生对“只要学习够努力，成绩一定有奇迹”这句话的认可程度，随机调查了90名本校高一、高二的学生，得到如下列联表．用样本估计总体，则下列说法正确的是(参考数据：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d，P(χ2≥6.635)＝0.010，P(χ2≥10.828)＝0.001)（    ） 认可 不认可 总计 高一 20 20 40 高二 40 10 50 总计 60 30 90 A．高一高二大约有66.7%的学生认可这句话 B．高一高二大约有99%的学生认可这句话 C．依据α＝0.01的独立性检验，认为学生对这句话认可与否与年级有关 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为学生对这句话认可与否与年级无关 10．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ） A．恰有3个白球的概率为 B．取出的最大号码X服从超几何分布 C．设取出的黑球个数为Y，当时，概率最大 D．若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为 11．将这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则这样的数列共有360个 B．若该数列恰好先增后减，则这样的数列共有64个 C．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有144个 D．若，，，则这样的数列共有71个 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在的展开式中，含项的系数为 . 13．小智参加三分投篮比赛，每投一次，投中得1分，投不中扣1分，已知小智投篮的命中率为，记小智投篮三次后的总分数为随机变量，则为 ． 14．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是 ；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）春节将至，某商家统计了去年某商品的日营销费用x（单位：百元）与日销售量y（单位：百件），为今年的营销方案制定提供相关的数据参考，得到的数据如下表： 日营销费用x/百元 2 3 4 5 6 日销售量y/百件 1 1.1 1.5 1.8 2.1 已知y与x线性相关. (1)根据上表数据，求y关于x的经验回归方程； (2)请利用（1）中的经验回归方程，试估计当今的日销售费用为1000元时，日销售量为多少百件. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（）.其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 16．（15分）北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取5只. (1)求选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设表示所得的分数，求的分布列. 17．（15分）已知展开式的各二项式系数和为512，且． (1)求；（结果保留指数幂形式） (2)求的值； (3)求证：能被6整除． 18．（17分）2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中，.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为. (1)令，则，且，求，并证明：； (2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点，并以作为的值，解决下列问题. （ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列； （ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由. 参考数据：，则，，. 19．（17分）小奥和小锐两位同学在两个房间内做游走游戏.每经过1分钟，两人都可以选择进行一次移动.小奥从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟两人都在一个房间，那么下一分钟小锐必定移动到另一个房间；若上一分钟两人不在同一房间，小锐从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分时，小奥在0号房间，小锐在1号房间.设在第分钟时，小奥和小锐在0号房间的概率分别为. (1)求第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为1的概率； (2)求； (3)求在第几分钟时，小锐在0号房间的概率最大. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$