数学（内蒙古卷，2025新题型）-学易金卷：2025年中考押题预测卷

学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 2025年中考押题预测卷(内蒙古卷) 数学·参考答案 第I卷 一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑) 2 8 B C B A A A D 第I卷 二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分) 9. 2041 10.x>-4或-4<x 11.5 12.3 三、解答题(本大题共6个小题,共64分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 13.(10分)(1)解:v27-141(-)-(1)}(1)2□+sin30 _. 2-4x+4 (2)- -(x+1-- r2 2-: 1.(r-2)(xr+1)(x-1)-3 x+2xx-1) -1 , x+2 x(x-1)(x+2)(x-2) 1 :-2 二_ x+2x(x+2) ___ xx+2) 解不等式得:x>-2: 所以x的最小整数解为x--1 9分 _-2 .10分 -1(-1+2) 1/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 14.(10分)【详解】(1)解:此次调查的学生人数为:4410%=40(人) “C”类兴趣课的人数为:40-4-16-12=8(人). 故答案为:40,8; .2分 40 故答案为:72; (3)解:将1名女生记为A,3名男生分别记为B,C,D,画树状图如下 开始 ##### BC 共有12种等可能的结果,其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有6种 122: -.8分 (4).解...建议学校增加课外活动动中.项..... 15.(8分) 【详解】(1)解:描点,连线,函数图象如图; 0 10 4. 6 2 12x 观察图象得x,)的函数关系为一次函数, .2分 设x,y的函数关系式y=x+b. :图象过(2.1),(4.1.5). [2k+b-1 。 4+b=1.5' 一 解得一 1 2 2/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 .y: 11 3 点(1.0.75)在这个函数图象上. 点(8.2.5)在这个函数图象上. :此函数是一次函数: 得y-4.5, .杆上秤碗到秤纽的水平距离为16厘米时,秤钩所挂物重是4.5 斤; 2. 得,x=50. .秤碗到秘纽的最大水平距离50厘米 16.(11分)【详解】解:(1):乙ABC-乙ACB. .AB=AC, “AC为oQ的直径 .乙ANC=90*. $*CAN+ ACN=90$.2BAN=2 CAN= CAB$ :CAB-2 BCP. ._BCP-/CAN . ACP= ACN+BCP= ACN+$CAN=90*$$ :点D在O上. :直线CP是oO的切线 (2)如图,作BFLAC 3/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 C 'AB-AC,ANC-90$ ##2 . sinCAN-5 #5 .CN# 5 .AC-5. $AB-AC-5. 设AF-x,则CF-5-x. 在Rt△ABF中,B$F-AB-AF-25-}$ 在Rt△CBF中,BF=BC}-CF}=2O-(5- 125-x=20-(5-x)2. .-3. BF=25-32-16. .BF=4. 即点B到AC的距离为4. (3) 在Rt△BCF中,$CF= BC*-BF=$$$ $AF-AC-CF-5-2-3 :BFllCP, BF AF AF AB CP ACCF BP' Cp20 3 ,B_10 3 .△APC的周长是AC+PC+AP=20 .....分.. 4/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 17.(12分)【详解】(1)四边形BE'FE是正方形, 理由:由旋转可知, E'= AEB =90$, EBE '=90$* 又: AEB + FEB =180*, AEB =9 0$$$ .. FEB=90* ..四边形BE'FE 是矩形。 由旋转可知,BE'=BE '.四边形BEFE是正方形。 (2) CF =FE'. .....5分. 证明:如图②,过点D作DH1AE,垂足为H. ② 则 DHA =90*, 1+/3=90*. .DA-DE. ·四边形ABCD是正方形,..AB=DA, DAB=90*..'.△AEB△DHA. '.AH =F'F,由旋转可得:CE'=AE, 9分 2 (3)317. .12分 详解:由(1)知四边形BF'FE是正方形, '.FE'=BE,由旋转得:CE'=AE. .CF-3, '$BE =FE'=AE-3,在RT△ABE中,AE+BE=AB} 即:AF+AE-3)^}=15,解得:AE=12,或AE=-9(舍去)$ 如图①,作DHLAE于H点 5/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 H 图① './DAH +乙ADH$ + EAB =90$ ; .△DAH△ABE DH AD . AE AB =1 ..DH-AE=12. 'AH-AD-DH*}-V15*-12-9 .HE-3. 'DE-HE+DH}=3+12}=317 18.(13分)【详解】(1)解::点A(-1.0)关于对称轴的对称点为点B,对称轴为直线x=1, :点B为3,0); (2)当x-0时,y=3, .C0.3). 连接BC, V :B(3.0). 1.BC=3+3=32 “点A关于对称轴的对称点为点B, .PA+PC=PB+PC>BC. 6/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 .当P,B.C三点共线时,PA+PC的值最小,为BC的长 设直线BC的解析式为:y=x+n, [n=3 [n-3 则: 3k+n=0' 解得: -1' .y=-x+3, :点P在抛物线的对称轴上 :.P(1,2); .点P(1.2),PA+PC的最小值为32 .7分 (3)过点M作MN1x轴,垂足为N,连接BC交MN于点O,如图所示, .4(-1.0).B[3.0). 设抛物线的解析式为:y=ax+1)(x-3) :C(0.3). .3=-3a. .a=-1. :y=-(x+1)(x-3]--r2+2x+3. 设M(m.-m}+2m+3),则:N(m,0). 由(2)知:直线BC:y=-x+3, :0m,-n+3). .MO=-m}+2m+3+n-3=-m}+3m$ .C(0.3).B3.0). .OC=0B=3,BN=3-n. :. 0BC= 0CB=45*. //8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷,就用学易金卷 . NOB= OBC=45^$$$$ :$$=2BN=2(3-m). $$=B$C-B0=3-3+2 m=$m .Mo+co-^→+3+2-→+5m-#25. 8/8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考押题预测卷（内蒙古卷） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.如果与互为倒数，则的相反数等于（   ） A． B． C．0 D． 2.已知不透明的袋子中装有20个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在附近，则袋子中的红球大约有（   ） A．80个 B．98个 C．100个 D．120个 3.欹（）器，它是中国最早最神奇的实物座右铭，是古代一种倾斜易覆的盛水器，水少则倾，中则正，满则覆，寓意“满招损，谦受益”．如图是一件欹器和它的主视图，其左视图为（   ） A． B． C． D． 4. 如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（   ） A.平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变大 D．平均数变大，方差变小 5. 达芬奇曾发明过一个简易圆规．某数学兴趣学习小组在课后复刻了这一圆规（图1）．其原理为如图2：有两条互相垂直的卡槽，将一根木棒的两端A和B分别卡在卡槽中自由滑动，在木棒的中部P插有一只记号笔，然后移动木棒的一端，另一端也随之移动．记号笔最终画出了一段圆弧．根据你所学知识，分析“木棒作弧”所运用的数学原理是（   ） A．直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三条边长度的平方 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 D．直角三角形的两锐角互余 6. 综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（   ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 7.如图，在菱形中，，，点E是的中点，以C为圆心，为半径作弧，交于点F，连接、、，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8.点，，均在抛物线上，若，则的值不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9.若是方程的一个实数根，则的值为 ． 10.如图，函数和的图像交于点，则不等式的解集是 ． 11.如图是为某公园滑梯的横截面图，是台阶，是一个平台，是滑道，立柱垂直于地面且高度相同，与地面的夹角为，与地面的夹角为．若，则滑道的长度是 ．（参考数据：） 12.如图，∠ACB=∠DCE=，AC=BC，DC=CE，EC的延长线交AD于点F，若BE⊥CF，BE=6，则CF的长为_______。 三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中x是不等式 的最小整数解 14.从2025年春季学期开始，某省义务教育学校课间休息时间调整为不少于15分钟．某校为了落实“课间十五分钟”，提升学生的综合素养，在课外活动中开设了四个项目：A．呼啦圈；B．青蛙跳；C．跳绳；D．吹号鼓．为了解学生对每个项目的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题： (1)本次共调查了____________名学生，抽查“C跳绳”___________人； (2)跳绳项目所对应扇形的圆心角为___________度； (3)吹号鼓项目中表现最好的4名同学由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率； (4)为了增强学生的体质，请你向学校负责人提一条合理的建议． 15.我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量. 称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） 1 2 4 8 （斤） 0.75 1.00 1.50 2.5 (1)在图2中先将表，的数据通过描点的方法表示出来，再观察判断，的函数关系并求出该函数关系式，最后求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？ (2)已知这杆秤的可称物重最重是13斤，求秤砣到秤纽的最大水平距离． 16.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线； （2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离； （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长． 17.如图①.点E为正方形ABCD内一点.∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE（点A的对应点为点C）.延长AE交CE于点F.连接DE. 猜想证明： (1)试判断四边形BEFE的形状.并说明理由； (2）如图②.若DA=DE.请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明； 解决问题： (3）如图①，若AB=15．EF=3，请直接写出DB的长. 18.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（内蒙古卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.如果与互为倒数，则的相反数等于（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：∵与互为倒数， ∴， ∴的相反数是． 故选：B． 2.已知不透明的袋子中装有20个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在附近，则袋子中的红球大约有（   ） A．80个 B．98个 C．100个 D．120个 【答案】A 【详解】解：设袋中红球有x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 故袋中黑球有80个． 故选：A． 3.欹（）器，它是中国最早最神奇的实物座右铭，是古代一种倾斜易覆的盛水器，水少则倾，中则正，满则覆，寓意“满招损，谦受益”．如图是一件欹器和它的主视图，其左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得：其左视图为： 故选：C 4. 如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（   ） A． 平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变大 D．平均数变大，方差变小 【答案】A 【详解】根据题意得，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，即现有高度一定小于等于原先的高度，波动变小了，方差就变小， ∴平均数变小，方差变小。 故选A。 5. 达芬奇曾发明过一个简易圆规．某数学兴趣学习小组在课后复刻了这一圆规（图1）．其原理为如图2：有两条互相垂直的卡槽，将一根木棒的两端A和B分别卡在卡槽中自由滑动，在木棒的中部P插有一只记号笔，然后移动木棒的一端，另一端也随之移动．记号笔最终画出了一段圆弧．根据你所学知识，分析“木棒作弧”所运用的数学原理是（   ） A．直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三条边长度的平方 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 D．直角三角形的两锐角互余 【答案】B 【详解】解：因为“木棒作弧”过程中弧上的点到两条互相垂直的卡槽交点距离相等，且木棒作为三角形的斜边，记号笔在木棒的中点，所以运用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 故选B. 6. 综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（   ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【详解】解：设h关于的函数解析式为由条件可得k=20， ∴h关于p的函数解析式为据此．逐项分析判断如下： A.当液体密度时.浸在液体中的高度h≤20cm，故该选项不正确．不符合题意： B.当液体密度时．浸在液体中的高度h=10cm，故该选项正确．符合题意： C.当浸在液体中的高度0<h≤25cm时．该液体的密度p≥0.8g/cm²．故该选项正确．符合题意： D.当液体的密度时．浸在液体中的高度h≥5cm，错误.因为浸在液体中的高度不能无限大.故不符合题意：故选：C. 7.如图，在菱形中，，，点E是的中点，以C为圆心，为半径作弧，交于点F，连接、、，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴△ABC为等边三角形， ∵E为的中点， ∴，， 由勾股定理得：， 同理可得：， ∵，， ∴∠BCD=， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴阴影部分的面积： ． 故选：A． 8.点，，均在抛物线上，若，则的值不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：两点纵坐标相等， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线对称轴为直线， ，即， ， ∴抛物线开口向上， ， ， 解得：， ， ， ∴的值不可能是6． 故选：D． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9.若是方程的一个实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10.如图，函数和的图像交于点，则不等式的解集是 ． 【答案】/ 【详解】解：由图象可知函数和的图像交点， ∵， ∴， 观察图像得：当时，函数的图像位于函数的图像的上方， ∴不等式的解集是，即不等式的解集是， 故答案为：． 11.如图是为某公园滑梯的横截面图，是台阶，是一个平台，是滑道，立柱垂直于地面且高度相同，与地面的夹角为，与地面的夹角为．若，则滑道的长度是 ．（参考数据：） 【答案】 【详解】解：如图所示，过点G作于H， 在中，， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴滑道的长度是， 故答案为：． 12.如图，∠ACB=∠DCE=，AC=BC，DC=CE，EC的延长线交AD于点F，若BE⊥CF，BE=6，则CF的长为_______。 【答案】3 【详解】解：过点A作AH⊥CF交CF的延长线于点H，如图所示： ∵△ABC和△DEC均是等腰直角三角形， ∴∠ACB=，BC=CA，，DE=CE， ∴∠2+∠3=， ∵BE⊥CF，AH⊥CF， ∴∠BEC=∠H=， ∴∠1+∠3=， ∴∠1=∠2 ∴△BEC≌△CHA（AAS） ∴BE=CH=6，CE=AH， ∴AH=DE ∵∠H=∠DCF=，∠AFH=∠DFC， ∴△AHF≌△DCF ∴HF=CF ∴CF=CH=3。 三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中x是不等式 的最小整数解 【详解】（1）解： ． （2） 解不等式得：x＞-2； 所以x的最小整数解为x=-1 把x=-1代入上式得：原式=. 14.从2025年春季学期开始，某省义务教育学校课间休息时间调整为不少于15分钟．某校为了落实“课间十五分钟”，提升学生的综合素养，在课外活动中开设了四个项目：A．呼啦圈；B．青蛙跳；C．跳绳；D．吹号鼓．为了解学生对每个项目的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题： (1)本次共调查了____________名学生，抽查“C跳绳”___________人； (2)跳绳项目所对应扇形的圆心角为___________度； (3)吹号鼓项目中表现最好的4名同学由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率； (4)为了增强学生的体质，请你向学校负责人提一条合理的建议． 【详解】（1）解：此次调查的学生人数为：(人)， “”类兴趣课的人数为：(人)， 故答案为：， ； （2）解：“”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：； （3）解：将名女生记为，名男生分别记为，，，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中刚好抽到名男生与名女生的结果有种， ∴刚好抽到名男生与名女生的概率为； （4）解：建议学校增加课外活动中项目 15.我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量. 称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） 1 2 4 8 （斤） 0.75 1.00 1.50 2.5 (1)在图2中先将表，的数据通过描点的方法表示出来，再观察判断，的函数关系并求出该函数关系式，最后求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？ (2)已知这杆秤的可称物重最重是13斤，求秤砣到秤纽的最大水平距离． 【详解】（1）解：描点，连线，函数图象如图： 观察图象得，的函数关系为一次函数， 设的函数关系式， 图象过，， ∴， 解得，， ， 验证：把代入，， 点在这个函数图象上， 把代入得,， 点在这个函数图象上， 此函数是一次函数； 把代入， 得， 杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤； （2）解：把代入， 得，． 秤砣到秤纽的最大水平距离50厘米． 16.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线； （2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离； （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长． 【详解】解：（1）∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ANC=90°， ∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB， ∵∠CAB=2∠BCP， ∴∠BCP=∠CAN， ∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°， ∵点D在⊙O上， ∴直线CP是⊙O的切线； （2）如图，作BF⊥AC ∵AB=AC，∠ANC=90°， ∴CN=CB=， ∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=， ∴sin∠CAN=， ∴ ∴AC=5， ∴AB=AC=5， 设AF=x，则CF=5﹣x， 在Rt△ABF中，， 在Rt△CBF中，， ∴， ∴x=3， ∴, ∴BF=4， 即点B到AC的距离为4． （3）在Rt△BCF中，CF= ∴AF=AC-CF=5-2=3， ∵BF∥CP， ∴,， ∴CP=，BP= ∴△APC的周长是AC+PC+AP=20． 17.如图①.点E为正方形ABCD内一点.∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE（点A的对应点为点C）.延长AE交CE于点F.连接DE. 猜想证明： (1)试判断四边形BEFE的形状.并说明理由； (2）如图②.若DA=DE.请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明； 解决问题： (3）如图①，若AB=15．EF=3，请直接写出DB的长. 【详解】（1）四边形是正方形， 理由：由旋转可知，， 又∵， ∴ ∴四边形是矩形。 由旋转可知， ∴四边形是正方形。 （2）证明：如图②，过点D作DH⊥AE，垂足为H， 则，， ∵DA=DE， ∴ ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA，，∴△AEB≌△DHA，∴ 由旋转可得：， ∴，∴ （3） 详解：由（1）知四边形是正方形， ∴，由旋转得：， ∵CF=3， ∴，在RT△ABE中，， 即：，解得：AE=12，或AE=-9（舍去） 如图①，作DH⊥AE于H点 ∴， ∴△DAH∽△ABE ∴ ∴DH=AE=12， ∴ ∴HE=3， ∴DE= 18.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； （2）当时，， ∴， 连接，      ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为； （3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，      ∵， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 28 / 29 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考押题预测卷（内蒙古卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 12分） 9．_________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共 6个小题，共 64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（10分） 14．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（8分） 16．（11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（12分） 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年中考押题预测卷（内蒙古卷） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.如果与互为倒数，则的相反数等于（   ） A． B． C．0 D． 2.已知不透明的袋子中装有20个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在附近，则袋子中的红球大约有（   ） A．80个 B．98个 C．100个 D．120个 3.欹（）器，它是中国最早最神奇的实物座右铭，是古代一种倾斜易覆的盛水器，水少则倾，中则正，满则覆，寓意“满招损，谦受益”．如图是一件欹器和它的主视图，其左视图为（   ） A． B． C． D． 4. 如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（   ） A.平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变大 D．平均数变大，方差变小 5. 达芬奇曾发明过一个简易圆规．某数学兴趣学习小组在课后复刻了这一圆规（图1）．其原理为如图2：有两条互相垂直的卡槽，将一根木棒的两端A和B分别卡在卡槽中自由滑动，在木棒的中部P插有一只记号笔，然后移动木棒的一端，另一端也随之移动．记号笔最终画出了一段圆弧．根据你所学知识，分析“木棒作弧”所运用的数学原理是（   ） A．直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三条边长度的平方 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 D．直角三角形的两锐角互余 6. 综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（   ） A．当液体密度时，浸在液体中的高度 B．当液体密度时，浸在液体中的高度 C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度 D．当液体的密度时，浸在液体中的高度 7.如图，在菱形中，，，点E是的中点，以C为圆心，为半径作弧，交于点F，连接、、，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 8.点，，均在抛物线上，若，则的值不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9.若是方程的一个实数根，则的值为 ． 10.如图，函数和的图像交于点，则不等式的解集是 ． 11.如图是为某公园滑梯的横截面图，是台阶，是一个平台，是滑道，立柱垂直于地面且高度相同，与地面的夹角为，与地面的夹角为．若，则滑道的长度是 ．（参考数据：） 12.如图，∠ACB=∠DCE=，AC=BC，DC=CE，EC的延长线交AD于点F，若BE⊥CF，BE=6，则CF的长为_______。 三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中x是不等式 的最小整数解 14.从2025年春季学期开始，某省义务教育学校课间休息时间调整为不少于15分钟．某校为了落实“课间十五分钟”，提升学生的综合素养，在课外活动中开设了四个项目：A．呼啦圈；B．青蛙跳；C．跳绳；D．吹号鼓．为了解学生对每个项目的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题： (1)本次共调查了____________名学生，抽查“C跳绳”___________人； (2)跳绳项目所对应扇形的圆心角为___________度； (3)吹号鼓项目中表现最好的4名同学由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率； (4)为了增强学生的体质，请你向学校负责人提一条合理的建议． 15.我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量. 称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） 1 2 4 8 （斤） 0.75 1.00 1.50 2.5 (1)在图2中先将表，的数据通过描点的方法表示出来，再观察判断，的函数关系并求出该函数关系式，最后求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？ (2)已知这杆秤的可称物重最重是13斤，求秤砣到秤纽的最大水平距离． 16.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线； （2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离； （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长． 17.如图①.点E为正方形ABCD内一点.∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE（点A的对应点为点C）.延长AE交CE于点F.连接DE. 猜想证明： (1)试判断四边形BEFE的形状.并说明理由； (2）如图②.若DA=DE.请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明； 解决问题： (3）如图①，若AB=15．EF=3，请直接写出DB的长. 18.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 10 / 11 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考押题预测卷（内蒙古卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 3 分，共 1 2 分） 9 ． _________________ 1 0 ． ___________________ 1 1 ． __________________ 1 2 ． __________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（本大题共 6 个小题，共 64 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 3 ．（10分） 1 4 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 5 ． （8分） 1 6 ． （ 11 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ． （ 12 分） 18 ． （ 13 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$