精品解析：上海市育才初级中学2024-2025学年下学期八年级数学期中试卷

育才初级中学2024学年第二学期八年级期中考试 数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 2025.04 注意：本试卷共26题．请将所有答案做在答题纸的指定位置上，做在试卷上不计分． 一、选择题（每题2分，满分12分） 1. 下列关系式中，y不是x的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于x的方程中，没有实数解的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 3. 已知关于x的方程，则下列说法不正确的是（ ） A. 时方程无解 B. 无论b的值为多少，方程的解不可能是 C. 时，方程解为 D. 时 4. 用换元法解方程时，若设，则原方程可以化（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 对角线相等的矩形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 6. 用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定可以拼成的是（ ） A. ①④⑤ B. ①②③④ C. ①②⑤ D. ②⑤⑥ 二、填空题（每题3分，满分36分） 7. 直线向下平移3个单位后，所得直线的表达式是________． 8. 一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是________． 9 已知直线与直线平行，则_________． 10. 分式方程的解为_______． 11. 方程的解是_____． 12. 中，如果，那么_______度． 13. 如图，的对角线相交于点O，，则_______． 14. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 15. 已知点E为矩形的边上一点，若，，如果，那么_______． 16. 已知：如图，沿射线平移后得，，若的面积为S，则四边形的面积为_______．（用含S的代数式表示） 17. 在中，与相交于点O，若，，．则面积为______． 18. 四边形是边长为4的正方形，点E在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点D，点F在直线的同侧），连接，若，则的长为______． 三、解答题（19~24题每题6分，25~26题每题8分，满分52分） 19. 解方程：． 20. 解方程组：． 21. 解方程组：． 22. 如图，是正方形对角线，平分，已知．求的长． 23. 一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系．当汽车加满油后，行驶120千米时，油箱中还剩油40升；行驶180千米时，油箱中还剩油35升． （1）求出y与x之间的函数解析式，并写出定义域； （2）已知当油箱中的剩余油量为10升时，该车仪表盘会亮灯提示加油．在距离出发点500千米处有一加油站，该车在加满油后，请判断司机能否在亮灯提示前行驶至此加油站，并说明理由． 24. 已知：如图，在中，E、F分别为边的中点，是对角线，交的延长线于G． （1）求证：； （2）若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F． （1）求双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式． （2）求的面积． 26. 如图，等腰中，，O为边的中点，射线交的延长线于点C，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，点E、F分别在射线、射线上，且，求证：； （3）在（2）的条件下，连接，若为直角三角形，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 育才初级中学2024学年第二学期八年级期中考试 数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 2025.04 注意：本试卷共26题．请将所有答案做在答题纸的指定位置上，做在试卷上不计分． 一、选择题（每题2分，满分12分） 1. 下列关系式中，y不是x的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题的关键．一般地，形如的函数叫做一次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A．，是一次函数，故A不符合题意； B．，是一次函数，故B不符合题意； C．，不是一次函数，故C符合题意； D．，是一次函数，故D不符合题意； 故选：C． 2. 下列关于x的方程中，没有实数解的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件、无理方程的解法判断即可． 【详解】解：A．的实数解是； B．实数解是； C．由得，， 由得，， 方程没有实数解； D．的实数解是或； 故选：C． 【点睛】本题考查的是无理方程的解，掌握二次根式有意义的条件、无理方程的解法是解题的关键． 3. 已知关于x的方程，则下列说法不正确的是（ ） A. 时方程无解 B. 无论b的值为多少，方程的解不可能是 C. 时，方程解为 D. 时 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次参数方程解的情况，正确理解一元一次参数方程解的情况是解题的关键． 根据题意逐项求解判断即可． 【详解】A．当时，，不符合题意，故方程无解，选项正确； B．当时，，不符合题意，故无论b的值为多少，方程的解不可能是，选项正确； C．当时， 去括号得， 移项得， 系数化为1得，，故选项正确； D．当时，，不符合题意，故方程无解，选项错误． 故选：D． 4. 用换元法解方程时，若设，则原方程可以化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握利用换元法，把一个式子做为整体进行替换，将分式方程化简为一元二次方程． 把代入原方程，得出，再进行整理即可． 【详解】解：整理，得， 把代入方程得：， 整理得：． 故选 B． 5. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 对角线相等矩形是正方形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断命题真假，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解此题的关键． 根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可得出答案． 【详解】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，故原说法错误，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，符合题意． 故选：D． 6. 用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定可以拼成的是（ ） A. ①④⑤ B. ①②③④ C. ①②⑤ D. ②⑤⑥ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形、菱形、矩形、平行四边形、等腰三角形、等边三角形的性质的应用，属于几何构图问题，解决本题的关键熟悉以上图形的性质，也可以利用两个相同的三角板亲自动手拼一拼，加深对问题的理解． 由于菱形和正方形中都有四边相等的特点，而直角三角形中不一定有两边相等，故两个全等的直角三角形不能拼成菱形和正方形；等边三角形的三条边都相等，而直角三角形的一条直角边不一定等于斜边的一半，故两个全等的直角三角形不一定能拼成等边三角形；而平行四边形，矩形，等腰三角形都可以由两个全等的直角三角形拼成． 【详解】解：两个全等的直角三角形一定可以拼成平行四边形，故①符合题意； 两个全等的直角三角形一定可以拼成矩形，故②符合题意； 两个全等的直角三角形不一定可以拼成菱形，故③不符合题意； 两个全等的直角三角形不一定可以拼成正方形，故④不符合题意； 两个全等的直角三角形一定可以拼成等腰三角形，故⑤符合题意； 两个全等的直角三角形不一定可以拼成等边三角形，故⑥不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每题3分，满分36分） 7. 直线向下平移3个单位后，所得直线的表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移规律，熟记平移规律是解题关键． 根据一次函数图象的平移规律即可得． 【详解】解：直线向下平移3个单位后，所得直线的表达式是． 故答案为：． 8. 一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】m<3 【解析】 【分析】由一次函数的函数值y随x的增大而减小可得m-3为负，从而可求得m的取值范围． 【详解】解：由题意知，m-3<0， 则m<3， 故答案为：m<3． 【点睛】本题考查了一次函数图象与性质，熟悉一次函数的图象与性质是关键． 9. 已知直线与直线平行，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查两条直线平行问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 根据两直线平行，可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， 解得，． 故答案为：3． 10. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母，方程的两边同时乘以得： 移项合并同类项得，， ∴ ∴或 解得， 检验：将代入；将代入，应舍去； ∴是原分式方程的解． 故答案为：． 11. 方程的解是_____． 【答案】x＝﹣1． 【解析】 【分析】把方程两边平方后求解，注意检验． 详解】把方程两边平方得x+2＝x2， 整理得（x﹣2）（x+1）＝0， 解得：x＝2或﹣1， 经检验，x＝﹣1是原方程的解． 故本题答案为：x＝﹣1． 【点睛】本题考查无理方程求法，注意无理方程需验根． 12. 在中，如果，那么_______度． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了行四边形对边平行的性质，解题的关键是掌握平行四边形的邻角互补和对角相等结论． 平行四边形中，利用邻角互补和求出，，利用对角相等，即可得的值． 【详解】∵在中， ∴， 如果， ∴ ∴， ∴． 故答案为：120． 13. 如图，的对角线相交于点O，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理的运用，属于基础题． 根据平行四边形的性质得：，再由，得出，结合勾股定理求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：． 14. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形面积求法是解题关键． 直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，进而得出答案． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别是6和8， 菱形的面积为：． 故答案为：24． 15. 已知点E为矩形的边上一点，若，，如果，那么_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，掌握“30度角对应的直角边长度为斜边长度的一半”是解题的关键． 利用余角的性质求得，利用等边对等角求得，再利用平角的定义求得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 16. 已知：如图，沿射线平移后得，，若的面积为S，则四边形的面积为_______．（用含S的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了平移的性质，平行四边形的性质和判定，设，则，的高为，表示出，即，根据平移的性质说明四边形是平行四边形，根据求解即可． 【详解】解：设，则，的高为， 则，即， 根据平移的性质得，和的高都为， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 17. 在中，与相交于点O，若，，．则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理，含角直角三角形的性质，解题关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用． 过点A作于E，设，则，，在直角三角形中，利用勾股定理可得，进而可求出a的值，由平行四边形的性质可知：的面积，即可求解． 【详解】解：过点A作于E， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理可得， ∴， 解得：（负数已舍）， ， ∴的面积． 故答案为：． 18. 四边形是边长为4的正方形，点E在边所在的直线上，连接，以为边，作正方形（点D，点F在直线的同侧），连接，若，则的长为______． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，作辅助线构建直角三角形全等是解决问题的关键．分点E在线段上，在线段延长线上，在线段延长线上三种情况，过作交直线于点，作于，证明，通过全等三角形的性质用表示出，求出，由勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【详解】解：当点E在线段上时，过作交的延长线于点，作交延长线于，如图所示，则四边形是矩形， ∴，， 四边形与四边形是正方形， ，， ， ， ，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴, ∴（舍去）或（舍去），故此种情况不成立； 如图所示，当点E在延长线上时，过作于点，作交延长线于， 同理可得，， ， 在中，由勾股定理得， ∴, 解得或（舍去）； 如图所示，当点E在延长线上时，过作交直线于点，作交延长线于， 同理可得，， ， 在中，由勾股定理得， ∴, 解得或（舍去）； 综上所述，的长为1或． 故答案为：1或． 三、解答题（19~24题每题6分，25~26题每题8分，满分52分） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程并检验即可求解； 【详解】解： 去分母得， 整理得， 或 解得， 检验：将代入，符合题意； 将代入，不符合题意； ∴原分式方程的根为． 20. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程组，设，则原方程组可化为，解方程组求出m、n的值，进而求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：设，则原方程组可化为， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴， ∴， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 21. 解方程组：． 【答案】，，， 【解析】 【分析】本题主要考查解二元二次方程组，关键在于对原方程组的两个方程进行化简，重新组合． 首先对原方程组中的第一个方程进行化简，然后分别重新组合，成为两个方程组，最后解这两个方程组即可． 【详解】解：方程可变形为， ∴或， ∴原方程组可变形为两个方程组①，②； 解方程组①，得，， 解方程组②，得，， ∴原方程组的解为，，，． 22. 如图，是正方形的对角线，平分，已知．求的长． 【答案】## 【解析】 【分析】如图所示，过点E作于F，先由勾股定理求出，再由角平分线的性质得到，设，利用等面积法得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于F， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， 设， ∵ ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23. 一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系．当汽车加满油后，行驶120千米时，油箱中还剩油40升；行驶180千米时，油箱中还剩油35升． （1）求出y与x之间的函数解析式，并写出定义域； （2）已知当油箱中的剩余油量为10升时，该车仪表盘会亮灯提示加油．在距离出发点500千米处有一加油站，该车在加满油后，请判断司机能否在亮灯提示前行驶至此加油站，并说明理由． 【答案】（1）；（2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设与之间的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）的关系式，求出的值即可判断． 【详解】解：（1）设与之间的函数解析式为，根据题意得： ， 解得， ； （2）不能在亮灯提示前行驶至此加油站，理由如下： 当时，， 解得， 即当油箱中的剩余油量为10升时，该车行驶路程为480千米， 因为，所以该车在加满油后，不能在亮灯提示前行驶至此加油站． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 24. 已知：如图，在中，E、F分别为边的中点，是对角线，交的延长线于G． （1）求证：； （2）若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你结论． 【答案】（1）见解析 （2）矩形，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质，矩形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行四边形的性质得到，，然后证明出四边形是平行四边形，即可得到； （2）首先证明出四边形是平行四边形，如图所示，连接，由菱形得到，然后证明出，即可得到平行四边形是矩形． 【小问1详解】 ∵在中， ∴， ∵E、F分别为边的中点 ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴； 【小问2详解】 矩形，理由如下： ∵在中， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 如图所示，连接 ∵E为边的中点 ∴点E在上 ∵四边形是菱形 ∴ ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F． （1）求双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式． （2）求的面积． 【答案】（1）y＝，y＝3x﹣3；（2） 【解析】 【分析】（1）作DM⊥y轴于M，通过证得（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y＝（k≠0）和直线DE的解析式． （2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积． 【详解】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0）， ∴OA＝2，OB＝1， 作DM⊥y轴于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴∠OAB+∠DAM＝90°， ∵∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠DAM＝∠ABO， 在和中 ， ∴（AAS）， ∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2， ∴D（2，3）， ∵双曲线经过D点， ∴k＝2×3＝6， ∴双曲线为y＝， 设直线DE的解析式为y＝mx+n， 把B（1，0），D（2，3）代入得， 解得， ∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3； （2）连接AC，交BD于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD垂直平分AC，AC＝BD， 解 得或， 经检验：两组解都符合题意， ∴E（﹣1，﹣6）， ∵B（1，0），D（2，3）， ∴DE＝＝，DB＝＝， ∴CN＝BD＝， ∴ 【点睛】 本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，函数的交点坐标的求解，化为一元二次方程的分式方程的解法，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 26. 如图，等腰中，，O为边的中点，射线交的延长线于点C，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，点E、F分别在射线、射线上，且，求证：； （3）在（2）的条件下，连接，若为直角三角形，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）的长为1． 【解析】 【分析】（1）证明，推出，，得到是线段的垂直平分线，再得到，即可推出四边形为菱形； （2）在上取点，使，作交的延长线于点，作交的延长线于点，证明，推出，，再证明，得到，然后利用三角形的外角性质即可求得； （3）证明、和都是等边三角形，分两种情况讨论，根据等边三角形的性质结合直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵等腰中，，O为边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 证明：在上取点，使，作交的延长线于点，作交的延长线于点， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由三角形的外角性质知， 又， ∴； 【小问3详解】 解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴， 当即时，此时， ∴， ∴， ∴； 当即时，此时， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； ∵恒小于， ∴不存在的情况， 综上，的长为1． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$