高一数学月考卷01（新高考通用，平面向量+解三角形+复数+立体几何）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足：，则复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A 2．若向量，，，则（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【详解】因为，所以，解得. 故选：C 3．如图， 在△ABC中， P是线段BN上的一点，若 则实数m等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 因为P、B、N三点共线，所以， 故选：D. 4．若，表示两条直线，，，表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，，则，或与相交，故A错误； 对于B，若，，，则，或与为异面直线，故B错误； 对于C，若，，，则，或与相交，故C错误； 对于D，由可得，因为，所以， 又因为，根据线面平行的性质定理可得，故D正确. 故选：D. 5．的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】因为，所以，整理得， 又，所以， 即，即， 又，所以，得， 因为，所以，所以，故为等腰非直角三角形. 故选：A 6．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意， 所以 ， 如图，原图形 中， ， 所以直角梯形 的边 为轴旋转一周得到的几何体为圆台， ， 故选：D.    7．在中，，，，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，且，所以. 又因为，则. 展开得. 则. 根据乘法分配律展开： ， 且.  已知，，. ，，.   把，，代入前面式子中，得. 即. 解得. 故选：C. 8．如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设是中点，连接，设的外心为，的外心为， 是四面体外接球球心， 由于和都是边长为的正三角形， 所以， 且分别在靠近E的三等分点处. 根据二面角的大小为及球的性质可知： 平面，平面，所以， 由于，所以四边形是正方形， ，， 设四面体外接球的半径为，则. 所以外接球的表面积为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若．则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误； 对于B，设，由，得， 则，因此，，B正确； 对于C，取，满足，而，，C错误； 对于D，由，得都是实数，因此，D正确. 故选：BD 10．在梯形中，，，，，若为三条边上的一个动点，则的取值可能是（    ） A． B．18 C．24 D．56 【答案】BC 【详解】由， 而表示在方向上的投影向量的长度， 如图，显然当位于点时，此时最小， 此时，则； 过点作，垂足为， 因为，所以，则， 以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 则，，， 则，即， 所以当位于点或点时，同时最大， 则，即. 综上所述，的取值范围为. 故选：BC. 11．如图，正方体的棱长为4，F是的中点，点P为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．四棱锥的体积为定值 B．当时，点P的轨迹长度为 C．当直线AP与平面所成的角为时，则点P的轨迹长度为 D．若直线平面，则点P的轨迹长度为 【答案】ACD 【详解】对于A，点到侧面的距离即为，， ，四棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，由平面，平面，得， 则， 点的轨迹是以点为圆心，为半径的四分之一圆，其轨迹长度为，B错误； 对于C，由与平面所成的角为，则为等腰直角三角形， ，则点的轨迹是以点为圆心，为半径为半径的四分之一圆， 其轨迹长度为，C正确； 对于D，取的中点，连接，由为的中点，得， 由平面，平面，得平面， 由且，得四边形为平行四边形，则， 而，则，由平面，平面，得平面， 由，平面，得平面平面， 当点在线段上运动时，平面，则平面， 因此点的轨迹为线段，其长度为，D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某人在静水中游泳，速度为km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成 （填弧度数）方向前进，速度为 km/h 【答案】 8 【详解】将此人的游泳速度与水的流速平移至共同起点，作出其和速度， 由此人的游泳速度为km/h，水的流速为4km/h， 可得此人实际速度为 km/h，且与水流方向成. 故答案为： ；8. 13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为线段AB的中点，，，，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以， ，， 因为点D为线段AB的中点，所以， 所以，即，又， 所以， 故答案为：. 14．某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为 米．（结果精确到0.01米）    【答案】 【详解】解：由正方体的棱长米， 因为平面平面，且平面，平面，平面， 如图所示，设正方体的中心为，连接，交平面于点，则平面， 在正方体中，底面是正三角形，其外接圆的半径为米， 又由勾股定理，可得米， 设米，因为点到平面的距离为2米， 所以米. 故答案为：.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知向量，， (1)若与夹角为，求； (2)若，求的坐标； (3)若与夹角为，求取最小值时的值． 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以．………….(4分) （2）设，则， 由得，即，解得或， 所以或．………….(8分) （3）因为，， 所以 ， 所以当时，取得最小值． ………….(13分) 16．（15分）已知的内角的对边分别为，且的周长为． (1)求； (2)若，，是的平分线，且交于点，求． 【详解】（1）解：因为的周长为，可得，………….(2分) 由正弦定理，可得，即， 整理得，………….(5分) 又由余弦定理，可得． 因为，所以．………….(7分) （2）解：在中，因为，， 由余弦定理得，即， 解得或（舍去），………….(10分) 又因为是的平分线，可得，， 所以，解得．………….(15分) 17．（15分）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 【详解】（1） 取的中点，连接， ，，………….(2分) ，，且 ， 四边形是平行四边形，，， ，，， ，, ，， 平面，平面，，………….(5分) ，平面，平面， 平面， 平面，平面平面；………….(7分) （2） 连接，，， 由(1)可知，，四边形是平行四边形， ，且， 是异面直线和所成角，即，………….(8分) 设，，，， 是等边三角形，，，即， ，，，………….(10分) 由(1)知，平面，， ， ，………….(13分) 设点到平面的距离为， ，即，即， ，即点到平面的距离为. ………….(15分) 18．（17分）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点. (1)已知. （ⅰ）若是所在平面内任意一点，证明：； （ⅱ）若，，求的值； (2)若，，，证明：. 【详解】（1）（ⅰ）因为，所以， 则，整理得. ………….(3分) （ⅱ）设，则 ， 又 ， 所以，解得. ………….(7分) （2）因为，所以， 则，整理得，………….(9分) 设，代入上式得，记为①，………….(10分) 同理可得，，设，， 可得，记为②，，记为③， 联立①②消去，联立①③消去， 可得，，………….(14分) 又因为，，中任意两个向量互不共线， 所以故有， 由得，由得， 又，故，即. ………….(17分) 19．（17分）定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，． (1)求四棱锥在顶点处的离散曲率； (2)求四棱锥内切球的表面积； (3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围． 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，则． 因为平面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 又平面，所以，即， 由离散曲率的定义得．………….(4分) （2）因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，………….(6分) 设四棱锥的表面积为， 则 ． 设四棱锥的内切球的半径为，则， 所以， 所以四棱锥内切球的表面积．………….(9分) （3）如图，过点作交于点，连接， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角．………….(10分) 易知，当与重合时，； 当与不重合时，设， 在中，由余弦定理得 ………….(13分) 因为，所以，所以，则， 所以． 当分母最小时，最大，即最大，此时（与重合）， 由，得，即， 所以的最大值为， 所以直线与平面所成角的取值范围为．………….(17分) 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D D A D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．；8 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以．………….(4分) （2）设，则， 由得，即，解得或， 所以或．………….(8分) （3）因为，， 所以 ， 所以当时，取得最小值． ………….(13分) 16．（15分） 【详解】（1）解：因为的周长为，可得，………….(2分) 由正弦定理，可得，即， 整理得，………….(5分) 又由余弦定理，可得． 因为，所以．………….(7分) （2）解：在中，因为，， 由余弦定理得，即， 解得或（舍去），………….(10分) 又因为是的平分线，可得，， 所以，解得．………….(15分) 17．（15分） 【详解】（1） 取的中点，连接， ，，………….(2分) ，，且 ， 四边形是平行四边形，，， ，，， ，, ，， 平面，平面，，………….(5分) ，平面，平面， 平面， 平面，平面平面；………….(7分) （2） 连接，，， 由(1)可知，，四边形是平行四边形， ，且， 是异面直线和所成角，即，………….(8分) 设，，，， 是等边三角形，，，即， ，，，………….(10分) 由(1)知，平面，， ， ，………….(13分) 设点到平面的距离为， ，即，即， ，即点到平面的距离为. ………….(15分) 18．（17分） 【详解】（1）（ⅰ）因为，所以， 则，整理得. ………….(3分) （ⅱ）设，则 ， 又 ， 所以，解得. ………….(7分) （2）因为，所以， 则，整理得，………….(9分) 设，代入上式得，记为①，………….(10分) 同理可得，，设，， 可得，记为②，，记为③， 联立①②消去，联立①③消去， 可得，，………….(14分) 又因为，，中任意两个向量互不共线， 所以故有， 由得，由得， 又，故，即. ………….(17分) 19．（17分） 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为，则． 因为平面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 又平面，所以，即， 由离散曲率的定义得．………….(4分) （2）因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，………….(6分) 设四棱锥的表面积为， 则 ． 设四棱锥的内切球的半径为，则， 所以， 所以四棱锥内切球的表面积．………….(9分) （3）如图，过点作交于点，连接， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角．………….(10分) 易知，当与重合时，； 当与不重合时，设， 在中，由余弦定理得 ………….(13分) 因为，所以，所以，则， 所以． 当分母最小时，最大，即最大，此时（与重合）， 由，得，即， 所以的最大值为， 所以直线与平面所成角的取值范围为．………….(17分) 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足：，则复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若向量，，，则（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 3．如图， 在△ABC中， P是线段BN上的一点，若 则实数m等于（    ） A． B． C． D． 4．若，表示两条直线，，，表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（   ）    A． B． C． D． 7．在中，，，，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若．则 C．若，则 D．若，则 10．在梯形中，，，，，若为三条边上的一个动点，则的取值可能是（    ） A． B．18 C．24 D．56 11．如图，正方体的棱长为4，F是的中点，点P为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．四棱锥的体积为定值 B．当时，点P的轨迹长度为 C．当直线AP与平面所成的角为时，则点P的轨迹长度为 D．若直线平面，则点P的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某人在静水中游泳，速度为km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成 （填弧度数）方向前进，速度为 km/h 13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为线段AB的中点，，，，则 ． 14．某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为 米．（结果精确到0.01米）    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知向量，， (1)若与夹角为，求； (2)若，求的坐标； (3)若与夹角为，求取最小值时的值． 16．（15分）已知的内角的对边分别为，且的周长为． (1)求； (2)若，，是的平分线，且交于点，求． 17．（15分）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 18．（17分）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点. (1)已知. （ⅰ）若是所在平面内任意一点，证明：； （ⅱ）若，，求的值； (2)若，，，证明：. 19．（17分）定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，． (1)求四棱锥在顶点处的离散曲率； (2)求四棱锥内切球的表面积； (3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足：，则复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若向量，，，则（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 3．如图， 在△ABC中， P是线段BN上的一点，若 则实数m等于（    ） A． B． C． D． 4．若，表示两条直线，，，表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（   ）    A． B． C． D． 7．在中，，，，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若．则 C．若，则 D．若，则 10．在梯形中，，，，，若为三条边上的一个动点，则的取值可能是（    ） A． B．18 C．24 D．56 11．如图，正方体的棱长为4，F是的中点，点P为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．四棱锥的体积为定值 B．当时，点P的轨迹长度为 C．当直线AP与平面所成的角为时，则点P的轨迹长度为 D．若直线平面，则点P的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某人在静水中游泳，速度为km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成 （填弧度数）方向前进，速度为 km/h 13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为线段AB的中点，，，，则 ． 14．某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为 米．（结果精确到0.01米）    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知向量，， (1)若与夹角为，求； (2)若，求的坐标； (3)若与夹角为，求取最小值时的值． 16．（15分）已知的内角的对边分别为，且的周长为． (1)求； (2)若，，是的平分线，且交于点，求． 17．（15分）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离. 18．（17分）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点. (1)已知. （ⅰ）若是所在平面内任意一点，证明：； （ⅱ）若，，求的值； (2)若，，，证明：. 19．（17分）定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，． (1)求四棱锥在顶点处的离散曲率； (2)求四棱锥内切球的表面积； (3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$